数学分析之函数极限

第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；

2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；

3.掌握两个重要极限

和

，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：14学时

§ 1 函数极限概念 （2学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一）

时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号: 的意义,的直观意义.

定义 ( 和 . )

几何意义介绍邻域

其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．

例1 验证

例2 验证

例3 验证

证……

（二）时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证

例5验证

例6 验证

证由=

为使需有

为使需有

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证 ( 类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域

然后介绍等的几何意义.

例9 验证

证考虑使的

2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th

类似有:

例10 证明: 极限不存在.

例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有=

§2 函数极限的性质（2学时）

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限: ,

.以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.

二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性( 不等式性质 ):

Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使，都有

证设= ( 现证对有)

註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”, 未必

就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质: ( 只证“+”和“”)

（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.

例1 ( 利用极限和) 例2

例3

註: 关于的有理分式当时的极限.

例4 [ 利用公式]

例5

例6

例7

例8

例9

例10 已知求和

补充题:已知求和 ()

§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。

教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。

教学重点：海涅定理及柯西准则。

教学难点：海涅定理及柯西准则运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。

本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.

一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存

在,对任何且都存在且相等.( 证 )

Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70.

例1 证明函数极限的双逼原理.

例2 证明

例3 证明不存在.

二.Cauchy准则:

Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,

证

( 利用Heine归并原则 )

Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.

例4 用Cauchy准则证明极限不存在.

证取

例5 设在 [上函数↘. 则极限存在,

在[上有界. ( 简证, 留为作业 ).

§4 两个重要极限（2时）

教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。

教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。

教学重点：两个重要极限的证明及运用。