材料力学-平面图形的几何性质

第四章 平面图形的几何性质
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有 一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截 面的几何形状有关。
第四章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第四章 平面图形的几何性质
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：
Iz
y2dA
A
z zc b
I yz
yzdA
A
y yc a
I y
z 2dA
A
Iz
y2dA
A
A ( yc a)2 dA
y
yc

A yc2dA 2a aycdA a2

bh2 2
Sy

zc
A

hb2 2
y
c
h
b
z
例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200 , z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai

z1
Z（矩形的对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴的惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
(1) y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；
y -z z dA dA
(2) 惯性积为零的一对坐标轴称为 惯性主轴；
0
z
(3) 通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；
1.5d (2d )3 3d 2 (0.177 d )2 [d 4 d 2 (0.5d 0.177 d )2 ] 0.685 d 4
12
64 4
24
I yc

I 矩y c
I圆yc

(1.5d )3 2d 12
d 4
64

0.513 d 4
Y（对称轴）
d yc O
A

Z（矩形的对称轴）
zc

yc


yi Ai A

d ( d 2 )
2
4
3d 2 d 2
0.177d
4
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Izc 。
I zc I矩zc I圆zc I矩z A矩 y2 [I圆z1 A圆 (0.5d y)2 ]
dA
A
yc
Iz Izc a2A
y a
dA
A
c
zc
Iy I yc b2A
I yz I ycZc abA
注意：
0
b
zc
z
z
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关 系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;
（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴的惯性矩最小.
I z
y 2dA
A I y z Fra bibliotek dAA
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩的取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
求：Iy和Iz
解：
h
I z
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
Iz

bh3 12
b
I y
z2dA
A
2 b
z 2hdz
已知：T形截面。 求： Izc
y 20
140
yc1 yc
c1
Ⅱ c zc
c2 100
z 20
例 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心轴的惯性矩。（b=1.5d)
Y（对称轴）
解 ： 、建立坐标系如图。 、求形心位置。
d yc O
b
2d
z1

zc
zi Ai 0 0
A
sy zc A
表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。
几点讨论：
y
z
dA
y o
y
b
dy
h
y
A、静矩的值可以是正值、负值、或零。
z
Sz
ydA
A
ah ybdy by2
a
2
ah
a
bh(a
h) 2

Ayc
Sy
A
zdA
b 0
zhdz hz2 2
2
Iy

hb3 12
y
dy
y
c
z
b
2 惯性半径
iz
Iz A
iy
Iy A
3 极惯性矩
I p
2dA
A
y
dA A
y
ρ
0
z
z
圆和空心圆的极惯性矩计算:
1圆
I P
2dA
A

D 2
2
2d


D4
0
32
2 空心圆
IP
2dA
A

D
2 d
2
2
2d


8
3 组合图形的静矩和形心
常见的一些组合图形
组合图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。
sz yci Ai s y zci Ai
yc

Sz A

yci Ai Ai
zc

Sy A

zci Ai Ai
已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz

yc A
z 1
A1

z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
b
bh b 2
Azc
0
h
h
ZC
2
Szc
ydA
A

ybdy
h
2
by2 2 2 h
2
0
a
z
dz
z
B、静矩的几个规律：
⑴ 图形对形心轴的静矩为零，反之图形对某轴的静 矩为零，则此轴一定过图形的形心。
⑵ 图形对对称轴的静矩一定为零。
y dA dA
-z z A1
A2
z
C、形心确定的规律： （1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。 （2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。
§4.4 平行移轴公式
平行移轴公式是指图形对于互相平行轴 的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知 图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图 形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。
§4.4 平行移轴公式
图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
I zc
A
y
2 c
d
A
I yc
A
z
2 c
dA
I yc zc A yc zc dA
研究平面图形几何性质的方法 : 化特殊为一般 实际杆件的横截面
第四章 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质包括: 形心、静矩、惯性矩、惯性半径 、极惯性矩、惯
性积、主惯性轴、主惯性矩等
第四章 平面图形的几何性质
§4-1 概述 §4-2 静矩和形心 §4-3 惯性矩和惯性积 §4-4 平行移轴公式
D4
32
(1
4)
d
D
dA
D ρ dρ 0
dA
dρ ρ 0
d D
4 惯性矩与极惯性积的关系
I p
2dA
A
( y2 z2 )dA
A

y2dA
A
A z 2dA I z I y
5 组合图形的惯性矩
I z I zi
I y I yi
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.
求：Iy和Iz。
y
解： 1 实心圆
d
Dc
z
I p A 2dA I y I z 2I y 2I z
Iy

Iz

D 4
64
2 空心圆
Iy

Iz

D 4 (1 4 )
64
6 惯性积
微元对 x, y 轴的惯性积为
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 概述
§4.2 静矩和形心 1 静矩
y
sz
ydA
A