山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题

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2020届山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题(解析版)

2020届山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|B x y ==，则A B =U （）A ．{}1|2x x -≤≤B ．{}|02x x ≤≤C ．{}1|x x ≥-D ．{}|0x x ≥【答案】C【解析】分别对集合A 、B 中元素性质进行整理,可得{}|12A x x =-≤≤,{}|0B x x =≥,进而根据并集的定义求解即可【详解】由题,因为220x x --≤,则()()210x x -+≤,解得12x -≤≤,即{}|12A x x =-≤≤；因为0x ≥,则{}|0B x x =≥, 所以{}|1A B x x ⋃=≥- 故选：C 【点睛】本题考查集合的并集运算,考查解一元二次不等式,考查具体函数的定义域 2．命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（） A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C【解析】全称命题的否定“20,10x R x x ∃∈-+≤”，故选C.3．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由离心率c e a ===求出b a ,进而求得渐近线方程即可【详解】由题,离心率c e a ===解得12b a =, 因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±= 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,考查离心率的应用4．设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题,,,a b c 分别为函数0.5log y x =,0.5x y =,3xy =上的点的纵坐标,利用函数单调性与特殊值0,1比较,进而比较,,a b c 的大小关系【详解】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<, 故选：A 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小,掌握指数函数,对数函数的性质是解题关键 5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（） A ．216 B ．480 C ．504 D ．624【答案】C【解析】针对课程“御”“乐”的特殊性,分别讨论课程“御”排在第一周与不排在第一周的情况,进而求得排法【详解】当课程“御”排在第一周时,则共有55120A =种；当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有114444384C C A ⨯⨯=种；则120384504+=, 故选：C 【点睛】本题考查元素有限制的排列问题,考查分类讨论思想 6．函数sin y x x =+的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D7．若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（） A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】B8．函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A二、多选题9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（）满意不满意男 30 20 女 4010()2P K k ≥0.100 0.050 0.010k2.7063.841 6.635A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【答案】AC10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【答案】AC11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则（）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是[]45,90︒︒ D ．直线1C P 与平面11AC D 6【答案】ABD12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC三、填空题13．已知向量a r ,b r 满足||1a =r ，||b =r ()a a b ⊥+rr r ，则a r 与b r 夹角的大小是______．【答案】34π14．已知随机变量()21,X N σ:，()110.4P X -<<=，则()3P X ≥=__________．【答案】0.115．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．【解析】过点P 作曲线2xy e x =+的切线,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小, 进而求解即可【详解】由题,过点P 作曲线2xy e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002x k e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查点到直线距离的最值问题,考查转化思想 16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．【答案】52π 4π【解析】（1）根据垂直关系,可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,进而求解即可；（2）易得D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,求解即可.【详解】（1）由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,则可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即2r ==则r =,所以球的表面积为224452r πππ=⨯=；（2）由题,因为Rt ABC V ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,则外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯= 故答案为：（1）52π；（2）4π 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查球的表面积,考查转化思想,考查空间想象能力.四、解答题17．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【答案】见解析【解析】若选①：利用正弦定理可得(a b)()(c b)a b c +-=-,即222b c a bc +-=,再利用余弦定理求得cos A ,进而求得bc ,从而求得面积；若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=+,化简可得tan A =,即6A π=,利用余弦定理求得bc ,从而求得面积；若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2B CB A B +=,整理可得3A π=,进而求得面积【详解】解：若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=-若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-，所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N *=+∈，且12a=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n = （2）120(65)4+99n n n T +-= 【解析】（1）由题可得112(2)n n S n a ++=+,两式作差,进而求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）(21)4nn b n =-,利用错位相减法求得前n 项和n T 即可【详解】解：（1）因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以121n a a n ==,所以2n a n =（2）由（1）,(1)2=(21)4n ann n b a n =--, 所以 12314+34+54++(21)4nn T n =⨯⨯⨯-L231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯---，化简得120(65)4+99n n n T +-= 【点睛】本题考查由n S 与n a 的关系求通项公式,考查错位相减法求前n 项和,考查运算能力 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ，SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =.（1）证明：直线//SD 平面ACE ；（2）求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,利用相似证得//EF SD ,进而得证；（2）以C 为坐标原点,,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB u u u r u u u r均垂直的方向作为x 轴的正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可【详解】解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF , 因为//AD BC ,所以AFD ∆与BCF ∆相似,所以2BFBCFD AD ==, 又=2BE BFES FD=,所以//EF SD , 因为EF ⊂平面ACE ,SD ⊄平面ACE , 所以直线//SD 平面ACE（2）由题,因为平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD I 平面ABCD CD =,BC ⊂平面ABCD ,BC CD ⊥,所以BC ⊥平面SCD ,以C 为坐标原点,,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB u u u r u u u r均垂直的方向作为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,因为224BC AD CD ===,2BE ES =,则(0,0,0)C ,(1,1,0)S ,(0,2,2)A ,224(,,)333E ,所以(0,2,2)CA =u u u r ,(1,1,0)CS =u u u r ,224(,,)333CE =,设平面SAC 的一个法向量为(,,)m x y z =u r,则00m CA m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u uu v v ,即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 令1z =,得1x =,1y =-,于是(1,1,1)m =-u r ,设平面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z =r,则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v ,即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 令1z =,得1x =-,1y =-,于是(1,1,1)m =--u r,设二面角S AC E --的平面角的大小为θ,则1cos 3m n m n θ⋅==u r rur r , 所以二面角S AC E --的余弦值为13【点睛】本题考查线面平行的证明,考查利用空间向量求二面角余弦值,考查运算能力20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=.（1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y += （2）10k >10k <-【解析】（1）根据椭圆对称性可得4a =,利用离心率可得c e a==,则c =,进而求得标准方程；（2）联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,可得120x x +=,1221641x x k -=+,由AQB ∠为锐角可得0QA QB ⋅>u u u r u u u r ,整理可得2216(1)9041k k +->+,求解即可【详解】解：（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又2c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y += （2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-u u u r ,22(3,)QB x y =-u u u r , 联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=,所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>u u u r u u u r ,所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+u u u r u u u r12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <【点睛】本题考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,考查数量积在几何中的应用,考查运算能力与转化思想21．某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）【答案】（1）49（2）应选用2n = 【解析】（1）分析可得随机变量满足二项分布,求得1X =时的概率即可；（2）由（1）,并分别求得X 0=,2X =,3X =时的概率,由题意得到不同方案下实际获利并求得期望,比较大小即可【详解】解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ,则13,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:,因此()1213121241=33279P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①当1n =时,设该企业每月的实际获利为1Y 万元,若X 0=,则1123135Y =⨯-=；若1X =,则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =,则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=；若3X =,则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=；又()030312803327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()303312133327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此时,实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ②当2n =时,设该企业每月的实际获利为2Y 万元,若X 0=,则2123234Y =⨯-=；若1X =,则2122+81230Y =⨯⨯-=；若2X =,则2121+82226Y =⨯⨯-=；若3X =,则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=；28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在1n =与2n =之中选其一,应选用2n =【点睛】本题考查二项分布的应用,考查期望的计算,考查数据处理能力与运算能力22．已知函数2213()ln 224f x x ax x ax x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中0a e <<. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e <.【答案】（1）增区间为()0,a ，(),e +∞，减区间为(),a e （2）见解析（3）证明见解析【解析】（1）先求出()f x 的定义域,求得导函数()()()ln 1f x x a x '=--,令()0f x '=可解得x a =或x e =,分类讨论判断()0f x '>或()0f x '<,进而解得单调区间；（2）整理函数为()13ln 224f x x x a x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则令{}=min 1,2a δ,当()0,x δ∈时,()0f x >,则分别讨论0x a <≤和x a >两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；（3）由（2）可知12a x e x <<<,构造函数()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用导数可得()F x 在(,)a e 单调递增,则()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,整理即可得证【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >,()()()211313ln 2ln 22222f x x a x x ax a x x a x x a a x x⎛⎫'=-+-⋅+-=-+-+- ⎪⎝⎭()()ln ()(ln 1)x a x x a x a x =---=--,令()0f x '=,得x a =或x e =,因为0a e <<,当0x a <<或x e >时,()0f x '>,()f x 单调递增；当a x e <<时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以()f x 的增区间为()0,a ,(),e +∞；减区间为(),a e（2）取{}=min 1,2a δ,则当()0,x δ∈时,102x a -<,ln 0x <,3204a x -> 所以()13ln 2024f x x x a x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；又因为0a e <<,由（1）可知()f x 在(0,)a 上单调递增,因此,当(]0,x a ∈,()0f x >恒成立,即()f x 在(]0,a 上无零点.；下面讨论x a >的情况： ①当04e a <<时,因为()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f a >,()1320244e f e e e a e a e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()222224*********f e e e a e a e e ⎛⎫⎛⎫=-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 根据零点存在定理,()f x 有两个不同的零点； ②当4e a =时,由()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f e =，此时()f x 有唯一零点e ； ③若4e a e <<,由()f x 在(),a e 单调递减,(),e +∞单调递增,()()04e f x f e e a ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭, 此时()f x 无零点；综上,若04e a <<,()f x 有两个不同的零点；若4e a =,()f x 有唯一零点e ；若4e a e <<,()f x 无零点（3）证明：由（2）知,04e a <<,且12a x e x <<<, 构造函数()()2e F xf x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(,)x a e ∈, 则()()()()4232ln 1ln 1e e F x x a x a x xx ⎛⎫'=----- ⎪⎝⎭()43243ln 1x ax e ax e x x -+-=-, 令4324()g x x ax e ax e =-+-,(,)x a e ∈,因为当(,)x a e ∈时,220x e ax +->,220x e -<,所以43242222()=()()<0g x x ax e ax e x e ax x e =-+-+--又ln 1ln 10x e -<-=,所以()0F x '>恒成立,即()F x 在(,)a e 单调递增, 于是当a x e <<时,()()0F x F e <=,即 ()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 因为1(,)x a e ∈,所()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 又12()()f x f x =,所以()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,因为2x e >,221e e e x e>=,且()f x 在(),e +∞单调递增, 所以由()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,可得221e x x <,即212x x e < 【点睛】本题考查利用导数求单调区间,考查利用导数判断函数的零点个数,考查零点存在性定理的应用,考查分类讨论思想和转化思想。

山东省烟台市数学高三上学期理数期末考试试卷

山东省烟台市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·石家庄模拟) 已知为虚数单位，，其中，则（）A .B .C . 2D . 43. （2分）某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作1；某学校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况，记作2．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A . ①用简单随即抽样②用系统抽样B . ①用分层抽样②用简单随机抽样C . ①用系统抽样②用分层抽样D . ①用分层抽样②用系统抽样4. （2分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 即不充分也不必要条件5. （2分）在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件A=“”，那么事件A发生的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·株洲模拟) 已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，则（）A . 31B . 32C . 63D . 647. （2分） (2017高三上·威海期末) 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A . 2B .C . ﹣1D . ﹣28. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .9. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A .B .C .D .10. （2分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A . [-,]B . (-,)C . [-,]D . (-,)11. （2分）已知R上的连续函数g(x)满足：①当x>0时，g'(x)>0恒成立(g'(x)为函数g(x)的导函数)；②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x)，又函数f(x)满足：对任意的x∈R，都有成立。

2021-2022学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}2.命题“∀x∈R，2x>0”的否定是()A. ∃x∈R，2x>0B. ∃x∈R，2x≤0C. ∀x∈R，2x<0D. ∀x∈R，2x≤03.函数y=√4−x2ln(x+1)的定义域为()A. [−2,2]B. (−1,2]C. (−1,0)∪(0,2]D. (−1,1)∪(1,2]4.在生活中，人们常用声强级y(单位：dB)米表示声强度I(单位．W/m2)的相对大小，具体关系式为y=10lg(I I)，其中基准值I0=10−12W/m2.若声强度为I1时的声强级为60dB，那么当声强度变为4I1时的声强级约为()(参考数据：lg2≈0.3)A. 63dBB. 66dBC. 72dBD. 76dB5.若双曲线mx2−y2=1(m∈R)的一条浙近线方程为3x−4y=0，则其离心率为()A. 43B. 53C. 54D. 746.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =−12，cos<a⃗，a⃗−b⃗ >=()A. 14B. 34C. √612D. √647.若直线x−y+2=0将圆(x−a)2+(y−3)2=9分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为()A. −4B. −4或2C. 2D. −2或48.若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则满足(2x−1)f(x+1)≥0的x的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[12,3] B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. [−3,−1]∪[12,1] D. [−3,12]∪[1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a>0，b>0，则下列命题成立的有()A. 若ab=1，则a2+b2≥2B. 若ab=1，则1a +1b≥2C. 若a+b=1，则a2+b2≤12D. 若a+b=1，则1a+1b≥410.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则()A. ω的值为2B. φ的值为π6C. (−π4,0)是函数f(x)的一个增区间D. 当x=π3+kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值11.已知抛物线C：x2=my的焦点为F(0,1)，点A，B为C上两个相异的动点，则()A. 抛物线C的准线方程为y=−1B. 设点P(2,3)，则|AP|+|AF|的最小值为4C. 若A，B，F三点共线，则|AB|的最小值为2D. 若∠AFB=60°，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则|MN|≤|AB|12.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是()A. 棱C1D1上存在一点M，使得AM//平面B1PQB. 直线A1C1到平面B1PQ的距离为23C. 过A1C1且与面B1PQ平行的平面截正方体所得截面面积为98D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为3π8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，a2+a4+a5+a9=8，则a5=______．14.已知α∈(0,π2),cos(α+π4)=√1010，则cosα的值为______．15.若x=−1是函数f(x)=(x2+ax+1)e−x的极值点，则f(x)的极大值为______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，在折叠过程中三棱锥B′−ACD体积的最大值为______，此时异面直线AB′与CD所成角的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①2acosB=c；②向量m⃗⃗⃗ =(a,b−c)，n⃗=(a−b,c+b)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗；③tanA+tanB=−√3cosCcosAcosB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=√3，c=3，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．18.如图，在正三棱锥P−ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；(2)当α∈(0,π2)时，求三棱锥的侧面积S的最小值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，△ADP为等边三角形，且面ADP⊥底面ABCD．(1)若M为BC中点，求证：PM⊥BC；(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点P(2√63,1)在Γ上．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设椭圆Γ的左、右顶点分别为A，B，过定点(1,0)的直线与椭圆Γ交于C，D两点(异于点A，B)，试探究直线AC，BD交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21.已知数列{a n}满足a1=4，a n+1={12a n+n,n为奇数a n−2n,n为偶数，n∈N∗．(1)记b n=a2n−2，证明：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前2n项和S2n．22.已知函数f(x)=lnx−ax+a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1,+∞)上有零点x0．①求a的取值范围；②求证：2−aa<x0<e1a．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由B中不等式解得：−1<x<2，即B={x|−1<x<2}，∵A={−1,0,1,2}，∴A∩B={0,1}，故选：A．求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，去判断．本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．3.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则{4−x2≥0x+1>0x+1≠1，解得−1<x≤2且x≠0．∴函数y=√4−x2ln(x+1)的定义域为(−1,0)∪(0,2]．故选：C．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得：y =10lg(I10−12)=10(lgI +12)，当I =I 1时，y =60，则60=10(lgI 1+12)，解得I 1=10−6，所以当I =4I 1时，y =10[lg(4×10−6)+12)]=10(2lg2−6+12)=10×(2×0.3+6)=66，当声强度变为4I 1时的声强级约为66dB ，故选：B ．由题意当I =I 1时，y =60，然后即可求出I 1的值，进而可以求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵双曲线mx 2−y 2=1的一条浙近线方程为3x −4y =0， ∴√m =34，m =916，a =43，b =1，c =53，∴双曲线的离心率为e =ca =54．故选：C ．双曲线mx 2−y 2=1(m >0)的一条渐近线方程为3x −4y =0，可得m ，然后求解离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：因为|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =−12，所以|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1+1+4=√6 则cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=1+121×√6=√64，故选：D ．根据条件求出|a ⃗ −b ⃗ |，再利用夹角公式求解cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >即可．本题考查平面向量数量积的运算性质及夹角公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：圆的标准方程为(x −a)2+(y −3)2=9，则圆心为(a,3)，半径r =3，设直线和圆相交与AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1：3，则∠AOB =π2，故|AB|=√r 2+r 2=3√2，则圆心到直线x −y +2=0的距离d =3√22，即d =√2=3√22，解得a =−2或4．故选：D ．设直线和圆相交与AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1：3，可求得|AB|，再结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．本题主要有考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为定义域为R 的奇函数f(x)在(−∞,0)内单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x ∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x ∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以不等式(2x −1)f(x +1)≥0等价为{2x −1<0−2≤x +1≤0或x +1≥2或{2x −1>00≤x +1≤2或x +1≤−2或2x −1=0，解得−3≤x ≤−1或12≤x ≤1，所以满足(2x −1)f(x +1)≥0的x 的取值范围是[−3,−1]∪[12,1]．故选：C ．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．本题考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质列出不等式是解决本题的关键，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由于a>0，b>0，且ab=1，所以a2+b2≥2ab=1，故A正确；对于B：1a +1b=a+b≥2√ab=2，故B正确；对于C：a2+b2≥(a+b)22=12，故C错误；对于D：由于a+b=1，1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥4，故D正确．故选：ABD．直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断ABCD的结论．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象知，T2=13π12−7π12=π2，所以T=π，ω=2πT=2，选项A正确；根据五点法画图知，2×7π12+φ=π，解得φ=−π6，选项B错误；因为f(x)=2sin(2x−π6)，且x∈(−π4,0)，2x−π6∈(−2π3,−π6)，所以(−π4,0)不是f(x)的增区间，选项C错误；x=π3+kπ，k∈Z时，2x−π6=π2+2kπ，k∈Z，函数f(x)取得最大值2，选项D正确．故选：AD．根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：A中，由焦点坐标为(0,1)，可得m4=1，焦点m=4，所以抛物线的方程为x2=4y，故准线方程为：y=−1，所以A正确；B中，过A作AN垂直于准线于N点，则由抛物线的性质可得|PA|+|PF|=|PA|+|AN|⊥≥|PN|，当且仅当P ，A ，N 三点共线时取等号，所以|AP|+|PF|的最小值为3+1=4，所以B 正确；C 中，A ，F ，B 三点共线时，设直线的方程为y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x 2=4y y =kx +1，整理可得：x 2−4kx −4=0，则x 1+x 2=4k ，y 1+y 2=k(x1+x 2)+2=4k 2+2，所以|AB|=y 1+1+y 2+2=4k 2+4≥4，当k =0时取等号，所以C 不正确； D 中，过M ，A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A′，N ，B′，则|MN|=|AA′|+|BB′|2=|AF|+|BF|2，在△ABF 中，由余弦定理可得|AB|=√|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cos∠AFB =√|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cos60°=√(|AF|+|BF|)2−3|AF|⋅|BF|≥√(|AF|+|BF|)2−3(|AF|+|BF|2)2=|AF|+|BF|2，当且仅当|AF|+|BF|时取等号，所以|AB|≥|MN|，故D 正确，故选：ABD ．由抛物线的焦点坐标可得参数m 的值，进而求出抛物线的方程，求出准线方程，判断出A 正确；过A 作准线的垂线，可得PA 垂直于准线时，可得|AP|+|AF|最小，且最小值为P 到准线的距离，求出最小值，判断出B 正确；当A ，B ，F 三点共线时设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和，由抛物线的性质可得|AB|的最小值，判断出C 不正确；过A ，B 作准线的垂线，可得MN 为提醒的中位线，可得|MN|=|AA′|+|BB′|2=|AF|+|BF|2，在△ABF 中，由余弦定理及均值不等式可得|AB|≥|MN|的，判断D 正确．本题考查抛物线的方程的求法及抛物线的性质的应用，余弦定理，均值不等式的应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(1,12,0)，Q(12,1,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0)，PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1)，设平面B 1PQ 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y =0n⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +z =0，取z =−1，得n ⃗ =(2,2,−1)，设棱C 1D 1上点M(0,m,1)，0≤m ≤1，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m,1)，若AM//平面B 1PQ ，则有n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2m −1=0，解得m =32，与0≤m ≤1矛盾，即在棱C 1D 1上不存在点M ，使得AM//平面B 1PQ ，故A 错误；连接AC ，矩形ACC 1A 1是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角面，有AC//A 1C 1， ∵P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，∴PQ//AC//A 1C 1， ∵A 1C 1⊄平面B 1PQ ，PQ ⊂平面B 1PQ ，∴A 1C 1//平面B 1PQ ，直线A 1C 1到平面B 1PQ 的距离等于点A 1到平面B 1PQ 的距离ℎ， ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，∴ℎ=|B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√9=23，故B 正确；取AD ，CD 的中点E ，F ，连接A 1E ，EF ，C 1F ，EQ ，则EF//AC//A 1C 1，即EF ，A 1C 1确定一个平面，如图，依题意，EQ//AB//A 1B 1，EQ =AB =A 1B 1，∴四边形A 1B 1QE 是平行四边形，A 1E//B 1Q ，A 1E ⊄平面B 1PQ ，B 1Q ⊂平面B 1PQ ，∴A 1E//平面B 1PQ ，∵EF//PQ ，EF ⊄平面B 1PQ ，PQ ⊂平面B 1PQ ，∴EF//平面B 1PQ ， ∵A 1E ∩EF =E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1C 1FE ，∴平面A 1C 1FE//平面B 1PQ ， ∴梯形A 1C 1FE 是过A 1C 1与平面B 1PQ 平行的正方体的截面， ∵A 1E =C 1F =√52，EF =√22，A 1C 1=√2，∴此等腰梯形的高ℎ′=√A 1E 2−(A 1C 1−EF 2)2=√54−216=3√24， ∴过A 1C 1与平面B 1PQ 平行的正方体的截面面积为：A 1C 1+EF2⋅ℎ′=(3√24)2=98，故C 正确；过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ 被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ 中点N 是这个小圆的圆心，令正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的球心为O ，连接ON ，OP ，则ON ⊥PQ ，∵OP =√22，PN =√24，ON =√OP 2−PN 2=√64，球半径R =√32，∴这个小圆半径r =√R 2−ON 2=√34−616=√64，此圆面积为πr 2=3π8，故D 正确．故选：BCD ．建立空间直角坐标系，求出平面B 1PQ 的法向量，借助空间向量分析计算可判断A ，B ；作出A 1C 与平面B 1PQ 平行的正方体截面，计算其面积判断C ；求出直线PQ 补正方体的外接球所截弦长判断D ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】2【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 2+a 4+a 5+a 9=8，得a 1+d +a 1+3d +a 1+4d +a 1+8d =4a 1+16d =4(a 1+4d)=8， ∴4a 5=8，即a 5=2．故答案为：2．由已知直接利用等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2√55【解析】解：∵α∈(0,π2),cos(α+π4)=√1010，∴sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=3√1010，∴cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=√22×2√105=2√55．故答案为：2√55．利用同角三角函数间的关系式及两角和与差的余弦可求得cosα的值．本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间关系式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．15.【答案】4e【解析】解：f′(x)=(2x+a)e−x−(x2+ax+1)e−x=[−x2−(a−2)x+a−1]e−x，由题意可得，f′(−1)=(−1+a−2+a−1)e=0，则a=2，f′(x)=(−x2+1)e−x，−x2+1=0，解得x=1或x=−1，x>1或x<−1，f′(x)<0，当−1<x<1，f′(x)>0，所以函数f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增，故当x=1时，函数取得极大值f(1)=4e．故答案为：4e．先对函数求导，然后结合极值存在条件可得f′(−1)=0，代入可求a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值．本题主要考查了函数极值存在条件的应用，函数的单调性的判断，极值的求法，属于中档题．16.【答案】24516 25【解析】解：三棱锥B′−ACD的底面积S△ACD=6，若三棱锥B′−ACD体积取最大值，则点D到底面ACD的距离最大，即平面B′AC⊥平面ACD ，此时，D 点到直线AC 的距离即三棱锥的高，ℎ=125，∴三棱锥B′−ACD 体积的最大值为： V B′−ACD =13×6×125=245，过A 点在平面ACD 内，作AE//DC ，则∠B′AC 是异面直线AB′与CD 所成角， ∵平面B′AC ⊥平面ACD ，根据最小角定理得cos∠B′AE =cos∠B′AC ⋅cos∠ACE =cos∠B′AC ⋅cos∠ACD =(45)2=1625．故答案为：245，1625．若三棱锥B′−ACD 体积取最大值，则点D 到底面ACD 的距离最大，即B′AC ⊥平面ACD ，从而求出体积的最大值；过点A 在平面ACD 内，作AE//DC ，得到异面直线所成角，结合最小角定理能求出异面直线AB′与CD 所成角的余弦值．本题考查三棱锥体积的最大值、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：选①，在△ABC 中，∵2acosB =c ，∴由正弦定理可得，2sinAcosB =sinC ， ∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosBsinA ， ∴sin(A −B)=0， ∵−π<A −B <π，∴A −B =0，即A =B ，b =a =√3， ∴由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=−12，在△BCD 中，由余弦定理可得，BD 2=(√3)2+(√32)2−2×√3×√32cosC =214，故BD =√212．选②，∵向量m⃗⃗⃗ =(a,b −c)，n ⃗ =(a −b,c +b)，m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴a(a −b)+(b −c)(c +b)=0，化简整理可得，a 2−ab −c 2+b 2=0，在△ABC 中，由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∵0<C <π， ∴C =π3，由正弦定理可得，3sin π3=√3sinA ，即sinA =12，∵a =√3，c =3， ∴0<A <C =π3，则A =π6，即B =π−A −C =π2，故b =√a 2+c 2=2√3， ∵D 为AC 边的中点， ∴BD =b 2=√3．选③，∵tanA +tanB =−√3cosC cosAcosB，∴sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=−√3cosC cosAcosB，即sin(A +B)=sinC =−√3cosC ，∴tanC =−√3， ∵0<C <π， ∴C =2π3，由正弦定理可得，3sin 2π3=√3sinA ，解得sinA =12，∵a =√3，c =3， ∴0<A <C =π3，则A =π6，即b =a =√3，在△BCD 中，由余弦定理可得，BD 2=(√3)2+(√32)2−2×√3×√32cosC =214，故BD =√212．【解析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cosC ，再运用余弦定理，即可求解．选②，结合向量关系和余弦定理，求出角C ，再结合正弦定理，即可求解．选③，切化弦求出角C ，再结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意，正三棱锥P −ABC 的截面图，如图：：半球的底面圆的圆心O 是底面三角形ABC 的内心，OE =1，∠ADP =α．则OEOD =1OD =sinα，变形可得OD =1sinα，则AD =3OD =3sinα， △ABC 为等边三角形，则BC =2√33AD =2√3sinα， △POD 中，ODPD =cosα，则PD =ODcosα=1sinαcosα， (2)根据题意，由(1)的结论，BC =2√3sinα，PD =1sinαcosα，则S ΔPBC =12×BC ×PD =√3sin 2αcosα，故三棱锥的侧面积S =3S ΔPBC =3√3sin 2αcosα，由sin 2αcosα=(1−cos 2α)cosα=−cos 3α+cosα，设t =cosα，0<t <1，则y =−t 3+t ，其导数y′=−3t 2+1，0<t <1，在区间(0,√33)上，y′>0，y =−t 3+t 为增函数，在区间(√33,1)上，y′<0，y =−t 3+t 为减函数，则当t =√33时，y =−t 3+t 取得最大值，其最大值为2√33，即sin 2αcosα的最大值为2√33，故三棱锥的侧面积S 的最小值为3√32√33=272．【解析】(1)根据题意，可得O 是底面三角形ABC 的内心，由此可得OEOD =1OD =sinα，由等边三角形的性质，可得AD 的值，在△POD 中，由ODPD =cosα，分析可得答案； (2)根据题意，由(1)的结论，可得S ΔPBC 的表达式，进而得到S =3S ΔPBC =3√3sin 2αcosα，进一步求出其最小值．本题考查球内切三棱锥问题，涉及三棱锥的侧面积计算，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取AD 中点O ，连接OM 、OP ，因为△ADP 为等边三角形，M 为BC 中点，所以OP ⊥AD ，因为面ADP ⊥底面ABCD ，面ADP ∩底面ABCD =AD ，所以OP ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，所以OM//AB ，又因为∠ABC =90°，所以OM ⊥BC ，所以OB =OC ，所以PB =PC ，于是PM ⊥BC ．(2)解：取AB 中点N ，由题意知，四边形NBCD 是正方形，△AND 是等腰直角三角形，所以ON ⊥AD ，所以OA 、ON 、OP 两两垂直，建系如图， B(√2,√22,0)，C(√22,√2,0)，P(0,0,√62)， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√22,√62)， m⃗⃗⃗ =(1,1,√3)，因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面PBC 的法向量，因为平面PAD 的法向量是n⃗ =(1,0,0)，所以平面PAD 与面PBC 所成二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅1=√55．【解析】(1)只要证明PB =PC 即可；(2)用向量数量积计算两平面夹角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意2a =4，得a =2，又P 在椭圆上，所以83×4+1b 2=1，解得b =√3，所以椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)解：可得A(−2,0)，B(2,0)，若直线CD 与x 轴重合，则CD 与AB 重合，不符合题意；设直线CD 的直线方程为x =my +1，设点C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消x 整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，Δ=36m 2+36(3m 2+4)=144(m 2+1)>0，由韦达定理可得y 1+y 2=−6m 3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4．直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)，联立两条直线方程，解得x=2⋅y1(x2−2)+y2(x1+2)y2(x1+2)−y1(x2−2)，①将x1=my1+1，x2=my2+1代入①，得x=2⋅2my1v2+3(y1+y2)−4y13(y1+y2)−2y1，②将y1y2=−6m3m2+4,y1y2−−93m2+4代入②，得x=2⋅2m×−93m2+4+3×−6m3m2+4−4y13×−6m3m2−4−2y1=4⋅9m3m2+4+y19m3m2+4+y1=4．因此，直线AC，BD的交点的横坐标为定值4．【解析】(1)求出a的值，将点P的坐标代入椭圆Γ的方程，求出b的值，可得出栯圆Γ的标准方程；(2)分析可知直线CD与x轴不重合，可设直线CD的方程为x=my+1，设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，将直线CD的方程与椭圆Γ的方程联立，列出韦达定理，求出直线AC、BD的方程，求出两直线交点的横坐标，将韦达定理代入即可求得结果．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于难题．21.【答案】解：(1)证明：a n+1={12a n+n,n为奇数a n−2n,n为偶数，n∈N∗．∴a2n+2=12a2n+1+2n+1，a2n+1=a2n−4n，∴a2n+2=12(a2n−4n)+2n+1=12a2n+1，化为：a2n+2−2=12(a2n−2)，a2=12a1+1=3．∵b n=a2n−2，∴b n+1=12b n，b1=a2−2=1∴数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为12．∴b n=(12)n−1．(2)由(1)可得：a2n−2=(12)n−1，∴a2n=2+(12)n−1，a2n+1=a2n−4n=2+(12)n−1−4n，∴数列{a n }的前2n 项和S 2n =[n(−2+2−4n)2+1−(12)n1−12]+[2n +1−(12)n1−12]=4−2n 2+2n −(12)n−2．【解析】(1)由a n+1={12a n +n,n 为奇数a n −2n,n 为偶数，n ∈N ∗，可得a 2n+2=12a 2n+1+2n +1，a 2n+1=a 2n −4n ，代入化简即可证明结论．(2)由(1)可得：a 2n −2=(12)n−1，可得a 2n =2+(12)n−1，a 2n+1=a 2n −4n =2+(12)n−1−4n ，即可得出数列{a n }的前2n 项和S 2n ．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，f′(x)=−a(x−1a)x，当x ∈(0,1a )时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减．(2)①注意到，f(1)=ln1−a +a =0，由(1)知，当a ≤0时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，对任意x >1，恒有f(x)>f(1)=0，不合题意；同理当a ≥1时，f(x)在(1a ,+∞)上单调递减，又1a <1，∴对任意x >1，恒有f(x)<f(1)=0，不合题意；当0<a <1时，1a >1，由(1)知，f(x)在[1,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减， ∴f(1a )>f(1)=0，则当x →+∞，f(x)→−∞，由零点存在定理知，存在唯一一个点x 0∈(1a ,+∞)，使得f(x 0)=0，满足题意，综上，a 的取值范围是(0,1)．证明：②由①知，当0<a <1时，f(x 0)=lnx 0−ax 0+a =0，得a =lnx 0x 0−1，要证x 0>2−a a，只需要证lnx 0>2(x 0−1)x 0+1，令g(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，则g′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，又g(1)=0， ∴g(x)>0在(1,+∞)上恒成立，即lnx 0>2(x 0−1)x 0+1，即x 0>2−a a成立．要证x 0<e 1a ，只需要证lnx 0<1a ，即lnx 0<x 0−1lnx 0，∵x 0>1，即证(lnx 0)2<x 0−1，令ℎ(x)=(lnx)2−x +1，x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=2lnx−x x，又(2lnx −x)′=2x −1=2−x x，∴函数f(x)y =2lnx −x 在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，当x =2时，(2lnx −x)max =2ln2−2<0， ∴ℎ′(x)<0在(1,+∞)上恒成立， ∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减，又x 0>1，∴ℎ(x 0)<ℎ(1)=0，即(lnx 0)2<x 0−1，不等式得证．【解析】(1)求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行判断即可． (2)求函数的导数，判断函数的单调性，利用零点存在定理进行判断证明．本题主要考查导数的综合应用，求出函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，是个难题．综合性较强，运算量较大．。

山东省烟台市2021高三上学期期末考试数学试题

2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{|04}P x x =<<，{|lg(3)}Q x y x ==-，则P Q =A.{|34}x x ≤<B.{|34}x x <<C.{|03}x x <<D.{|03}x x <≤ 2.已知命题:p x ∀∈R ，0x+x ≥，则p ⌝为A.0x ∃∈R ，000x +x ≤B.0x ∃∈R ，000x +x <C.x ∀∈R ，0x+x ≤D.x ∀∈R ，0x+x <3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若952S =，422S =，则7a =A.4B.5C.6D.74.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品. 如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：2cm ） A.1243+ B.1643+ C.1233+ D.1633+5.若3cos28sin 5αα=-，则tan α=A.255-B.255C.53±D.255± 6.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O 为圆心，以452m 为半径，B 为公园入口，道路AB 为东西方向，道路AC 经过点O 且向正北方向延伸，10m OA =，100m AB =，现计划从B 处起修一条新路与道路AC 相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m ）A.1002B.1003C.1502D.1503 7.如图所示，平面向量,OA OB 的夹角为60，||2||2OB OA ==，点P 关于点A 的对称点为点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则||PR 为A.3B.23C.4D.无法确定8.已知函数cos ,0(),0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()0f x f x +-=有n 个不同的实根，从小到大依次为123,,,,n x x x x ，则下列说法错误．．的是北A O BCA.1230n x x x x ++++=B.当1n =时，1k π<-C.当3n =且0k <时，331tan x x =-D.当12k π>时，3n =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省烟台市2022届高三上学期期末学业水平诊断数学试卷(含答案)

山东省烟台市2022届高三上学期期末学业水平诊断数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则A B =( ) A.{}0,1B.{}1,2C.{}1,0,1-D.{}0,1,22、命题“x ∀∈R ，20x >”的否定为( )A.x ∃∈R ，20x ≤B.x ∃∈R ，20x <C.x ∀∈R ，20x ≤D.x ∀∈R ，20x <3、函数y = A.[]2,2- B.(]1,2- C.()(]1,00,2- D.()(]1,11,2-4、在生活中，人们常用声强级y (单位：dB)来表示声强度I (单位：2W/m )的相对大小，具体关系式为010lg I y I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中基准值122010W /m I -=.若声强度为1I 时的声强级为60dB ，那么当声强度变为14I 时的声强级约为( )(参考数据：lg 20.3≈) A.63dBB.66dBC.72dBD.76dB5、若双曲线()221mx y m -=∈R 的一条渐近线方程为340x y -=，则其离心率为( )1a =，2b =，1a b ⋅=-，则,a a b -=( )7、若直线20x y -+=将圆()()2239x a y -+-=分成的两段圆弧长度之比为1:3，则实数a 的值为( ) A.4-B.4-或2C.2D.2-或48、若定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足()()2110x f x -+≥的x 的取值范围是( )A.(]1,1,32⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦B.(][),31,-∞-+∞C.[]13,1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.[)13,1,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦二、多项选择题9、已知0a >，0b >，则下列命题成立的有( )A.若1ab =，则222a b +≥B.若ab =12b ≥C.若1a b +=，则22a b +≤b +=14b+≥10、函数()()2sin f x x ωϕ=+(0ω>，π2ϕ-<<A.ω的值为2B.ϕC.π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个增区间 D.当()ππ3x k k =+∈Z 时，()f x 取最大值 11、已知抛物线2:C x my =的焦点为()0,1F ，点A ，B 为C 上两个相异的动点，则( ) A.抛物线C 的准线方程为1y =-B.设点(2,3P AP AF +的最小值为4的最小值为2D.若60AFB ∠=AB ≤12、如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，则以下四个结论正确的是( )A.棱11C D 上存在一点M ，使得//AM 平面1B PQB.直线11A C 到平面1B PQC.过11A C 且与面1B PQ三、填空题13、在等差数列{}n a 中，24598a a a a +++=，则5a =_________.14、已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭α的值为_________.15、若1x =-是函数()()21e x f x x ax -=++的极值点，则()f x 的极大值为_________. 16、如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将ABC △沿AC 折叠，在折叠过程中三棱锥B ACD '-体积的最大值为________，此时异面直线AB '与CD 所成角的余弦值为_________.四、解答题17、在①2cos a B c =；②向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-+，m n ⊥；③tan tan A B +=问题：在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3=，D 为AC 边的中点，若_________，求BD 的长度.18、如图，在正三棱锥P ABC -中，有一半径为1的半球，其底面圆O 与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切.设点D 为BC 的中点，ADP α∠=.(1)用α分别表示线段BC和PD 长度；(2)当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求三棱锥的侧面积S 的最小值.19、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90ABC ∠=︒，222AB BC CD ===，ADP △为等边三角形，且面ADP ⊥底面ABCD .(1)若M 为BC 中点，求证：PM BC ⊥； (2)求面P AD 与面PBC 所成二面角的余弦值.20、已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的长轴长为4，点3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在Γ上. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设椭圆Γ的左、右顶点分别为A 、B ，过定点()1,0的直线与椭圆Γ交于C 、D 两点(异于点A ，B )，试探究直线AC ，BD 的交点的横坐标是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.21、已知数列{}n a 满足14a =，1*1,21()22,2n n n a n n k a k a n n k+⎧+=-⎪=∈⎨⎪-=⎩N . (1)记22n n b a =-，证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .22、已知函数()()ln f x x ax a a =-+∈R . (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 在()1,+∞上有零点0x ， ①求a 的取值范围；0x <<参考答案1、答案：A解析：因为集合{}1,0,1,2A =-，()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<A ={-1,0,1,2},B ={x ∣(x +1)(x -2)<0}={x ∣-1<x <2}，所以{}0,1A B =A ∩B ={0,1}，故选：A 2、答案：A解析：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定x ∃∈R ，20x ≤∃x ∈R ,2x ⩽0.故选：B. 3、答案：C解析：由已知可得()24010ln 10x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩Error! Digit expected.，即2210x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩{-2≤x ≤2x >-1x ≠0，因此，函数y =)(]1,00,2-(-1,0)⋃(0,2].故选：C.4、答案：B解析：因为若声强度为1I 时的声强级为60dB<dB ，所以1126010lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭Error! Digit 610=I 110-12=106，解得6110I -=，所以当声强度变为14I Error! Digit expected.时，声强级约为()()611212441010lg 10lg 102lg261020.36661010I ---⎛⎫⨯⎛⎫==+≈⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 5、答案：C解析：双曲线221mx y -=mx 2-y 2=1的一条渐近线方程为340x y -=Error! Digit expected.，===1=，c =双曲线的离心率为c e a ==54.故选：C.6、答案：D1a =，2b =，12a b ⋅=-|a ⃗22211a b a a b b -=-⋅+=+=则()2112cos ,16a ab a a b a a b a a b a a b +⋅--⋅〈-〉====⨯--7、答案：D解析：圆的标准方程为22()(3)9x a y -+-=(x -a )2+(y -3)2=9，则圆心为(),3a (a ,3)，半径3r =r =3，设直线和圆相交与AB AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1:3Error! Digit expected.，则AOB ∠===20x y -+=x -y +2=0的距离d ===2=-a =-2或4.故选：D. 8、答案：C解析：因为定义域为R 的奇函数()f x f (x )在(),0-∞(-∞,0)内单调递减，且()20f =f (2)=0，所以()f x 在()0,+∞(0,+∞)上也是单调递减，且()20f -=f (-2)=0,f (0)=0，()00f =，所以当()(),20,2x ∈-∞-x ∈(-∞,-2)∪(0,2)时，()0f x >f (x )>0，当()()2,02,x ∈-+∞x ∈(-2,0)∪(2,+∞)时，()0f x <f (x )<0，所以不等式()()2110x f x -+≥(2x -1)f (x +1)⩾0等价为21021012x x x -<⎧⎨-≤+≤+≥⎩或，210012x x ->⎧⎨≤+≤⎩，210x -=，解得3x -≤≤-1x ≤≤Error! Digit expected.，所以满足()()2110x f x -+≥(2x -1)f (x +1)⩾0的x 的取值范围是[]13,1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：C. 9、答案：ABD解析：由于0a >，0b >a >0,b >0，且1ab =ab =1，所以2221a b ab +≥=a 2+b 2⩾2ab =1，故A 正确；12a b b+=+≥=，故B 正确；对于C ：222()2a b a b ++≥=对于D ：由于a b +=()11124b a a b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD ABD . 10、答案：AD解析：根据函数()()2sin f x x ωϕ=+f (x )=2sin ⁡(ωx +φ)的部分图象知，13π7π21212T =-=π=T =π，2π2Tω==ω=2πT =2，选项A 正确；根据五点法画图知，7π2π12ϕ⨯+=Error! Digit expected.，解得π6ϕ=-φ=-π6，选项B 错误；因为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f (x )=2sin ⁡(2x -π6)，且π,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ∈(-π4，π2ππ2,636x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 的增区间，选项C 错误；ππ3x k =+，k ∈Z x =π3+kπ,k ∈Z 时，ππ22π62x k -=+Error! Digit expected.，k ∈Z ，函数()f x 取得最大值2，选项D 正确.故选：AD. 11、答案：ABD解析：A A 中，右焦点坐标为()0,11=m4=1，焦点4m =m =4，所以抛物线的方程为24x y =x 2=4y ，故准线方程为：1y =-y =-1，所以A 正确；B 中，过A A 作AN 垂直于准线于N 点，则由抛物线的性质可得PA PF PA AN +=+≥AP +14+=Error! Digit expected.，所以B 正确；C 中，A ，F ，B A ,F ,B 三点共线时，设直线的方程为1y kx =+y =kx +1，设()11,A x y ，()22,B x y A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩{x 2=4yy =kx +1，整理可得：2440x kx --=，则124x x k +=x 1+x 2=4k ，()21212242y y k x x k +=++=+y 1+y 2=21212444AB y y k =+++=+≥，当0k =时取等号，所以C 不正确；D 中，过M ，A ，B M ,A ,B 作准线的垂线，垂足分别为A 'A ',N ,B '，N ，B '则2AA BB MN ''+==在ABF △△ABF 中，由余弦定理可得AB ===≥=+≥12、答案：BCD 解析：略 13、答案：2解析：在等差数列{}n a {a n }中，由24598a a a a +++=a 2+a 4+a 5+a 9=8得()111111348416448a d a d a d a d a d a d +++++++=+=+=，548a ∴=即5 2a =，故答案为：2.解析：π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π sin 410α⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 4444442αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1-解析：()()()()222e 1e 21e x x xf x x a x ax x a x a ---⎡⎤=+-++=---+-⎣⎦'由题意可得，()()1121e 0f a a -=-+-+-='，则2a =a =2，()()21e x f x x -'=-+f '(x )=(-x 2+1)e -x ,-x 2+1=0，210x -+=，解得1x =x =1或1x =-x =-1，1x >x >1或1x <-x <-1,f '(x )<0，()0f x '<，当11x -<<，()0f x '>-1<x <1,f '(x )>0，所以函数()f x 在(),1-∞-，()1,+∞(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减，在()1,1-(-1,1)上单调递增，故当1x =时，函数取得极大值()1f =expected..解析：略17、答案：见解析解析：若选①：在ABC △中，因2cos a B c =，由正弦定理得2sin cos sin A B C =，而()sin sin C A B =+，即有2sin cos sin cos cos sin A B A B A B =+，整理得()sin 0A B -=，又ππA B -<-<，则0A B -=，即A B =，有b a ==2221cos 22a b c C ab +-==-，在BCD △中，由余弦定理2222cos 22BD C ⎛=+-= ⎝⎭所以2BD =若选②：由m n ⊥，得0m n ⋅=，即()()()0a a b b c c b -+-+=，整理得2220a ab c b --+=，在ABC △中，由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-==πC <<，则C ==A ==3=可得：0A C <<=则A =πA C =--==所以2bBD ===()A B C +=，在ABC △中，()sin sin C A B =+，于是得tan C ==sin A =，解得sin A ==3=可得：0A C <<=A =从而有B A C =π--=a ==在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 22BD C ⎛=+-= ⎝⎭所以BD =18、答案：(1)见解析解析：(1)连接OP ，由题意O 为ABC △的中心，且PO ⊥面ABC ，又AD ⊂面ABC ，所以PO AD ⊥，所以POD △为直角三角形.1=且OE PD ⊥.在Rt △13OD ===在Rt △cos OD α==(2)由题知，133322sin PBC S S BC PD α==⨯⨯⨯=⨯△化简得S =π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令cos t α=，则上述函数变形为()S t =()0,1∈，所以()S t '=()0S t '=，得t =当t ⎛∈ ⎝⎭时，()0S t '<，()S t 单调递减，当t ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0S t '>，()S t 单调递增，所以当t =3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭19、答案：(1)见解析解析：(1)取AD 中点O ，连接OM .因为在梯形ABCD 中，O ，M 分别为AD ，BC 的中点，所以//OM AB ，又AB BC ⊥，所以OM BC ⊥. 因为ADP △为等边三角形，故PO AD ⊥，又面ADP ⊥底面ABCD ，面ADP 面ABCD AD =，PO ⊂面ADP ，故PO ⊥底面ABCD. 因为BC ⊂面ABCD ，所以PO BC ⊥. 又因为OP OM O =，所以BC ⊥面POM ，而PM ⊂面POM ，故PM BC ⊥.(2)由(1)可知，以O 为坐标原点，以向量MB ，OM ，OP 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则13,,022B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭，所以()1,1,0AD =-，OP ⎛= ⎝⎭，()1,0,0CB =，13,22BP ⎛=-- ⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面P AD 的一个法向量，则00m AD m OP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则()1,1,0m =.设()222,,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则有则00n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220130222x x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令2z =则(0,2,6n =. 于是2cos ,2m n m n m n⋅===，因为由图可知面P AD 与面PBC 所成的二面角为锐角， 213y += (2)4解析：(1)由题意24a =，得2a =，又3P ⎛⎝211b =，解得，b=所以椭圆Γ213y +=. (2)可得()2,0A -，()2,0B ，若直线CD 与x 轴重合，则CD 与AB 重合，不合乎题意，设直线CD 的直线方程为1x my =+，设点()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得()2234690m y my ++-=， ()()22236363414410m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得12y y +=12y y =直线AC 的方程为()1122y y x x =++，直线BD 的方程为()2222yy x x =--，联立两条直线方程，解得2x =将111x my =+，221x my =+代入①，得2x =将12y y =12y y =得11222112296923434343424469323434m mm y y m m m x m m y y m m --⨯+⨯-++++=⋅=⋅=-⨯-+++.因此，直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值4. 21、答案：(1)见解析 (2)22132662n n S n n -=-++-解析：(1)依题意，()12221122122n n n b a a n +++=-=++-()()221122212122n n a n n a =-⨯++-=-211(2)22n n a b =-=，而1211212102b a a =-=+-=>，所以数列{n b 112n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n ∈N .(2)由(1)知，122212n n n a b -⎛⎫⎪⎝⎭=+=+，则有124211122221212nn n a a a n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+=+=-+ ⎪⎝⎭-，又2211212n n a a n -=+-，则21222(21)n n a a n -=--，于是有13212421(21)2()22n n n a a a a a a n -+-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⨯⨯ 12122222n n n -⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2244n n =-++因此，21321242()()n n n S a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+211212442222n n n n n --⎛⎫⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2266n n =-++所以22266n S n n =-++22、答案：(1)见解析 (2)见解析解析：(1)()1f x a x'=-，()0,x ∈+∞. 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增.当0a >时，()f x '=当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)①注意到，()1ln10f a a =-+=，由(1)知，当0a ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，对任意1x >，恒有()()10f x f >=，不合题意；同理，当1a ≥时，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，1<，所以对任意1x >，恒有()()10f x f <=，不合题意；当0a <<1>，由(1)知，()f x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()110f f a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，又当x →+∞时，()f x →-∞，由零点存在定理知，存在唯一一点01,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，满足题意.综上所述，a 的取值范围为{}|01a a <<.②由①知，当01a <<时，()000ln 0f x x ax a =-+=，解得00ln 1x ax =-.要证0x >()000211x x x ->+.令()ln g x x =()1,x ∈+∞，则()()()()222114011x g x x x x x -'=-=>++，所以()ln g x x =)1,+∞上单调递增，又()10g =，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立，即()00021ln 1x x x ->+，即0x >要证0x<0x <0001ln x x x -<.又因为01x >，即证()200ln 1x x <-.令()()2ln 1h x x x =-+，()1,x ∈+∞，则()h x '=又()22ln 1x x x '-=-=所以函数2ln y x x =-在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当2x =时，()max 2ln 2ln 220x x -=-<，所以()0h x '<在()1,+∞恒成立，所以()h x 在()1,+∞上单调递减，又01x >，所以()()010h x h <=，即()200ln 1x x <-，不等式得证.。

山东省烟台市2022届高三上学期期末统考数学(理)试题 Word版含答案

2021—2022学年度高三期末自主练习数学试题(理)留意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必需使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清楚．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.若集合{}{}31,,4,1,0,2,5A x x n n N B ==-∈=--，则集合A B ⋂= A. {}2,5 B. {}4,1,2,5-- C. {}1,2,5- D. {}1,0,2,5-2.若0a b >>，则下列不等式正确的是A. sin sin a b >B. 22log log a b <C. 1122a b <D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.已知()0,απ∈，若1tan sin 243παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，则A. 45- B. 45 C. 54- D. 544.已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()()11f a f a =-=，则A.2B. 2-C.1D. 1-5.已知函数()2x f x x e =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为A. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. [),e +∞ D. (),e +∞6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=，若AB AC AM λ+=成立，则实数λ的值为A.2B.3C.4D.57.若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为A.632或 B. 632或 C. 3 D.3 8.已知变量,x y 满足线性约束条件32020,10x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则目标函数12z x y =-的最小值为 A. 54- B.0 C. 2- D. 134 9.已知函数()cos f x x x =，有下列4个结论： ①函数()f x 的图象关于y 轴对称； ②存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x T f x +=成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x M ≥； ④函数()f x 的图象上存在很多个点，使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行. 其中，全部正确结论的序号为 A.①③ B.①④ C.②④ D.③④ 10.设函数的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是 A. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11.函数()()ln 21f x x =--的定义域为 12.定积分1130x dx -⎰的值为面积为32，且一个角为13.一个几何体的三视图如右图所示，若其正视图、侧视图都是60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为 14.已知抛物线28y x =的焦点为F ，P 是抛物线的准线上的一点，Q 是直线PF 与抛物线的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为 15.已知点()0,1A ，直线:l y kx m =+与圆22:1O x y +=交于B,C 两点，ABC ∆和OBC ∆的面积分别为12,S S ，若1260,2BAC S S ∠==且，则实数k 的值为三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()()22cos cos 3f x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.（I ）求()f x 最小正周期和单调递增区间；（II ）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. （本小题满分12分）“城市召唤绿化”，进展园林绿化事业是促进国家经济进展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，方案建一如图所示的三角形ABC 外形的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC ，长度为1003米，另外两边AB,AC 使用某种新型材料围成，已知120,,BAC ab x AC y ∠===（,x y 单位均为米）.（1）求,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的状况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？18. （本小题满分12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//,,2,4,90AB CD AD DC AD AB ADF ⊥==∠=.（1）求证：AC FB ⊥；（2）求二面角E FB C --的大小.19. （本小题满分12分）在数列{}{},n n a b 中，已知1111,2,,n n n a b a b a +==-，且成等差数列，1,,n n n b a b +-也成等差数列. （1）求证：{}n n a b +是等比数列；（2）若()()323log 21n n n n n c a a ⎡⎤=---⎣⎦，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分13分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是32，过点()1,0P 的动直线l 与椭圆相交于A,B 两点，当直线l 平行于y 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为22. （1）求椭圆C 的方程；线l 使得ABD ∆的面积为（2）已知D 为椭圆的左端点，问：是否存在直1023?若不存在说明理由，若存在，求出直线l 的方程. 21. （本小题满分14分）已知函数()x f x e =（e 为自然对数的底数，e=2.71828…），()(),2a g x x b a b R =+∈. （1）若()()(),12a h x f x g x b ==-，求()[]01h x 在，上的最大值()a ϕ的表达式；（2）若4a =时，方程()()[]02f x g x =在，上恰有两个相异实根，求实数b 的取值范围；（3）若15,2b a N *=-∈，求使()f x 的图象恒在()g x 图象上方的最大正整数a .。

山东省烟台市2021届高三上学期期末考试数学试卷

北东C2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{|04}P x x =<<，{|lg(3)}Q x y x ==-，则P Q =A .{|34}x x ≤<B .{|34}x x <<C .{|03}x x <<D .{|03}x x <≤2.已知命题:p x ∀∈R ，0x+x ≥，则p ⌝为 A .0x ∃∈R ，000x +x ≤ B .0x ∃∈R ，000x +x < C .x ∀∈R ，0x+x ≤D .x ∀∈R ，0x+x <3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若952S =，422S =，则7a = A .4B .5C .6D .74.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品. 如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：2cm ） A .1243+B .1643+C .1233+D .1633+5.若3cos28sin 5αα=-，则tan α= A .255-B .55C .53±D .255±6.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O 为圆心，以452m 为半径，B 为公园入口，道路AB 为东西Q方向，道路AC 经过点O 且向正北方向延伸，10m OA =，100m AB =，现计划从B 处起修一条新路与道路AC 相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m ） A.B.C.D.7.如图所示，平面向量,OA OB 的夹角为60，||2||2OB OA ==，点P 关于点A 的对称点为点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则||PR 为 AB.C .4 D .无法确定8.已知函数cos ,0(),0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()0f x f x +-=有n 个不同的实根，从小到大依次为123,,,,n x x x x ，则下列说法错误．．的是 A .1230n x x x x ++++=B .当1n =时，1k π<-C .当3n =且0k <时，331tan x x =-D .当12k π>时，3n = 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届烟台市重点中学数学高三第一学期期末统考试题含解析

2025届烟台市重点中学数学高三第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设ln 2m =，lg 2n =，则（）A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->2．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（）A ．12B ．12-C ．2D ．﹣24．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7S S =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =5．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心6．已知随机变量X 的分布列是X1 2 3 P 12 13 a则()2E X a +=（）A ．53B ．73C ．72D ．2367．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（）①数列{}n a 的任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数.A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为（）A ．8B ．7C ．6D ．510．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．12．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省烟台市2025届数学高三第一学期期末经典模拟试题含解析

山东省烟台市2025届数学高三第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R2．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（）A ．iB ．2iC ．1-D ．13．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．5-12B ．3-12C ．314+ D ．514+ 4．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 9．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-10．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（）A ．74B ．94C ．52D ．211．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±12．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（）A ．72B ．3C ．52D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省烟台市高三上学期期末数学试卷(理科)

山东省烟台市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分）设R为实数集，集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·淄川期末) 在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）函数的单调减区间为（）A . （﹣∞，﹣3]B . （﹣∞，﹣1]C . [1，+∞）D . [﹣3，﹣1]4. （2分）在中，则“A>B”是“”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分） (2019高二下·江西期中) 为创建国家卫生城市，某学校组织学生参加创卫宣传活动，某小组共有7名同学，现从该小组中选出4名同学分别到甲乙两个地区进行宣传活动，每个地区至少有一人参加，则不同的安排方法有（）A . 35种B . 245种C . 490种D . 700种6. （2分）(2017·陆川模拟) 如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 8B .C . 16D . 327. （2分）在矩形ABCD中，AB=， BC=， P为矩形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知集合U=Z，S={1，2，3，4，5}，T={1，3，5，7，9}，则图中阴影部分表示的集合是（）A . {2，4}B . {7，9}C . {1，3，5}D . {1，2，3，4，5}二、填空题： (共6题；共6分)9. （1分）(2017·佛山模拟) 已知双曲线C： =1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使• =0，则双曲线离心率的取值范围是________．10. （1分） (2019高二上·上海月考) 等差数列中，表示其前n项和，若，则________11. （1分）(2017·日照模拟) 如图是判断“实验数”的程序框图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是________．12. （1分） (2018高二下·泰州月考) 在中,角、、的对边分别为、、 ,若, ,则 ________.13. （1分）(2017·丰台模拟) 若x，y满足，则的取值范围是________．14. （1分） (2015高二上·常州期末) 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＞b）．若EF∥AB，EF 到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1 ， S2 ，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S0与S1 ， S2的关系是________三、解答题： (共6题；共60分)15. （10分） (2019高二上·上海月考) 已知（）.（1）求的值域；（2）求方程的解集.16. （15分）(2019·北京模拟) 2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是 .（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A ， B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X ，求X的分布列及期望；（3）试比较A ， B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.17. （5分） (2019高三上·台州期末) 如图，四棱锥中，垂直平面，，，，为的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.18. （10分） (2015高二下·上饶期中) 已知F1 ， F2为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆C的上顶点，且|MF1|=2，右焦点与右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率kOA ， kOB满足kOA•kOB=﹣，求△AOB 的面积．19. （10分） (2016高二下·福建期末) 已知函数f（x）=﹣ x2+（a﹣1）x+lnx．（1）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）= x2+（1﹣2a）x+f（x）有且只有两个零点，求实数a的取值范围．20. （10分） (2019高二上·长沙期中) 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.参考答案一、选择题： (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题： (共6题；共6分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题： (共6题；共60分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：。

山东省烟台市2022届高三上学期期末统考数学(理)试题扫描版含答案

2021-2022学年度高三期末理科数学参考答案及评分标准一、选择 C D B B D B A C D B 二、填空题 11. (1,3)- 12. 32 13. 3 14. 2020x y x y --=+-=或 15. 3 三、解答题 16. 解：(1) 由已知，有 21cos 21cos 211133()cos 2cos 221222222x x f x x x x π⎛⎫++ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭131cos 221cos 214423x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. …………………5分所以()f x 的最小正周期22T ππ==， …………………6分当2223k x k ππππ-≤+≤时，()f x 单调递增，解得：2[,]()36x k k k ππππ∈--∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为2[,]()36k k k ππππ--∈Z . …………………8分 (2)由（1）可知，()f x 在区间[,]36ππ--上是减函数，在区间[,]66ππ-上是增函数，而533(),(),()346264f f f πππ-=-==， …………………11分所以()f x 在区间[,]36ππ-上的最大值为32，最小值为34.………………12分 17. 解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=，所以222cos12030000x y xy +-=, 即2230000x y xy ++=， …………………4分又由于0,0x y >>，所以0x y <<<<………………6分（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +的最小，由（1）知，2230000x y xy ++=，所以2()30000x y xy +-=，由于2()2x yxy +≤，所以22()30000()2x y x y ++-≤，…………………9分则2()40000x y +≤，即200x y +≤，当且仅当100x y ==时，上式不等式成立. ………………11分故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为200米. ……………12分18. 解：（1）,AD DC AD DF ⊥⊥,,AD CDEF AD FC ∴⊥∴⊥平面.四边形CDEF 为正方形，所以DC CF ⊥，而DC AD D =，FC ABCD ∴⊥底面, …………………3分FC AC ∴⊥，又ABCD 为直角梯形， //,,2,2AB CD AD DC AD CD ⊥==，可得，45AC CAB =∠=，而4,AB =由余弦定理可得：BC =则有222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， …………………5分又BC FC C =，AC ∴⊥平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以AC FB ⊥. …………………6分（2）由（1）知，,,AD DC DE 所在直线两两垂直，故以D 为原点，以,,DA DC DE 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得(0,0,0),(0,2,2)D F ,(2,4,0),(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0B E C A ），得(0,2,0)EF =，(2,2,2)FB =-设平面EFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有0000EF y x y z FB ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩=⎪⎩n n ，令1z =，可得(1,0,1)=n ,……9分由（1）知平面FCB 的一个法向量为(2,2,0)AC =-，所以11cos ,2||||AC AC AC ⨯<>===-n n n ，由于2,[0,],,3AC AC ππ<>∈∴<>=n n ，………………………………11分由图可得二面角E FB C --的大小为3π. ………………………………12分 19. 解：（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +=-+，① 由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +=-+， ② ①+②得，113()n n n n a b a b +++=+，所以{}n n a b +是以3为首项、3为公比的等比数列． …………………4分（2）由（1）知，1333n n n n a b -+=⨯=， ③ ①-②得，11()n n n n a b a b ++-=--，所以{}n n a b -是以1-为首项、1-为公比的等比数列即1(1)(1)(1)n n n n a b --=--=- ④ ③+④得，(1)32n n n a -+=， …………………8分 33(23)log [2(1)](1)log [(1)3(1)](1)n n n n n n n n n n c a a n =---=--+--=-，所以231(1)2(1)3(1)(1)n n T n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-， 2341(1)1(1)2(1)3(1)(1)(1)(1)n n n T n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯-+-，两式相减可得：231(21)(1)12(1)(1)(1)(1)(1)2n n n n n T n ++--=-+-+-++---=，所以(21)(1)14n n n T +--=………………………12分 20. 解：（1）由已知，点在椭圆C 上. 因此，22222121,,a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得33,2a b ==. …………………4分所以椭圆的方程为224199x y +=. …………………5分（2）当直线l 与x 轴平行时，ABD ∆不存在， …………………6分所以可设直线l 的方程为1x my=+，并设两点1122(,),(,)A x y B x y ，联立2241,991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)280m y my ++-=，其判别式222432(4)361280m m m ∆=++=+>， …………………8分所以，12122228,44my y y y m m +=-=-++，因此121||||2ABD S DP y y ∆=-===10分假设存在直线l=解得22m =，负解删除，所以m = …………………12分故存在直线l方程为1x =+，使得3ABD S ∆=. ……………13分21.解：（1）12ab =-时， ()e (1)()22x aah x x a =+-∈R ，∴()e (1)2x ah x x '=+，①当0a =时，()e 0,x h x '=>()h x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)e a h ϕ==； ②当0a >时，2()e (),2x a h x x a '=⋅+()h x 在2(,)a -+∞上为增函数，故()h x 在[0,1]上为增函数，此时()(1)e a h ϕ==； …………………2分 ③当0a <时，2()e ()2x a h x x a '=⋅+，()h x 在2(,)a -∞-上为增函数，在2(,)a -+∞上为减函数，若201,a <-<即2a <-时，故()h x 在2[0,]a -上为增函数，在2[,1]a -上为减函数，此时222()()e (1)e 2a aa a hb a ϕ--=-=-+=-⋅， …………………5分若21,a -≥即20a -≤<时，()h x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)e a h ϕ==； ∴综上所述：2e ,2,()2e, 2.a a a a a ϕ-⎧-<-⎪=⎨⎪≥-⎩； …………………6分（2）()()()e 2,x F x f x g x x b =-=--()e 2,x F x '=-∴()F x 在(0,ln 2)上单调递减；在(ln 2,)+∞上单调递增；…………………7分 ∴()e 2x F x x b =--在[0,2]上恰有两个相异实根， 2(0)10(ln 2)22ln 2022ln 21(2)e 40F b F b b F b ⎧=-≥⎪⇔=--<⇔-<≤⎨⎪=--≥⎩， ∴实数m 的取值范围是(22ln 2,1]m ∈-； …………………10分（3）由题设：15,()()()e 022x a x p x f x g x x ∀∈=-=-+>R ，（*） ∵()e 2x a p x '=-,故()p x 在(,ln )2a -∞—上单调递减；在(ln ,)2a +∞上单调递增， ∴（*）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222a a a a a p x p a a ⇔==-+=-+>，设()ln 15(ln ln 2)152x q x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x x q x '=--=-， ∴()q x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减， ……………12分而22222(2e )2e 2e ln e 15152e 0q =-+=->，且215515(15)1515ln 1515(2ln )15(ln e ln )0222q =-+=-=-<，故存在20(2e ,15)x ∈使0()0q x =，且0[2,)x x ∈时()0,h x >0(,)x x ∈+∞时()0,h x < 又∵1(1)16ln 0,2q =->2157e 2<<， ∴*a ∈N 时使()f x 的图象恒在()g x 图象的上方的最大正整数14a =．…………14分。

山东省烟台市高三数学上学期期末考试试题理-人教版高三全册数学试题

2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测数学(理科)注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设集合U=R ，集合{}{}22A=log 1,230x x B x x x <=--≤，则()U C A B ⋂=A ．[]2,3B ．[]1,2-C ．[]1,0-D ．[][]1,02,3-⋃ 2．设0.0192,lg 2,sin5a b c π===，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a >b >c B ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b3．己知函数()2y f x x =-是偶函数，且()12f =，则()1f -= A ．2 B ．－2 C ．0 D ．14．已知l 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//l ααβ，则//l βB ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥C ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥D ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥5．已知()12tan ,tan 25ααβ=-=-，那么()tan 2βα-的值为 A ．34- B ．112- C ．98- D ．986．若变量,x y 满足430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，实数2z 是2x 和y 的等差中项，则z 的最大值为A．3 B．6 C．12 D．157．在ABCD 中，已知AB=2，AD=l ，∠BAD=60°，若E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则BF DE =A ．2B ．－2C ．54D ．54-8．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若()0f x ''=方程有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()f x 的“拐点”．已知函数()2sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ，则直线OM 的斜率为A ．2B ．12C ．1D ．4π 9．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M ，若O 为坐标原点，△OFM 的面积是212a ，则该双曲线的离心率是 A ．2B ．2C ．52D ．5 10.对任意实数a ，b ，定义运算⊕“”：,1,,1b a b a b a a b -≥⎧⊕=⎨-<⎩设()()()214f x x x =-⊕+，若函数()y f x k =-有三个不同零点，则实数k 的取值范围是 A ．(]1,2- B. []0,1 C ．[)1,3-D ．[)1,1-二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分． 11．计算：0212log sin15log sin 75-=12．若抛物线y 2=8x 的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为13．若函数()()lg 23f x x x a =-+--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为15．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且()21n n a S n N *-=∈．若不等式18n n a nλ++≤对任意n N *∈恒成立，则实数λ的最大值为三、解答题：本大题共6个小题，共75分． 16．(本小题满分12分) 已知函数()()()cos 23cos ,02f x x x x R ππωωω⎛⎫=-++∈> ⎪⎝⎭满足()()2,2f m f n =-=，且m n -的最小值为2π． (1)求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到函数g (x )的图象，已知a 为△ABC 中角A 的对边，若g (A)=1，a =4，求△ABC 面积的最大值．17．(本小题满分12分)如图，四棱锥V-ABCD 的底面是直角梯形，VA ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，VA=AD=CD=12BC=a ,点E 是棱VA 上不同于A ，V 的点．(1)求证：无论点E 在VA 如何移动都有AB ⊥CE ；(2)设二面角A —BE —D 的大小为α，直线VC 与平面ABCD 所成的角为β，试确定点E 的位置使2tan tan 2αβ=．18．(本小题满分12分)在数列{}{},n n a b 中，()11111,2,1,1n n n n a b a b b a n N *++===+=+∈． (1)求数列{}{},n n n n b a a b -+的通项公式；(2)设n S 为数列的前n 项的和，求数列()1411n n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+-⎪⎪⎩⎭的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式()22,191220,1015480x xP x N x x *⎧≤≤⎪⎪-=∈⎨+⎪≤≤⎪⎩，(日产品废品率=100%⨯日废品量日产量) 已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元． (1)将该厂日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?20．(本小题满分13分)已知椭圆()2222C 10x y a b a b+=>>：的焦距为，F 1，F 2为其左右焦点，M 为椭圆上一点，且∠F 1MF 2=60°，12F MF S =(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．21．(本小题满分14分) 已知函数f (x )=ln x ． (1)判断函数()()1g x af x x=-的单调性； (2)若对任意的x >0，不等式()x f x ax e ≤≤恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+.高三数学理科参考答案及评分标准一、选择题D A B D B C D A B A 二、填空题11.2- 12.22(2)25x y -+= 13.1a <-或5a > 14. 44315. 25 三、解答题16.解：（1）()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+ (2)分由题意可知，22T π=，所以T π=，故2,2ππωω==， …………………………4分即()2cos(2)3f x x π=+，而()f x 在2[2,2],3x k k k ππππ+∈-∈Z 上单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为2[,],36k k k ππππ--∈Z . ……………6分（2）由题意可得，()2cos[2()]2cos(2)333g x x x πππ=-+=-，…………………7分由()1g A =可得，2cos(2)13A π-=，而(0,)A π∈,可得，3A π=， …………………………………………………9分由余弦定理得：22162cos b c bc A bc +-==，即22162bc b c bc +=+≥，得16bc ≤，当且仅当b c =时“=”成立，………11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==≤ …………………………………12分故三角形面积的最大值为317.解：(1)证明：连接AC ,在直角梯形ABCD 中，2,2,2AC a AB a BC a ===，所以222BC AC AB =+,所以AB AC ⊥， ……………1分又因为VA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB AV ⊥, ……………2分而AVAC A =,所以AB ⊥平面VAC ， ………………………………………3分CE ⊂平面VAC ，所以AB CE ⊥. ………………………………4分（2）取BC 中点F ，以点A 为坐标原点，,AF AD AV ，所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设(01)AE AV λλ=<<,可得(,,0),(0,,0),(0,0,)B a a D a E a λ-，故(,,0),(0,0,)AB a a AE a λ=-=， …………5分设(,,)x y z =m 为平面ABE 的一个法向量，则=0,=0AB AE m m ，可得0x y z -=⎧⎨=⎩，令1x =可得，(1,1,0)=m ， …………………………………………………………6分又(0,),(,2,0)DE a a DB a a λ=-=-，，设(,,)x y z =n 为平面DBE 的一个法向量，则020y z x y λ-+=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(2,,1)λλ=n ，…………………………………7分故23cos ,=||||251λ<>=+m n m n m n ，即2cos 251αλ=+8分因为AC 为VC 在平面ABCD 内的射影，所以CAV β∠=，在R t VAC ∆中，tan 2AV AC β===, ………………………………………………………9分所以tan tan αβ=tan 1α=，cos α=，…………………………10分2，解得1=2λ或12-， …………………11分又01λ<<，所以12λ=，点E 为VA 的中点.……………………………………12分 18.解：（1）因为11n n a b +=+，11n n b a +=+，所以11()n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为1，公比为1-的等比数列，所以111(1)(1)n n n n b a ---=⋅-=-. (3)分11()2n n n n a b a b +++=++，且113a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为3，公差为2的等差数列，故32(1)21n n a b n n +=+-=+. ………………………………………6分（2）由121(1)n n n n n a b n b a -+=+⎧⎨-=-⎩，得11[1(1)]2n n b n -=++-，…………………………7分 221[1(1)]24n n n n S +=+--， ………………………………………9分所以211111()41(1)2(2)42n n S n n n n ==--+-++ ……………………10分故1111111111(1)432435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++232384812n n n +=-++ ………………………12分19.解：（1）由题意可知，当19x ≤≤时，21822(1)12x x y x p px x-=--=-， (2)分当1015x ≤≤时，2152(1)8160x x y x p px =--=-， ……………………4分所以该厂日利润23182,191215,10158160x x x xy x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-≤≤⎪⎩. …………………………5分（2）当19x ≤≤时，令222482160(12)x x y x -+'==-，解得6x =（18x =删）， ……6分当16x ≤<时，0y '>，函数单调递增，当69x <≤时，0y '<，函数单调递减，而6x =时，max 6y =， …………………………………………………………………8分当1015x ≤≤时，令215308160x y '=-=，解得10x =， (9)分当1015x ≤≤时，0y '<，函数单调递减，所以当10x =时，max 252y =， …………………………11分由于2562>，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为252千元. ……12分 20.解：（1）由题意可知，c =12||,||MF x MF y ==，在12F MF ∆中，22282cos 6012sin 6023x y a x y xy xy ⎧⎪+=⎪⎪+-=⎨⎪⎪=⎪⎩，…………………………………2分解得24a =，………………………………………………………………………4分所以2222b a c =-=所以椭圆方程为22142x y +=.………………………………………………………5分（2）联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得222(21)4240k x kmx m +++-=， …………6分22222=4)4(21)(24)8(42)0km k m k m ∆-+-=+->（，所以2242m k <+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222424,2121km m x x x x k k --+==++，…………………8分212122242()2+22121k m my y k x x m m k k -+=++==++，而1212(,)OP OA OB x x y y =+=++，所以2242(,)2121km mP k k -++ (9)分因为点P 在椭圆上，所以22221412(+)=1421221km m k k -++）（，整理可得：2212m k =+，满足0∆>， (10)分又12|||AB x x =-==…11分设O 到直线AB 的距离为d，则2d ===， (12)分所以||2OAPBS AB d =⋅==. ……………13分21. 解：（1）∵()ln f x x =，∴1()ln g x a x x=-，故2211()a ax g x x x x+'=+= …………………………………………………………2分因为0x >，所以当0a ≥时，()0g x '>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，当1(0,),()0x g x a'∈->，函数()g x 单调递增，当1(,+),()0x g x a'∈-∞<，函数()g x 单调递减； ……………………………4分（2）∵对任意0x >，不等式对任意的0x >，不等式()e xf x ax ≤≤恒成立，∴ln e x x a x x ≤≤在0x >上恒成立，进一步转化为max min ln e ()()x x a x x≤≤， (5)分设2ln 1ln (),()x xh x h x x x-'==，当(0,e)x ∈时，()0h x '>；当(e,+)x ∈∞时，()0h x '<，∴当e x =时，max 1()eh x =． (7)分设22e e e e (1(),()x x x x x x t x t x x x x--'===)，当(0,1)x ∈时，()0t x '<，当(1,+)x ∈∞时，()0t x '>，所以1x =时，min ()e t x =，…………………………9分即1e e a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1[,e]e………………………………………10分（3）当120x x >>时，122221212()()2f x f x x x x x x ->-+等价于112212222ln ()1x xx x x x ⋅->+． (11)分令t =12x x 1>，设222()ln 1t u t t t -=-+，则22221)(+21)()(1)t t t u t t t --'=+（， ∵当1t ∈+∞（，）时，2210,+210t t t ->->，∴()0u t '> ………………………13分 ∴()u t 在1+∞（，）上单调递增，∴()(1)=0u t u >， ∴122221212()()2f x f x x x x x x ->-+． (14)分。

2023-2024学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则∁U （M ∪N ）＝（） A ．{x |x ≥3}B ．{x |x ＞3}C ．{x |x ≤﹣1或x ≥0}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞0}2．“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ＞b ＞0，c ＞0且c ≠1，则（） A ．a b ＜a+cb+cB ．c a ＞cbC ．c a ＞c bD ．a c ＞b c4．已知|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则向量a →与b →夹角的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）A ．25B ．35C ．38D ．310 6．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f(x)={lnx +1，0＜x ≤12−x ，x ＞1，则方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且满足3AF →=FB →，则双曲线的离心率为（） A ．√3B ．√62C ．2D ．√68．已知函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x﹣2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为（）A．﹣e B．﹣1C．−1e D．−1e2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则数据x1，x2，⋯，x n，x（）A．与原数据的极差相同B．与原数据的中位数相同C．与原数据的方差相同D．与原数据的平均数相同10．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=5π6对称C．f（x）在(−π4，0)上单调递增D．当x∈[0，π4]时，f（x）的最小值为1211．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，P为棱CC1上一点，则（）A．不存在点P，使得直线BP∥平面AB1D1B．当点P与C1重合时，直线CC1⊥平面BPDC．当P为CC1中点时，直线BP与AD所成角的余弦值为7√13 26D．当P为CC1中点时，三棱锥A﹣A1B1D1与三棱锥P﹣BCD的体积之比为1：212．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美．”图形美是数学美的重要方面．如图，由抛物线y2＝2px（p＞0）分别逆时针旋转90°、180°、270°可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A．开口向下的抛物线的方程为x2＝﹣2pyB．若|AB|＝8，则p＝2C．设p＝1，则t＝1时，直线x＝t截第一象限花瓣的弦长最大D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x﹣3）（2x+1）5的展开式中x3的系数为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25且a8＝15，则a1的值为．15．若存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），则实数a的取值范围为．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，则该三棱柱外接球的表面积为；若点P为线段AC的中点，点Q为线段AC1上一动点，则平面BPQ截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2a−b)sinAcosB=atanC．（1）求C；（2）若a=3，c=√7，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+m，且S1，S3﹣2，S7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2a n+1，求证：数列{b n}的前n项和T n＜59．19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，平面VBD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥VD；（2）若VB＝2，且四棱锥V﹣ABCD的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值．20．（12分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行．每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”．假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响．若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12．（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n （n ≥4）为多少时，对该小组更有利？ 21．（12分）已知函数f(x)=ln(x +1)−ax 2+xx+1(a ＜1)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2(n ∈N ∗)．22．（12分）已知P 为曲线C ：x 24+y 2n=1(n ＞1)上任意一点，直线PM ，PN 与圆x 2+y 2＝1相切，且分别与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点．（1）若OP →⋅OM →为定值，求n 的值，并说明理由；（2）若n =43，求△PMN 面积的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则∁U （M ∪N ）＝（） A ．{x |x ≥3}B ．{x |x ＞3}C ．{x |x ≤﹣1或x ≥0}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞0}解：已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则M ∪N ＝{x |x ＜3}，则∁U （M ∪N ）＝{x |x ≥3}．故选：A ．2．“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”则sinθ1=12cosθ≠−11，解得sinθcosθ=12，即sin2θ＝1且cos θ≠−12，即θ=π4+kπ，k ∈Z ，故“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的必要不充分条件．故选：B ．3．已知a ＞b ＞0，c ＞0且c ≠1，则（） A ．a b ＜a+c b+cB ．c a ＞cbC ．c a ＞c bD ．a c ＞b c解：对于A ，不妨设a ＝4，b ＝3，c ＝2，则a b ＞a+cb+c ，故A 错误；对于B ，a ＞b ＞0，c ＞0，则1a ＜1b ，故c a ＜cb ，故B 错误；对于C ，设c =12，a ＝4，b ＝2，则c a ＜c b ，故C 错误；对于D ，y ＝x c （c ＞0且c ≠1），当a ＞b ＞0时，a c ＞b c ，故D 正确．故选：D ．4．已知|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则向量a →与b →夹角的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则a →2−2a →⋅b →−3b →2=−3，设向量a →与b →夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，则1﹣2×1×1×cos θ﹣3＝﹣3，解得cos θ=12，故θ=π3．故选：B ．5．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）A ．25B ．35C ．38D ．310 解：根据题意，由4根算筹表示的两位数有13、17、22、26、31、40，62、66、71、80，共10个，其中为质数的有13、17、31和71，则取到的数字为质数的概率为410=25．故选：A ．6．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f(x)={lnx +1，0＜x ≤12−x ，x ＞1，则方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4 解：∵f （x ）为定义在R 上的奇函数，∴函数f （x ）的图象关于原点对称，画出函数f （x ）的图象，如图所示：方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数，等价于函数y ＝f （x ）与y ＝1的图象的交点个数，由图象可知，y ＝1与函数y ＝f （x ）的图象有3个交点，即方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为3个．故选：C ． 7．已知F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且满足3AF →=FB →，则双曲线的离心率为（） A ．√3B ．√62C ．2D ．√6解：由题意知F （c ，0），设渐近线方程为y =ba x ，则F 到渐近线的距离d =bc√a 2+b =b ，所以|AF →|＝b ，则|BF →|＝3b ，在△AFO 中，|OA →|＝a ，|OF →|＝c ，tan ∠FOA =ba，∵∠AOB ＝2∠FOA∴tan ∠AOB =4b a =2×b a 1−(b a)2，解得a 2＝2b 2，∴e =√1+b 2a 2=√62，故选：B ．8．已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2，g （x ）＝lnx +x ﹣2，若∃x 1∈R ，x 2＞0，使得f （x 1）＝g （x 2），则x 1x 2的最小值为（） A ．﹣eB ．﹣1C ．−1eD ．−1e 2解：∵∃x 1∈R ，x 2＞0，使得f （x 1）＝g （x 2），∴e x 1+x 1﹣2＝lnx 2+x 2﹣2，即e x 1+x 1＝lnx 2+x 2=e lnx 2+lnx 2，令h （x ）＝e x +x ，x ∈R ，则h ′（x ）＝e x +1＞0， ∴函数h （x ）在R 上单调递增， ∴x 1＝lnx 2，即x 2=e x 1， ∴x 1x 2＝x 1•e x 1，令u （x ）＝xe x ，x ∈R ，则u ′（x ）＝（x +1）e x ，可得x＝﹣1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（﹣1）=−1 e ．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则数据x1，x2，⋯，x n，x（）A．与原数据的极差相同B．与原数据的中位数相同C．与原数据的方差相同D．与原数据的平均数相同解：根据题意，样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则x=1n（x1+x2+⋯+x n），其方差S2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+（x3−x）2+……+（x n−x）2]，对于数据x1，x2，⋯，x n，x，其平均数x′=1n+1（x1+x2+⋯+x n+x）=1n+1（n x+x）=x，其方差S′2=1n+1[（x1−x）2+（x2−x）2+（x3−x）2+……+（x n−x）2+（x−x）2]，两组数据的平均数相同，方差不同；由极差的定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，对于中位数，两组数据的中位数不一定相同．故选：AD．10．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=5π6对称C．f（x）在(−π4，0)上单调递增D．当x∈[0，π4]时，f（x）的最小值为12解：根据将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，可得把y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数f（x）＝sin（2x+π3）的图象．可得f（x）的最小正周期为2π2=π，故A正确．令x=5π6，求得f（x）＝0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=5π6对称，故B错误．在(−π4，0)上，2x+π3∈（−π6，π3），f（x）单调递增，故C正确．当x∈[0，π4]时，2x+π3∈[π3，5π6]，故当2x+π3=5π6时，f（x）取得最小值为12，故D正确．故选：ACD．11．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，P为棱CC1上一点，则（）A ．不存在点P ，使得直线BP ∥平面AB 1D 1B ．当点P 与C 1重合时，直线CC 1⊥平面BPDC ．当P 为CC 1中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为7√1326D ．当P 为CC 1中点时，三棱锥A ﹣A 1B 1D 1与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：2 解：连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立如图所示坐标系，设点A 1在底面投影为E ，则AE =OA −OE =√2，A 1E =√AA 12−AE 2=√2，即正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的高为√2，则A(2√2，0，0)，B(0，2√2，0)，C(−2√2，0，0)，B 1(0，√2，√2)，C 1(−√2，0，√2)，D 1(0，−√2，√2)，所以AB 1→=(−2√2，√2，√2)，AD 1→=(−2√2，−√2，√2)，CC 1→=(√2，0，√2)，BC →=(−2√2，−2√2，0)，因为P 为棱CC 1上一点，所以CP →=λCC 1→=(√2λ，0，√2λ)(0≤λ≤1)，所以BP →=BC →+CP →=(−2√2+√2λ，−2√2，√2λ)，设平面AB 1D 1 的法向量n →=(x 1，y 1，z 1)，则{AB 1→⋅n →=−2√2x 1+√2y 1+√2z 1=0AD 1→⋅n →=−2√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，令x 1＝1可得平面AB 1D 1 的一个法向量为n →=(1，0，2)，令n →⋅BP →=−2√2+√2λ+2√2λ=0，解得λ=23，故存在点P ，使得直线BP ∥平面AB 1D 1，A 说法错误；当点P 与C 1重合时即P(−√2，0，√2)，D(0，−2√2，0)， BP →=(−√2，−2√2，√2)，BD →=(0，−4√2，0)，设平面BPD 的法向量m →=(x 2，y 2，z 2)，则{BP →⋅m →=−√2x 2−2√2y 2+2√2z 2=0BD →⋅m →=−4√2y 2=0，令x 2＝1可得平面BPD 的一个法向量为m →=(1，0，1)，因为CC 1→=√2m →，所以当点P 与C 1重合时，直线CC 1⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为CC 1中点时，即BP →=(−3√22，−2√2，√22)，AD →=(−2√2，−2√2，0)，所以cos〈BP →，AD →〉=BP →⋅AD →|BP →||AD →|=6+813×4=7√1326，所以直线BP 与AD 所成角的余弦值为|cos〈BP →，AD →〉|=7√1326，C 说法正确；设正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的高为h ，当P 为CC 1中点时，三棱锥A ﹣A 1B 1D 1的体积V 1=13S △A 1B 2D 1ℎ=13×12×2×2×√2=2√23，三棱锥P ﹣BCD 的体积V 2=13S △BCD ℎ2=13×12×4×4×√22=4√23，所以三棱锥A ﹣A 1B 1D 1与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：2，D 说法正确．故选：BCD ．12．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美．”图形美是数学美的重要方面．如图，由抛物线y 2＝2px （p ＞0）分别逆时针旋转90°、180°、270°可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A ．开口向下的抛物线的方程为x 2＝﹣2pyB ．若|AB |＝8，则p ＝2C．设p＝1，则t＝1时，直线x＝t截第一象限花瓣的弦长最大D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值解：对于A，4条抛物线形状一样，开口向右的抛物线方程y2＝2px，所以开口向下的抛物线的方程为x2＝﹣2py，故A正确；对于B，A，B关于x轴对称，|AB|＝8，所以y A＝4，点A在抛物线y2＝2px上，所以x A=8p，即A（8p，4），又点A在抛物线x2＝2py上，所以64p2=8p，解得p＝2，故B正确；对于C，p＝1，抛物线y2＝2x与x2＝2y的交点A（2，2），所以直线x＝t，（0＜t＜2），截第一象限花瓣的弦长可表示为y=√2t−t22，y′=√22×t−12−t，令y′＝0，解得t=√123，当0＜x＜√1 23，y′＞0，当√1 23＜x＜2，y′＜0，所以函数y=√2t−t22在（0，√123）上单调递增，在（√123，2）单调递减，所以当x=√1 23时，y取最大值，故C错误；对于D，B为抛物线y2＝2px与x2＝﹣2py的交点，由{y2=2pxx2=−2py，得{x=2py=−2p，即B（2p，﹣2p），过B与第二象限两抛物线y2＝﹣2px，x2＝2py相切，对于x2＝2py，设切点（m，n），y′=xp，k=mp，所以切线方程为y﹣n=mp（x﹣m），所以y−m22p=mp（x﹣m），即y=mpx−m22p，因为切线过点B，所以﹣2p＝2m−m22p，即m2﹣4mp﹣4p2＝0，（m＜0），解得m=4p−√16p2+16p22=2p﹣2√2p，所以切线的斜率为2﹣2√2，所以切线与直线y＝x的夹角不变，因为花瓣关于直线y＝x对称，所以无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x﹣3）（2x+1）5的展开式中x3的系数为﹣200．解：根据（2x+1）5的二项展开式T r+1=C5r⋅25−r⋅x5−r，（r＝0，1，2，3，4，5）；与x配对时，x3的系数为C53⋅22=40，与﹣3配对时，x3的系数为−3C52⋅23=−240，故展开式中x3的系数为40﹣240＝﹣200．故答案为：﹣200．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25且a8＝15，则a1的值为1．解：设等差数列{a n}的公差为d，S5＝25，则5a3＝25，解得a3＝5，a8＝15，则5d＝a8﹣a3＝15﹣5＝10，解得d＝2，故a1＝a3﹣2d＝1．故答案为：1．15．若存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），则实数a的取值范围为（﹣∞，−e2）．解：由e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），可得e x+ax2＝e y+ay2，令h（m）＝e m+am2，要存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），即h（m）＝e m+am2不是正实数集上的单调函数，则h′（m）＝e m+2am（m＞0），当a≥0时，h′（m）＝e m+2am＞0，此时h（m）＝e m+am2在（0，+∞）单调递增，不满足；当a＜0时，令g（m）＝e m+2am，则g′（m）＝e m+2a，令g′（m）＝e m+2a＝0，则m＝ln（﹣2a），当m∈（0，ln（﹣2a））时，g′（m）＜0，g（m）＝e m+2am在（0，ln（﹣2a））单调递减，当（ln（﹣2a），+∞）时，g′（m）＞0，g（m）＝e m+2am在（ln（﹣2a），+∞）单调递增，要使h（m）＝e m+am2不是正实数集上的单调函数，则h′（ln（﹣2a））＜0，即e ln（﹣2a）+2aln（﹣2a）＜0，解得a＜−e2．故答案为：（﹣∞，−e2）．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，则该三棱柱外接球的表面积为54π；若点P为线段AC的中点，点Q为线段AC1上一动点，则平面BPQ截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积的最大值为3√6．解：由题意，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，该直三棱柱ABC﹣A1B1C1可补充一个长方体，其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5，5，2，可得对角线长为√52+52+22=√54，所以外接球的半径为R=√542，则该三棱柱外接球的表面积为4π×(√542)2=54π，如图所示，连接PQ，并延长PQ交A1C1于点E，取A1C1的中点M，连接B1M，PM，则B1M＝BP且B1M∥BP，在过点E作EF∥B1M，可得EF∥BP，连接BF，则四边形BPEF即为过点B，P，Q的截面，在△ABC中，因为AB＝BC，且P为AC的中点，所以BP⊥AC，又因为AA1⊥平面ABC，BP⊂平面ABC，所以BP⊥AA1，因为AC∩AA1＝A，且AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BP⊥平面ACC1A1，又因为PE⊂平面ACC1A1，所以BP⊥PE，所以四边形BPFF为直角梯形，在△ABC中，由AB＝BC＝5，且AB⊥BC，可得AC=5√2，所以BP=12AC=5√22，设ME＝x，在直角△PME中，可得PE=√PM2+ME2=√4+x2，又由C1E=C1M−ME=5√22−x，可得EF=C1E=5√22−x，所以直角梯形BPEF的面积为S(x)=12(BP+EF)×PE=12(5√22+5√22−x)×√4+x2=12(5√2−x)×√4+x2=12√(5√2−x)2⋅(4+x2)，其中0≤x≤5√22，设f(x)=(5√2−x)2⋅(4+x2)，0≤x≤5√2 2，可得f′(x)=[(5√2−x2)]′⋅(4+x2)+(5√2−x)2(4+x2)′=2(x−5√2)(x−√22)(x−2√2)，当x∈[0，√22)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(√22，2√2)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈(2√2，5√22]时，f（x）＜0，f（x）单调递减，又由f（0）＝200，f(2√2)=216，可得f(0)＜f(2√2)，所以当x=2√2时，函数f（x）取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S(2√2)=3√6．故答案为：54π，3√6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2a−b)sinAcosB=atanC．（1）求C；（2）若a=3，c=√7，求△ABC的面积．解：（1）由已知，有(2a−b)sinAcosB=atanC，由正弦定理，可得（2sin A﹣sin B）sin A＝sin A cos B tan C，又sin A≠0，则有2sin A cos C﹣sin B cos C＝cos B sin C，即2sin A cos C＝sin（B+C）＝sin A，即cos C=1 2，又C∈（0，π），所以C=π3；（2）由余弦定理，有c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即7＝9+b2﹣3b，解得b＝1或b＝2，当b＝1时，S△ABC=12absinC=12×3×1×√32=3√34；当b＝2时，S△ABC=12absinC=12×3×2×√32=3√32；故△ABC的面积为3√34或3√32．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+m，且S1，S3﹣2，S7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2a n+1，求证：数列{b n}的前n项和T n＜59．（1）解：根据题意，可得（S3﹣2）2＝S1S7，即（7+m）2＝（1+m）（49+m），解得m＝0，所以S n＝n2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1；当n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，也适合n≥2的式子，故a n＝2n﹣1；（2）证明：由（1）的结论，可得b n=2n−122n=2n−14n，所以T n=14+342+543+⋯+2n−14n，两边都乘以14，得14T n=142+343+544+⋯+2n−14n+1，以上两式相减，可得34T n=14+2(142+143+⋯+14n)−2n−14n+1=14+18−12×14n1−14−14×2n−14n=512−(23+2n−14)×14n，所以T n=59−6n+59×4n，结合6n+59×4n＞0，可知不等式T n＜59成立．19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，平面VBD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥VD；（2）若VB＝2，且四棱锥V﹣ABCD的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴AC⊥BD，又AC⊂底面ABCD，且平面VBD⊥底面ABCD，平面VBD∩底面ABCD＝BD，∴AC⊥平面VBD，又VD⊂平面VBD，∴AC⊥VD；（2）设V在底面菱形ABCD内的射影为O，又根据题意可知四棱锥V﹣ABCD的体积为13×2×2×√32×VO=2，∴VO=√3，又VB＝2，∴OB=√VB2−VO2=√4−3=1，又平面VBD⊥底面ABCD，∴V在底面菱形ABCD内的射影点O落在BD上，又BD＝2，∴O为BD的中点，故以OA，OB，OV所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，则V （0，0，√3），C （−√3，0，0），A （√3，0，0），B （0，1，0）， ∴CV →=(√3，0，√3)，VA →=(√3，0，−√3)，AB →=(−√3，1，0)，设平面VAB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅VA →=√3x −√3z =0n →⋅AB →=−√3x +y =0，取n →=(1，√3，1)，∴直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为： |cos ＜CV →，n →＞|=|CV →⋅n →||CV →||n →|=2√3√6×√5=√105．20．（12分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行．每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”．假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响．若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12．（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n （n ≥4）为多少时，对该小组更有利？解：（1）设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ，则P(A)=C 32⋅23⋅23⋅(1−23)+C 33⋅23⋅23 23=3•23 23⋅13+1⋅23•23⋅23=2027．（2）设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则P(B)=C 32⋅12⋅12⋅(1−12)+C 33⋅12⋅12⋅12=3⋅12⋅12⋅12+1⋅12⋅12⋅12=12，甲、乙同学都获得好投手的概率为：P =2027×12=1027，比赛设置n 局，甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，则X ～B(n ，1027)，且P(X =3)=C n 3(1027)3(1−1027)n−3，设f(n)=C n 3(1027)3(1−1027)n−3，则{C n 3(1027)3(1−1027)n−3≥C n+13(1027)3(1−1027)n−2C n 3(1027)3(1−1027)n−3≥C n+13(1027)3(1−1027)n−4，即{n −2≥1727(n +1)1727n ≥n −3，即{n ≥7.1n ≤8.1，又n ∈N *，则n ＝8，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利．21．（12分）已知函数f(x)=ln(x +1)−ax 2+xx+1(a ＜1)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2(n ∈N ∗)．（1）解：f ′(x)=1x+1−(2ax+1)(x+1)−(ax 2+x)(x+1)2=−ax 2+(1−2a)x(x+1)2，当a ＝0时，f ′(x)=x(x+1)2，当x ∈（﹣1，0），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（0，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，故f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；当a ≠0时，令g(x)=−ax 2+(1−2a)x =−ax(x −1−2aa)，注意到，当0＜a ＜1时，1−2a a −(−1)=1−aa＞0，当0＜a ＜12时，1−2a a＞0，f(x)在（﹣1，0）上单调递减，在(0，1−2a a )上单调递增，在(1−2aa ，+∞)上单调递减；当12＜a ＜1时，−1＜1−2a a ＜0，f(x)在(−1，1−2a a )上单调递减，在(1−2aa ，0)上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，当a =12时，g(x)=−12x 2≤0，所以f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减；当a ＜0时，1−2a a −(−1)=1−aa＜0，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．综上，当a ≤0时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增；当0＜a ＜12时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，(0，1−2a a )上单调递增，(1−2aa )，+∞)上单调递减；当a =12时，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减；当12＜a ＜1时，f （x ）在(−1，1−2a a )上单调递减，(1−2aa)，0)上单调递增，（0，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）可知当a ＝0时，f （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以f （x ）≥f （0）＝0，即ln(x +1)≥xx+1（当且仅当x ＝0时等式成立），令x =1n ，可以得到ln(n+1n )＞1n+1，所以1n+1＜ln(n+1n)=ln(n +1)−lnn ，1n+2＜ln(n +2)−ln(n +1)，…… 1n+n＜ln(n +n)−ln(2n −1)，累加可得1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2n −lnn =ln2．22．（12分）已知P 为曲线C ：x 24+y 2n=1(n ＞1)上任意一点，直线PM ，PN 与圆x 2+y 2＝1相切，且分别与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点．（1）若OP →⋅OM →为定值，求n 的值，并说明理由；（2）若n =43，求△PMN 面积的取值范围．解：（1）由题意，设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），当直线PM 斜率不为0时，直线PM ：x ＝my +t ，因为直线与圆x 2+y 2＝1相切，所以√1+m 2=1，即t 2＝1+m 2，联立{x 24+y 2n =1x =my +t 得，（m 2n +4）y 2+2mnty +nt 2﹣4n ＝0，所以y 1+y 2=−2mnt m 2n+4，y 1y 2=nt 2−4nm 2n+4，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ）＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=4t 2−4m 2nm 2n+4，所以OP →⋅OM →=x 1x 2+y 1y 2=−4m 2n+(4+n)t 2−4nm 2n+4，因为t 2＝1+m 2，所以x 1x 2+y 1y 2=(4−3n)m 2+4−3nm 2n+4，所以只需4−3n n=4−3n4，所以n ＝4或n =43；当直线PM 斜率为0时，x 1x 2+y 1y 2=−3+4n ，也符合上式．综上，n ＝4或n =43．（2）当n =43时，由（1）知，OP →⋅OM →=0，即OP ⊥OM ，同理OP ⊥ON ，即M ，O ，N 三点共线，所以S △PMN ＝2S △PMO ＝|PM |•r ＝|PM |，当直线PM 斜率不为0时，由（1）可知y 1+y 2=−2mt m 2+3，y 1y 2=t 2−4m 2+3，故S △PMN ＝|PM |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=•2√4m 2−3t 2+12m 2+3√1+m 2，因为t 2＝1+m 2，S △PMN =√1+m 22√m 2+9m 2+3=2√(m 2+3−2)(m 2+3+6)m 2+3，令m 2+3＝k ≥3，所以S △PMN=2√(k−2)(k+6)k =2√k 2+4k−12k 2=2√−12k2+4k +1，所以当k ＝3时，S △PMN 的最小值为2，当k ＝6时，S △PMN 的最大值为4√33，当直线PM 斜率为0时，S △PMN =2∈[2，4√33]，综上，S △PMN 的取值范围为[2，4√33]．。