数学物理方法第二章复变函数的积分
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5. 积分不等式1：
z ) d z z )d z f( f(
l l
6.积分不等式2：
f (z) dz ML
l
其中 M 是 | f (z) | 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。
例：计算积分 解：
l1 l1
I Re z d z , I Re z d z , 1 2
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
l l
2.函数和的积分等于各函数积分的和
d f( z ) f( z ) ...... f( z ) z f ( z ) d z f ( z ) d z ....... f ( z ) d z
l 1 2 n l 1 l 2 l n
3.反转积分路径，积分值变号
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
f ( z ) d z f ( z ) d z
l
l
4. 全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+……+ln
l l 1 l 2 l n
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z ...... f ( z ) d z
)
分量形式：f (z) = u(x,y)+ i v(x,y), z = x + i y
f (z) dz=( u+ i v) d (x + i y)
l l l
f ( z ) d z u d x v d y i ( u d y v d x )
参数形式：曲线l 的参数方程 {x = x (t), y = y (t)}, 起始点 A tA, 结束点 B tB
第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分
复平面上的路积分 定义: 复平面分段光滑曲线l 上的连续函数 f (z)，作和
y
zn
zk-1 •
k • l
zk • •
• B
f ( )(z z
k 1 k k
n
k 1
)
A•
o
z0
• z1
x
若
n k 1 m ax | z | 0 k
1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
After graduation Green stayed on at Cambridge, writing on Optics, Acoustics and Hydrodynamics. However, in 1840 he became ill and returned to Nottingham where he died the 10 following year.
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
证明：由路径积分的定义：
L
x
沿 l 环线正向走 环域在左侧
f ( z ) d z
l
ud x vd y i( x ud y ) vd
l l
u u v v 因 f (z)在 B 上解析，因而 , , , x y x y 在 B 上连续。
l
f (z)d z 0
George Green
(14 July 1793–31 May 1841) was a British mathematician and physicist , who wrote "An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism". Green's life story is remarkable in that he was almost entirely self-taught, having only had about one year of formal schooling as a child between the ages of 8 and 9. He entered Cambridge University as an Undergraduate in 1833 aged 40 and graduated in 1837.
对实部虚部分别应用格林公式
平面内曲线积 Q P P d x Q d y d x d y分和二重积分 l s y x 之间关系
将回路积分化成面积分
z ) d z u d x v d y i( d x u d y ) f( v
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
z ) d z z )d z f( f(
l l
6.积分不等式2：
f (z) dz ML
l
其中 M 是 | f (z) | 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。
例：计算积分 解：
l1 l1
I Re z d z , I Re z d z , 1 2
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
l l
2.函数和的积分等于各函数积分的和
d f( z ) f( z ) ...... f( z ) z f ( z ) d z f ( z ) d z ....... f ( z ) d z
l 1 2 n l 1 l 2 l n
3.反转积分路径，积分值变号
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
f ( z ) d z f ( z ) d z
l
l
4. 全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+……+ln
l l 1 l 2 l n
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z ...... f ( z ) d z
)
分量形式：f (z) = u(x,y)+ i v(x,y), z = x + i y
f (z) dz=( u+ i v) d (x + i y)
l l l
f ( z ) d z u d x v d y i ( u d y v d x )
参数形式：曲线l 的参数方程 {x = x (t), y = y (t)}, 起始点 A tA, 结束点 B tB
第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分
复平面上的路积分 定义: 复平面分段光滑曲线l 上的连续函数 f (z)，作和
y
zn
zk-1 •
k • l
zk • •
• B
f ( )(z z
k 1 k k
n
k 1
)
A•
o
z0
• z1
x
若
n k 1 m ax | z | 0 k
1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
After graduation Green stayed on at Cambridge, writing on Optics, Acoustics and Hydrodynamics. However, in 1840 he became ill and returned to Nottingham where he died the 10 following year.
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
证明：由路径积分的定义：
L
x
沿 l 环线正向走 环域在左侧
f ( z ) d z
l
ud x vd y i( x ud y ) vd
l l
u u v v 因 f (z)在 B 上解析，因而 , , , x y x y 在 B 上连续。
l
f (z)d z 0
George Green
(14 July 1793–31 May 1841) was a British mathematician and physicist , who wrote "An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism". Green's life story is remarkable in that he was almost entirely self-taught, having only had about one year of formal schooling as a child between the ages of 8 and 9. He entered Cambridge University as an Undergraduate in 1833 aged 40 and graduated in 1837.
对实部虚部分别应用格林公式
平面内曲线积 Q P P d x Q d y d x d y分和二重积分 l s y x 之间关系
将回路积分化成面积分
z ) d z u d x v d y i( d x u d y ) f( v
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k