(完整版)无穷级数整理
无穷级数知识点总结考研
无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。
其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。
无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim(S_n)。
在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。
二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。
如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim(S_n) = ±∞，那么称级数发散。
2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。
（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。
（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数
第七讲 无穷级数一、主要知识点（一）常数项级数1．数项级数的概念（1）无穷级数定义：121n n n u u u u ∞==++++∑ ．（2）敛散性定义： 若S S n n =∞→lim (有限)，则级数∑∞=1n n u 收敛，其和为∑∞==1n nuS ．若n n S ∞→lim 不存在，则∑∞=1n n u 发散，没有和．2．数项级数的性质（1）级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 有相同的敛散性)0(≠k ．（2）设级数∑∞=1n n u 及∑∞=1n n v ，则若S u n n =∑∞=1，σ=∑∞=1n n v ，则σ±=±∑∞=S v u n n n )(1；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则)(1∑∞=±n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均发散，则)(1∑∞=±n n n v u 敛散性不能确定．（3）在级数∑∞=1n n u 中添加、去掉或改变有限项不影响级数∑∞=1n n u 的敛散性．（4）设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．（5）级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ．3．正项级数∑∞=1n n u )0(≥n u 判敛法（1）收敛的基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是部分和数列}{n S 有上界．（2）比较判别法1：设级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均为正项级数，若存在N ，当N n >时，有n n v u ≤≤0成立，则1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．（3）比较法的极限形式2：设级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均为正项级数，且limn n nu A v →∞=(0)n v ≠，则1）当+∞<<A 0，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 敛散性相同．2）当0=A ，若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．3）当+∞=A ，若级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．常用作比较的级数：几何级数⎪⎩⎪⎨⎧-=∑∞=发散,10q aaqn n1||1||≥<q q ； -p 级数⎩⎨⎧=∑∞=发散收敛11n pn11≤>p p ；调和级数+++=∑∞=3121111n n是发散的．注意：若级数的分母、分子关于n 的最高次数分别为p 和q ，即1qpn n n αβ∞=++∑（其中,αβ为含n 的次数分别低于,p q 的多项式），则当1p q ->时级数收敛，当1p q -≤时级数发散． （4）比值判别法（达朗贝尔判别法）（适用于n u 中含有!n ,nn 及na 等因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=+∞→nn n u u 1lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．（5）根值判别法（柯西判别法）（适用于n u 含有以n 为指数幂的因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=∞→nnn u lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．注意：根值法，比值法条件是充分条件而非必要条件． （6）拉阿伯判别法：设级数∑∞=1n n u (0n u >)，若1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数收敛若，则级数发散若，方法失效．（7）柯西积分判别法：若函数()(0)f x x >是非负的不增函数，则级数1()n f n ∞=∑与广义积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散．例如：级数11pn n∞=∑；21(l n )pn n n ∞=∑；21l n (l n )pn n n n ∞=∑与广义积分1pdx x+∞⎰；2(l n )pdx x x +∞⎰；2l n (l n)pdx x x x +∞⎰当1p >时同时收敛，当1p ≤时同时发散．4．一般项级数判敛法（1）交错级数)0()1(11≥-∑∞=-n n n n u u 莱布尼兹判敛法：若交错级数∑∞=--11)1(n n n u ，满足条件1）1,(1,2,)n n u u n +≤= ；2）0lim =∞→n n u ，则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤，余项1+≤n n u R ．注意：证明比较n u 与1+n u 大小的方法有三种：1）比值法：考查11<+nn u u ；2）差值法：考查01<-+n n u u ；3）由一般项n u 找出连续可导函数)(x f ，使)(n f u n =，考查导数0)(<'x f ，函数)(x f 就是单调减少，则有n n u u <+1．（2）亚伯耳判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）级数1n n u ∞=∑收敛，2）{}n v 为单调有界数列，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（3）狄里克利判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）部分和数列1nn ii S u==∑有界，2）当n →∞时，n v 为单调趋向于零，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（4）绝对收敛与条件收敛判别：绝对收敛：若级数∑∞=1||n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为绝对收敛．条件收敛：若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为条件收敛．若级数∑∞=1||n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛，反之不一定成立．如∑∞=-1)1(n nn．注意：若用比值法（或根植法）判定级数∑∞=1||n n u 发散，则级数∑∞=1n n u 一定发散．（二）幂级数1．幂级数的收敛区间设幂级数∑∞=0n n n x a ，若1lim ||n n na a ρ+→∞=（或limn ρ→∞=，则收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩当时当时当时．收敛区间[],R R -、(,)R R -、[,)R R -、(,]R R -四种情况之一．注意：若幂级数为∑∞=022n nn xa 或∑∞=++01212n n n x a （即缺少项的幂级数）时，应如何求收敛半径？2．幂级数的和函数（1）幂级数和函数的性质：设幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()S x 在区间收敛区间(,)R R -内连续、可导、可积，且可逐项求导、逐项积分，即11()(),(,)n n nn n n S x ax na xx R R ∞∞-==''==∈-∑∑，1(),(,)1x x nn n n n n a S x dx a x dx xx R R n ∞∞+====∈-+∑∑⎰⎰．（2）幂级数和函数的求法： 1）求出给定幂级数的收敛域；2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到xe 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或1(1)(21)!n n +-+时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数．3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．3．函数的幂级数展开（1）泰勒级数：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；（2）麦克劳林级数：()(0)!n nn fx n ∞=∑．（3）函数展开成幂级数1）展开式的唯一性：无论用什么方法将函数展为幂级数的展开式是唯一的； 2）展开的条件：函数在某点0x 的邻域内有任意阶导数；3）展开的方法：直接展开法与间接展开法．（4）直接展开法：利用泰勒级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=，按下列步骤将函数)(x f 在点0x 展开．1）先求出函数)(x f 的各阶导数在0x x =处的值)(0x f ，0()f x '()00()()n f x fx ''再写出级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；2）写出拉格朗日余项)!1())(()(10)1(+-=++n x x fx R n n n ξ ，证明lim ()n n R x →∞是否趋于零，若lim ()0n n R x →∞=，则nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=，即函数)(x f 在0x 处能展开成泰勒级数．3）求出收敛区间．（5）间接展开法：利用下面已知的6个函数的展开式，通过适当的变量代替，四则运算，复合及逐项积分、微分运算将一个函数展开成幂级数——间接展开法． 常用的函数展开式1）23011,(1,1)1nnn x x x x x x x ∞==++++++=∈--∑；2）23011(1)(1),(1,1)1n nnnn x x x x x x x∞==-+-++-+=-∈-+∑ ；3）231111,(,)2!3!!!nxnn xe x x x x x n n ∞==++++++=∈-∞+∞∑；4）212135011sin (1)(1),(,)3!5!(21)!(21)!n n nnn xxx x x x x n n ++∞==-+-+-+=-∈-∞+∞++∑ ；5）2224011cos 1(1)(1),(,)2!4!(2)!(2)!nnnnn xxx x x x n n ∞==-+-+-+=-∈-∞+∞∑ ；6）1231111(1)ln(1)(1),(1,1]23nn nn n xxx x x x x nn-∞-=-+=-+-+-+=∈-∑；7）2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++1(1)(1)1,(1,1)!nn n x x n ααα∞=--+=+∈-∑．（三）傅里叶级数1．周期函数的傅立叶级数（1）以2π为周期函数：设)(x f 在区间],[ππ-上是可积函数， ⎰-==πππ),2,1,0(,c o s )(1n n x d x x f a n ⎰-==πππ),2,1(,sin )(1n nxdx x f b n则称级数∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数． （2）以2l 为周期函数：设)(x f 在区间],[l l -上是可积函数， ⎰-==l l n n dx l x n x f l a ),2,1,0(,cos )(1 π ⎰-==l ln n dx lx n x f lb ),2,1(,sin)(1 π则称级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数．2．傅立叶级数收敛定理设函数)(x f 满足狄里克雷条件1）在区间],[l l -上连续或只有有限个第一类间断点； 2）在区间],[l l -上只有有限个极值点， 则傅里叶级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ在区间],[l l -上收敛，并且其和函数)(x f 有1）当x 为)(x f 连续点时，∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ)(x f =；2）当x 为)(x f 间断点时，∑∞=++10)sincos(2n n n l x n b l x n a a ππ2)0()0(++-=x f x f ；3）当x 为)(x f 端点时，∑∞=++10)sincos (2n n n lx n b lx n a a ππ2)0()0(-++-=l f l f ．3．奇偶函数展开为傅立叶级数正弦级数：nx b n n sin 1∑∞=，其中⎰=ππsin )(2nxdx x f b n ，1,2,n = ；余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ，1,2,n = ．二．例题分析1． 判别常数项级数敛散性例1．设∞=∞→n n a lim ，且0≠n a ，判别级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的敛散性． 解： 令111+-=n n n a a u ，则前n 项的部分和111322111)11()11()11(++-=-++-+-=n n nn a a a a a a a a S ，因为01lim1=+∞→n n a ，所以11lim a S n n =∞→，即原级数收敛且其和11a S =．例2．判别级数下列级数敛散性（1）∑∞=-1)cos1(n nπ； （2）11n ∞=∑（3）若级数)0(1≥∑∞=n n n a a 收敛，则级数∑∞=1n n na 收敛．解：（1）因为nn2sin2cos12ππ=-，所以将其与级数∑∑∞=∞==222212)2(2n n nn ππ比较，又因为 1)2(22s i n2lim222=∞→n nn ππ，所以级数nn 2sin221π∑∞=收敛，从而级数∑∞=-1)cos1(n nπ收敛．（2）将级数1n ∞=∑211n n∞=∑进行比较，即求极限222l i ml i m1(!)n n n n u nn n→∞→∞=，令22(!)n nny n =，则21ln 2ln 2ln !2[ln ln !]n y n n n n nn=-=-12[(l n l n 1)(l nl n 2)(l n l n)]nn nn n=-+-+-112l nni i n n==-∑，于是 1011l i m l n 2l i ml n 2l n l n 2nn n n i i y xdx n n→∞→∞==-=-=∑⎰， 所以 2l i m n n y e →∞=，因此由级数∑∞=121n n收敛得到级数1n ∞=∑（3）由于)1(21122na na na n n n +≤⋅=，而且级数∑∞=1n n a 与级数∑∞=121n n均收敛，所以级数∑∞=1n n na 收敛．练习题：判别级数的敛散性（1）)0,0(1>>∑∞=s a na n sn ；当1<a 时，级数收敛，当1>a 时，级数发散，当1=a 时，级数为∑∞=11n sn，这是p 级数，当1>s 时收敛，当1≤s 时发散．（2）∑∞=1!3n nnnn ；（发散） （3）)0(111>+∑∞=a an n；（1>a 收敛，1≤a 发散） （4）∑∞=1233cosn nn n π；(收敛) （5）∑∞=+-+111)1(n n n n n．（收敛）例3．判别下列级数敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n； （2）1!(1)nnnn e n n∞=-∑；（3）当k 为何值时，级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解：（1）先考虑正项级数1)1ln(1++∑∞=n n n ．将级数1)1ln(1++∑∞=n n n 与级数111+∑∞=n n 进行比较，因为)2(,1)1l n (11>++<+n n n n ，由级数111+∑∞=n n 的发散，即可得级数1)1ln(1++∑∞=n n n 发散，但是交错级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n，满足条件：1）ln(1)ln(1)1limlimlim0111n x x n x n x x →∞→+∞→+∞++===+++，2）n n u u <+1，证明之， 令 1)1l n ()()(++===x x x f n f u n ，因为导数1ln(1)()0,(3)1x f x x x -+'=<≥+，所以函数)(x f 当3≥x 时，是单调减少的，从而 n n u u ≤+1，),4,3( =n ，于是，由莱布尼兹判别法知级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n条件收敛．（2）先考虑正项级数1!nnn e n n∞=∑，因为111(1)!(1)1!(1)n n n nnnnen u e n e n u nn+++++==+，而1(1)ne n+<，所以11(1,2,)n nu u +> ，于是11n n u u u e ->>>= ，则lim 0n n u →∞≠，从而lim (1)0n n n u →∞-≠，故原级数1!(1)nnnn e n n∞=-∑发散．（3）当1k ≥时，22110ln ln kn nn n<≤，由级数221ln n n n∞=∑收敛得到级数221ln kn n n∞=∑收敛，所以当1k ≥时，级数221ln kn n n ∞=∑绝对收敛；当01k ≤<时，由于211ln k n nn>，由级数21n n∞=∑发散得到级数221ln kn n n∞=∑发散，由因为21ln n ku n n=单调减少，且21lim0ln kn n n→∞=，2莱布尼茨判别法知级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，于是级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑条件收敛；当0k <时，由于21lim0ln kn n n→∞=∞≠，则级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑发散．练习题：判断下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛？（1）1ln (1)nn n n∞=-∑；（条件收敛）（2）11(1)(1)!n nn nn +∞=-+∑．（发散）例4．设1211211212345632313n u n n n=+-++-+++--- ，111123n v n n n=++++ ，求（1）1010u v ；（2）lim n n u →∞．解：因为1211211212345632313n u n n n=+-++-+++---11111111234532313n n n =++++++++-- 21212121[()()()()]33669933n n -++++++++111111111(1)2345323n n =++++++-++++ ， 所以（1）10111111121330u =++++，10111111121330v =++++，于是10101u v =； （2）由于当n →∞时，1111ln 23n C n++++-→ （0.577216C ≈称欧拉常数），则有1111ln 23n C n nε++++=++ ，（其中n ε为无穷小） 于是 111111111(1)2345323n u n n=++++++-++++ l n 3(l n )n n C n C n τε=++-++，（其中,n n τε为无穷小） 3lnn n n nτε=+-，故3lim lim [ln]ln 3n n n n n n u nτε→∞→∞=+-=．2．求幂级数收敛域、收敛区间例5．求下列幂级数的收敛域（1）nn x n n ∑∞=12)!2()!(； （2）nn n xn n 212)1(∑∞=-+；（3）∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n； （4）∑∞=+⨯+1129)13(n nn n x ．解：（1）因为4121)12(1lim)!2()!()!22(])!1[(limlim221=++=++==∞→∞→+∞→n n n n n n a a n n nn n ρ，所以收敛半径为4=R ．当4=x 时，原级数为∑∞=124)!2()!(n nn n ，令nn n n b 4)!2()!(2=，因为112221>++=+n n b b nn ，则0211>=>>>-b b b n n ，所以0lim ≠∞→n n b ，因此级数发散；当4-=x 时，原级数为∑∞=-12)4()!2()!(n nn n ，由于0lim ≠∞→n n b ，所以0)1(lim ≠-∞→n nn b ，因此级数发散，于是级数nn x n n ∑∞=12)!2()!(收敛域为)4,4(-．（2）令t x =2，则nn n t n n 2)1(1∑∞=-+=nn t nn ∑∞=++112，因为 221121111lim22121lim1=+++++=+++++=∞→+∞→nnn n n n n n nn n ρ，所以级数nn t nn ∑∞=++112的收敛半径为12R '=，从而级数nn n xn n 212)1(∑∞=-+的收敛半径为21=R ，当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=++=++1111)21(12n nn nnn n n 发散，因此原幂级数的收敛域为)21,21(-．（3）令t x =-21，则=--∑∞=1)21(2)1(n nnnx n∑∞=-12)1(n nnnt n，因为 2112lim212lim1=+=+=∞→+∞→nnn n nn n ρ，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛半径为21=R ，当21-=x 时，级数∑∑∞=∞==--111)21(2)1(n n nnnnn 发散；当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-11)1()21(2)1(n nn nnnnn 收敛，因此幂级数1(1)nnnn ∞=-∑的收敛域为]21,21(-． 又因为t x =-21，则212121≤-<-x ，从中解出10≤<x ，于是原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛域为]1,0(．（4）设nn n n x x u 9)13()(12++=，因为由比值法211232|13|919)1(|13|9|13|lim)()(lim)(+=+++==+++∞→+∞→x n x n x x u x u x n n n n n n n n ρ，所以，当1|13|91)(2<+=x x ρ，即3234<<-x 时，原级数绝对收敛；当1|13|91)(2<+=x x ρ，即34-<x 或32>x 时，原级数发散；又当34-=x 时，原级数为∑∞=-13n n发散；当32=x 时，原级数为∑∞=13n n发散，因此该幂级数的收敛域为)32,34(-． 练习题：求下列幂级数的收敛半径及收敛域1．11(3(2))nnnn x n ∞=+-∑；（[,3)-） 2．12141-∞=∑n n nxn ；（)2,2(-）3．∑∞=-⨯--1215)2()1(n nnn n x ．(]52,52[,5+-=R )例6．设111123n u n=++++，求幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛半径、收敛区间及收敛域． 解：因为1111111123limlimlim11111231n n n n n nn u n u u u n ρ→∞→∞→∞++++++====+++++ ，所以收敛半径为1R =，收敛区间为收敛区间（－1,1）． 当1x =-时，级数1(1)nn nu ∞=-∑为交错级数，且1111lim0,n nnn u u u →∞+=>，由莱布尼茨判别法知级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛；当1x =时，由于2n u n <，即有112nu n>，所以级数11n nu ∞=∑，于是幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛域为[1,1)-．3．幂级数的求和（1）求出给定幂级数的收敛域；（2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到x e 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或)!12()1(1---n n 时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数；（3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数． 例7．求下列幂级数的和函数（1）)1(21212-∞=∑-n n nxn ； （2）∑∞=+1)1(n nn n x； （3）20(2)!nn xn ∞=∑；（4）求nn x n n ∑∞=+1!1的和函数，并由此求nn n n 8!11∑∞=+之值．解：（1）先求收敛域因为2222211211212lim21)12(2212limlimx xn n xn xn u u n n nnn n nn n =-+=-+==∞→-+∞→+∞→ρ，当1212<=xρ，即2||<x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 收敛；当1212>=xρ，即2||>x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 发散；当2||±=x 时，幂级数∑∑∞=-∞=-=-1112122212n n n nn n 发散，因此该级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 的收敛域为)2,2(-．再求其和函数，当0≠x 时=)(x S )1(21212-∞=∑-n n nxn 211()2n nn x-∞='=∑2112n nn x -∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 2221112()212n n x x xx x ∞='⎛⎫'⎪⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭∑ 222222(2)xx xx '+⎛⎫== ⎪--⎝⎭，)0(≠x 当0=x 时，21)0(=S ．于是该幂级数的和函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=0,210,)2(2)(222x x x x x S ． （2）显然幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的收敛区间为]1,1[-，求和函数)(x S ：当0=x 时，0)0(=S ；当0≠x 时，因为 ()1n 1n 1()(1)n nx xxS x n n n +∞∞=='⎛⎫'==⎪+⎝⎭∑∑，且 ()11n 1n111()()(1)1n n n n xxxS x xn n nx+∞∞∞-===''⎛⎫'''====⎪+-⎝⎭∑∑∑，两边积分得 ()01()l n (1)1x x S x d x x x'==---⎰， 两边再积分一次得 0()l n (1)(1)l n (1)x x S x x d x x x x=--=---⎰， 因此 )1l n ()11(1)(x xx S ---=，于是该幂级数的和函数为⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=0,0)1,0()0,1(),1ln()11(1)(x x x xx S ．（3）级数的收敛域为(,)-∞+∞,令22421()1(2)!2!4!(2)!nnn xxxxs x n n ∞===+++++∑ ，两边求导，得213211()(21)!1!3!(21)!n n n xxxxs x n n --∞='==++++--∑于是有 234212()()1!2!3!4!(21)!(2)!n nx xxxxxs x s x n n -'+=++++++-而23421211!2!3!4!(21)!(2)!n nxx xxxxxe n n -=+++++++-所以()()xs x s x e '+= 这为一阶非齐次线性微分方程，可解得通解为1()2xxs x C ee -=+,由初始条件(0)1s =，得12C =,故 201()(2)!2nx xn xe en ∞-==+∑.（4）先求幂级数nn x n n ∑∞=+1!1的收敛域， 因为0)!1(2lim1!)!1(2limlim1=++=+++==∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ρ，所以收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞．再求和函数，因为该幂级数的系数带有!n ，所以它的和函数与指数函数x e 有关．于是 =)(x S nn xn n ∑∞=+1!11111(1)!!nnn n x xn n ∞∞===+-∑∑11111(1)!!n nn n x xx n n ∞∞-===+--∑∑1)1(1-+=-+=xxxe x e xe，),(+∞-∞∈x ，最后取8=x ，得118!nn n n ∞=+=∑198-e ．练习题：求下列幂级数的和函数（1）∑∞=+0)1(n n x n ；（)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x S ）（2）∑∞=+11n nx n n．（⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈-+-=0,0)1,0()0,1(),1ln(111)(x x x x x x S ）例8．计算下列各题：（1）设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足012,1,(1,2,)n n a na a n n -==+-= ，求此幂级数的和函数．（2）设12211,1,23,(1)n n n a a a a a n ++===+≥，求幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．（3）求级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数．解：（1）据题意知1(1)1n n n a a --=-，因此 120111111(1)(1)(1)1!!n n n a a a a nn n n n ---=-=-==-=- ，所以 11!n a n =+，于是为11()(1)!!nnnnnn n n n s x ax xx xn n ∞∞∞∞======+=+∑∑∑∑1||11x e x x=+<-． （2）因为2123n n n a a a ++=+为差分方程，则特征方程为 2230r r --=， 其根为123,1r r ==-，所以11123(1)n n n a c c --=+-，由121,1a a ==得12121,31c c c c +=-=，求出1212c c ==，所以111(3(1))2n n n a --=+-．下面讨论级数11111(3(1))2nn n nn n n a x x ∞∞--===+-∑∑，因为 11111(1)33(1)3limlimlim 313(1)1()3nn n n n n n n n n n nu u ρ-+--→∞→∞→∞--++-====+-+-，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛半径为13R =，当13x =-时，级数11111(1)1(3(1))()[()]333nn n nnn n ∞∞--==-+--=-∑∑发散； 当13x =时，级数111111(1)(3(1))()[]333nn n nnn n ∞∞--==-+-=-∑∑发散，因此幂级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛域为11(,)33-． 设111111111()(3(1))[(3)(1)]223n n nnn nn n n s x x x x ∞∞∞---====+-=+-∑∑∑131(1)61321(13)(1)xxx x xxx x -=+=-+-+，11(,)33x ∈-．（3）因为333311()()()11n n x x x xx∞===--∑，因为230111nnn xx x x x x∞===++++++-∑ ，该式两边两阶导数，得23223243(2)(1)(1)nx x n n x x =+⋅+⋅+++++- 0(2)(1)nn nn x ∞==++∑，于是31(2)(1)(1)2nn n n x x ∞=++=-∑，则3333311(2)(1)()()()112n n n n xn n x x xxx∞∞+==++===--∑∑，故级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数为19181712⨯=．4．求数项级数的和方法：1）利用级数收敛的定义：先求出部分和n S ，再求其极限S S n n =∞→lim 为所求；2）引入相应的幂级数：① 找一个幂级数n n n x a ∑∞=1，使n nn u x a =0；② 求幂级数nn n x a ∑∞=1的收敛区间(,)R R -，若当0(,)x R R ∈-时，幂级数01nn n a x ∞=∑收敛，则∑∞=1n n u 也收敛；③ 求出幂级数n n n x a ∑∞=1的和函数)(x S ，再让x 在收敛区间内取个特定的值0x x =，即可求出其和．例9．求下列数项级数的和：（1）1n S ∞==∑；（2）∑∞==12n nnS ；（3）∑∞=12!n n n； （4）01(1)(21)!nn n n ∞=+-+∑．解：（1）因为)1()12(+-++-+=n n n n u n ，所以+-+-+-+-=+++=)]32()34[()]21()23[(21n n u u u S+--+-+++-+-+)]1()1[()]43()45[(n n n n)]1()12[(+-++-++n n n n)12(21+-++-=n n12121++++-=n n ．因此该级数的和∑∞=++-+=1)122(n n n n S 21lim -==∞→n n S ．（2）解：设幂级数nn x n ∑∞=1，只要求出幂级数n n x n ∑∞=1在点210=x 收敛，且其和即为数项级数∑∞==12n nnS 的和．显然级数n n x n ∑∞=1的收敛区间为)1,1(-，和函数1111()()nn nn n n S x nxx nxx x ∞∞∞-==='===∑∑∑211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑． 当21=x 时，∑∞==12)21(n nn S 2)211(212=-=， 即所求的数项级数的和为221==∑∞=n nn S ．或用另一方法如下：该级数的部分和nn n S 223222132++++=，且1432223222121+++++=n n n S ，上两式相减得11322211))21(1(2122121212121++---=-++++=n nn nn n n S ，从而n n n nS 2))21(1(2--=，于是 2]2))21(1(2[lim lim =--==∞→∞→n n n n n nS S ．（3）根据该数项级数的特点，先考虑指数函数xe 的幂级数12012!(1)!(2)!n n n xn n n xxxe n n n --∞∞∞======--∑∑∑，取1=x 得，012111!(1)!(2)!n n n e n n n ∞∞∞======--∑∑∑，因此级数的和∑∞=12!n n n1111(1)!(1)!n n n n n n ∞∞==-+===--∑∑21112(2)!(1)!n n e n n ∞∞==+=--∑∑．（4）因为)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n)!12(22)1(210++-=∑∞=n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=∑∞=)!12(1)!12(12)1(210n n n n n 01111(1)(1)2(2)!2(21)!nnn n n n ∞∞===-+-+∑∑又由于正弦函数)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n xx n n n，余弦函数)!2()1(cos 20n xx nn n∑∞=-=，取1=x ，得)!12(1)1(1sin 0+-=∑∞=n n n，)!2(1)1(1cos 0n n n∑∞=-=，于是)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n1(c o s 1s i n 1)2=+． 练习题 求下列数项级数的和（1）1121211()n n n aa∞+-=-∑；(1a -)（2）1312nn n ∞=-∑．（提示：考虑1(31)n n n x ∞=-∑，结果为5）例10．求极限])2....(842[lim 312719131nnn ∞→．解： 因为该级数的一般项为23111231113339273333[248 (2)]22ninni n i n=++++∑== ，所以若求出级数∑∞=13n nn 的和，则∑=∞=∞→133127191312])2....(842[lim n nnn nn ．先求出幂级数∑∞=1n nnx 的和，再取31=x 即得数项级数∑∞=13n nn 的和．因为 1111()()nn nn n n S x n x x n x x x∞∞∞-==='===∑∑∑21()()1(1)nn x x x x x xx ∞=''===--∑，所以 43)311(313)31(20=-==∑∞=n nnS ， 从而 211121113l i m ()3339273334l i m [248 (2)]222nnnn n nn nn ∞→∞=+++→∞∑=== ． 5．函数展为幂级数（用间接法展开）例11．将下列函数展为x 的幂级数 （1） )1ln()(2++=x x x f ；（2）将)1()(xe dxd x f x-=展开为x 的幂级数，并求数项级数∑∞=+1)!1(n n n 的和；（3）已知61212π=∑∞=n n，求定积分dx xx ⎰-101ln ．解：（1）因为=)(x f )1ln(2++x x 的导数为122()(1)f x x -'=+，),21(2x u m =-=，又导函数122()(1)f x x -'=+的展开式为122()(1)f x x -'=+++-----++---+-+=nxn n x x 242)121()121)(21(!1)121)(21(!21)21(1+--+++-=nnxn n x x 242!)!2(!)!12()1(!!4!!3211∑∞=--+=12!)!2(!)!12()1(1n nnxn n ，上式两边从0到x 积分，得)11(,12!)!2(!)!12()1()(112≤≤-+--+=∑∞=+x n x n n x x f n n n．（2）因为 ),(,!!1!31!211032+∞-∞∈=++++++=∑∞=x n xx n x x x e n nnx，所以xe x1-+∞<<=++++++=∑∞=--||0,!!1413121111132x n xxn x x x n n n上式两边对x 求导，得 )1()(xe dx d xf x-=1122)!1(!1433221-∞=-∑+=+-++++=n n n xn nxn n x x ，当1=x ，即可得11)1()1()!1(1211=+-=-==+==∞=∑x xxx xn xe xexe dxd f n n．（3）因为)1,1(,110-∈=-∑∞=x x x n n，所以111ln ln ()(ln )1nnn n xdx x x dx x xdx x∞∞====-∑∑⎰⎰⎰11112000ln 1(1)n n n x x x n n +∞+=⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑ 1200ln 1lim 1(1)n x n x x n n ∞+→+=⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦∑。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
(完整版)级数知识点总结,推荐文档
un ，un
0 ）lim
n
Sn
S
前 n 项和存在极限则收敛；
un 收敛 S n 有界；
n 1
n 1
比较审敛法：且u n v n
(n 1,2,3,)，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
比较法的极限形式：lim un l
n 1
n 1
nБайду номын сангаас1
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数： (1)n un ，un 0 满足：un 1 un
(n
1,2,3,)，且lim n
un
0 ，则级数 (1)nun 收敛。
n 1
n 1
条件收敛：
un 收敛，而
un
发散；绝对收敛：
un
收敛。
un 绝对收敛，则
un 收敛。
若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
2、 和函数s(x )的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域(R , R )内可导，且可逐项求导; 和函数s(x )在收敛域I 上可积分，且可逐项
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积分.( R 不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：f(x )
f
(n
)(x
0
) (x
n0 n !
x 0 )n
无穷级数主要内容简单版
定理
若 f ( x)
a n ( x x0 ) , n 0
n
1 (n) f ( x0 ) 则an n!
常见函数展开式
( n 0,1,2,) x ( , )
1 e ,sin x, cos x, ln(1 x), 等及收敛域 1 x
x
n
是正项级数,
如果lim n un ( 为数或 ),
n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
4、交错级数
( 1)n1un或 ( 1)n un (其中un 0)
n 1 n 1
莱布尼茨定理 (ⅰ) un un 1 ( n 1,2,3,) ;(ⅱ) lim un 0 ,则
求和函数(收敛域)
1 x 1 x ; 之类的已知级数 n 0
n
7、幂级数展开式
0 n
f ( n ) ( x0 ) ( x x 0 ) n 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n!
n 0
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点 x0 的麦克劳林级数. n!
(1) (1) np , np n 1 n 1
n
n 1
( p 0)
3、正项级数
u ,
n1 n
un 0
1)正项级数收敛(发散){ sn }有界(无界) .
2)比较法一般形式
若正项级数
u
n 1
பைடு நூலகம்
n 收敛(发散)且 n
v un ( un v n ),
n
级数收敛.
5、任意项级数
(完整版)无穷级数总结
n1、概念与性质1. 定义：对数列5,氏丄,U n L ,U n 称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和n1数列｛S n ｝有极限S ，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散• n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 U n 与 cU n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 U n 与v n，若 U n s ，v n，则(U n v n )s ；n1n1n1n1n1若 U n 收敛，v n 发散，则(U n v n ) 发散；n1n1n1若 U n ， v n 均发散，则(U n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 U n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 U n 收敛的必要条件： lim U n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 U n 发散，则 lim U n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 U n 0 ，则 U n 称为正项级数 .n1② 审敛法：U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界无穷级数总结②若 lim U n n0 ，则 U n 未必收敛；n1充要条件：正项级数(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄),n 1 n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有U n kvjk 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有U n kv n(k 0)成立，则①发散；B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n2(n 1,2,L )，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与V n②都是正项级数，若limb |(0 | )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性.n 1 n 1注：常用的比较级数：a 1 1 .①几何级数：ar n 1 1 r r 1•n 1发散r 1②p级数：［收敛P1时.n p发冃攵P1时，n r③调和级数：1111发散.n 1 n2n(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim r 1，则a n收敛；②lim r 1，则发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 1，或lim a n1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然n a n n n 1 n n 1 n lim 1，|im n a n1，但 -发散，而 & 收敛•n a n n■n 1 n n 1 n(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，lim、, a n，若1，n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设U n 0，且lim n P U n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则(1)n 1U n称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1U n，若U n U n 1且lim U n0，‘n贝u ( 1)n u收敛•n 1注：比较U n与U n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也1是否小于1；U n②差值法，即考察U n U n 1是否大于0；③由U n找出一个连续可导函数f(x)，使U n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若U n绝对收敛，则U n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|U n |发散，则U n必发散.n 1 n 1三、幕级数1.定义：a n x n称为幕级数.n 02.收敛性①阿贝尔定理：设幕级数a n X n在X0 0处收敛，则其在满足X I X0的所n 0xx 0有x 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n x n 在X 1处发散，则其在满足x X i n 0 的所有X 处发散. ②收敛半径（i ）定义：若幕级数在X X o 点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X o R 时，幕级数收敛；②当x X o R 时，幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径•（ii ）求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件limn 0n或n lim 器丙I ，则当0 1 时，R 1 ;当10时，R ， 当I 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、 偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出 现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.（iii ）收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R，此时收敛域为（C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算（略） 4. 幕级数的性质a n 1a n①若幕级数的收敛半径R则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内连续.②若幕级数的收敛半径R 则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内可导,且可逐项求导，即S （x ）n \a n X )(a n Xna n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径R0，则和函数 S(x)na n X在收敛区间（R, R ）内可积,x且可逐项积分，即S （t ）dta n t n dt(x ( R, R))，收敛半径不nx / ，x ( n!出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代 数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数 的和函数. ②数项级数求和nU n U k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.变.5.函数展开成幕级数①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数, f (X0) 、2(X X o )2!f (n 1)()- --(X X 0)(n 1}(n 1)!(n 1)!I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为为 f (x) f (X 0)f (X 0)(X X o )f(n 1)(-)(X X 0)(n 1)，记 R n (x)f (x)在X 。
无穷级数内容提要
无穷级数内容提要1．无穷级数的基本概念，收敛级数的性质。
注：收敛级数的必要条件： 若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
2．几何级数与p —级数的收敛性。
1）当||1q <时，几何级数11n n aq∞-=∑收敛； 当||1q ≥时，几何级数11n n aq∞-=∑发散。
2）当1p >时，p —级数11p n n ∞=∑收敛；当1p ≤时，p —级数11p n n∞=∑发散。
3．正项级数收敛的充分必要条件。
4．比较审敛法。
设0n n u v ≤≤,1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散。
5．比较审敛法的极限形式。
设0n u ≥，0n v ≥，且lim 1nn nu v →∞=，则级数1n n u ∞=∑与级数1n n v ∞=∑的敛散性相同。
6．比值与根值审敛法。
设0n u ≥，且1l i m n n nu u ρ+→∞=（或l i n ρ→∞=）， 1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；2）当1ρ>时，级数∑∞=1n nu 发散。
7．交错级数。
莱布尼茨定理：若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足lim 0n n u →∞=, 且1n n u u +≥，则交错级数收敛。
8．绝对收敛与条件收敛。
设1l i m ||n n nu u ρ+→∞=（或l i |n ρ→∞=）， 1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑绝对收敛；2）当1ρ>时，级数1n n u ∞=∑发散。
9．幂级数的收敛半径与收敛域。
设1l i m ||n n n a a ρ+→∞=，则幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径1R ρ=。
10．利用逐项求导或逐项积分求幂级数的和函数。
11．利用几个已知函数的泰勒级数将函数展开为幂级数。
1）111nx x x =++++-，（11x -<<）。
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
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无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和n 1数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .n2.性质①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；n 1n 1②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；n 1n 1n 1若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；n n 1③若u n发散，则n 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.n 1② 审敛法：（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1（ ii ）比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数， 且 u nv n (n1,2,L ) ，n 1n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u nkv n (k 0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u n kv n (k0) 成立，则①发散；B. 设u n 为正项级数，若有p 1 使得 u1 (n 1,2,L ) ，则u n收敛；若n 1nnpn1u n1u n 发散 .(n 1,2,L ) ，则nn 1C. 极限形式：设u n ①与v n ②都是正项级数，若 limu nl (0 l) ，则n 1n 1nv nu n 与v n 有相同的敛散性 .n 1n 1注：常用的比较级数：ar n 1ar 1 ；①几何级数：1 rn 1发散r11收敛p时② p 级数：1 ；n 1 n p发散 p1时③ 调和级数：1111 发散．1n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1①注：若lima n 1r1，则 a n 收敛；② lima n 1r 1，则a n 发散．na nn 1na nn 1an 1n11lim1，或 lim a n1 ，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1n n 1n 2nnliman 11， lim n an 1 ，但1 发散，而 1 收敛 .na nnn 1nn 1n 2（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设na n 是正项级数， lim an，若 1 ，n 1n级数收敛，若1则级数发散．（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级n n数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收n1n敛．（书上 P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n un 1且 lim u n0 ，n 1n则( 1)n 1 u n收敛.n 1注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察u n 1是否小于 1；u n②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛 .n 1n1②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.n1n1三、幂级数1.定义：a n x n称为幂级数.n 02.收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所n 0有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim an 1l ，n 0n a n或 lim n a n l，则当 0 l时， R1；当 l 0 时， R，n l当l时，R 0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为( , )；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续．( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．n 0n 0n 1③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0x xa n t n )dt x且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不00n 0n 00变．5.函数展开成幂级数①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )f (x 0 )2 f (n) ( x 0 )2! (x x 0 )( x x 0 )n!f (n1) ()( x x 0 )( n 1)，记 R n ( x) f (n1) ()x 0) ( n 1) ， 介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!(n 1)! ( xI 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n ( x) 0,x I .n②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)（ i ） e xx n , x (,) ；n 0 n!（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n 1 , x( ,) ；n 1(2n 1)!（ iii ） cos x( 1) nx 2n( ,) ；( 2n)! , xn 0（ iv ） ln(1 x)( 1) n x n 1( 1, 1] ；n 1, xn 0（ v ） (1 x)1(1) ( n 1) x n , x( 1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ）1xx n , x1 ；1 x( 1) n x n , x 1.1 n 01 n 06.级数求和①幂级数求和函数解题程序（ i ）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数， 求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数， 最后对和函数求代数和， 即得所求级数的和函数．②数项级数求和（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则u n s ，其中nn 1ns n u 1 u 2u nu k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k1推法．A. 直接法：适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a nlima n x n ，其中幂级数a n x n ，可通n 0x 1 n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a nlim s(x) ．n 0x 1四、傅里叶级数 1. 定义①定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则11a nf ( x) cos nxdx11b nf ( x) sin nxdx2 0, 1, 2 ) ，f (x) cosnxdx, (n 02 1, 2, ) ，f (x) sin nxdx,( n 0称为函数 f (x) 的傅立叶系数．②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x)～1a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [l , l ] 上可积，则以1l f (x) cosn xdx, (n 0, 1, 2 ) ，a nll l1lf (x) sinnxdx, (n 1, 2) 为系数的三角级数 b nll l1a 0( a n cosnx b n sinnx)称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为2n 1llf ( x)～ 1a 0(a n cosnx b n sin nx) ．2l ln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,] 上收敛，且有f x ), x 是 f x 的连续点 ；( ( )1[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],a 02 .( a n cos nx b n sin nx)2x 是 f x 的第一类间断点 ；n 1( )1[ f (0)f (0)], x23. 函数展开成傅氏级数①周期函数（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ aa n cos nxb n sin nx2n 11f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；a n注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n0, 1, 2, )n 1b n2f ( x)sin nxdx(n1, 2, ) ；②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～a 0a n cos nx (余弦级数 )，( )2n 1a n2f ( x)cos nxdx (n0,1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～aa nnn x)( )2 cosx + bn sinn 1l l1lnxdx(n0, 1, 2,1l n xdx(n 1, 2, ) ；a nf (x) cos) ， b nf (x) sinllllll注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sinn0 (n0,1, 2, )x (正弦级数 )， a nn 1l2 b nll 0f ( x)sin nxdx(n 1, 2, ) ；l②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～aa nn ( )cosx ， (余弦级数 )2n 1l2a nllf ( x)cos nxdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l②非周期函数（ i ）奇延拓：f ( x), 0 x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf ([, ] 上 为 奇 函 数 ， f ( x)～ b n sin nx ( 正 弦 级 数 ) ， b n2f (x)sin nxdxn 1(n1, 2, ) ；B.f (x), 0 x lf (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)f ( x), l，则 F (x) 除 x 0 外x 0在 [,] 上为奇函数，～n2f ( x)b n sin x (正弦级数)，b nn 1l l (n1, 2,) .lnf ( x)sin xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，f ( x),x0则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0a n cosnx (余2n 1弦级数 )，a n 20, 1, 2,) .f ( x)cos nxdx (nB. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则f ( x),l x0f ( x)～a0a n cosnx (余弦级数)，a n22n 1l llf ( x)cosnxdx (n 0,1, 2, ).l注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n nu，称∑==ni kn us 1为前n 项部分和。
若存在常数 s,使n n s s ∞→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。
2.数项级数性质：1)∑∞=1n nCu=C∑∞=1n nu；2)若级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv收敛于σ,s ，则级数∑∞=±1n n nv u收敛于σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。
5）若级数∑∞=1n nu收敛，必有0lim =∞→n n u3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞=-11n n aq= +++++-12n aqaq aq a (0≠a )若,1<q 级数收敛，其和为qa-1，若,1≥q 级数发散。
2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++pp p n 131211（p>0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑∞=11n n发散。
4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞=1n nu为正项级数方法：1）比较审敛法：设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散。
2）比较审敛法的极限形式：若l v u nnn =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv 同时收敛或同时发散。
3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→nn n u u包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。
4根值审敛法：若ρ=∞→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。
（完整版）无穷级数总结
（完整版）⽆穷级数总结⽆穷级数总结⼀、概念与性质1. 定义：对数列12,,,n u u u L L ，1n n u ∞=∑称为⽆穷级数，n u 称为⼀般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响⼀个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①⼀个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②⼀个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常⽤判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成⽴．⼆、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法①定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.②审敛法：（i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）⽐较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=L ，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成⽴，则①收敛；若②发散，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成⽴，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=L ，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n ≥=L ，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常⽤的⽐较级数：①⼏何级数：∑∞=-??≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③调和级数：∑∞=++++=112111n nn ΛΛ发散．（iii ）⽐值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞n n a 发散．注：若1lim1=++∞→nn n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，⽽∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，⽽)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，⼀般不⽤⽐值法与根值法，⼀般会使⽤⽐较判别法．正项级数的⽐（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分⾮必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=L ，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：⽐较n u 与1+n u 的⼤⼩的⽅法有三种：①⽐值法，即考察nn u u 1+是否⼩于1；②差值法，即考察1+-n n u u 是否⼤于0；③由n u 找出⼀个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),(Λ==n n f u n 考察)(x f '是否⼩于0． 3.⼀般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若⽤⽐值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性①阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满⾜0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满⾜1x x >的所有x 处发散．②收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在⼀个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n n n x a 的收敛半径为R ，其系数满⾜条件l a a nn n =++∞→1lim，或l a nn n =+∞→lim，则当+∞<R 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的⽅法却有很⼤的差异．前⼀个可直接⽤公式，后⼀个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能⽤求半径的公式直接求，须⽤求函数项级数收敛性的⽅法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为⼀点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为⼀个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即??∑+∞===x xn dt t a dt t S 0)()(∑?+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n Λ)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈?=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ；（ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ；（iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ；（iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ；（v ）∑=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x αααααΛ；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从⽽得到新级数的和函数；注：系数为若⼲项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i ）利⽤级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121Λ．根据n s 的求法⼜可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适⽤于∑∞=1k ku为等差或等⽐数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除⾸尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅⾥叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅⽴叶系数．②定义2：以)(x f 的傅⽴叶系数为系数的三⾓级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ? -==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1Λπ， ?-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1Λπ为系数的三⾓级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x l n b x l n a a ππ称为)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为 ∑∞=++10)sin cos(21)(n n n x ln b x l n a a ～x f ππ． 2.收敛定理（狄⾥赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满⾜条件①除有限个第⼀类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(x f 的傅⽴叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第⼀类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅⽒级数①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos Λ=n nxdx ，1=),2,1(sin Λ=n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 2()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ll n x f la )(1),2,1,0(cos Λ=n xdx l n π，?-=l l n x f l b )(1),2,1(sin Λ=n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 02()sin l n n b f x xdx l l π=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n . ②⾮周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；B. )(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，则令?<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=?),2,1(Λ=n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，0()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n .B.)(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=?),2,1,0(Λ=n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄⽒条件．画图易于验证狄⽒条件，易看出奇偶性；②求出傅⽒系数；③写出傅⽒级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。
(完整版)第六章无穷级数
第六章无穷级数学习目的和要求学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件,几何级数、p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法;掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数的幂级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛区域．第一节常数项级数1．常数项级数的定义设已给数列则式子或其简写叫做无穷级数,记前无限增大时，若数列具有有限的极限S。
则称无穷级数收敛,其极限值S称为级数的和,并记为若没有极限，就称无穷级数发散。
例如：几何级数则当无极限。
从而可得如下结论：若几何级数的公式比时,则级数收敛．若，则此级数发散.2．无穷级数的基本性质(1）若级数，则每一项乘以一个不为零的常数（2)设有两个收敛级数：则级数收敛于和(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化．（4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S．要求读者了解上述基本性质的证明,并熟练运用上述诸性质．（5）常数项级数收敛的必要条件：若级数趋于无穷大时，它的一般项必趋近于零．因而若级数的一般项不趋于零,则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛．例如：调和级数其一般项但它是发散的.（6）级数称为级数收敛。
3．正项级数收敛的判别法（要求读者能熟练使用下列判别法）若级数的每一项均为正数(即）则称为正项级数,有如下收敛判别法:(1）比较判别法设有两个正项级数若级数也发散．（2）比值判别法设正项级数的后项与前项之比值的极限等于，则当<1时级数收敛，>1时级数发散，=1时待定．4．莱布尼兹判别法若交错级数满足条件:1)，则交错级数收敛,且其和的近似值时，误差5．绝对收敛和条件收敛若级数各项的绝对值所成的级数收敛，则级数收敛,并称这样的级数叫做绝对收敛级数．如果级数收敛，而它的各项取绝对值所成的级数发散，则称级数为条件收敛级数。
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无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。