整数规划应用案例分析
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xij 7(i 5,6)研究生每周值班不少于 7小时
j1
6
xij 14( j 1,..,5)实验室每天开放 14小时
i 1 5
yij 3(i 1,..,6)每名学生一周不超过 3次
s.t.
j 1 6
yij
i 1
3( j 1,..,5)每天值班不超过 3人
xij 8(i 1,..,4)大学生每周值班不少于8小时
j 1
5
xij 7(i 5,6)研究生每周值班不少于7小时
j 1
s.t.
6
xij 14( j 1,..,5)实验室每天开放14小时
i 1
5
解：令
1 选中项目i
0xi= 未选中项目I
(i=1,…,5)
Max Z=150 x1 + 210x2 + 60x3 +80x4 + 180x5 s.t.
210 x1 + 300x2 +100x3 +130x4 + 260x5 600
x1 + x2 + x3 >=1 1,2,3必须有一项选中
x3 + x4 1
6
min z xi i 1
x6 x1 60,
x1
x2
70,
x2
x3
60,
s.t.x3 x4 50,
x4
x5
20,
x5 x6 30,
xi
0, 且为 整数(i
1,2,...,6).
MODEL: Sets: Num/1..6/:b,x; Endsets Data: b=60,70,60,50,20,30; Enddata [OBJ]min=@sum(num(i):x(i)); x(1)+x(6)>=60; x(1)+x(2)>=70; x(2)+x(3)>=60; x(3)+x(4)>=50; x(4)+x(5)>=20; x(5)+x(6)>=30;
练习
例4.某钻井队要人以下10个可供选择的井位中确定5个
钻井探油,使总的钻探费用为最小,若10个井位的代号
为 c1, ,相c1应0 的钻探险费用为
要满足下列限制条件:
s,1并,且,井s1位0 选择上
①或选择 s和1 s,7或选择 s8
②选择了s3或 s就4 不能选 ,或s5 反过来也一
3,4只能选中一项
x5 x1
5被选中前提是1选中
xi=1或0(i=1,…,5)
解得（1，0，0，1，1）
Max Z=410
即投资项目1、4、5，可以获 得410万元。
二、分布系统设计-选址问题
在如今的全球经济中，许多公司正在全世界各个地 方建立新工厂，为的是获得低劳动力成本等好处。
在为新工厂选址之前，需要分析和比较地点。每个可 供选择的地点都涉及一个是或否的决策。
解: 设 xij为学生 i在周j的值班时间, yij 0,
否则
分析约束条件:
2 yij xij aij yij (i 1,..,6; j 1,..,5)不超过可安排的时间 5
xij 8(i 1,.., 4)大学生每周值班不少于 8小时
j 1
5
第四章 整数规划应用案例分析
第四章 整数规划的应用
一、投资项目的选择
利用线性规划可以来完成资金预算决策，决定对 不 同项目投资额各是多少。但实际中，一些资金预算决策 不是决定投资多少，而是是否进行一些固定金额的投资。
管理层必须经常面对的是：在预投入资金额度一定的 情况下，是否进行一项或几项固定投资。
Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23 +4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53
（其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。）
s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k
i 1,2, , m
投资项目的选择
例2. 华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表：
项目 投资额(万元)
投资收益(万元)
1
210
150
2
300
210
3
100
60
4
130
80
5
260
180
该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术原因， 投资受到以下约束： 1）在项目1、2和3中必须有一项被选中； 2）项目3和4只能选中一项； 3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。 如何在上述条件下，选择一个最好的投资方案，使收 益最大。
样
③在s5 , s6 , s中7 ,最s8多只能选两个.
试建成立这个问题的整数规划模型
解: 设决策变量
1, x j 0,
选择钻探第s j 井位 否则
10
目标函数为 min Z c j x j j 1
约束条件: 1)从10个可供选择的井位中确定5个探油,则
10
xj 5
=2,3,4,5。
模型检查！是否有问题？
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5．这可以表示为
一个整数规划问题：
Min z
=175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x
对每个是或否的决策： 1，是
引入决策变量 x= 0，否
在许多案例中，目标是地点的选择以使新建设施的总 的成本最小化，且这新设施能满足生产的需要。
分布系统设计-选址问题
例3．某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱， 为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方 建厂。已知在 A2 ，A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175 千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2， A3，A4，A5建成厂的产量，各销地的销量以及产地到销地的单 位运价(每千箱运费)如下表所示。
1 10.0 6 0 6 0 7 2 10.0 0 6 0 6 0 3 9.9 4 8 3 0 5 4 9.8 5 5 6 0 4 5 10.8 3 0 4 8 0 6 11.3 0 6 0 6 3
该实验室开放时间为上午8:00至晚上10:00,开放时间 内须有且仅须一名学生值班.规定大学生每周值班不 少于8小时,研究生每周不少于7小时,每名学生每周值 班不超过3次,每次值班不少于2小时,每天安排的值班 学生不超过3人,且其中必须有一名研究生.试为该实验 室安排一张人员值班表,使总支付的报酬最少,
班次 报酬 每天最多可安排的值班时间 (元/时) 周一 周二 周三 周四 周五
1 10.0 6 0 6 0 7 2 10.0 0 6 0 6 0 3 9.9 4 8 3 0 5 4 9.8 5 5 6 0 4 5 10.8 3 0 4 8 0 6 11.3 0 6 0 6 3
1, 安排学生i在周j的值班时间
y5 j
y6 j
1( j
1,..,5)每天有一名研究生值班
xij
0,
yij
0或1(i
1,..,6;
j
1,..,5)
65
min z
cij xij
i1 j1
2 yij xij aij yij (i 1,..,6; j 1,..,5)不超过可安排的时间 5
j 1
2)或选择 s1和 s,或7 选择 可表s8 示为
x1 x8 1, x7 x8 1
3)选择了 s3或 就s4不能选 ,反过s5来也一样,
可表示为 x3 x5 1, x4 x5 1
4)在 s5 , s6 , s中7 , 最s8多只能选两个可表示为
x5 x6 x7 x8 2
22+
3x23+4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53
（其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。）
s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k
@for(num(i):@GIN(x(i));x(i)>=0;);
END
练习 (兼职值班)
例6.东方大学计算机实验室聘用4名大学生(代号 1,2,3,4)和2名研究生(代号5,6)值班答疑.已知每人从 周一至周五每天最多可安排的值班时间及每人每小时 的值班报酬如下:
班次 报酬 每天最多可安排的值班时间 (元/时) 周一 周二 周三 周四 周五
a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的 固定成本和总的运输费用之和最小?
销地 产地
A1 A2 A3 A4 A5 销量(千吨)
B1
B2
B3
产量(千吨)
8
43
30
5
23
10
4
34
20
9
75
30
10 4 2
40
30 20 20
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时) 或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5．这可以表示为一个整数规划问题：
班次 1 2 3 4 5 6
时间段 需要人数 6:00-10:00 60 10:00-14:00 70 14:00-18:00 60 18:00-22:00 50 22:00-2:00 20 2:00-6:00 30
解:设分别表示第i个班次开始上班的人数,每个 人连续值班8小时.根据题意所求问题归结为如 下整数规划的数学模型:
对每个是或否的决策：
1，是
引入决策变量x=
0，否
例1 投资问题
• 设某公司在m个时段里有n项投资计划，由于资金限制不
能全部进行。已知
1)第i个时段里该公司可动用的资金是b i， 2)第j项投资计划所需要的资金是a ij , 3)能够得到的利润是c ij。
问该公司如何选择投资计划，使m个时段内的总利润最大。
解：设x ij表示在第i个时段内对第j个投资计划的决策变量。
表1示第i个时段内选中第j个投资计划， xij 0 表示第i时段内未选中第j个投资计划。
建立该投资问题的数学模型为：
mn
max z
cij xij
i1 j1
s.t.
n j i
aij xij
bi
xij 0,1
综上所述,该问题的整数规划模型如下: 10 min Z c j x j
j 1
10
xj 5
j 1
x1 x8 1, x3 x5 1
s.t.
x7
x8
1,
x4
x5
1
x5 x6 x7 x8 2
源自文库
x j取0或1
三、值班安排
例5. 某部队为了完成某项特殊任务,需要昼夜24小时不 间断值班,但每天不同的阶段所需要的人数不同,具体 情况如下.假设值班人员分别在各时间段开始时上班, 并连续工作8小时.该部队要完成这项任务至少需要配 备多少名值班人员?
j1
6
xij 14( j 1,..,5)实验室每天开放 14小时
i 1 5
yij 3(i 1,..,6)每名学生一周不超过 3次
s.t.
j 1 6
yij
i 1
3( j 1,..,5)每天值班不超过 3人
xij 8(i 1,..,4)大学生每周值班不少于8小时
j 1
5
xij 7(i 5,6)研究生每周值班不少于7小时
j 1
s.t.
6
xij 14( j 1,..,5)实验室每天开放14小时
i 1
5
解：令
1 选中项目i
0xi= 未选中项目I
(i=1,…,5)
Max Z=150 x1 + 210x2 + 60x3 +80x4 + 180x5 s.t.
210 x1 + 300x2 +100x3 +130x4 + 260x5 600
x1 + x2 + x3 >=1 1,2,3必须有一项选中
x3 + x4 1
6
min z xi i 1
x6 x1 60,
x1
x2
70,
x2
x3
60,
s.t.x3 x4 50,
x4
x5
20,
x5 x6 30,
xi
0, 且为 整数(i
1,2,...,6).
MODEL: Sets: Num/1..6/:b,x; Endsets Data: b=60,70,60,50,20,30; Enddata [OBJ]min=@sum(num(i):x(i)); x(1)+x(6)>=60; x(1)+x(2)>=70; x(2)+x(3)>=60; x(3)+x(4)>=50; x(4)+x(5)>=20; x(5)+x(6)>=30;
练习
例4.某钻井队要人以下10个可供选择的井位中确定5个
钻井探油,使总的钻探费用为最小,若10个井位的代号
为 c1, ,相c1应0 的钻探险费用为
要满足下列限制条件:
s,1并,且,井s1位0 选择上
①或选择 s和1 s,7或选择 s8
②选择了s3或 s就4 不能选 ,或s5 反过来也一
3,4只能选中一项
x5 x1
5被选中前提是1选中
xi=1或0(i=1,…,5)
解得（1，0，0，1，1）
Max Z=410
即投资项目1、4、5，可以获 得410万元。
二、分布系统设计-选址问题
在如今的全球经济中，许多公司正在全世界各个地 方建立新工厂，为的是获得低劳动力成本等好处。
在为新工厂选址之前，需要分析和比较地点。每个可 供选择的地点都涉及一个是或否的决策。
解: 设 xij为学生 i在周j的值班时间, yij 0,
否则
分析约束条件:
2 yij xij aij yij (i 1,..,6; j 1,..,5)不超过可安排的时间 5
xij 8(i 1,.., 4)大学生每周值班不少于 8小时
j 1
5
第四章 整数规划应用案例分析
第四章 整数规划的应用
一、投资项目的选择
利用线性规划可以来完成资金预算决策，决定对 不 同项目投资额各是多少。但实际中，一些资金预算决策 不是决定投资多少，而是是否进行一些固定金额的投资。
管理层必须经常面对的是：在预投入资金额度一定的 情况下，是否进行一项或几项固定投资。
Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23 +4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53
（其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。）
s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k
i 1,2, , m
投资项目的选择
例2. 华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表：
项目 投资额(万元)
投资收益(万元)
1
210
150
2
300
210
3
100
60
4
130
80
5
260
180
该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术原因， 投资受到以下约束： 1）在项目1、2和3中必须有一项被选中； 2）项目3和4只能选中一项； 3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。 如何在上述条件下，选择一个最好的投资方案，使收 益最大。
样
③在s5 , s6 , s中7 ,最s8多只能选两个.
试建成立这个问题的整数规划模型
解: 设决策变量
1, x j 0,
选择钻探第s j 井位 否则
10
目标函数为 min Z c j x j j 1
约束条件: 1)从10个可供选择的井位中确定5个探油,则
10
xj 5
=2,3,4,5。
模型检查！是否有问题？
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5．这可以表示为
一个整数规划问题：
Min z
=175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x
对每个是或否的决策： 1，是
引入决策变量 x= 0，否
在许多案例中，目标是地点的选择以使新建设施的总 的成本最小化，且这新设施能满足生产的需要。
分布系统设计-选址问题
例3．某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱， 为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方 建厂。已知在 A2 ，A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175 千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2， A3，A4，A5建成厂的产量，各销地的销量以及产地到销地的单 位运价(每千箱运费)如下表所示。
1 10.0 6 0 6 0 7 2 10.0 0 6 0 6 0 3 9.9 4 8 3 0 5 4 9.8 5 5 6 0 4 5 10.8 3 0 4 8 0 6 11.3 0 6 0 6 3
该实验室开放时间为上午8:00至晚上10:00,开放时间 内须有且仅须一名学生值班.规定大学生每周值班不 少于8小时,研究生每周不少于7小时,每名学生每周值 班不超过3次,每次值班不少于2小时,每天安排的值班 学生不超过3人,且其中必须有一名研究生.试为该实验 室安排一张人员值班表,使总支付的报酬最少,
班次 报酬 每天最多可安排的值班时间 (元/时) 周一 周二 周三 周四 周五
1 10.0 6 0 6 0 7 2 10.0 0 6 0 6 0 3 9.9 4 8 3 0 5 4 9.8 5 5 6 0 4 5 10.8 3 0 4 8 0 6 11.3 0 6 0 6 3
1, 安排学生i在周j的值班时间
y5 j
y6 j
1( j
1,..,5)每天有一名研究生值班
xij
0,
yij
0或1(i
1,..,6;
j
1,..,5)
65
min z
cij xij
i1 j1
2 yij xij aij yij (i 1,..,6; j 1,..,5)不超过可安排的时间 5
j 1
2)或选择 s1和 s,或7 选择 可表s8 示为
x1 x8 1, x7 x8 1
3)选择了 s3或 就s4不能选 ,反过s5来也一样,
可表示为 x3 x5 1, x4 x5 1
4)在 s5 , s6 , s中7 , 最s8多只能选两个可表示为
x5 x6 x7 x8 2
22+
3x23+4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53
（其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。）
s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k
@for(num(i):@GIN(x(i));x(i)>=0;);
END
练习 (兼职值班)
例6.东方大学计算机实验室聘用4名大学生(代号 1,2,3,4)和2名研究生(代号5,6)值班答疑.已知每人从 周一至周五每天最多可安排的值班时间及每人每小时 的值班报酬如下:
班次 报酬 每天最多可安排的值班时间 (元/时) 周一 周二 周三 周四 周五
a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的 固定成本和总的运输费用之和最小?
销地 产地
A1 A2 A3 A4 A5 销量(千吨)
B1
B2
B3
产量(千吨)
8
43
30
5
23
10
4
34
20
9
75
30
10 4 2
40
30 20 20
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时) 或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5．这可以表示为一个整数规划问题：
班次 1 2 3 4 5 6
时间段 需要人数 6:00-10:00 60 10:00-14:00 70 14:00-18:00 60 18:00-22:00 50 22:00-2:00 20 2:00-6:00 30
解:设分别表示第i个班次开始上班的人数,每个 人连续值班8小时.根据题意所求问题归结为如 下整数规划的数学模型:
对每个是或否的决策：
1，是
引入决策变量x=
0，否
例1 投资问题
• 设某公司在m个时段里有n项投资计划，由于资金限制不
能全部进行。已知
1)第i个时段里该公司可动用的资金是b i， 2)第j项投资计划所需要的资金是a ij , 3)能够得到的利润是c ij。
问该公司如何选择投资计划，使m个时段内的总利润最大。
解：设x ij表示在第i个时段内对第j个投资计划的决策变量。
表1示第i个时段内选中第j个投资计划， xij 0 表示第i时段内未选中第j个投资计划。
建立该投资问题的数学模型为：
mn
max z
cij xij
i1 j1
s.t.
n j i
aij xij
bi
xij 0,1
综上所述,该问题的整数规划模型如下: 10 min Z c j x j
j 1
10
xj 5
j 1
x1 x8 1, x3 x5 1
s.t.
x7
x8
1,
x4
x5
1
x5 x6 x7 x8 2
源自文库
x j取0或1
三、值班安排
例5. 某部队为了完成某项特殊任务,需要昼夜24小时不 间断值班,但每天不同的阶段所需要的人数不同,具体 情况如下.假设值班人员分别在各时间段开始时上班, 并连续工作8小时.该部队要完成这项任务至少需要配 备多少名值班人员?