二面角求法及经典题 专题训练
高中二面角经典例题
高中二面角经典例题
高中二面角是几何中的一个重要概念，掌握二面角的概念和计算方法对于理解空间几何和解题都具有重要意义。
下面介绍一些经典的高中二面角例题，供大家练习和参考。
1.已知四面体ABCD中，AB=3，AC=4，AD=5，BC=6，CD=8，BD=7，求角ABC和角BAD的二面角。
2.已知直角棱锥ABCDE，以AD为底面对角线，EA为高，
AB=AC=AD=10，BC=BD=CD=5，求角EAB和角EAC的二面角。
3.已知正四面体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，求角A和角A1的二面角。
4.已知正方体ABCDA1B1C1D1E1F1E，F在平面ABC上，以AF为底面对角线，求角FA1B1和角FA1C1的二面角。
5.已知正八面体ABCDEFGH，以AB为底面对角线，求角E和角H 的二面角。
以上这些例题都是比较典型的高中二面角例题，需要运用几何相关知识和计算方法进行解答。
希望同学们能够认真学习和练习，掌握二面角的概念和计算方法，提高几何解题能力。
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专题求二面角含答案
1、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1 =4,点 D 是 AB 的中点C1B1A1CBDA（1）求证：AC BC 1 ；（2）求证：AC 1 //平面 CDB 1 ； （3）求二面角 B-DC-B1 的余弦值．2、如图，在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AA1=2, AD = 3, E 为 CD 中点，三棱 锥 A1-AB1E 的体积是 6. (1) 设 P 是棱 BB1 的中点，证明：CP//平面 AEB1; (2) 求 AB 的长； (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.试卷第 1 页，总 3 页3、如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，，，，， 为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面平面 ；（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.4、如图所示，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． （Ⅰ）求证：A1B∥平面 B1DC； （Ⅱ）求二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值．试卷第 2 页，总 3 页5 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ 底 面 ABCD, 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过 AD 的平面分别交 PB,PC 于 M,N 两点.(1)求证:MN∥BC; (2)若 M,N 分别为 PB,PC 的中点, ①求证:PB⊥DN; ②求二面角 P-DN-A 的余弦值.6、如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC 1, AA1 3 ．AD CBA1 C1B1（1）求证： BC1 // 平面 A1DC ； （2）求二面角 D A1C A 的平面角的正弦值．试卷第 3 页，总 3 页1、【答案】（1）AC BC 1 ；参考答案（2）AC //平面 CDB ；113 34 （3）二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34试题分析：（1）考虑到第三问要求二面角的大小，故需要在空间直角坐标系中用法向量 的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）问也可方便证明，因为是直三棱柱可以以 C 为 坐标原点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量证明 AC • BC1 0 即可得证；（2）要证明线面平行，必须证明线线平行；（3）分别求出平面 BDC 和平面 DCB1 的法向量，求出法向量的夹角的余弦值即为二面角 B-DC-B1 的余弦 值（注意值的正负判断） 试题解析：因为直三棱柱的底面三边长分别为 3、4、5 所以 AC, BC,CC1 两两垂直，以 C 为坐标原 点，直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（1）因为 AC 3,0,0, BC1 0, 4, 4 ，所以 AC • BC1 0 ，即 AC BC1（2）设CB1C1BE,则E 0, 2,2,故DE 3 2, 0,2 ,AC13, 0,4所以DE1 2AC1,即DE//AC1因为 DE 平面 CDB1 , AC1 平面 CDB1 ,所以 AC 1 //平面 CDB 1（3）可求得平面 CDB1 的一个法向量为 n1 4,3,3 ，取平面 CDB 的一个法向量为n2 0,0,1 ，则 cosn1, n2 3 343 3434 ，由图可知，二面角 B-DC-B1 的余弦值为 34考点：1.直线与平面平行的判定及性质；2.利用空间直角坐标系求二面角的求法；答案第 1 页，总 9 页2、【答案】3、【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3） . 试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、 二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作答案第 2 页，总 9 页出辅助线 MN，N 为 中点，在 中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形 ABMN 为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得 ∥平面 ；第二问，利用面面垂直的性质，判断 面 ，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得 平面 BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面 ；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法 建立空间直角坐标系，求出平面 BEC 和平面 ADEF 的法向量，利用夹角公式计算即可.（1）证明：取 中点 ，连结．在△ 中， 分别为 的中点，所以 ∥ ，且．由已知 ∥ ，，所以∥ ，且．所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ．又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 ．4 分（2）证明：在正方形 中，．又因为平面平面 ，且平面平面，所以 平面 ．所以．6 分在直角梯形 中，， ，可得．答案第 3 页，总 9 页在△ 中，，所以．7 分所以 平面 ．8 分又因为 平面 ，所以平面平面 ．9 分（3）（方法一）延长 和 交于 ．在平面内过 作于 ,连结 ．由平面∥，，平面平面 = ，得，于是．又， 平面 ，所以，于是 就是平面 与平面 平面角.12 分所成锐二面角的平面 ，由，得.又，于是有.在中，.所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．14 分答案第 4 页，总 9 页（方法二）由（2）知 平面 ，且．以 为原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系．易得.平面 的一个法向量为的一个法向量，因为，所以所以为平面 的一个法向量．１２分设平面 与平面 所成锐二面角为 ．.设为平面，令 ，得．则．所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为． 【考点】中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角. 4、【答案】 证明：（1）连结 BC1，B1C，交于点 O，连结 OD， ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点， ∴OD∥A1B， ∵A1B？平面 B1DC，OD？平面 B1DC， ∴A1B∥平面 B1DC． （2）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形，D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥平面 ABC，AA1=3． ∴以 D 为原点，DC1 为 x 轴，DB1 为 y 轴，过 D 作平面 A1B1C1 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 D（0，0，0），B1（0， ，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），答案第 5 页，总 9 页=（﹣1， ，﹣3）， =（﹣1，0，﹣3）， 设平面 B1DC 的法向量 =（x，y，z），=（0，0，﹣3），则，取 z=1，得 =（﹣3，0，1），设平面 B1CC1 的法向量 =（a，b，c），则，取 b=1，得 =（），设二面角 D﹣B1C﹣C1 的平面角为 θ，则 cosθ===．∴二面角 D﹣B1C﹣C1 的余弦值为．5、【答案】（1）见解析；（2）见解析， 试题分析：（1）先证明 BC∥平面 ADNM，再证明 MN∥BC.（2）①先证明 PB⊥平面 ADNM， 再证明 PB⊥DN.②以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立 空间直角坐标系 A-xyz,利用向量法求二面角 P-DN-A 的余弦值. 【详解】 (1)证明因为底面 ABCD 为直角梯形,所以 BC∥AD.因为 BC 平面ADNM, AD 平面ADNM ,所以 BC∥平面 ADNM. 因为 BC 平面 PBC,平面 PBC∩平面 ADNM=MN,所以 MN∥BC. (2)①证明因为 M,N 分别为 PB,PC 的中点,PA=AB,所以 PB⊥MA. 因为∠BAD=90°,所以 DA⊥AB.答案第 6 页，总 9 页因为 PA⊥底面 ABCD,所以 DA⊥PA. 因为 PA∩AB=A,所以 DA⊥平面 PAB. 所以 PB⊥DA. 因为 AM∩DA=A,所以 PB⊥平面 ADNM. 因为 DN 平面 ADNM,所以 PB⊥DN.②如图,以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立空间直角 坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由①知,PB⊥平面 ADNM,所以平面 ADNM 的法向量为 =(-2,0,2). 设平面 PDN 的法向量为 n=(x,y,z),因为 =(2,1,-2), =(0,2,-2),所以令 z=2,则 y=2,x=1. 所以 n=(1,2,2),所以 cos<n, >=.所以二面角 P-DN-A 的余弦值为 . 【点睛】 (1)本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对 该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式（其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“ ” 号）.6、【答案】（1）证明见解析；（2） 2 13 ． 13答案第 7 页，总 9 页试题分析：（1）连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ，利用四边形11ACC A 是平行四边形，进而证明出DG ∥1BC ，即可利用线面平行的判定定理，证得//1BC 平面DC A 1；（2）分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求解平面1DA C 和平面1A CA 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角1DAC A的平面角的余弦值，进而求解其正弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG ． 在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，∴1AG GC =． ∵AD DB =，∴DG ∥1BC ．∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC ． （2）过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作OE BC ⊥交11B C 于E ．因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C ．分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为11,3BCAA ，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点．则()0,0,0O ，B 0，0） （Ⅰ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0.n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵3(,0,CD =，11(A C =-⎪⎩，得平面1A DC 的一个法向量为(3,1,n =-1BC =（10）1BC ·n =0∴∴1BC ∥平面1A DC ．（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为(13,0,n =设二面角1D AC A 的大小为θ，则16,n n <>∵()0,θπ∈，213sin 13DEDFEDF 考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解．。
二面角专项练习
二面角专项练习班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂逆定理作出二面角的平面角；例2在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。
三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，的大小。
四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下：如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AC=3，AB=5，.,4,53cos 1的中点是点AB D AA CAB ==∠。
（Ⅰ）求证：1BC AC ⊥；（Ⅱ）求证：AC 1//平面CDB 1； （Ⅲ）求三棱锥A 1—B 1CD 的体积.18. (本题满分14分) 如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1.（1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .如图，四棱锥P —ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点. （1）证明：EF ∥面PAD ；（2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积.18．（本小题满分14分） 如图4所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方 形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：PA P 平面EFG ； （2）求三棱锥P EFG -的体积．18．（本小题满分14分）如图，已知棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且AA 1⊥面ABCD ，∠DAB=60°，AD=AA 1，F 为棱AA 1的中点，M 为线段BD 1的中点。
五种方法法求二面角及限时练习
从而可得本解法。（答案：二面角 P BD A 的大小为 arctan
三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线
的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明
确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解
题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
例 3（2008 湖南）如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD
面角解之。（Ⅰ）证略
解: （Ⅱ）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.
过点 A 作 AH⊥PB 于 H，由（Ⅰ）知
平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE.
在 Rt△ABF 中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰 Rt△PAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG.
解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF AM 交 AM 于
点 F ，则点 F 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 GF AM ，GF 交 AS 于 G，
连结 AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且 M 是 SC 的中点，
∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵ F 为 AM 的中点，
五种方法求二面角及练习题
一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这
两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂 线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S—AM—B 中半平面 ABM 上的一已知点（B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足 （F）作棱 AM 的垂线（如 GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角， 再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
第8章立体几何专题8 二面角的求解-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
二面角的求解【方法总结】二面角A-BC-D 的求法：1、先确定两个平面，面ABC 及面BCD 和其两面的交线BC ，根据题意过点A 或点D 作交O 线BC 的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC 时，或者在直角三角形中作垂线∠BAC=900时，应该过点A 作BC 垂线）；2、1)反连OD ，证明OD ⊥BC ；2）若OD 不垂直于BC ，看面BCD 内是否有与交线BC 垂直的直线，若有直线l ⊥BC ，则直接过点O 作l 的平行线；3、若两个平面上没有对应的等腰三角形则看两平面是否有垂直于交线BC 的直线若有可将两垂线平移至相交直线，求其夹角。
【巩固练习】1、在长方体''''ABCD A B C D -中，若AB AD =='CC =，则二面角'C BD C --的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】A【解析】如图所示，AB AD =∵BCD ∆, 'BC D ∆为等腰三角形，∴OC BD ⊥, 'OC BD ⊥，则'C OC ∠是二面角'C BD C --的平面角，30,故选2．已知矩形ABCD 的两边3AB =，4=AD ，PA ⊥平面ABCD ，且45PA =，则二面角A BD P --的正切值为（ ）A ．12B ．13C ．12-D ．13- 【答案】B【解析】如图所示，在平面PBD 内，过P 作BD 的垂线，垂足为E ，连接AE ， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PE BD ⊥，PA PE P = ，故BD ⊥平面PAE ，因为AE ⊂平面PAE ，故AE BD ⊥，所以PEA ∠为A BD P --的平面角，3．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≥ B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===． 在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、．连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==．显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-．2π时取等号）因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ；当0α=时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．4、如图，在直棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，则二面角11A BC C --的平面角的正弦值为____.【解析】过1A 作111A D B C ⊥交11B C 于D ，过D 作1DE BC ⊥,交1BC 于E ，连接1A E .由于三棱柱为直三棱柱，故11CC A D ⊥，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以111,A D BC A D DE ⊥⊥，因此1BC ⊥平面1A DE ，所以11BC A E ⊥.故1DEA ∠是二面角11A BC C --的平面角的补角，由于AB AC ⊥，12AB AC AA ===，故5．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD a PA PC ===，，则二面角P BC D --的大小为___________.【答案】45.【解析】由题意，四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，PDa ， PD DC ， 同理PD DA ⊥，因为DA DC D =，所以PD ⊥平面ABCD ，则PD BC ⊥，又BC DC ⊥，且PD DC D =，所以BC ⊥平面PDC ，则BC PC ⊥，所以PCD ∠为二面角P BC D --的平面角，在Rt PDC △中，PD DC a ==，所以45PCD ∠=，所以二面角P BC D --的大小为45.6、如图，已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，122DC DD AD AB ===．（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ；（2）求二面角11A BD C --的正弦值．【解析】（1）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形， 90，即BD 又1BD BB ⊥，1.B B BC B ⋂=BD ∴⊥平面11BCC B ，（2）由（I ）知DB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取DB 的中点F , 连结1A F ，又11A D A B =，则1A F BD ⊥．取1DC 的中点M ，连结FM ，则1FMBC ,FM BD ∴⊥.∴BD ⊥平面1A FM 1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角． ，在1A FM 中，212BC =+取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 1Rt A HM 中，1A H =7、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AB AA ==，3BAD π∠=，AC BD O =，AO ⊥平面1A BD ，11A BA D =.（1）证明：1//B C 平面1A BD ；（2）求钝二面角1B AA D --的余弦值.【解析】 （1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，易知Q 为1AB 中点，∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1//B C 平面1A BD .（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =，∴1A O ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -.∴(1AA =-，(AB =-设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =， 1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩，∴⎧-⎪⎨⎪⎩1=，得y z =∴(1,3,n =的一个法向量为(1,m =-1,7m nm n m n ⋅<>==，8、如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60，PB =2，E ，F 分别是BC ,PC 的中点． （Ⅰ）证明：AD 平面DEF；（Ⅱ）求二面角P -AD -B 的余弦值． 【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因P A =PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB //EF ，得AD EF ⊥，而DE //GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥平面DEF 。
最新的版,二面角求法及经典题型归纳
立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。
（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。
7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：αβaOAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
二面角练习题
二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。
在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。
它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。
练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。
解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。
这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。
所以，∠AOC和∠BOD是互补角。
练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。
直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。
同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。
然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。
因此，θ = arccos(1/√3)。
这就是直线l1和直线l2的二面角。
练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。
由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。
然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。
平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。
求二面角的方法专题
二面角二面角的平面角的定义： 以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角的特点：① 直。
典型例题： 方法一：定义法AC BC AD BD CD a ,则二面角 A CD B 的余弦值是顶点在棱上；② 两条边分别在两个平面内；③与棱都垂.面角的平面角的范围: 0 0 0 ,180四.求二面角的平面角的方法:1. 定义法（或垂面法）2. 三垂线法1.已知 AOB90°，过点O 引 AOB 所在平面的斜线OC 与OA , OB 分别成 45°,60°A OCB 的大小。
ABC 所在平面外接 AD,BD,CD,AB 、• 2a ,角，求二面角3.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，那么截面A 1BD 和截面EBD所成的二面角为 ________________4•在 ABC 中，AB BC,SA 平面ABC , DE 垂直平分SC ,且分别交AC,SC 于D,E ,又SA AB, SB BC ,求二面角E BD C 的大小。
5.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角A BD 1 P的大小。
6•如图，已知点P 为正方体ABCD AB 1C 1D 1的棱A i B i 的中点，求二面角P AC DiC的余弦值。
方法二：三垂线法：7•如图所示，平面ABC 平面ABD, ACB 90°,CA CB, 面角C BD A的平面角的正切角为ABD是正三角形，则二23）3&如图，矩形ABCD中，AB 6,BC 2 3，沿对角线BD将移至点P，且P在平面BCD的射影0在DC上。
1（1 ）求二面角P DB C的平面角的余弦值。
（一）3（2）求直线DC与平面PBD所成角的正弦值。
（亠）ABD向上折起，使点A9 .如图，已知A是BCD所在平面外一点，连接AB, AC,AD后，ADB 900, AD BD .2, ABC 300, AC 平面BDC，求二面角D AB C 的j'3大小。
高考数学二面角专题训练
高考数学二面角专题训练1.（06安徽卷）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。
（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。
（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12AO =，32DO =，BO =。
过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所求二面角平面角。
在AHO 中，OH=7，1tan AOAHO OH ∠==。
在DHO中，3tan 7DO DHO OH ∠===；而tan tan()2AHD AHO DHO ∠=∠+∠== （Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，12-,0)，0,0)，D(0,2，0)，∴1(0,,1)2PA =--，3(1)PB =-，(0,2,1)PD =-设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n PB⊥，得11110210y x ⎧--=⎪⎪-=，123(2,1)3n =-；设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2n PB ⊥，得22210102y x -=⎧-=⎩，2231(,1)32n =；121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅2. （06北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，∴AB 是PB 在平面ABCD 上得射影， 又AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点 又E 是PD 的中点， ∴EO PB.又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB 平面AEC ，（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为,,022a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02b OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭又(,0,0),OE AC a =b b＝（0，－,）,220,0,OE AC OG AC ∴==,,OE AC OG AC ∴⊥⊥EOG ∴∠是二面角E AC B -=的平面角。
高一寒假作业(8)——立体几何二面角专题(含答案)
高一寒假作业（8）—二面角专题1、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （1）求证：A 1C //平面AB 1D ；（2）求二面角B —AB 1—D 的正切值；2、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在线段AB 上.（1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（2）若二面角1D EC D --的大小为45︒，求点B 到平面1D EC 的距离.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；（3）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的正切值。
4、 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。
（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1CC 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --的正弦值。
5、 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。
（1）试确定PBP A 1的值，使得PC ⊥AB ；（2）若321=PBP A ，求二面角P —AC —B 的大小；（3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离。
6、如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的正弦值.7、如图7-29，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，,32=BD ，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3。
二面角问题求解方法大全
五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
\练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
~（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
四、射影面积法（coss S射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
34 高中数学立体几何(解答题)二面角计算专题训练
专题3高中数学立体几何（解答题）二面角计算专题训练【方法总结】 1．二面角(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝＜AB →，CD →＞．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos ＜n 1，n 2＞|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．2．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n 1，n 2＞|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|． 3．利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【高考真题】1．（2022新高考Ⅰ卷）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．2．（2022新高考Ⅱ卷）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ︒∠=∠=，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值． 【题型突破】1．(2020·全国Ⅲ改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1．(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求平面AEF 与平面EF A 1夹角的正弦值．2．(2019·全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝ BF ＝2，∠FBC ＝60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2． (1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．3．(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．4．(2019·全国Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求平面AMA1与平面MA1N夹角的正弦值．5．(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝66DO．(1)证明：P A⊥平面PBC；(2)求二面角B－PC－E的余弦值．6．(2021·全国新Ⅱ)在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝5，QC＝3．(1)证明：平面QAD ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －QD －A 的平面角的余弦值．7．(2021·全国乙)如图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，M 为BC 的 中点，且PB ⊥AM ． (1)求BC ；(2)求二面角A －PM －B 的正弦值．8．(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直，M 是CD ︵上异 于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．9．(2021·全国新Ⅰ)如图，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点． (1)证明：OA ⊥CD ；(2)若△OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE ＝2EA ，且二面角E －BC －D 的大小为45°，求三棱锥A －BCD 的体积．DABCQDABCPM10．(2021·全国甲)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1． (1)证明：BF ⊥DE ；(2)当B 1D 为何值时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小？11．(2021·北京)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为A 1D 1中点，直线B 1C 1交平面CDE 于点F ．(1)证明：点F 为B 1C 1的中点；(2)若点M 为棱A 1B 1上一点，且二面角M －CF －E 的余弦值为53，求A 1M A 1B 1的值．12．如图所示的几何体由平面PECF 截棱长为2的正方体得到，其中P ，C 为原正方体的顶点，E ，F 为原 正方体侧棱长的中点，正方形ABCD 为原正方体的底面，G 为棱BC 上的动点． (1)求证：平面APC ⊥平面PECF ；(2)设BG →＝λBC →(0≤λ≤1)，当λ为何值时，平面EFG 与平面ABCD 所成的角为π3？ABCDOEBACA 1B 1C 1D FEBAD CA 1B 1C 1D 1E FM13．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N ，Q 分别是CC 1，BC ，AC的中点，点P 在直线A 1B 1上运动，且A 1P →＝λA 1B 1→(λ∈[0，1])． (1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥平面PNQ ；(2)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 的夹角为60°？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．14．已知在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝4，E 为PC的中点，PD ＝PC ，BC ＝22． (1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若PB 与平面ABCD 所成角为45°，点P 在平面ABCD 上的射影为O ，问：BC 上是否存在一点F ，使平面POF 与平面P AB 所成的角为60°？若存在，试求点F 的位置；若不存在，请说明理由．15．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF ． (1)求证：EF ⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．16．如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)设在线段AB 上存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6，求此时AM 的长及点E 到平面D 1MC的距离．17．(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M －AB －D 的余弦值．18．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ，四边形DCEF 是正方形，N ，G 分别是线段AB ，CE 的中点． (1)求证：NG ∥平面ADF ；(2)设二面角A －CD －F 的大小为θ⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，当θ为何值时，二面角A －BC －E 的余弦值为1313？19．已知三棱锥P －ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P －ABC 中： (1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱P A 上运动，当直线BM 与平面P AC 所成的角最大时，求二面角P －BC －M 的余弦值．20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A＝PD＝2，P A⊥PD，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点．(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为63若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．。
二面角问题求解方法大全
二面角问题求解方法大全(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1如图，四棱锥SABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
四、射影面积法（coss S射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
高中数学二面角的平面角及求法精选题
二面角的平面角及求法一．选择题（共14小题）1．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ12．如图长方体中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是（）A．①B．②C．③D．④4．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．8πC．D．36π5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，P A＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是（）6．如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A．B．C．D．7．已知矩形ABCD，AD＝AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内（不含边界）．设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则（）A．α＜θ＜βB．β＜θ＜αC．β＜α＜θD．α＜β＜θ8．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB＝AC＝AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当|B1M|最小时，∠AMB＝（）A．B．C．D．9．如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．10．直角△ABC中，AB＝AC＝，D为BC边上一点，沿AD将△ACD折起，使点C在平面ABD内的正投影H 恰好在AB上，若AH＝1，则二面角C﹣AD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．11．已知点E是正方形ABCD的边AD上一动点（端点除外），现将△ABE沿BE所在直线翻折成△A′BE，并连结A′C，A′D．记二面角A′﹣BE﹣C的大小为α（0＜α＜π）．则（）A．存在α，使得BA′⊥面A′DE B．存在α，使得BA′⊥面A′CDC．存在α，使得EA′⊥面A′CD D．存在α，使得EA′⊥面A′BC12．如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AB＝AC＝1，，点E，O分别是线段C1C，BC的中点，，分别记二面角F﹣OB1﹣E，F﹣OE﹣B1，F﹣EB1﹣O的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是（）A．γ＞β＞αB．α＞β＞γC．α＞γ＞βD．γ＞α＞β13．如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线A1P与BC1间的距离为定值；②三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；③异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；④二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，已知BD是圆O的直径，A，C在圆上且分别在BD的两侧，其中BD＝2，AB＝CD．现将其沿BD折起使得二面角A﹣BD﹣C为直二面角，则下列说法不正确的是（）A．A，B，C，D在同一个球面上B．当AC⊥BD时，三棱锥A﹣BCD的体积为C．AB与CD是异面直线且不垂直D．存在一个位置，使得平面ACD⊥平面ABC二．填空题（共17小题）15．在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，在平面A1B1C1D1内，直线l∥B1D1，设二面角A﹣l﹣E的平面角为θ，当θ取最大值时，cosθ＝．17．已知矩形ABCD，AB＝20，BC＝15，沿对角线AC将△ABC折起，使得BD＝，则二面角B﹣AC﹣D的大小是．18．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．19．如图，在四面体A﹣BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．20．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D21．矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D﹣ABC，则该四面体外接球的体积为；设二面角D﹣AC﹣B的平面角为θ，当θ在[，]内变化时，|BD|的范围为．22．在边长为2的菱形ABCD中，A＝60°，沿对角线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为・23．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是，点A到侧面PBC的距离是．24．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A＝4，AB＝3，二面角P﹣AB﹣C的大小为30°，在侧面△P AB内（含边界）有一动点M，满足M到P A的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为．25．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥CC1，AC⊥BC，AC＝BC＝2，∠C1CB＝60°，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，则二面角B﹣B1E﹣D的正切值．26．若四棱锥P﹣ABCD的侧面P AB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．27．四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V﹣AB﹣C的平面角为．28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，则在三棱锥A﹣BCD中，下列判断正确的是．（写出所有正确的序号）①平面ABD⊥平面ABC②直线BC与平面ABD所成角是45°③平面ACD⊥平面ABC29．小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD中，已知∠BAC＝α，∠CAD＝β，∠DAB ＝γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ＝，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）＝．30．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B﹣AC﹣D的大小为．31．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是．三．解答题（共5小题）32．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．33．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC ＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面P AB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．34．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣P A﹣C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．35．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．36．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．二面角的平面角及求法精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN＝OM，则θ1＝∠SEN，θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1＝＝，tanθ3＝，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3＝，sinθ2＝，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．2．如图长方体中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】取BD的中点E，连接C1E，CE，根据已知中AB＝AD＝2，CC1＝，我们易得△C1BD及△CBD 均为等腰三角形，进而得到C1E⊥BD，CE⊥BD，则∠C1EC即为二面角C1﹣BD﹣C的平面角，解△C1EC即可求也二面角C1﹣BD﹣C的大小．【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE由已知中AB＝AD＝2，CC1＝，易得CB＝CD＝2，C1B＝C1D＝根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1E⊥BD，CE⊥BD则∠C1EC即为二面角C1﹣BD﹣C的平面角在△C1EC中，C1E＝2，CC1＝，CE＝故∠C1EC＝30°故二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°故选：A．【点评】本题考查的知识点是二面角平面角及求法，其中根据三垂线定理找出二面角的平面角是解答本题的关键．3．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是（）【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．∴BD⊥AC，故①正确．设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AE＝a＝EC．∴AC＝a．∴△ACD为等边三角形，故②正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．＝（0，﹣a，﹣a），＝（a，﹣a，0）．cos＜，＞＝＝∴＜，＞＝60°，故④正确．故选：C．【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．4．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．8πC．D．36π【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：如图所示，取BD中点F，连结AF、CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，∴cos∠AFC＝﹣，cos，AF＝CF＝＝3，∴AE＝2，EF＝1，设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，设OO′＝x，∵O′B＝CF＝2，O′F＝＝1，∴由勾股定理得R2＝O′B2+OO'2＝4+x2＝OG2+AG2＝（1+1）2+（2﹣x）2，解得x＝，∴R2＝6，即R＝，∴四面体的外接球的体积为V＝πR3＝＝8π．故选：B．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，P A＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由已知利用直线与平面垂直的判定证明CD⊥平面P AD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，再由已知结合直角三角形得答案．【解答】解：∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A，又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，得CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角．在Rt△P AD中，由P A＝AD＝1，可得∠PDA＝45°．即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°．故选：B．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．6．如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A．B．C．D．【分析】连接BE，以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面VBC与平面VEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解．【解答】解：由底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，得Rt△ABC≌Rt△AVC，∴VA＝VC＝BA＝BC．设VA＝VC＝BA＝BC＝2，由E为线段AC的中点，可得VE＝EB＝．由VE2+BE2＝VB2，可得VE⊥EB．以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则C（0，，0），B（，0，0），V（0，0，），设F（x，x﹣，0），，，，．设平面VBC的一个法向量为，由，取x＝1，得；设平面VEF的一个法向量为，由，取y1＝1，得．平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝．令f（x）＝．当x＝时，f（x）min＝3．∴cosθ的最大值为．故选：D．【点评】本题考查利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力与运算求解能力，关键是建立恰当的空间直角坐标系，是中档题．7．已知矩形ABCD，AD＝AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内（不含边界）．设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则（）A．α＜θ＜βB．β＜θ＜αC．β＜α＜θD．α＜β＜θ【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′＝1，则BC＝，∴A′C＝1，说明O为BC的中点；当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′＝1，则，∴A′E＝，BE＝．要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF＝α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF＝β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故选：D．【点评】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦函数单调性的应用，是中档题．8．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB＝AC＝AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当|B1M|最小时，∠AMB＝（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠AMB 的大小．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设CN＝b，BM＝a，则N（0，1，b），M（1，0，a），A（0，0，0），B（1，0，0），＝（1，0，a），＝（0，1，b），设平面AMN的法向量＝（x，y，z），，取z＝1，得＝（﹣a，﹣b，1），平面ABC的法向量＝（0，0，1），∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，∴cos＝＝，解得3a2+3b2＝1，∴当B1M|最小时，b＝0，BM＝a＝，∴tan∠AMB＝＝＝，∴∠AMB＝．故选：B．【点评】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．【分析】由＝，利用数量积运算性质展开即可得出．【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴＝＝0，又大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，∴•＝1×1×cos（180°﹣45°）＝﹣．∵＝，∴＝+++＝3﹣，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（）改为则B与D两点间的距离是（？10．直角△ABC中，AB＝AC＝，D为BC边上一点，沿AD将△ACD折起，使点C在平面ABD内的正投影H 恰好在AB上，若AH＝1，则二面角C﹣AD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，求解三角形求出BD的长度，进一步求得三角形ACD与三角形AHD的面积，再由三角形AHD是三角形ACD在平面ABC上的射影，利用面积比值求解．【解答】解：如图，在直角△ABC中，由AB＝AC＝，得BC＝．设BD＝x，则CD＝，由CH⊥AB，AC＝，AH＝1，可得CH＝．在△BDH中，由BH＝，BD＝x，∠DBH＝45°，得＝．在Rt△CHD中，有DH2+CH2＝CD2，即，解得x＝．即DB＝，CD＝．则＝．＝．设二面角C﹣AD﹣B的平面角为θ，则cosθ＝．故选：A．【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11．已知点E是正方形ABCD的边AD上一动点（端点除外），现将△ABE沿BE所在直线翻折成△A′BE，并连结A′C，A′D．记二面角A′﹣BE﹣C的大小为α（0＜α＜π）．则（）A．存在α，使得BA′⊥面A′DE B．存在α，使得BA′⊥面A′CDC．存在α，使得EA′⊥面A′CD D．存在α，使得EA′⊥面A′BC【分析】Rt△ABE绕BE旋转的几何体是两个圆锥的组合体，能推导出某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E ⊥BC，从而得到存在α，使得EA′⊥面A′BC．【解答】解：作AF⊥BE于F，交DC于G，则当折叠时，A′的投影在FG上设正方形的边长为1，则A′B＝1，BD＝，∵A′E+ED＝1＞A′D，∴∠BA′D≠90°，故A和B错误；∵如果EA’⊥平面A’CD，则EA’⊥A’C，EA’⊥A’D，而EA’⊥A’B，但A’B，A’C，A’D不共面，∴不可能存在α，使得EA′⊥面A′CD，故C错误；Rt△ABE绕BE旋转的几何体是两个圆锥的组合体，∵∠A′BE＜45°，45°＜∠A′EB＜90°，∴某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E⊥BC，∵二面角A′﹣BE﹣C的大小为α（0＜α＜π），∴存在α，使得EA′⊥面A′BC，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，，点E，O分别是线段C1C，BC的中点，，分别记二面角F﹣OB1﹣E，F﹣OE﹣B1，F﹣EB1﹣O的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是（）A．γ＞β＞αB．α＞β＞γC．α＞γ＞βD．γ＞α＞β【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则F（1，0，），O（，，0），E（0，0，），B1（1，1，），，，，，，设平面OB1E的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），同理可求平面OB1F的法向量，平面OEF的法向量，平面EFB1的法向量．∴，，．∴γ＞α＞β．故选：D．【点评】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线A1P与BC1间的距离为定值；②三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；③异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；④二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对于①由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换性求解体积，和点P的位置及直线AD1与平面BDC1的位置即可判断正误；对于②三棱锥的底面DBC1为定值，判断P到平面DBC1的距离是否是定值，即可判断正误；对于③由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法及可求解；对于④由题意及平面具有延展性可知实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角；【解答】解：对于①三棱锥D﹣BPC1的体积还等于三棱锥的体积P﹣DBC1的体积，而平面DBC1为固定平面且大小一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，所以①正确；对于②三棱锥的底面DBC1为定值，因为AD1∥BC1，所以AD1∥平面DBC1，P⊂AD1，所以P到平面DBC1的距离是定值，所以三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；故②正确；对于③因为在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，有正方体及题意易有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故③正确；对于④因为二面角P﹣BC1﹣D的大小，实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故④正确；故选：D．【点评】本题重点考查了异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法；平面具有延展性及二面角的求法及其定义；三棱锥的体积的体积计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都行等这一结论；考查计算能力，空间想象能力．14．如图，已知BD是圆O的直径，A，C在圆上且分别在BD的两侧，其中BD＝2，AB＝CD．现将其沿BD折起使得二面角A﹣BD﹣C为直二面角，则下列说法不正确的是（）A．A，B，C，D在同一个球面上B．当AC⊥BD时，三棱锥A﹣BCD的体积为C．AB与CD是异面直线且不垂直D．存在一个位置，使得平面ACD⊥平面ABC【分析】选项A，易知∠BAD＝∠BCD＝90°，而O为BD的中点，故OA＝OB＝OC＝OD，从而判断选项A；选项B，当AC⊥BD时，由三垂线定理的逆定理可知，AC在面BCD内的投影m垂直于BD，从而推出AO⊥平面BCD，点A为弧BD的中点，再由三棱锥A﹣BCD的体积V＝AO•S△BCD可判断选项B；选项C，易知AB与CD是异面直线；但当AC⊥CD时，由线面垂直的判定定理可证得CD⊥平面ABC，此时有CD⊥AB，可判断选项C；选项D，由选项C可知，当AC⊥CD时，CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可判断选项D．【解答】解：选项A，由题可知，∠BAD＝∠BCD＝90°，∵O为BD的中点，∴OA＝BD＝OC，即OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D都在以O为球心的球面上，即选项A正确；选项B，∵二面角A﹣BD﹣C为直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，当AC⊥BD时，由三垂线定理的逆定理可知，AC在面BCD内的投影m垂直于BD，∵OC⊥BD，∴m与OC重合，∴AO⊥平面BCD，即点A为弧BD的中点，∵AB＝CD，∴△ABD和△BCD均为等腰直角三角形．三棱锥A﹣BCD的体积V＝AO•S△BCD＝×1××1×2＝，即选项B正确；选项C，∵AB⊂平面ABD，CD∩平面ABD＝D，∴AB与CD是异面直线．∵∠BCD＝90°，即BC⊥CD，∴若AC⊥CD，由于AC∩BC＝C，AC、BC⊂平面ABC，则CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB，即选项C错误；选项D，由选项C可知，当AC⊥CD时，CD⊥平面ABC，∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，即选项D正确．故选：C．【点评】本题主要考查空间中线与面的垂直关系，熟练掌握空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．二．填空题（共17小题）15．在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为．【分析】利用已知条件画出图形，判断球心的位置，转化求解球的半径即可．【解答】解：在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，四面体ABCD外接球，如图：则△BCD在求出一个小圆上，BD的中点为圆心N，△ABD是正三角形，也在球的一个小圆上，圆心为M，作OM⊥平面ABD，ON⊥平面BCD，O为球心，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，作NP⊥BD，则∠ANP＝150°，可得∠ONM＝60°，MN＝，则ON＝，BN＝1，外接球的半径为：＝．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体，二面角的平面角的应用，球与平面相交的性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，在平面A1B1C1D1内，直线l∥B1D1，设二面角A﹣l﹣E的平面角为θ，当θ取最大值时，cosθ＝．【分析】找到二面角的平面角，转化成平面图形后建立坐标系借助直线斜率的知识处理．【解答】解：如图，设正方体的棱长为1，l与A1B1，A1D1分别交于I，H两点，取CD的中点F，连接EF，则EF∥BD，又因为BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，又因为直线l∥B1D1，∴直线l∥EF，即EFHI在同一平面内，设平面EFHI与AC交于G，在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，又知道AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1．所以B1D1⊥平面AA1C1C，又因为HI∥B1D1，所以HI⊥平面AA1C1C，设HI∩A1C1＝O，连接OA，OG，则∠AOG即为二面角A﹣l﹣E的平面角θ，且θ为锐角．因为EF为三角形BCD的中位线，故G是AC的四等分点，即AG＝，取出截面AA1C1C如图，以A为坐标原点，AC为x轴，建立如图坐标系，设O点坐标为（x，1），x∈（0，）．直线OA的斜率为k OA＝，直线OG的斜率k OG＝，∴tanθ＝＝＝＝，当θ取得最大值时，tanθ取得最大值，故当x＝时，tanθ最大，即O点坐标为（，1），∴OA＝OG＝＝，所以由余弦定理cosθ＝＝＝＝．故填：．【点评】本题考查了二面角的求法，且为二面角余弦值的最值的求法，将二面角的平面角转化的平面内建系后用到角公式处理是比较简单的方法，本题属于难题．17．已知矩形ABCD，AB＝20，BC＝15，沿对角线AC将△ABC折起，使得BD＝，则二面角B﹣AC﹣D的大小是．【分析】作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角为α，表示出B，D两点坐标，根据距离公式列方程解出α．【解答】解：在矩形ABCD中，作DE⊥AC于点O，交AB于点E，作BF⊥AC于点F，∵AB＝20，BC＝15，∴AC＝＝25，∴DO＝BF＝＝12，AO＝CF＝＝9，∴OF＝25﹣9×2＝7，在翻折后，以O为原点，以OE，OC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则∠DOE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，设∠DOE＝α（0＜α＜π），则D（12cosα，0，12sinα），B（12，7，0），∴|BD|＝＝＝，∴cosα＝﹣，∴α＝，故答案为：．【点评】本题考查了二面角计算，作出二面角的平面角是关键，建系代入坐标运算可使计算简便，属于中档题．18．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．【分析】过点A作AE⊥PB于点E，连接CE、AC，易知∠AEC即为所求．设底面ABCD的边长为a，则AC＝＝P A＝PC＝PB，在△P AB中，由可求得△P AB的面积，再由等面积法求出AE的值，最后在△ACE中，由余弦定理知，cos∠AEC＝，代入数据即可得解．【解答】解：过点A作AE⊥PB于点E，连接CE、AC，由题可知，△P AB≌△PCB，∴CE⊥PB，∴∠AEC即为二面角A﹣PB﹣C的平面角．设底面ABCD的边长为a，则AC＝，∵P A＝PC，∠APC＝60°，∴△P AC为等边三角形，P A＝PC＝＝PB，在△P AB中，＝，由等面积法可知，，∴AE＝＝CE，在△ACE中，由余弦定理知，cos∠AEC＝＝．由题可知，二面角A﹣PB﹣C为钝二面角，∴二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的基础，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．19．如图，在四面体A﹣BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．【分析】过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OD，推导出AD⊥CD，OD⊥CD，OB⊥BC，从而∠ADO是二面角A﹣CD﹣B的平面角，由△BCD是等边三角形，得∠BOD＝120°，由余弦定理得求出BD＝，由此能求出二面角A﹣CD﹣B的平面角的余弦值．【解答】解：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OD，∵在四面体A﹣BCD中，棱AC的长为，其余各棱长都为1，∴AD⊥CD，∴OD⊥CD，∴OB⊥BC，∴∠ADO是二面角A﹣CD﹣B的平面角，∴△BCD是等边三角形，∴∠BOD＝120°，设PO＝x，OB＝OD＝y，由余弦定理得：BD2＝OB2+OD2﹣2OB•OD•cos120°，即1＝y2+y2﹣2y2cos120°，解得y＝，x＝＝，∴cos∠ADO＝＝．∴二面角A﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于．【分析】由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD＝，CD＝，BC＝由V B﹣ACD＝V D﹣ABC可知×AC•CD•BD＝×AC•BC•h所以，h＝故答案为：【点评】本题考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，考查计算能力，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一．21．矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D﹣ABC，则该四面体外接球的体积为；设二面角D﹣AC﹣B的平面角为θ，当θ在[，]内变化时，|BD|的范围为[，]．【分析】设AC中点为O，则O为四面体外接球球心，求出OA＝1，即可求解V球；取CO中点E，取CD三等分点F，且F靠近点C，连BE、EF、BF，通过求解三角形转化求解BD的范围即可．【解答】解：设AC中点为O，则O为四面体外接球球心，半径OA＝1，故V球＝；取CO中点E，取CD三等分点F，且F靠近点C，连BE、EF、BF，此时∠BEF＝θ，余弦定理求得BF2＝EF2+BE2﹣2EF•BE•cosθ＝，△CBF中，用余弦定理求得cos∠BCF＝＝，△BCD中，余弦定理求得BD2＝CD2+BC2﹣2BC•CD cos∠BCF＝4﹣，根据θ∈[，]，即可确定≤BD≤．故答案为：，[，]．【点评】本题考查空间点线面距离的求法，几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．22．在边长为2的菱形ABCD中，A＝60°，沿对角线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为28π・【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，∠AFC＝120°，∠AFE＝60°，AF＝＝3∴AE＝，EF＝，设OO′＝x，则∵O′B＝2，O′F＝1，∴由勾股定理可得R2＝x2+4＝（+1）2+（﹣x）2，∴R2＝7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2＝28π，故答案为：28π．【点评】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键，考。
二面角问题求解方法大全
五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD所成最大角的正切值为E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
(1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
E A BCF E 1A1 B1C1D 1D练习2如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
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立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。
（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）αβaOA B做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。
7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角11A B C A --的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。
C1例2:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ，求二面角B PC D --的大小。
2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。
如（例2）过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知1点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。
再解直角三角形求二面角的度数。
例1．ABCD ABEF ABCD平面平面，是正方形，ABEF是矩形^AD=a，G是EF的中点，且AF=12（1）求证：AGC BGC平面平面；（2）求GB与平面^AGC所成角的正弦值；（3）求二面角B AC G--的大小。
例2．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，ABC°?，PAB是正三角形，PA BC90^。
（1）求证：^平面PA B平面A B C；（2）求二面角P AC B --的大小。
例 3.如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。
练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。
B13．无棱二面角的处理方法（1）补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例1．过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD^平面，设PA=AB=a，（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
例2．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面P AB;（Ⅱ）求平面P AD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.例3．如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
例4、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。
（2）射影面积法（cos sq=射影）S凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
例1：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，求平面EB 1C 和平面ABCD 所成的二面角。
例2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA的中点，求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。
例3如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角。
例4．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；4、垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
例如：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
例1．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^； （2）求二面角C SA B --的大小；（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
例2、如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。
（1）求证：A 1、E 、C 、F四点共面；（2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
例3、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。
5、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量→a 、→b ， 有cos ＜→a ，→b ＞=→→→→⋅⋅||||b a ba ．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．例1.在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意得AB −−→= (0，1，0)，是面VAD 的法向量，设n →= (1，y ，z)是面VDB 的法向量，则0,0.n VB n VB →−−→→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩⇒1,3y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩⇒n →= (1，－1)。
∴cos ＜AB −−→，n →＞||||AB nAB n −−→→−−→→⋅⋅=－7， 又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角，所以其余弦值是7例2.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ．⑴求证CD ⊥平面BDM ； ⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．例3如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，BB 1C 1A 1C ADM侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F．求二面角C—PB—D的大小三、几点说明：1、定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。
此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。
2、三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。
此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。
3、垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。
4、以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
5、射影法是在不易作出平面角时用。
在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。