指数函数、对数函数、幂函数教案

一、指数函数

1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞．

2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)．

3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数；

当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数．

二、对数函数

1． 对数定义：

一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。

2. 对数的性质：

（1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a =

这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。

3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N

②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e

N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N =

要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求

对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。

三、幂函数

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α

=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是

常数；

注意：幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点(1,1)；

（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上单调递增；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 单调递减；

（3）当2,2α=-时，幂函数是 偶函数 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 奇函数 ．

四、精典范例

例1、已知f(x)=x 3·(2

1121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；

(2)证明：f(x)>0.

【解】：(1)因为2x －1≠0，即2x

≠1，所以x ≠0，即函数f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠0} . 又f(x)=x 3(21121+-x )=1212·23-+x x x ， f(－x)=1

212·21212·2)(33-+=-+---x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)是偶函数。

(2)当x>0时，则x 3>0，2x >1，2x

－1>0，所以f(x)=.01212·23>-+x x x 又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x) =f(－x)>0.

综上述f(x)>0.

例2、已知f(x)=),(1

222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x). (1)求实数a 的值；(2)判断函数的单调性。

【解】：(1)函数f(x)的定义域为R ，又f(x)满足f(－x)= －f(x)，

所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以02

22=-a ，解得a=1， (2)设x 1

1<2x

2,则f(x 1) －f(x 2)=121212122211+--+-x x x x =)12)(12()22(22121++-x x x x

所以f(x 1) －f(x 2)<0，即f(x 1)

(1)写出y=g(x)的解析式；

(2)求出使g(x)>f(x)的x 的取值范围；

(3)在(2)的范围内，求y=g(x) －f(x)的最大值。

【解】：(1)令t y s x ==2

,3，则x=2s,y=2t. 因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，所以2t=log 2(3s+1)，

即t=

21log 2(3s+1)，所以g(x)= 2

1log 2(3s+1) (2)因为g(x)>f(x)所以21log 2(3x+1)>log 2(x+1) 即100

1)1(132<<⇒⎩⎨⎧>++>+x x x x (3)最大值是log 23－23 例4、已知函数f(x)满足f(x 2

－3)=lg .622

-x x (1)求f(x)的表达式及其定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.

解：(1)设x 2－3=t ，则x 2=t+3, 所以f(t)=lg 3

3lg 633-+=-++t t t t 所以f(x)=lg

33-+x x 解不等式03

3>-+x x ，得x<－3，或x>3. 所以f(x)-lg 3

3-+x x ，定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞). (2)f(-x)=lg 3

3lg 33lg 33-+-=+-=--+-x x x x x x =－f(x). (3)因为f[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg 33-+x x ， 所以lg )1lg(3

)(3)(+=-+x x g x g ， 所以,13

)(3)(+=-+x x g x g