习题2与答案

习题二（母函数及其应用）

1．求下列数列的母函数(0,1,2,)n =

（1）(1)n a n ⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩

⎭；

（2）{5}n +； （3）{(1)}n n -； （4）{(2)}n n +；

解：（1）母函数为：00()(1)()(1)n

n n a n n a a G x x x x n n ∞

∞==⎛⎫⎛⎫

=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭∑∑；

（2）母函数为：22

554()(5)5(1)1(1)

n

n

n n n n x x

G x n x nx x x x x ∞∞∞

===-=+=+=

+=---∑∑∑； ♦ 方法二：

()()()00

10

2

2

()(5)14414111114541(1)1n

n

n

n n n n n G x n x n x x x x x x x x x x ∞∞∞

===∞

+==+=++'

'

⎛⎫

=+=-+

⎪---⎝⎭-=+=---∑∑∑∑ （3）母函数为：

2

323

000

222()(1)(1)2(1)(1)(1)n

n

n

n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞

∞

∞

====-=+-=-=---∑∑∑； ♦ 方法二：

()()()()()

2

2

0222

200

2

22202

3

()(1)00121121n

n n n n

n n n n n G x n n x x

n n x

x

n n x x

x x x x x x x x ∞

∞

-==∞∞+==∞

+==-=++-"=++=""⎛⎫⎛⎫

== ⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭=

-∑∑∑∑∑

（4）母函数为：

2

323

000

23()(2)(1)(1)(1)(1)n

n

n

n n n x x x x G x n n x n n x nx x x x ∞

∞

∞

===-=+=++=+=---∑∑∑。 ♦ 方法二：

()()()()()

()()()

00

21210

002

32

2

3

()(2)1211111121111111131n

n

n

n

n n n n n n n n n n n n G x n n x n n x n x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x ∞

∞

∞

∞

====∞

∞

∞∞++++=====+=++-+-"'

"

'

⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭"'

⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪----⎝⎭--⎝⎭-=-∑∑∑∑∑∑∑∑

2．证明序列(,),(1,),(2,),C n n C n n C n n ++ 的母函数为 1

1

(1)

n x +- 。 证明：因为 (,)(1,)(1,1)C n k n C n k n C n k n +=+-++--

令230()(,)(,)(1,)(2,)(3,)k n k G x C n k n x C n n C n n x C n n x C n n x ∞

==+=+++++++∑ ，

则 23()(,)(1,)(2,)n x G x C n n x C n n x C n n x =+++++ ，

231()(1,1)(,1)(1,1)(2,1)n G x C n n C n n x C n n x C n n x -=--+-++-++-+ 而 1(1)()()0n n x G x G x ---= 故 ()()()()()

()1202111111n n n n

G x G x G x G x x x x --=

⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅--- 又

23023()(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)111G x C C x C x C x x x x x

=++++=++++=-

所以 ()()1

11

+-=

n n x x G

♦ 方法二：

已知{}12n S e e e =∞⋅∞⋅∞⋅ ，，，的k-组合数为(1,)C n k k +-，

其母函数为：2

3

011

()(1)(1)n

k n

k n k A x x x x x k x ∞

=+-⎛⎫=++++== ⎪-⎝

⎭∑ 序列(,),(1,),(2,),C n n C n n C n n ++ 的母函数为

2300

1

()(,)(1,)(2,)(3,)(,)(,)(11,)1(1)k

k

k k k

k n G x C n n C n n x C n n x C n n x C n k n x C n k k x C n k k x

x ∞

∞

==∞

=+=+++++++=+=+=++-=

-∑∑∑

3．设1234{,,,}S e e e e =∞∞∞∞ ，求序列{}n a 的母函数。 其中，n a 是S 的满足下列条件的n 组合数。 （1）S 的每个元素都出现奇数次； （2）S 的每个元素都出现3的倍数次； （3）1e 不出现，2e 至多出现一次；

（4）1e 只出现1、3或11次，2e 只出现2、4或5次； （5）S 的每个元素至少出现10次。 解：（1）4

3

5

21

4

2()()1r x G x x x x x

x +⎛⎫

=+++++= ⎪

-⎝⎭

（2）4

363431()(1)1r G x x x x x ⎛⎫

=+++++= ⎪-⎝⎭ （3）2322

1()(1)(1)(1)

x

G x x x x x x +=+++++=

- （4）

311245232

3112453567813151622

()()()(1)()()2(1)(1)G x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++++++++==

-- （5）4

1010114

()()1x G x x x x ⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭

4．投掷两个骰子，点数之和为r (212)r ≤≤，其组合数是多少？ 解：用i x 表示骰子的点数为i ，

（1）若两个骰子不同，则问题等价于r 的特殊有序2-分拆

12

16,1,2i r r r r i =+⎧⎨

≤≤=⎩