第四章 能控性和能观测性
定常离散系统的能控性 定常连续系统的能控性
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.0.1
桥形电路(a) ，两个电容相等。选各自的电压为状态
变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则 两个状态分量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直
线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不 论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这
条直线。显然，它是不完全能控的。
量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的
有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如 果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称 系统是状态完全能控的，简称能控。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 …, 性
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
2.系统能控
线性定常连续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
对于式(4.2.1)所示线性时变连续系统,指定 初始时刻 t 0 Td，如果状态空间的所有非零状态 都是在 t 0 时刻能控的, 则称系统在时刻 t 0是状态 完全能控的，简称系统在时刻 t 0 能控。如果系统 对于任意的 t 0 Td 均是状态完全能控的(即系统的 能控性与初始时刻 t 0 Td 的选取无关)，则称系 统是一致能控的。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 性
例4.1.1
1 0 0 1 x (k 1) 0 2 2 x ( k ) 0u ( k ) 1 1 0 1
1 1 1 Ab A 2b rank 0 2 2 3 1 1 3
第四章 线性系统的能控性与能观性
能控与能观
§ 2 线性连续定常系统的能控性判据
推论： (a) 已知系统方程，记其能控指数为μ，并设 rankB=r，则必成立：
n r n r 1
(b) 对于单输入单输出系统，也即 r=1时，系统的能控指数为 μ=n。 (c) 线性定常系统完全能控的充分条件是：
rankQ
n r 1
rank [ B AB A
为对系统方程导出的约当规范形：
ˆˆ ˆ ˆ x A x B u , 其中：
J1 ˆ A
J2
ˆ B1 ˆ , B B2 ˆ Jl Bl
J i1 Ji
i
1
J ik
而 ( ri1 ri 2 ri i ) i 的最后一行所组成的矩阵：
b ri 1 b ri 2 b ri i
对i=1,2……均为行线性无关。
§ 2 线性连续定常系统的能控性判据 2-2 能控性指数：
, , l ( l 重 ) 且 ( ) n 时， 1 2 l
为对系统方程导出的约当规范形：
ˆ ˆ ˆ x Ax ˆˆ y Cx
其中：
§3 线性连续定常系统的能观性判据
J1 ˆ A ˆ ˆ , C C 1 Jl J i1 Ji ˆ ˆ , C C i i1 J i 1
我们在第二章得出了：
x (t ) (t , t 0 ) x 0
将上式带入系统方程，得：
t
( t , ) B ( ) u ( ) d
t0
y ( t ) C ( t ) ( t , t 0 ) x 0 C ( t ) ( t , ) B ( ) u ( ) d D ( t ) u ( t )
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
自动化--能控性与能观测性
能控性与能观测性现代控制理论的能控性能观测性是建立在状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程，输出方程则描述了由状态的变化引起输出y(t)的变化，能控性能观测性就是分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力和输出y(t)对状态的反映能力，一个系统若具有能控性和能观测性，人们就可以对它实施最优控制。
一、引言1960年卡尔曼提出系统的能控性和能观测性问题，它是系统的两个基本特征。
对经典控制理论所讨论的SISO(单输入单输出系统)，它的输入量和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输入对应唯一输出，而且输出可观测也可唯一确定输入。
现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO（多输入多输出）系统内部特性和动态变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还不能测量，所以存在系统内部状态能量控制和能观测问题。
二、能控性能控系统：假设系统初时刻处于状态空间任一点x=x(t0),倘若能够找到容许控制函数(输入)u在有限时间区间j内将系统由初态x转移到状态空间原点x(tj)=0则称为能控系统。
能达系统：假设系统初始时刻位于状态原点x(t)=0,倘若能够找到容许函数(输入)u 在有限时间内将系统由初态转移到状态空间任一点x(t)=x则称系统为能达系统。
对于线性连续系统，能控和能达是等价的，对线性离散系统则不同。
线性定常系统状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵QK=[B AB……An-1B]满秩(代数判据)，如果A为某个特征值有一个或者多个约旦矩阵则系统能控的充要条件是对于A的每个特征值的约旦块的B分块的最后一行都不全为零。
线性定常连续系统的输出的能控性判据为能控矩阵[CB CAB……CAn-1B]满秩（模态判据）。
能控性判据可以通过MATLAB直接得出矩阵的秩。
三、能观测性为了抑制干扰，降低参数灵敏度以构成最优系统，控制系统大多采用反馈形式，而反馈信息一般由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过输出的测量获得全部变量信息的问题，既可观测性。
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
4 线性系统的能控性与能观性
4 线性系统的能控性与能观性内容提要能观性与能控性是现代控制理论中的两个重要问题。
比如在设计最优控制系统时，目的在于通过控制变量的作用，使系统的状态按预期的轨迹运行，如果状态变量不受控制，当然无法实现最优控制。
另外，一个系统的状态变量往往难以测取，需要由输出量来估计状态，不能观测的系统就无法实现此目的。
本章主要介绍线性系统的能控能观方面的基本知识，内容包括：1) 能控性与能观性两个基础性概念，它们的判别准则以及对偶关系；2) 分析系统的内在结构，按能控性与能观性进行的标准分解；3) 系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统状态空间描述法与输入输出描述法的关系；4) 能控标准形和能观标准形；5) 系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。
习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x4) u x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110 000000000001432111114321λλλλ 5) u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031 2025016200340321321解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab b U C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
控制系统的能控性和能观性
第4章 控制系统的能控性和能观性第1节 能控性和能观性的定义◆设线性连续时变系统为()()x A t x B t u =+ ()y C t x =如果在[f t t ,0]上，对任意初始状态00)(x t x =，必能找到控制作用()u t ，能使)(t x 由0x 转移到0)(=f t x ，则称系统在0t 时刻是状态完全能控的，简称系统能控。
如果由[f t t ,0]上的)t y （，能惟一地确定0t 时刻的初始状态00)(x t x =，则称系统在0t 时刻是状态完全能观的，简称系统能观。
注意：能控性描述入)(t u 支配状态)(t x 的能力，能观性描述)(t y 反映)(t x 的能力。
能控性和能观性的定义要求初始状态的任意性。
◆线性定常连续系统x Ax Bu =+ y Cx =的能控性和能观性与0t 无关，常取00=t 。
对线性定常系统，能控性实质上是描述)(t u 支配模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是)(t y 反映模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。
第2节 线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆矩阵判据n 阶线性时变连续系统((),(),())S A t B t C t 在0t 时刻能控的充要条件是能控性格拉姆（Gramian ）矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tC f t W t t t t B t B t t t t =ΦΦ⎰满秩；在0t 时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tO f t W t t t t C t C t t t t =ΦΦ⎰满秩。
证明：1）能控性判据证明◆充分性证明。
假设),(0f C t t W 满秩，则),(01f ct t W -存在。
用构造法。
对任意的初始状态0()x t ，系统的状态解为00()()(,)(,)(()d tt x t t B u t t x t ττττ=-Φ+Φ⎰）]d )((),()()[,(0000ττττu B t t x t t tt ）⎰Φ+Φ-=选择0100((),)(,))ttCf u t B t t t t W t x t -=-Φ（）（代入系统状态解式并令f t t =，则有1000000()(,)[()(,)()()(,)(,)()d ]ft t tf f Cf t x t t t x t t t B t B t t t W t t x t t -=-Φ-ΦΦ⎰)()],(),()[,(00100t x t t W t t W I t t f Cf C f --Φ-=0)(])[,(00=-Φ-=t x I I t t f充分性得证。
线性系统理论第4章 线性系统的能控性和能观测性
满秩，即rankQ o=n
结论5
n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：
SI A rank n S C C
或
i I A 为系统特征值 rank n , 1 , 2 ,n C
Wc [0, t1 ] e At BBe A t dt
T
t1
0
为非奇异。
结论3：n 维连续时间线性时变系统 x A(t ) x B(t )u x(t 0 ) x0
设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义
t, t0 J
M 0 (t ) B (t ) d M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M 1 (t ) M 1 (t ) dt d M n 1 (t ) A(t ) M n 2 (t ) M n 2 (t ) dt M 1 (t ) A(t ) M 0 (t )
6/8,9/45
1 L QC [b, Ab] 0
R3 R4 1 R1 R2 2 L R1 R2 R3 R4 1 R2 R4 LC R1 R2 R3 R4
第6章 线性系统的能控性和能观性(第四章)
1 α n −1 L α1 CAn −1 O O M M Q= O α n −1 CA 1 A
给定完全能观测单输入单输出连续时间线性时不变系统： 例 4.21 给定完全能观测单输入单输出连续时间线性时不变系统：
ϕ T = BT (t )ψ T
对偶原理： 对偶原理：
Σ 完全能控 ⇔ Σ d完全能观测 Σ 完全能观测 ⇔Σ d完全能控
4.8 能控规范形和能观测规范形
单输入单输出情形 能控规范形
Σ:
& x = Ax + Bu,
y = Cx
线性非奇异变换下，能控性、能观测性， 线性非奇异变换下，能控性、能观测性， 可控指数、可控指数集，能观测指数和能观测 可控指数、可控指数集， 指数集保持不变。 指数集保持不变。
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
& x = Ax + Bu, x (0) = x0 ,
t≥0
系统完全能控的充分必要条件为： 系统完全能控的充分必要条件为：
rankQC = rank B
例：
AB L An −1 B = n
4 0 1 & x = x + u 0 −5 2
t∈J
说明: 说明:
表征系统状态可到达任意目标的定性属性， (1) 表征系统状态可到达任意目标的定性属性， 不关注运动的轨迹形态； 不关注运动的轨迹形态； 对控制无限制； (2) 对控制无限制； (3) 线性时不变系统与 t0 无关； 无关； 线性时不变系统能控性与能达性等价。 (4) 线性时不变系统能控性与能达性等价。 系统完全能控/能达： 系统完全能控/能达：指所有非零状态 系统不完全能控/能达： 系统不完全能控/能达：
线性系统理论4能控性和能观性
如果存在某个时刻 t1 t0，使得rankQ O (t1 ) n
t0 为不能观测的。
定义 4.1.6 对于线性时变系统
x A(t)x
, x(t0 ) x0 , t0 , t J
y C(t)x
如果状态空间中所有状态都是时刻 t0(t0 J )
的能观测状态,则称系统在时刻 t0 是完全能
观测的。如果对于任何 t0 [T1,T2] 系统均是在
t0 时刻为能观测的，则称系统在 [T1,T2 ]
在 t0 , t1 上行线性独立，即对任意 n
维非零向量 z 都有
zT (t1 , )B( ) 0, t0 t1
4.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理 4.2.3 假设系统
x A(t)x B(t)u, t J
中的 A(t) 和 B(t) 的每个元分别是 n 2和
n 1 一次连续可微函数，记 B1(t) B(t)
那么它能控的充分必要条件是:
det b Ab An1b 0
4.3.3 PBH判据
定理4.3.2 定常线性系统
x Ax Bu, x(t0 ) x0 , t t0
能控的充分必要条件是，对每个 (A)
都有 rank A In B n 其中， ( A)
表示 A 的特征值集合。
推论 4.3.3 定常线性系统
2
dt
x0T T
(t1 , t0 )Wc1(t1 , t0 )(t1 , t0
)x0
4.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理 4.2.2 假设 A(t) 和 B(t) 都是 t
的连续函数矩阵，则系统
x A(t)x B(t)u, t J
在t0 时刻能控的充分必要条件是存在某
第四章线性系统的能控性和能观性-山东大学
（3）线性定常离散系统能控性判据 rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n
（4）线性定常系统离散化后的能控性： 连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；
连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采 样周期T的选择有关。
（5）能控标准形 ① SISO Σ(A，B) ，其A和B有以下的标准格式
CAn B
CAn1B
CA2(
n
1)
B
0 0
0
0
0
0
0
CAn B
0
CAn B
CAn1B
CA2 ( n 1)
B
可见，QoQc不满秩。根据矩阵理论，Qo，Qc中至少 有一个矩阵不满秩，即系统不能同时可控可观测。证 毕。
17
例3-28 已知系统的传递函数为
4
0 1 0
A
0
0 1
an
an1
a1
0
B
0
1
② 对能控系统Σ(A，B)化为能控标准形的变换矩 阵P是唯一的，且
P1
P 1
P1 A
P1
An1
P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1
0
CAn1
1
10
4、对偶原理 线性系统Σ1(A，B，C)与Σ2(AT，CT，BT)互为
对偶系统。若系统Σ1能控（能观测），则Σ2能观测 （能控）。 5、线性定常系统的结构分解
(第七、八周)第四章线性控制系统的能控性与能观性
| Qc
|
b1 b2
b11 b2 b21
b22
0
即：b2 0
推广到n阶系统就有定理3：
18
例3-3 考察如下系统的状态能控性：
（1） x1 1 1 0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
完全能控
x3 0 0 2 x3 3
（2）
x1 1
x2
0
x3 0
1 1 0
取 Q AT P PA Q为实对称矩阵
线性定常连续系统渐近稳定判定定理：
线性定常系统x Ax 在平衡点xe 0大范
围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定对 称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足矩阵方程：
AT P PA Q
x 0 例 3 4
x
0 1
1 1
x
e
解：取 Q I, AT P PA I P是实对称矩阵（P12 P21）
20
输出能控性判据：系统输出能控的充要条件是输出能控 性判别矩阵：
S [ CB CAB CA2B CAn1B D ]
的秩为m。其中m为输出维数。
说明：状态能控性和输出能控性是两个完全不同的 概念，没有必然的联系。某系统状态不完全能 控，输出有可能完全能控。
21
[例]：判断下列系统的状态能控性与输出能控性
4
课前回顾
二、状态转移矩阵 状态转移矩阵的计算方法
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏变换求解： ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变换
状态转移矩阵的性质
5
课前回顾
三、 非齐次状态方程的求解
强迫运动：
u
x
( A, B)
现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲
能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果 存在一个控制输入，使得系统状态能 够在有限的时间内从任意初始状态转 移到任意目标状态，则称该系统为能 控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩 阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为 能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递 函数的零点和极点个数满足一定 条件，则系统能观测；否则系统 不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定 性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以 确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控 制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题， 通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输 入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范 数来求解最优控制问题，适用于线性 二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统 的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的 定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿
控制系统的能控性和能观测性
x(t) eAt x(0)
y(t) Cx(t) C eAt x(0)
应用凯-哈定理，有
n1
e Aτ ai (τ) Ai
i0
则
n1
y(t) C ai (τ) Ai x(0)
i0（23）C 或者成y(t) a0 (t)
a1 (t )
an1
(t
)
CA
x(0)
CA
n
1
由于ai (t) 是已知函数，因此，根据有限时间 [0, t1] 内的 y(t)能够
（5）
（证明参见教材84页）
（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵， 比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）
定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。
QC [B AB A2 B An1B]
（6）
rank QC n
（7）
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t) 的确定性干扰 f (t) 时，f (t)不会改变
系统的能控性。
x Ax Bu f (t)
（4）
2. 能控性判据
定理3-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩
WC (0,t1)
t1 0
e Aτ BBT e AT τ d τ
控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[λi I A B] n (i 1,2,, n)
（证明略）
（10）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λi 互异，
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λ1
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A x b u x c c y Cc x
0 1 0 a2
n
能控标 准形
非能控 标准形
0 0 Ac Pc APc1 0 a0
1 0 0 a1
0 0 1 an 1
r 维输入, m维输出 的 n 阶系统
1 A1x1 B1u1 设有两个系统，一个系统 1 x y1 C1x1 2 A 2x2 B2u2 另一个系统 2 x m 维输入, r 维输出 y 2 C2 x 2 的 n 阶系统
若满足下列条件，则称 1与 2 是互为对偶的。
能控标准形
n 1
n2
可写出其状态空间表 达式：
1 0 0 0 0 1 A 0 0 0 a0 a1 a2
0 0 b 0 1
C b0 , b1 bn1
12
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
Ax bu 设系统的状态空间表达式为： x y Cx
若系统是完全能控的，rank[QC ] rank[ B AB An 1 B] n 则必定存在非奇异线性变换 x Pc x 或
1
x Pc x
使其变换成能控标准形：
x Ac x bc u
13
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
A x b u x c c y Cc x
Ac Pc APc1
bc Pc b
Cc CP
1 c
20
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
二、 系统的能观测标准形 如果一个系统的状态空间表达式为： 1 0 0 0 0 a0 x1 b0 x x 2 1 0 0 0 a1 x2 b1 0 1 0 0 a2 b2 u n 1 0 xn 1 x 能观 n x 0 0 0 1 an 1 xn bn 1 标准形
能控标准型对于 状态反馈比较方便
能观标准型对于 状态观测器的设计 及系统辩识比较方便
8
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的 A 和 B 表现为能控的标准形式。
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的 A 和 C 表现为能观的标准形式。
9
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线
5
4.3 对偶原理
二、对偶原理 系统 1 (A1 , B1 , C1 )与 2 (A 2 , B2 , C2 )是互为
对偶的两个系统， 则
1 的能控性等价于
2 的
能观性, 1 的能观性等价于 2的能控性。或者
说，若 1是状态完全能控的（完全能观的），
则 2是状态完全能观的（完全能控的）。
2 n 1
1 A P AP P A A P c c 证明： c 推得 ) c c (由 c
1
15
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
Pc A Ac Pc
P 1A P 2
2 P2 A P A P 1 3
n 2 Pn2 A P A Pn1 1
n1 Pn1 A P A Pn 1
rankQ c 2
∴ 系统是能控的
18
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 （2）计算非奇异变化矩阵
Qc b
1
Ab
1
1 0 1 1
Pc
1 1 Pc 0 1
1
19
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 （3）求得能控 标准形：
0 x1 0 x 0 0 2 0 u 1 x n 1 a n1 1 xn
y C0 C1 C2 Cn1 x
2）求变换矩阵
24
To T1
1 3 AT1 2 4
1 1 3 0 1 x y CTx 1 x 2 2 4
25
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
本节小结
1、能控标准型、能观标准型的基本形式；
若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换
~ x To x
将系统变换为能观标准形
Ao x bou x y Co x
C CA T1 n 1 CA
1
变换矩阵为：
T o T1
AT1 A T1
n1
0 0 1
能 控 标 准 形
则，该系统一定完全能控。
11
回顾：第二章讲
过，根据传递函数
bn1s bn2 s b1s b0 G( s ) n n 1 s an1s a1s a0
Ax bu x y Cx
0 0 1 an 1
2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方 程转化为能控标准型、能观标准型的方法； （重点：变换矩阵） 3、注意：只有能控ห้องสมุดไป่ตู้观的系统才可以化为能控标准
型、能观标准型
（即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控， 而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。
26
4.5 线性系统的结构分解
系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控； 不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。 只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观； 不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。
1
G2 ( s) C2 ( sI A2 ) B2 B ( sI A ) C
T 1
1
T 1 1
T 1
T T B1 [(sI A1 )1 ]T C1 [C1 ( sI A1 )1 B1 ]T
G1 ( s)
2、互为对偶的系统，其特征值相同。
T
I A2 I A1T I A1
Modern Control Theory
第四章 线性控制系统的能控性 和能观测性
1
第四章 线性控制系统的能控性和能观测性
本章主要内容
线性连续系统的能控性
线性连续系统的能观性 对偶原理 线性系统的能控标准形与能观标准形
线性系统的结构分解
传递函数矩阵与能控性、能观性的关系
2
4.3 对偶原理 一、线性定常系统的对偶关系
因此，从能控性、能观性角度出发： 状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状 态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态 变量四类。
采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态 变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分 成四类子系统，这些统称为系统的结构分解。
把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来， 将有利于更深入了解系统的内部结构。
1 能控 2 能观 1 能观 2 能控
6
4.3 对偶原理 例如：能观标准形---显然能观的
能控标准形——显然能控的
7
4.4 线性系统的能控标准形 和能观标准形
由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表 达也不是唯一的。 在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态 空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标 准型、约当标准型 ） 好处 对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析 十分方便。
A2 A , B2 C , C2 B
T 1 T 1
T 1
3
4.3 对偶原理
1
系统结构图
2 系统结构图
输入输出互换； 信号传递反向； 信号引出与综合点互换； 4 各矩阵转置。
4.3 对偶原理 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。
G1 ( s) C1 ( sI A1 ) B1
16
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
17
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
例4.13 试将下列系统变换为能控标准形
1 1 1 x x u 1 0 1
Qc b
y 1 0x
解：（1）先判别系统的能控性
1 0 Ab 1 1
22
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
非能观 标准型
~ x T Ao x bo u ox x Ax bu x y Cx y Co x
能观标 准型
0 0 0 0 a0 1 0 0 0 a 1 Ao To1 ATo 0 1 0 0 a2 0 0 0 1 an 1 b0 b n n1 1 sI A s an1s a1s a0 1 bo To b b2 Co CTo 0 0 0 1 b n 1
y 0 0 0 1x
则系统必定完全能观测。
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 G( s ) n n 1 s an1s a1s a0
21
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
Ax bu 设系统的状态空间表达式为： x y Cx
27
4.5 线性系统的结构分解
x
xco x co xco x co
xco
--能控能观 --能控不能观 --不能控能观
xco
xco xco