球柱锥体积公式
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
高中立体几何体积公式大全
高中立体几何体积公式大全一、柱体的体积公式。
1. 棱柱（以直棱柱为例）- 设棱柱的底面积为S，高为h，则直棱柱的体积V = Sh。
- 对于三棱柱，如果底面三角形的底边长为a，这条边上的高为h_1，棱柱的高为h，那么底面三角形面积S=(1)/(2)ah_1，体积V=(1)/(2)ah_1h。
- 对于正方体（特殊的棱柱），设棱长为a，因为正方体底面正方形面积S = a^2，高h=a，所以正方体体积V=a^3。
2. 圆柱。
- 设圆柱底面半径为r，高为h，圆柱的底面积S=π r^2，则圆柱体积V = πr^2h。
二、锥体的体积公式。
1. 棱锥（以三棱锥为例）- 设三棱锥的底面积为S，高为h，则三棱锥的体积V=(1)/(3)Sh。
- 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，那么可以把其中两条侧棱构成的面看作底面，例如以a，b为直角边的直角三角形为底面，c为高，则底面面积S=(1)/(2)ab，体积V=(1)/(6)abc。
2. 圆锥。
- 设圆锥底面半径为r，高为h，圆锥的底面积S = π r^2，则圆锥体积V=(1)/(3)π r^2h。
三、台体的体积公式。
1. 棱台（以三棱台为例）- 设棱台的上底面面积为S_1，下底面面积为S_2，高为h，则棱台的体积V=(1)/(3)h(S_1+S_2+√(S_1)S_{2})。
2. 圆台。
- 设圆台的上底面半径为r_1，下底面半径为r_2，高为h，圆台的上底面面积S_1=π r_1^2，下底面面积S_2=π r_2^2，则圆台体积V=(1)/(3)πh(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)。
四、球体的体积公式。
设球的半径为R，球的体积V=(4)/(3)π R^3。
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
常用立体图形体积公式
常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。
各种形状体积计算公式
各种形状体积计算公式在几何学中，体积是三维物体所占据的空间大小。
不同形状的物体有不同的体积计算公式。
下面我将介绍几种常见形状的体积计算公式。
1.立方体的体积计算公式：立方体是所有边长相等的六个平面的多面体。
其体积可通过边长的立方来计算。
公式：体积=边长^32.直方体的体积计算公式：直方体是六个面都是矩形的多面体。
其体积可通过底面积乘以高来计算。
公式：体积=底面积×高3.圆柱体的体积计算公式：圆柱体由一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面连接而成。
其体积可通过底面积乘以高来计算。
公式：体积=底面积×高注意：底面积一般是指底面圆的面积。
4.圆锥体的体积计算公式：圆锥体由一个圆形底面和一个连接底面到顶点的侧面锥形组成，其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(底面积×高)/35.球体的体积计算公式：球体是一个完全由曲线包围的立体形状，其体积可通过四分之三乘以球的半径的立方来计算。
公式：体积=(4/3)×π×半径^36.圆环体的体积计算公式：圆环体由一个圆柱体和一个外部与之共轴的圆台形组成。
其体积可通过外圆台体积减去内圆台体积来计算。
公式：体积=(π×高×(外半径^2+内半径^2+外半径×内半径))/37.圆锥台体的体积计算公式：圆锥台体由一个圆锥体和一个与之底面平行的圆台积组成。
其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(π×高×(上底半径^2+下底半径^2+上底半径×下底半径))/38.带截头圆锥体的体积计算公式：带截头圆锥体由一个截头圆锥和一个与之底面平行的圆台积组成，其中截头圆锥的顶点位于圆台积上。
其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(π×高×(上底半径^2+上底半径×下底半径+下底半径^2))/3除了上述形状的体积计算公式，还有许多其他的形状体积公式，如多面体、棱柱、棱台、椭球等等。
各形状物体体积计算公式
各形状物体体积计算公式
以下是几个常见形状物体的体积计算公式：
1.立方体：立方体的体积计算公式很简单，即边长的立方。
假设立方
体的边长为L，则立方体的体积V=L^3、例如，一个边长为2厘米的立方
体的体积为8立方厘米。
2.长方体：长方体的体积计算公式为长乘以宽乘以高。
假设长方体的长、宽、高分别为L、W、H，则长方体的体积V=L×W×H。
3.圆柱体：圆柱体的体积计算公式为底面积乘以高。
假设圆柱体的底
面积为A，高为H，则圆柱体的体积V=A×H。
圆柱体的底面积A可以根据
圆的面积公式计算，即A=π×r^2，其中π为圆周率，r为圆的半径。
例如，一个半径为3厘米，高为5厘米的圆柱体的体积为
V=π×3^2×5=45π立方厘米。
4.球体：球体的体积计算公式为4/3乘以π乘以半径的立方。
假设
球体的半径为R，则球体的体积V=4/3×π×R^3
5.锥体：锥体的体积计算公式为底面积乘以高除以3、假设锥体的底
面积为A，高为H，则锥体的体积V=A×H/3、底面积A可以根据锥体类型
的不同使用不同的公式进行计算。
例如，直角圆锥体的底面积A=π×r^2，其中r为底面圆的半径；等腰三角锥体的底面积A=(b×h)/2，其中b为
底边长，h为底边上的高。
以上只是几个常见形状物体的体积计算公式，实际上还有很多其他形
状的物体，每个形状都有对应的体积计算公式。
根据物体的形状和特征，
可以选择合适的体积计算公式进行计算。
几何体积面积公式
几何体积面积公式几何体积和面积是初中数学中最基本的概念之一，不仅在初中阶段，也在高中和大学阶段都会用到。
几何体积和面积公式是一些常见的数学公式，例如球体积、圆柱体积、立方体积、圆锥体积和锥台体积等。
1.球体积。
球体积的公式是：V=(4/3)πr³，其中V是球的体积，r是半径，π是圆周率。
2.圆柱体积。
圆柱体积的公式是：V=πr²h，其中V是圆柱的体积，r是圆柱的半径，h是圆柱的高度，π是圆周率。
3.立方体积。
立方体积的公式是：V=l³，其中V是立方体的体积，l是立方体的边长。
4.圆锥体积。
圆锥体积的公式是：V=(1/3)πr²h，其中V是圆锥的体积，r是圆锥底面的半径，h是圆锥的高度，π是圆周率。
5.锥台体积。
锥台体积的公式是：V=(1/3)πh(R²+Rr+r²)，其中V是锥台的体积，R是底面大圆半径，r是顶面小圆半径，h是锥台的高度，π是圆周率。
除了几何体积，几何面积也是数学中的重要概念之一、以下是几个常见的面积公式：1.正方形面积。
正方形面积的公式是：A=l²，其中A是正方形的面积，l是正方形的边长。
2.矩形面积。
矩形面积的公式是：A = lw，其中A是矩形的面积，l是矩形的长，w是矩形的宽。
3.三角形面积。
三角形面积的公式是：A = (1/2)bh，其中A是三角形的面积，b是三角形的底，h是三角形的高。
4.梯形面积。
梯形面积的公式是：A=(1/2)(a+b)h，其中A是梯形的面积，a和b 是梯形的两个平行的底的长度，h是梯形的高。
5.圆面积。
圆面积的公式是：A=πr²，其中A是圆的面积，r是圆的半径，π是圆周率。
以上就是几何体积和面积的常见公式。
利用这些公式，可以计算出各种几何形状的体积和面积，为解决实际问题打下基础。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式，希望大家能够善于运用数学知识解决问题。
高中数学公式大全球体圆柱体和锥体的体积公式
高中数学公式大全球体圆柱体和锥体的体积公式高中数学公式大全——球体、圆柱体和锥体的体积公式在高中数学中，学生需要了解和掌握一系列的几何公式，其中包括球体、圆柱体和锥体的体积公式。
本文将全面介绍这三种几何体的体积计算公式，并附上相应的推导过程。
一、球体的体积公式球体是一个完整的、封闭的几何形状，它的体积公式如下：体积V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，r表示球体的半径，π是一个常数，约等于3.14159。
推导过程：我们可以通过立体几何中的切割与拼接方法，将球体切割成无数个极薄的圆环。
设每个圆环的半径为r，厚度为Δh。
则每个圆环的体积可以近似表示为ΔV = πr²Δh。
将所有圆环的体积相加并取极限，即可得到球体的体积公式。
二、圆柱体的体积公式圆柱体是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的几何体。
圆柱体的体积公式如下：体积V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高。
推导过程：我们可以将圆柱体切割成无数个极薄的圆盘。
设每个圆盘的半径为r，厚度为Δh。
则每个圆盘的体积可以近似表示为ΔV = πr²Δh。
将所有圆盘的体积相加并取极限，即可得到圆柱体的体积公式。
三、锥体的体积公式锥体是由一个底面圆和连接底面圆与一个顶点的侧面组成的几何体。
锥体的体积公式如下：体积V = (1/3)πr²h其中，V表示锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示锥体的高。
推导过程：我们可以将锥体切割成无数个极薄的圆锥。
设每个圆锥的底面半径为r，高度为Δh。
则每个圆锥的体积可以近似表示为ΔV = (1/3)πr²Δh。
将所有圆锥的体积相加并取极限，即可得到锥体的体积公式。
总结：本文分别介绍了球体、圆柱体和锥体的体积计算公式和推导过程。
高中数学中，学生需要牢记这些公式，并在实际问题中灵活运用。
几何体的体积计算是数学中的基础知识，掌握这些公式对于进一步学习和理解其他数学概念具有重要意义。
各种体积公式
各种体积公式一、球体积公式球体积公式是计算球体体积的公式，它可以用来计算球形物体的体积。
球体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示球的半径。
例如，如果一个球的半径是5厘米，那么可以使用球体积公式计算出它的体积：V = (4/3)π(5³) ≈ 523.6 cm³二、长方体体积公式长方体体积公式是计算长方体体积的公式，它可以用来计算长方体或矩形物体的体积。
长方体体积公式如下：V = lwh其中，V表示长方体的体积，l表示长方体的长度，w表示长方体的宽度，h表示长方体的高度。
例如，如果一个长方体的长度为10厘米，宽度为5厘米，高度为2厘米，那么可以使用长方体体积公式计算出它的体积：V = 10 * 5 * 2 = 100 cm³三、圆柱体体积公式圆柱体体积公式是计算圆柱体体积的公式，它可以用来计算圆柱体或圆柱形物体的体积。
圆柱体体积公式如下：V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高度。
例如，如果一个圆柱体的底面半径是4厘米，高度是8厘米，那么可以使用圆柱体体积公式计算出它的体积：V = π(4²)(8) ≈ 402.12 cm³四、锥体体积公式锥体体积公式是计算锥体体积的公式，它可以用来计算锥体或锥形物体的体积。
锥体体积公式如下：V = (1/3)πr²h其中，V表示锥体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示锥体的底面半径，h表示锥体的高度。
例如，如果一个锥体的底面半径是6厘米，高度是10厘米，那么可以使用锥体体积公式计算出它的体积：V = (1/3)π(6²)(10) ≈ 376.99 cm³五、立方体体积公式立方体体积公式是计算立方体体积的公式，它可以用来计算立方体或正方体物体的体积。
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）①棱柱、②圆柱.2・锥体①棱锥：S^ = ^h [②圆锥:= /3、台体①棱台• S梭台侧=空（6?上底+c下底）方'» S全= s±+s『s下②圆台：S杭台側=*（6底+cQZ -4、球体①球：S球=勿/②球冠：略③球缺：略二、体积1、柱体①棱柱} V,=S h②圆柱S S 2、锥体①棱锥} v.=\sh②圆锥S S3、 台体V 台肓//（S 匕+ JS 上S F + S 下）台=齐方（厂上+Jr 上厂下+厂下） 4、 球体①球：V 球② 球冠：略VyT/③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高力计算；而圆锥、圆台的 侧面积计算时使用母线/计算。
三、拓展提高1、 祖眶原理：（祖璀：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、 阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2厂的圆柱形容器内装一个最大 的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的？。
①棱台 ②圆台丿分析：圆柱体积：V H1 = s h =（^r）x2r = 2^/圆柱侧面积：S叭削= c/z = （2岔）X2广=4兀/2 彳4 彳因lit :球体体积：|/厅=—x2/r^ =_龙厂球体表面积：S球=4兀厂通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：几冷〃（S上+、恳瓦+ S』证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。
延长两侧棱相交于一点P 0设台体上底面积为Si，下底面积为S下高为// °易知：\PDCs 型AB，设卩£ =人，则Pf+h由相似三角形的性质得：孚=袋AB PF即：（相似比等于面积比的算术平方根）、用hi整理得：人=尺刃又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积u台=§s下（九+力r s上人人（S下-S上）+§s下方即：（、瓦+丫瓦）+扣下力=|/z $ + 应7+S卜）4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（兀层），〃越大，每一层越近似于圆柱'"T -HZ）时»每一层都可以看作是一个圆柱。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面
积．
()
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的
周长有关．
()
答案：(1)× (2)√
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是
()
1＋2π A. 2π
1＋4π B. 4π
题型三 球的表面积和体积
[学透用活]
[典例 3] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都
为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
(2)若球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是
球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AAOE＝OEBC，即2 33＝2r，∴ r＝1. ∴S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
[对点练清] 1．[圆柱的侧面积]一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图
是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________． 解析：设圆柱的底面半径为 R，
则 S＝πR2，R＝ Sπ， 底面周长 c＝2πR. 故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS. 答案：4πS
2.[圆锥的表面积]如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的 圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．
柱,锥,台的体积及球的表面积和体积
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底 面所成的角是45°，求这个圆台的侧 面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一 个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、 球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表 底面面积 侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)
各形状物体体积计算公式
各形状物体体积计算公式
1、球体：体积计算公式为V=4/3πr^3，其中r为球的半径。
2、正方体：体积计算公式为V=a*a*a，其中a为正方体的边长。
3、正方柱：体积计算公式为V=πr2h，其中r为柱的半径，h为柱的高度。
4、圆柱：体积计算公式为V=πr2h，其中r为圆柱侧的半径，h为圆柱的高度。
5、圆台：体积计算公式为V=πR2H，其中R为圆台底面的半径，H为圆台的高度。
6、三棱柱：体积计算公式为V=1/3a2h，其中a为三棱柱底面对角线的长度，h为三棱柱的高度。
7、正四棱锥：体积计算公式为V=1/3ah，其中a为正四棱锥底面的边长，h为正四棱锥的高度。
8、圆锥：体积计算公式为V=1/3πR2H，其中R为圆锥底面的半径，H为圆锥的高度。
9、球锥：体积计算公式为V=3/4πr2h，其中r为球锥底面半径，h 为球锥的高度。
10、圆筒：体积计算公式为V=πr2h，其中r为圆筒侧面半径，h为圆筒的高度。
11、金字塔：体积计算公式为V=1/3a2h，其中a为金字塔底面的面积，h为金字塔的高度。
12、圆台柱：体积计算公式为V=πr2h，其中r为圆台半径，h为圆台柱的高度。
13、圆柱棱柱：体积计算公式为V=πr2h，其中r为圆柱棱柱底面半径，h为圆柱棱柱的高度。
标准体积换算公式
标准体积换算公式体积是描述物体所占空间大小的物理量，通常用立方米（m³）作为单位。
在实际生活和工作中，我们经常需要进行体积的换算。
下面将介绍一些常见的标准体积换算公式，希望对大家有所帮助。
1. 长方体的体积计算公式。
长方体是最常见的几何体之一，其体积计算公式为：V = l × w × h。
其中，V表示体积，l表示长度，w表示宽度，h表示高度。
当长度、宽度和高度的单位为米时，计算得到的体积单位为立方米。
2. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个底面为圆形的几何体，其体积计算公式为：V = πr²h。
其中，V表示体积，π约等于3.14，r表示底面半径，h表示高度。
同样，当半径和高度的单位为米时，计算得到的体积单位为立方米。
3. 球体的体积计算公式。
球体是一个完全由曲面包围的几何体，其体积计算公式为：V = (4/3)πr³。
其中，V表示体积，π约等于3.14，r表示球的半径。
同样，当半径的单位为米时，计算得到的体积单位为立方米。
4. 锥体的体积计算公式。
锥体是一个底面为圆形、侧面由一个顶点和底面上的点连线组成的几何体，其体积计算公式为：V = (1/3)πr²h。
其中，V表示体积，π约等于3.14，r表示底面半径，h表示高度。
同样，当半径和高度的单位为米时，计算得到的体积单位为立方米。
5. 体积单位换算。
在实际工作中，我们可能会遇到不同单位的体积值，需要进行换算。
常见的体积单位换算如下：1立方米（m³）= 1000立方分米（dm³）。
1立方米（m³）= 1000000立方厘米（cm³）。
1立方米（m³）= 0.001立方千米（km³）。
1立方米（m³）= 35.3147立方英尺（ft³）。
1立方米（m³）= 1.30795立方码（yd³）。
通过以上介绍，我们可以更好地理解和运用标准体积换算公式，进行体积的计算和换算。
各形状物体体积计算公式
常用体积及表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h －高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物我用拟柱体公式来解决一下，至于公式本身证明需要用到积分知识（需要同时推广牛顿－莱布尼茨公式），不详谈：任何立体的体积均可以归纳成：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面S2指下表面S指高线垂直平分面柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh圆 r－半径d－直径 C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形 l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环 R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径 S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆 D－长轴d－短轴 S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2V＝a3长方体 a－长b－宽c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径r－内圆半径h－高 V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径h－高 V＝πr2h/3圆台 r－上底半径R－下底半径h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高r－球半径a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径 V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。
锥体、柱体与球体的基本性质
锥体、柱体与球体的基本性质锥体、柱体与球体是几何学中的常见几何体，它们具有各自独特的形状和特性。
本文将讨论锥体、柱体与球体的基本性质，包括定义、表面积和体积公式以及一些相关的特点和应用。
一、锥体的基本性质锥体是一种由一个封闭的平面曲线（底面）和由这个平面曲线的顶点引出的一条直线（母线）组成的几何体。
锥体的特征是底面上任意两点的连线与顶点连线所形成的角相等。
根据底面形状的不同，锥体可以分为圆锥、三角锥、正多边形锥等不同类型。
1. 体积公式：圆锥的体积计算公式为V = 1/3 * π * r^2 * h，其中r为底面半径，h为锥体的高。
三角锥和正多边形锥的体积公式类似，只是底面积的计算不同。
2. 曲面积：圆锥的曲面积为S = π * r * l，其中l为母线的斜高。
除了曲面积外，圆锥还有底面积和侧面积。
底面积为底面的面积，侧面积为由底面到顶点的曲面积之和。
3. 特点与应用：锥体具有特殊的形状和性质，常见应用包括锥形帽、锥形杯、锥形灯罩等产品的设计与制作。
此外，在数学中，锥体的概念也常用于解决各种几何问题，例如锥面的交、锥体的最大/最小体积等等。
二、柱体的基本性质柱体是由平行于底面的两个相等的封闭平面曲线（底面）和连接这两个平面曲线的一条直线（母线）所围成的几何体。
柱体的特点是底面上的任意两点连线与固定距离的轴线垂直。
1. 体积公式：柱体的体积计算公式为V = π * r^2 * h，其中r为底面半径，h为柱体的高。
2. 曲面积：柱体的曲面积为S = 2π * r * h，其中r为底面半径，h为柱体的高。
除了曲面积外，柱体还有底面积和侧面积。
底面积为底面的面积，侧面积为由底面到顶面的矩形面积之和。
3. 特点与应用：柱体具有规则的圆柱形状，常见应用包括圆柱体容器、柱形建筑物、柱面零件等。
在数学中，柱体也常用于模型和方程的求解，例如计算柱体的容积、计算圆柱的表面积等。
三、球体的基本性质球体是由平面固定距离的一个点（球心）所组成的所有点组成的集合。
空间几何体积计算公式
空间几何体积计算公式空间几何体积计算公式是指用于计算不同几何体的体积的数学公式。
在几何学中，体积是指一个物体所占据的空间大小或容量。
不同的几何体具有不同的形状和结构，因此需要使用特定的公式来计算其体积。
本文将介绍几种常见的空间几何体，并给出相应的计算公式。
一、球体的体积计算公式球体是一种几何体，其形状类似于一个完全圆滑的球。
对于半径为r 的球体，其体积可以使用以下公式来计算：V = (4/3)πr³其中 V 表示球体的体积，π 是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示球的半径。
二、长方体的体积计算公式长方体是一种具有长、宽和高三个相互垂直的边的几何体。
对于长方体，其体积可以使用以下公式来计算：V = lwh其中 V 表示长方体的体积，l 表示长方体的长度，w 表示长方体的宽度，h 表示长方体的高度。
三、圆柱体的体积计算公式圆柱体是一种具有两个平行的圆形底面和一个连接两个底面的曲面的几何体。
对于圆柱体，其体积可以使用以下公式来计算：V = πr²h其中 V 表示圆柱体的体积，π 是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示圆柱体底面圆的半径，h 表示圆柱体的高度。
四、锥形的体积计算公式锥形是一种具有一个圆形底面和一个连接底面和一个尖顶的曲面的几何体。
对于锥形，其体积可以使用以下公式来计算：V = (1/3)πr²h其中 V 表示锥形的体积，π 是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示底面圆的半径，h 表示锥形的高度。
五、棱锥的体积计算公式棱锥是一种具有一个多边形底面和连接底面和一个尖顶的面的几何体。
对于棱锥，其体积的计算公式与其底面的形状有关。
以下是几种常见的棱锥的体积计算公式：1. 正方形棱锥的体积计算公式：V = (1/3)l²h其中 V 表示正方形棱锥的体积，l 表示底面边长，h 表示棱锥的高度。
2. 长方形棱锥的体积计算公式：V = (1/3)lw h其中 V 表示长方形棱锥的体积，l 表示底面长，w 表示底面宽，h 表示棱锥的高度。
球柱锥体积公式
球柱锥体积公式，面积公式V体积 = h/6 (b1 + 4b2 + b3) S面积 = h/6 (b1 + 4b2 + b3) b1 、 4b2、 b3为长度其中：b1 → 上底面积→ 计算S面积时用上底长度,下同，参见4后面的b2 → 中间截面积b3 → 下底面积h → 立体高度1、圆球体积上底面积b1 → 0中间截面积b2 → πR² ²表示平方下底面积b3 → 0立体高度h → 2RV圆球= 2R/6 (0 + 4πR² + 0) = 4π/3 R³2、圆柱体体积上底面积b1 → πR²中间截面积b2 → πR²下底面积b3 → πR²立体高度h → hV圆柱= h/6 (πR² + 4πR² + πR²) = π R² h3、圆锥体积上底面积b1 → 0中间截面积b2 → 1/4πR² 中截面面积是底面积的 1/4，即π[（0+R）/2] ²＝1/4πR²下底面积b3 → πR²立体高度h → hV圆锥= h/6 (0 + 4*1/4πR² + πR²) = π/3 R² h4、截顶圆锥体积上底面积b1 → πr² r是上面圆面积的半径中间截面积b2 →π[(r+R)/2]²中截面半径是(上r+下R)÷2下底面积b3 → πR²立体高度h → hV圆锥= h/6 (πr²+ 4*π[(r+R)/2]² + πR²) =πh/6（r²+ r²+2 rR+ R²+ R²）=πh /3（r²+R²+ rR面积公式S面积= h/6 (b1 + 4b2 + b3)其中：b1 → 上底长b2 → 中间截长b3 → 下底长h → 高度5、三角形面积上底长度b1 → 0中间长度b2 → a/2 中位线长度是底边长度的 1/2下底长度b3 → a立体高度h → hS△面积 = h/6 (0 + 4*a/2 + a) = 1/2 a h 就是，底×高÷22、梯形面积上底长度 b1 → b1中间长度b2 → (b1 + b3)/2 中位线长度是：上底+下底的 1/2下底长度b3 → b3立体高度h → hS梯形面积 = h/6 (b1 + 4*(b1 + b3)/2 + b3) = (b1 + b3) h/2 就是：(上底+下底)×高÷23、长方形面积上底长度b1 → b1中间长度b2 → (b1 + b3)/2 中位线长度是：上底+下底的 1/2，（视为特殊的梯形）下底长度b3 → b3上中下长度相同，b1=b2=b3，都作b1立体高度h → hS梯形面积 = h/6 (b1 + 4*b1 + b1) = b1 h 就是：长×高（长×宽）。
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球柱锥体积公式，面积公式
V体积 = h/6 (b1 + 4b2 + b3) S面积 = h/6 (b1 + 4b2 + b3) b1 、 4b2、 b3为长度
其中：b1 → 上底面积→ 计算S面积时用上底长度,下同，参见4后面的b2 → 中间截面积
b3 → 下底面积
h → 立体高度
1、圆球体积
上底面积b1 → 0
中间截面积b2 → πR² ²表示平方
下底面积b3 → 0
立体高度h → 2R
V圆球= 2R/6 (0 + 4πR² + 0) = 4π/3 R³
2、圆柱体体积
上底面积b1 → πR²
中间截面积b2 → πR²
下底面积b3 → πR²
立体高度h → h
V圆柱= h/6 (πR² + 4πR² + πR²) = π R² h
3、圆锥体积
上底面积b1 → 0
中间截面积b2 → 1/4πR² 中截面面积是底面积的 1/4，即π[（0+R）/2] ²＝1/4πR²
下底面积b3 → πR²
立体高度h → h
V圆锥= h/6 (0 + 4*1/4πR² + πR²) = π/3 R² h
4、截顶圆锥体积
上底面积b1 → πr² r是上面圆面积的半径
中间截面积b2 →π[(r+R)/2]²中截面半径是(上r+下R)÷2
下底面积b3 → πR²
立体高度h → h
V圆锥= h/6 (πr²+ 4*π[(r+R)/2]² + πR²) =πh/6（r²+ r²+2 rR+ R²+ R²）=πh /3（r²+R²+ rR
面积公式
S面积= h/6 (b1 + 4b2 + b3)
其中：b1 → 上底长
b2 → 中间截长
b3 → 下底长
h → 高度
5、三角形面积
上底长度b1 → 0
中间长度b2 → a/2 中位线长度是底边长度的 1/2
下底长度b3 → a
立体高度h → h
S△面积 = h/6 (0 + 4*a/2 + a) = 1/2 a h 就是，底×高÷2
2、梯形面积
上底长度 b1 → b1
中间长度b2 → (b1 + b3)/2 中位线长度是：上底+下底的 1/2
下底长度b3 → b3
立体高度h → h
S梯形面积 = h/6 (b1 + 4*(b1 + b3)/2 + b3) = (b1 + b3) h/2 就是：(上底+下底)×高÷2
3、长方形面积
上底长度b1 → b1
中间长度b2 → (b1 + b3)/2 中位线长度是：上底+下底的 1/2，（视为特殊的梯形）下底长度b3 → b3
上中下长度相同，b1=b2=b3，都作b1
立体高度h → h
S梯形面积 = h/6 (b1 + 4*b1 + b1) = b1 h 就是：长×高（长×宽）。