圆锥曲线离心率问题教学文稿
圆锥曲线的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c
e a
=
（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞
2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：2
2
2
a b c =+，
① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：2
2
2
c b a =+
① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距
3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：
例1：设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线
段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o
，则椭圆的离心率为
（ ） A ．
33 B ．36 C ．13 D ．16
思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得
2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o ，则直角三角形12PF F V 中，
1212::2:1:3
PF PF F F =，且
1212
2,2a PF PF c F F =+=，所以
12122323
F F c c e a a PF PF ∴====+
答案：A
小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
例2：椭圆
()
22
2
102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________
思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，
''''
1
::2:1:52
b a b
c a =?=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：
1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'1225
PF PF a c -==
，因为1290F PF ∠=o ，222124PF PF c ∴+=而()()
2
2
22
121212
=
2
PF PF PF PF PF PF ++-+
代入可得：2216488105
c c c +=?= 30
c e a ∴==
答案：
30
小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。
例3：如图所示，已知双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲
线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u r u u u r
，
则该双曲线的离心率为（ ） A.
324 B. 233 C. 305 D. 5
2
思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±
，由直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍可得：
22
22
221OA b
ab
a k
b a b a ==--，确定直线l 的方程为()222ab y x
c a b
=--，与渐近线联立方程得 ()22
2222
2223ab y x c abc abc a b y or y b a b a b y a ?=-??-?=-=?-+?=±??
将2AF FB =u u u r u u u r 转化为坐标语言，则2A B y y =- ，即
2222
2223abc abc a b a b =?+-，解得::3:1:2a b c =，从而2
33
e =
答案：B
例4：设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P
使得,4
9
||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =
?=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.4
9
D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与
,4
9
||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =
?=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=Q
()()
2
2
12
12
124PF PF PF
PF PF PF ∴+--=?
即2
2
2
2
9499940b a ab b ab a -=?--=
2
9940b b a a ??
∴-?-= ???
解得：13b a =-（舍）或43b a =
::3:4:5a b c ∴= 53
c e a ∴=
= 答案：B
例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四
个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，在利用条件求出离心。首先直线121,A B B F 的方程含,,a b c ，联立方程后交点T 的坐标可用,,a b c 进行表示（()2,b a c ac T a c a c +??
?--??
），则OT 中点()(),2b a c ac M a c a c ??
+ ? ?--??
，再利用M 点在椭圆上即可求出离心率e
解：直线12A B 的方程为：
1x y
a b
+=-； 直线1B F 的方程为：1x y
c b +=-，联立方程可得：bx ay ab cy bx bc -=-??
-=-?
解得：2()
(
,)ac b a c T a c a c
+--， 则()
(
,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 22
22222
()1,1030,1030()4()
c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=-- 解得：275e =- 答案：275e =-
例6：已知F 是双曲线2221x a b
2
y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F
且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE V 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）
A ． ()1,+∞
B ． ()1,2
C ． (
)1,12+
D ． ()
2,12+
思路：从图中可观察到若ABE V 为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角。由对称性可得只需
0,4AEF π??
∠∈ ???
即可。且,AF FE 均可用,,a b c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，
FE a c =+，
所以()2tan 1AF
b AEF FE a a
c ==<+()22112c a c a
e a a c a
--?
小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题
（2）本题还可以从直线AE 的斜率入手，()2,0,,b E a A c a ??
- ??
?，利用()1,0AE k ∈-即可求
出离心率
例7：已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使
1221
sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为
（ ）
A. ()
0,21- B. 2,12??
?
?
?? C. 20,2?? ? ???
D. (
)
21,1-
思路：1221,PF F PF F ∠∠为焦点三角形12PF F V 的内角，且对边为焦半径21,PF PF ，所以利用正弦定理对等式变形：
1221sin sin a c PF F PF F =?∠∠121122sin sin PF PF F c
c PF F a PF a
∠=?=∠，
再由212PF PF a +=解得：2
22a PF a c
=+，再利用焦半径的范围为(),a c a c -+可得（由于依题意，P 非左右顶点，所以焦半径取不到边界值,a c a c -+）：
22222
2222
22222210a c a a c
a a c a c a c a a ac c e e ??-<>-??-<<+????+<+++->????
，解得(
)
21,1e ∈-
答案：D
例8：已知12,F F 是椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得
12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. 5,15???????
B. 2,12???????
C. 50,5?? ? ??
D. 20,2??
? ?? 思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，
12F PF ∠达到最大值。所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的
角90θ≥o
，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452
OPF θ
∠=
≥o ，所以
2
2tan 1OF c OPF OP b
∠==≥，即22222
c b c b c a c ≥?≥?≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，
解得e ≥()0,1e ∈可得2e ?∈?????
思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=o
，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：
122212tan
2F PF F PF S b b ∠==V ，另一方面：12121
2
F PF P P S F F y c y =??=?V ，从而22
P P b c y b y c ?=?=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2
P b y b b c c
=≤?≤，
再同思路一可解得：2e ?
∈??
?
??
思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ?=u u u r u u u r
，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设()()()
12,,,0,,0P x y F c F c -，则有()()
12,,,PF c x y PF c x y =---=--u u u r u u u r
，则222120PF PF x y c ?=+-=u u u r u u u r
，即P 点一定在以O 为圆心，c 为半径的圆上，所以只需要
该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r b ≥时才可有交点，所以c b ≥，同思
路一可解得2e ?
∈?????
注：本题对P 在圆上也可由12PF PF ⊥判定出P 在以12F F 为直径的圆上，进而写出圆方程 思路四：开始同思路三一样，得到P 所在圆方程为2
2
2
x y c +=，因为P 在椭圆上，所以联
立圆和椭圆方程：222222222
b x a y a b x y c
?+=??+=??代入消去x 可得：()2222222
b c y a y a b -+=，整理后可得：42
2
4
2
2b c y b y c =?=，由[],y b b ∈-可得：422
2b y b c b c
=≤?≥，同思路一
即可解得：2e ?
∈?????
答案：2e ?∈????
小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解
例9：设点12,A A 分别为椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左右焦点，若在椭圆上存在异于点
12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A. 10,2?
? ??
?
B. 2? ??
C. 1,12??
???
D. 2?? ???
思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P ”，则P 的横纵坐标分别位于
()(),,,a a b b --中，所以致力于计算P 的坐标，设()00,P x y ，题目中()2,0A a ，由
2PO PA ⊥可得P 也在以2OA 为直径的圆上。即2
22
24a a x y ??-+= ???
，所以联立方程：
2
22222
22
22224101a a x y b x ax b a x
y a
b ???-+=? ???????--+=? ????+=??，即22220
c x ax b a -+=，由已知可得()2,0A a 也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：222
0022a b ab ax x c c
=?=，再根
据0x 的范围可得：2222222
212ab a a b c a c c e c -<
，解得e ?∈???
答案：D
小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标
例10：如图，已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，
点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6
,12[π
πα∈，则该双曲线
离心率e 的取值范围为（ ）
A ．]32,3[+
B ．]13,2[+
C ．]32,2[+
D ．]13,3[+
思路：本题与焦半径相关，所以考虑,a c 的几何含义，BF AF ⊥可得ABF V 为直角三角形，且22AB OF c ==，结合α=∠ABF 可得2sin ,2cos AF c BF c αα==，因为,A B 关于原点对称，所以AF 即为B 的左焦半径。所以有()22cos sin a BF AF c αα=-=-，
则21
12cos sin 4c e a παα
α=
==-?
?+ ?
?
? ，即关于α的函数，在]6,12[π
πα∈求值域即可
：
511,cos 4312442422π
ππππααα?-?????
?+
∈?+∈?+∈??? ? ????????
?????，
所以1e ?∈+?
答案：B
三、历年好题精选
1、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双
曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ?≠，若12k k +的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ） A
B
．
2 C
．2
D ．32
2、（2016，新余一中模拟）已知点A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A.
1+ B.
1
2 C.
D.
1
3、已知12,F F 分别是双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF V 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
O
x
B
F
A ．
(
)21,-+∞ B ．()21,++∞ C ．()1,12+ D ．()
31,++∞
4、设12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在一点
M ，使得()
110F M OM OF ?+=u u u u r u u u u r u u u r ，O 为坐标原点，且1233
MF MF =u u u u r u u u u
r ，则该双曲线的离心率为（ ） A.
31+ B.
31
2+ C.
62+ D.
62
2
+ 5、（2016四川高三第一次联考）椭圆()222210x y a b a b +=>>和圆2
2222bt x y c ??
+=+ ???
，
（c 为椭圆的半焦距）对任意[]1,2t ∈恒有四个交点，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A. 40,5?? ??? B. 4,15??
???
C.
170,??
? ?? D. 174,5??
? ???
6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆
引切线,AC BD ，设内层椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，外层
椭圆方程为
()
()
()2
2
2
2
10,1x y a b m ma mb +
=>>>若,AC BD 的斜率之积为
9
16
，则椭圆的离心率为_______
7、（2015，新课标II ）已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM V 为等腰三角形，且顶角为120o
，则E 的离心率为（ ） A.
5 B. 2 C. 3 D. 2
8、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分
别为12,F F ，点M 在双曲线的左支上，且217MF MF =，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A ．
43 B ．53 C ． 2 D ．73
9、（2015，山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线
与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB V 的垂心为2C 的焦点，则1C 离心率为________
10、（2014，湖北）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
123
F PF π
∠=
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
3 B. 3
C. 3
D. 2 11、（2014，浙江）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两
条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是______ 解得： 习题答案： 1、答案：B.
解析：设),(),,(),,(t s P q p N q p M --，则1,122
222222=-=-b
t a s b q a p ，
两式相减得:22
2
2
22b
a t q s p =--，
而1221q t q t
b
k k p s p s
a ---+=
+≥====---，则
2b a =，2222222254445442
b a
c a a a c e e =?-=?=?=
?=. 2、答案：A
解析：由抛物线方程可得：()()0,1,0,1A B -，过P 作准线的垂线，垂足为M ，所以
PB PM =，所以1
sin PA m PB
PAM
=
=
，可知m 取得最大值时，PAM ∠最小，数形结
合可知当AP 与抛物线相切时，PAM ∠最小。设:1AP y kx =-，联立方程241
x y
y kx ?=?=-?，
即2
440x kx -+=，则01k ?=?=，此时()2,1P
，则2PA PB ==
，所以
221a PA PB a =-=?=
，则1c e a =
==+ 3、解析：2ABF Q V 为钝角三角形，且2221,45AF BF AF F =∠>o
即112AF F F >，2
22220b c c a ac a
∴>?-->
即2
2101e e e -->?>+ 答案：B 4、答案：A
思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形12MF F 的特点，从()
110
F M OM OF ?+=u u u u r u u u u r u u u r
入手，可得()
11F M OM OF ⊥+u u u u r u u u u r u u u r
，数形结合可得四边形1OMPF 为菱形，所以
12
OM OF OF ==，可判定
12
MF F V 为直角
三角
形。
1212:3,3MF MF MF MF k =?==u u u u r u u u u r
，
可得12F F =
=
1221212F F c e a MF MF ∴====-
5、答案：B
解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则22
22
bt
c a bt c b ?+??对任意[]1,2t ∈恒成立，即
222b c a b c b +??，平方变形后可得：22
222
5405404,11517017e e c ac e e a c ?->?->????
??∈?? ?>-+>??????
6、
答案：
4
解析：设切线AC 的方程为()1y k x ma =-，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立切线
AC
与内层椭圆方程，得：
()()()()1222y k x ma bx ay ab =-???+=??
，所以
()2
222
32242
22
1
1
1
20b a k x ma k x m a k a b +-+-=，由0?=可得：2
2
1
2211b k a m =?-，同理
()22
22
21b k m a =?-，所以4222
121242916
b b k k k k a a =?==?::4:3:7a b
c =。即74e =
7、答案：D
解析：设双曲线方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，如
图所示：2,120BM AB a ABM ==∠=o
，过点M 作
MN x
⊥轴于
N
，在
Rt BMN
V 中，
,3BN a MN a ==，所以()
2,3M a a ，代入双曲
线方程可得：
()
(
)
2
2
2
2
321a a a
b
-
=可得：
1::1:1:2a a b c b =?=，从而2c
e a
== 8、答案：A
解析：由双曲线可知21162MF MF MF a -==，所以13
a
MF
=，因为点1MF c a ≥-，即
3a c a ≥-，所以43c a ≤，即最大值为43
9、答案：3
2
解析：由1C 方程可得其渐近线方程为b
y x a
=±
，与抛物线联立可解得交点22222222(,),(,)
pb pb pb pb A B a a a a
-，抛物
线
的
焦
点
坐
标
为
,02p ?? ???2222242240
AF pb p
b a a k pb
ab a
--∴==-，由AF OB ⊥及OB b k a =-，可得：2244b a a ab b -=，即2222244:5:4b a a b a -=?=，从而22
:9:4c a =，所以32
e =
10、答案：A
解析：设椭圆半长轴长为1a ，双曲线半实轴长为2a ，椭圆，双曲线离心率分别为12,e e 不妨设P 在第一象限
由双曲线与椭圆性质可得：1211222,2PF PF a PF PF a +=-= 由余弦定理可得：2
22
12
1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-
2
2
1212PF PF PF PF =+-
代入()
()()2
2
2
2
221212121
2122
PF PF PF PF PF PF a a ?
?+=
++-=+??
()()2
2
22
12121
2
12
14PF PF PF PF PF
PF a a ?
?
=
+--=-?
?
可得： 222
122212
13
434c a a e e =+?=
+ 由柯西不等式可得：2
22
1212
22121111
134=+11113
3
e e e e e e ??+ ???=+≥
+
12113
e e +≤
11、
答案：
2
解析：双曲线的渐近线方程为：b
y x a
=±
，分别联立方程：33,x y m x y m b b y x y x a a =-=-????
??
==-????
可解得： ()(),,,3333ma bm ma bm A B a b a b a b a b a ????- ? ? ? ?++--????
AB ∴中点222
2223,99ma mb D b a b a ??
?--??
PD AB ⊥Q
()2
22
222222
309333299PD
mb b a k b a b ma
m
b a --∴==-?=----
2242a b a b ∴=?=
22225c a b b c ∴=+=?=
2
c e a ∴=
=
圆锥曲线的离心率问题专题训练
圆锥曲线的离心率问题专题训练 1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于2 1，则m = . 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为 。 3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 。 4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是 。 5．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为 。 6．若点P 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 。 7．分别过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为 。 8．双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为 。 9．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为3 2-，则椭圆的离心率是 。 10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222 >=-a y a x 交于A 、B 两点。若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为 。
圆锥曲线离心率问题教学文稿
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：2 2 2 a b c =+， ① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：2 2 2 c b a =+ ① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题： 例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 33 B ．36 C ．13 D ．16 思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得 2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o ，则直角三角形12PF F V 中， 1212::2:1:3 PF PF F F =，且 1212 2,2a PF PF c F F =+=，所以 12122323 F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。 例2：椭圆 () 22 2 102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中， '''' 1 ::2:1:52 b a b c a =?=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的 离心率为（ ） A B C D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线离心率专题
. . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（） A． [，1）B． （，1） C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12） 5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（）A．B．C．D． 6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（）A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（） A． （0，）B． （，） C． （，） D． （，1） 9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（）A．B．C．D．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（） A．[2，+∞）B．（，+∞）C． [，+∞） D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线 的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭 圆离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则 的取值围是（） A．B．C．D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（）A．B．C．D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离 心率的取值围是（） A．B．C．（1，2）D． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值围是（） A． （1，]B． （1，） C． （2，] D．（，2]
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是() Ａ. [，1) B. [，1） Ｃ． (0，] D. (0，] ２．二次曲线时,该曲线离心率ｅ的范围是( ) A．B．Ｃ. Ｄ. 3.椭圆焦点在x轴上，Ａ为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点，∠OPA=９0°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A. ［,1) B． （，１) C. [,) Ｄ. (0,) 4．双曲线的离心率ｅ∈(1，2），则k的取值范围是（) A. (﹣∞,0）Ｂ．（﹣3,０) C. (﹣１2,0) D. （﹣60，﹣12） 5.设F1，Ｆ2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1ＰF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是() A. B. C．D． ６．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围() A．B．C．Ｄ. 7．已知椭圆x２＋ｍy2=1的离心率，则实数m的取值范围是( ) A． B. C. Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为Ｆ1,F2且它们在第一象限的交点为P,△ＰF1Ｆ2是以ＰF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1，２),则该椭圆的离心率的取值范围是(） A. (0,) B. （，） C. （，) D. (,１) 9.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是［3b2,4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围是 ( ） A．B．C．D． １0.如图,等腰梯形AＢCD中，AB∥CＤ且AＢ=2，ＡＤ=1，DC＝2x（ｘ∈（０，1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，Ｄ为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e２，则ｅ1＋e2的取值范围为( ) A．［2,+∞）Ｂ．（，+∞）Ｃ． ［,+∞） D. (,+∞)
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点Ｐ,使得ＰF１⊥PF２,则椭圆离心率的取值范围是（） A. [,1）B. ［，１） Ｃ. （０，] Ｄ. (０，] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是（) Ａ. Ｂ． C. D． 3.椭圆焦点在ｘ轴上，A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A． [,1) Ｂ. (，1) C. ［，) D. （0，） 4．双曲线的离心率e∈(1，２）,则k的取值范围是（) A．(﹣∞,0）Ｂ．（﹣３,0) C. （﹣１2，0）Ｄ. (﹣60,﹣12) 5.设F１,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝120°,则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B. C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率ｅ的取值范围( ) A． B. C． D. 7.已知椭圆x2+my２＝1的离心率,则实数m的取值范围是（) Ａ. B．Ｃ．Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１F２是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. （0，) B. （,） C． （，） D． （，1) ９.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3ｂ2，4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围 是（） A． B. C. D.
1０．如图，等腰梯形ＡBCＤ中,AB∥CD且ＡB=2，ＡＤ=１，ＤＣ＝2x（x∈（0,1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e１;以Ｃ，D为焦点，且过点Ａ的椭圆的离心率为ｅ2,则e1+e２的取值范围为(） A. [2,+∞) B．（,+∞）Ｃ. [，+∞) D．(,+∞) 1１.已知双曲线的焦距为2c，离心率为ｅ,若点（﹣1，0)与点(１，0)到直线 的距离之和为S,且S，则离心率e的取值范围是() Ａ． B. C. D. １2.已知F１,F２是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F１PＦ２=60°,则椭圆离 心率e的取值范围是() A．B． C. D． 1３．已知方程x3+2ax２+３ｂx+c=0（a,b,ｃ∈R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( ） A. Ｂ. Ｃ. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b）距离最远的点是B（0，﹣b)，则椭圆的离心率的取值范围为（) A．B．C． D. １5.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是(） A. B. C. (1,2) D． 1６．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点Ｐ在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段Ｆ１F2的比为5:1，则双曲线离心率的取值范围是（) A. （1,]Ｂ． (1,) Ｃ. (２,] D．(，２]
圆锥曲线的离心率问题
专题：椭圆的离心率问题 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 2 2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若 12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是12? ?? ?? 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 是椭圆22 a x +22b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,122 1αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若ο ο 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 2 2 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于 点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是2 1 。
圆锥曲线离心率的求法已
圆锥曲线离心率的求法 学习目标 1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法； 2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力； 学习重难点 重点：椭圆、双曲线离心率的求法； 难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率 教学过程： 复习回顾：圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率 探究一：利用定义直接求a,c 例1．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于． 练习1：在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为( ) A. 5 3 －1 ＋1 ＋1 B. 探究二：构造关于e的(a,b,c的齐次)方程
例2．已知椭圆22 221(0)y x a b a b +=>>的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ， 下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为___________ 练习2、双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作 倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( ) 探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定e 的方程 例3．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，斜率为1 点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与求e 二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围) 1、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例4、已知双曲线122 22=-b y a x
圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)
圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
专题 圆锥曲线的离心率(学生版)
专题五 第二讲 离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心 率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式，从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）2 21c b e a a ==+（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一）、用定义求离心率问题： 122121(05,, 221A. B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ?例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） －－－ 【强化训练】1.在ABC △中，AB BC =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =． 2、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________； 3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。
4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．324+ B ．13- C ．213+ D ．13+ 5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）5（C ） 2 5（D ）31+ （二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为. 变式：设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题1 圆锥曲线的离心率问题(原卷版)
专题1 圆锥曲线的离心率问题（原卷版） 一、单选题 1．已知双曲线2221(0)3y x a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．2 C D ．1 2．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠= ，则椭圆的离心率e =（ ） A ．12 B ．2 C ．14 D ．4 3．已知A ?B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于 E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．2 C ．13 D ．3 4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点， 过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ） A B ．2 C D ．3 5．已知F 是椭圆C ：22 221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆2 22()39 c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A B ．23 C D ．12
试卷第2页，总4页 6．已知双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ?=，则椭圆的离心率等于（ ） A ．152-+ B ．132-+ C ．12 D ．32 - 8．已知过双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．2 C ．3 D ．2 9．已知双曲线2 221,(0)x y a a -=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．3 C ．23 D ．33 10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．233 B ．263 C ．3 D ．2 11．过椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．33 C ．32 D ．22 12．设双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率 设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。 解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则 将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 解法2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() 解法３:利用三角函数有界性 记
||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有 解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 ||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222 2 2 2 2 2 22 2 22224220=+=-+=+++-+=+== -≠±≤<，又由，所以有 即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即 解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得 42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||||(||||)|| 解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有
(完整版)圆锥曲线离心率题型
圆锥曲线的离心率题型解析 华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉 圆锥曲线的的离心率e 是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助. 类型一：离心率的定义 例 1 （2014湖北卷） 已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 334.A B .3 32 C ．3 D ．2 分析：21F PF ?既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“c a 2,2”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点. 解析：不妨设)(,,21n m n PF m PF >==，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，椭圆、双曲线的离心率分别为21,e e ，则由椭圆、双曲线的定义，得12a n m =+，22a n m =-， 平方得212242a n mn m =++-------①， 2 22242a n mn m =+-------②， 又由余弦定理得2224c n mn m =+----------③， 由①②③消去mn 得2222143c a a =+，即4312221=+e e . 再据平面向量不等式2 22)(?≤?的坐标表示得 221221)33111()11(e e e e ?+?=+316)31)(311(2221=++≤e e
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（） A．[，1）B． （，1）C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是 （） A．B．C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（） A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1） 9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取 值范围是（） A．B．C．D． 10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）
求圆锥曲线离心率的几种方法
1经典的，不会那么容易过时------------- 1 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果 椭圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→ → → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 2222 222 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根
2经典的，不会那么容易过时------------- 2 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++= 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有
(完整版)求圆锥曲线离心率的几种方法
经典的，不会那么容易过时------------- 1 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果 椭圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 2222 22 1222 2222 222 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++=
经典的，不会那么容易过时------------- 2 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 2 1 ≤-
高二数学圆锥曲线中离心率的求法
圆锥曲线中离心率的求法 在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。 1、公式法：即利用a c e = 这一公式求离心率。 [例1]已知椭圆m y mx 5522 =+的离心率5 10=e ，求m 的值。 解：将椭圆方程化为标准方程得：1522=+m y x （1）当50 <
则 221=F F ，从而31=MF ， 131 322 121-=+= += ∴MF MF F F e ，故选A 。 [例4]F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，求椭圆的离心率。 解：设2,1,1 11===Q F PQ PF 则，a QF PQ PF 411=++ ， ()2 61212,2 2 122222 22 2 2 1= -+=+=+=+= ∴a PF PF c a ， 3622-== ∴a c e 。 3、方程法：寻求关于a,c 的齐次关系式，化归为关于e 的方程，再通过解方程求出离心率。 [例5]（1996全国理、文）设双曲线122 22=-b y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线l 过（a,0），（0,b ） 两点，已知原点到直线l 的距离为 c 4 3 ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）2 （B ） 3 （C ）2 （D ） 3 3 2 解：由已知得，直线l 的方程为bx+ay-ab=0, 原点到直线l 的距离为 c 43,则有c b a a b 4322=+，又 222b a c +=，234c ab =∴，两边平方得() 4222316c a c a =- 两边同除以 4 a ，并整理得 01616324=+-e e ，3 4422 = =∴e e 或，而 b a <<0，得 2 12 2222222 >+=+==a b a b a a c e ，42 =∴e ，故2=e ，故选A 。 [例6]过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，且?=∠90MAN ，则 双曲线的离心率等于_____________。 解：不妨设F 为左焦点，如图，由已知得， AF MF =，即 a b 2