用泰勒公式巧解未定式极限

科技信息２００８年第５期

ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ

●科

在函数极限运算中，不定式极限的计算始终为我们所注意，因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解，会更简单，明了。下面我们就例题进行探讨。

例１．求解ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）

分析：本题属于０

０

型未定式，若单使用洛必达法则计算（下面解

法一），计算过程较为繁琐。若配合等价无穷小代换，计算较为简捷（下面解法二）。

解法一：单纯使用洛必达法则１

即：ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ－ｓｉｎｘ

ｘ２（ｅｘ－１）

＝ｌｉｍ

ｘ→０

１－ｃｏｓｘ

２ｘ（ｅｘ－１）＋ｘ２ｅｘ

＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｓｉｎｘ

２ｘ（ｅｘ－１）＋４ｘｅｘ＋ｘ２ｅｘ

＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｃｏｓｘ

２ｅｘ＋４ｅｘ＋４ｘｅｘ＋２ｘｅｘ＋ｘ２ｅｘ

＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｃｏｓｘ

６ｅｘ＋６ｅｘ＋ｘ２ｅｘ

＝１

６

解法二：在洛必达法则基础上，将ｅｘ－１用其等价无穷小ｘ替换

即：ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）

＝ｌｉｍ

ｘ→０ｘ－ｓｉｎｘｘ３

＝ｌｉｍ

ｘ→０１－ｃｏｓｘ３ｘ２

＝ｌｉｍ

ｘ→０ｓｉｎｘ６ｘ

＝ｌｉｍ

ｘ→０ｃｏｓｘ６

＝１

６

我们在寻找等价无穷小时，如：ｅｘ－１￣ｘ，ｓｉｎｘ￣ｘ只利用了等价无穷

小ｅｘ－１＝ｘ＋ｏ（ｘ）的一阶性质。事实上，ｅｘ－１＝ｘ＋ｘ２

２!

＋ｏ（ｘ２）也可以ｅｘ－１＝ｘ＋

ｘ２２!＋ｘ３

３!

＋ｏ（ｘ３）……可以看出更精细的极限需用泰勒公式解决。因此，

我们有了下面解法三。

解法三：为方便计算，我们仍将ｅｘ－１用其等价无穷小ｘ替换，则分母为ｘ３项，此时只需将分子ｓｉｎｘ在ｘ＝０点的麦克劳林式展开到ｘ３即可。

即：ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３

３!

＋ｏ（ｘ４）故有

ｌｉｍ

ｘ→０

ｘ－ｓｉｎｘ

ｘ２（ｅｘ－１）

＝

ｘ－ｘ＋ｘ

３

３！

＋ｏ（ｘ４）

ｘ３

＝ｌｉｍ

ｘ→０

１

３！

＋ｏ（ｘ）

＝１

６

再看一例：

例２．

ｌｉｍ

ｘ→０

１＋ｘ

#＋１－ｘ

#－２

ｘ２

分析：此题可用洛必达法则直接求解，此处不作详细解答。我们是用泰勒公式法求解。

解：将１＋ｘ

#、１－ｘ

#在点的麦克劳林式展开到ｘ２项

１＋ｘ

#＝１＋ｘ

２

－ｘ２

８

＋ｏ（ｘ２）１－ｘ

#＝１－ｘ

２

－ｘ２

８

＋ｏ（ｘ２）

故有

ｌｉｍ

ｘ→０

１＋ｘ

#＋１－ｘ

#－２

ｘ２

＝ｌｉｍ

ｘ→０

－ｘ２

４

＋ｏ（ｘ２）

ｘ２

＝－１

４

由于洛必达法则的实质是同时使分子分母的无穷小的阶数降低一阶，遇到分子分母阶数都是较高的无穷小的话，必须进行多次洛必达法则，，遇到分子分母含有带根号项时，会越微分形势越繁琐。而用泰勒公式，则可一步到位。所以在求解未定式极限时，应该灵活使用泰勒公式法解决。从而避免应用洛必达法则出现的解题困难。

【参考文献】

［１］詹瑞清，卢海敏．高等数学全真课堂［Ｍ］：北京．学苑出版社．

作者简介：崔春红、刘亚，女，河北农业大学中兽医学院基础部，助教。

［责任编辑：田瑞鑫］

用泰勒公式巧解未定式极限

崔春红刘亚

（河北农业大学中兽医学院河北定州０７３０００）

【摘要】高等数学中求解未定式极限是极限运算中的典型问题。本文将在洛必达法则以及等价无穷小方法基础上，探讨用泰勒公式求解未定式极限的技巧。

【关键词】未定式极限；洛必达法则；等价无穷小；泰勒公式

●科

（上接第１７６页）爱教育工作；２）有良好和谐的人际关系：３）能正确地了解自我、体验自我和控制自我；４）具有教育的独创性；５）在教育活动和日常生活中均能重视感受情绪并恰如其分地控制情绪。因此，良好的心理健康状况是教师职业规范的需要，更是教师个体发展和自我追求的需要。

（三）理解与对话：建设民主平等的师生关系

师生之间实际上是一种自发的人际交往。教师作为学生生活和成长中的“重要他人”，师生之间在传递知识的过程中，还有丰富的精神上的交流和完整人格相互的交流，师生关系是具有重要教育意义的教育活动。因此，充分认识师生关系的教育价值，努力建立以理解与对话为特征的民主平等的师生关系，有利于实现教育的完整性、和谐性，防止片面的知识教育中师生关系的弊端。

【参考文献】

［１］宋宏福．教师行为问题矫治．〔Ｊ〕改革与战略．２００４．５．

［２］沈杰等．中学教师行为问题的初步调查．〔Ｊ〕教育探索．２００５．１．

［３］唐松林．教师行为研究．〔Ｍ〕湖南师范大学出版社．２００５．

［责任编辑：田瑞鑫］●

○高校讲坛○１７８