罗老师椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质

编写：罗万能审核：高二数学组

一、教学目标

1.知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。

2.过程与方法：

（1）通过探究，掌握椭圆的简单几何性质，培养猜想能力，合情推理能力，养成发现问题，提出问题的意识；

（2）通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学思想的培养。

3.情感态度与价值观：

（1）在民主开放的课堂气氛中，培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神；

（2）通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情；通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重点与难点：

【重点】椭圆的简单几何性质.

【难点】椭圆的简单几何性质.

电脑，课件，几何画板，三角板，圆规。

三、教学方法：

讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。

四、教学过程设计：

（一）复习引入

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程

3.椭圆中a,b,c 的关系

（二）探究问题，观察发现

1. 椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的范围

引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围，进而用代数的方法，由椭圆的标

准方程22

221(0)x y a b a b

+=>>得出椭圆的范围。

教师推导出横坐标x 的范围，由学生类比得出纵坐标y 的范围 结论：椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(如图)． 形依于数，数寓于形，数形相互依存，数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想，也是一个重要的方法

【师生活动】

教师：引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法，由

椭圆的标准方程22

221x y a b

+=得出椭圆的范围。

学生：在老师的引导下，观察、推导出椭圆的范围，并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。

【学情预设】

在《椭圆的定义及其标准方程》中，学生已由椭圆的定义探究过|1OA |=a ，|1OB |=|2OB |=b ，因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应

1

A 2

A 1

B 2

B

不存在问题，横坐标x 的范围的推导也比较容易，且提示学生由类比方法得到椭圆纵坐标y 的范围也是可行的。 2.对称性

设(,)P x y 为椭圆22

221x y a b

+= (0)a b >>上任意一点，

（1）点(,)P x y 关于x 轴对称的点1P 的坐标是 ,1P ______该椭圆上, 这说明椭圆关于 对称。

（2）点(,)P x y 关于y 轴对称的点2P 的坐标是 ,2P ______该椭圆上, 这说明椭圆关于 对称。

（3）点(,)P x y 关于原点的对称点3P 的坐标是 ,3P _______该椭圆上,这说明椭圆关于 对称。

得出结论：椭圆22

221x y a b

+=是关于x 轴、y 轴对称的轴对称图形，也是关于

原点对称的中心对称图形。

一般地，曲线方程中，以y -代y ，若方程不变，则曲线关于x 轴对称，以

x -代x ，若方程不变，则曲线关于y 轴对称，曲线方程中，以x -代x ，同时以y

-代y ，若方程不变，则曲线关于原点中心对称。

该结论以表格形式呈现给学生。 曲线0),(=y x f 对称性的判断：

3.顶点

教师：显然，椭圆与它的对称轴有四个交点，试写出这四个点的坐标。

提示：x 轴、y 轴是椭圆22

221x y

a b

+=的对称轴，求椭圆与对称轴的交

点坐标，就是椭圆与x 轴、y 轴的交点坐标，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征。

学生求出结果：12(,0),(,0),A a A a -12(0,),(0,)B b B b -

教师：给出定义，我们把椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>交点12(,0),(,0),A a A a -12(0,),(0,)B b B b -就叫做椭圆的顶点。

指出，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x 轴上。

【设计意图】 本过程可以由老师引导启发学生先求出椭圆与坐标轴的交点坐标，然后给出椭圆顶点的定义，求交点的过程交给学生，让学生参与。

【学情预设】

估计在学生理解椭圆顶点的定义时，把椭圆与对称轴的交点错误的理解成椭圆与x 轴、y 轴的交点，所以，在讲述过程中予以强调。 4.离心率

在同一坐标系下，利用前面所学过的椭圆的性质画出下列曲线的简图：

（1）2

2125x y +=； （2）221x y +=； （3）22

1x y +=； （4）22

12525

x y +=

启发式提问：

教师：

1、请同学们观察这些方程什么量相同？什么量不同？它们所对应的图形的形状有何不同？

2、在椭圆的半长轴长a不变的条件下，椭圆的扁平程度与什么量有关系？

学生回答后教师归纳：

与b有关本质也就是与c有关，因为222

b a c

=-，即椭圆的扁平程度与,a c有关，并给出离心率的定义。

离心率

1）定义：椭圆焦距与长轴长之比。

2）定义式：c

=

e

a

3）范围：01

<<

e

4）考察椭圆形状与e的关系

（1）e越接近于1，c越接近于a，b=的值越，椭圆越；

（2）e越接近于0，c越接近于0，b=的值越，椭圆就越接近于；

（3）当且仅当a b

=时，c=，这时两个焦点重合，图形就变为，