高考数学专题—参数方程

高考数学专题——参数方程一、基本知识要求1．参数方程和普通方程的互化(1通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α（t 为参数）圆的参数方程：{x =x 0+acos θy =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π）椭圆的参数方程：{x =m cos ty =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2y =2pt（t 为参数）二、常考题型要求常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题）1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。

例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；【解析】（1）的普通方程为．由的参数方程得，，所以．故的普通方程为．例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；【答案】（Ⅰ），【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为．得,由韦达定理有．解之得：或（舍去）试题解析：（Ⅰ）由得,∴曲线的直角坐标方程为．直线的普通方程为．例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程； 【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；【解析】（1），，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为， 令，得曲线的极坐标方程为；2、求距离问题：通过设圆的参数方程，转化为求三角函数的值域问题。

通常会用到点到直线距离公式。

注意点的形式。

例4、【2020·山西省太原五中高三月考（理）】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为9,x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．【答案】（1）221164x y +=．90x -=．（2）最大距离为92． 【解析】（1）由221613sin ρθ=+，得2223sin 16ρρθ+=，则曲线C 的直角坐标方程为22416+=x y ，即221164x y +=．直线l的直角坐标方程为90x --=．（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()4cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈，则()2cos ,sin M αα到直线:90l x -=的距离为92d +==≤，所以线段OP 的中点M 到直线l例5、【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为42x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的最小值.【答案】（1）42y x =-，2212y x +=；（2. 【解析】（1）直线l 的普通方程为42y x =-曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2212y x +=（2）曲线的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩设点Q的坐标为()cos ββPQ =≥=故PQ 的最小值为5. 例6、【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建极坐标系． （1）求C 的极坐标方程；（2）直线1l ，2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()3R πθρ=∈，直线1l 与曲线C的交点为O 、M ，直线2l 与曲线C 的交点为O 、N ，求线段MN 的长度． 【答案】（1）2sin ρθ=-；（2）1．【解析】（1）由曲线C 的参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩得曲线C 的直角坐标方程为：()2211x y ++=，所以极坐标方程为2222cos sin 2sin 0ρθρθρθ++=即2sin ρθ=-．（2）将6πθ=代入2sin ρθ=-中有1M ρ=-，即1OM =，将3πθ=代入2sin ρθ=-中有N ρ=ON =，366MON πππ∠=-=，余弦定理得2222cos16MN OM ON OM ON π=+-⋅=，1MN ∴=．例7、【2019·全国1·理T22文T22】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【解析】(1)因为-1<1-t 21+t2≤1,且x2+(y 2)2=(1-t 21+t2)2+4t 2(1+t 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x≠-1).l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,y =2sinα(α为参数,-π<α<π). C 上的点到l 的距离为|√3sinα+11|√7=4cos(α-π3)+11√7. 当α=-2π3时,4cos (α-π3)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7. 3、直线参数方程t 的几何意义：常用做题方法：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．注意sin 2α+cos 2α=1。

（注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义）常用结论：①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22；例8、已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点M 的直角坐标为(5,),直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①将x =ρcos θ，x 2+y 2=ρ2代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.例9、在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线的交点为、，求的值．【答案】（1）；；（2）4【解析】（1）的参数方程消去参数，易得的普通方程为，曲线：，即，∴，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）的参数方程（为参数），设对应参数为，对应参数为，将的参数方程与联立得：，得：，，所以即.例10、在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）【解析】（1），，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为，令，得曲线的极坐标方程为；（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则，，，异号，，；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，则，，，异号，，.4、与动点有关的取值范围和最值问题：解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．例11、【2020·广州模拟】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 2上的动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)依题意得，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝7，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－3＝0.直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝16， 设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π3，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3， 则ρ21－4ρ1cos π3－3＝0，即ρ21－2ρ1－3＝0， 得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，又ρ2＝8cos π3＝4，则|AB |＝|ρ2－ρ1|＝1.C 2(4，0)到l 的距离d ＝|43|4＝23，以AB 为底边的△P AB 的高的最大值为4＋23，则△P AB 的面积的最大值为12×1×(4＋23)＝2＋ 3.例12、【2020·栖霞模拟】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a >0)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4 2. (1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝23时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－42，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线l 的普通方程为x －y ＋8＝0. 设P (23cos t ，2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋8|2＝|4sin ⎝⎛⎭⎫t －π3－8|2＝22|sin ⎝⎛⎭⎫t －π3－2|， 当sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＝1时，d min ＝22， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为2 2.(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ，2sin t )，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方， 所以a cos t －2sin t ＋8>0对任意t ∈R 恒成立．a 2＋4sin(t －φ)<8，其中cos φ＝2a 2＋4，sin φ＝a a 2＋4.从而a 2＋4<8.由于a >0，解得0<a <215.即a ∈(0，215)．例13、【河北省石家庄市高三数学一模考试】在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．【解析】（Ⅰ）x 24+y 2=1，{x =2cos θy =sin θ（θ为参数） （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点A （acos φ，sin φ）l =8cos θ+4sin θ=4√5(√5θ√5θ)=4√5sin (θ+φ)且cos φ=√5sin φ=√5， 所以，当θ+φ=2kπ+π2（k Z ）时， l 取最大值，此时θ=2kπ+π2−φ所以2cos θ=2sin φ=45，sin θ=cos φ=√5， 此时A (√5√5)， 1l 的普通方程为y =14x。