卡方检验1

χ2 检验的基本思想

理论频数：
T RC nR nC = n
– TRC：第R行、C列格子的理论频数； – nR：第R行的合计数； – nC：第C列的合计数； – n：总例数。

实际频数：表内各格数字为实际资料的数字。
χ2 检验的基本思想

实际频数和理论频数差异的大小可以用χ2值的大 小来说明，当样本量n和各个按检验假设计算的理 （A−T) 值 论频数T都足够大时，比如n≥40，T≥5， ∑ T 2 近似于χ 分布，n越大，近似程度越好。
2

Pearson χ2值的计算公式如下：
（ O − T )2 χ ＝∑ T
2
– 式中O代表实际频数，T代表理论频数。 – ν=（R-1）（C-1）
χ2 检验的基本思想

χ2检验是将率或构成比的比较演绎为实际频数与理论频 数的比较，χ2值反映了实际频数和理论频数吻合的程度 。理论频数与实际频数的差异越大时χ2值也越大。 如果H0成立，则实际频数与理论频数之差一般不会很 大，χ2值也会小，当χ2<χ2界值时，P>α，则尚无理由 拒绝它。 反之，若H0不成立，实际频数与理论频数的差值会大 ，则χ2值也会大，若χ2≥χ2界值，则P≤α，可以认为 实际频数与理论频数的差别已超出了抽样误差允许的 范围，有理由怀疑H0的正确性，因而拒绝它。

结论：P<0.05 ，拒绝H0 ，接受H1 ，使用丹参可以降 低死亡率。
四格表资料的χ2检验

H0：π1=π2 (用不用丹参死亡率相同) H1：π1≠π2 T22=17×42/240=2.975<5，n>40，应进行校正
(187 × 6 − 36 × 11 − 240 / 2) 2 × 240 χ = = 2.796 223 × 17 × 198 × 42
χ2 检验的基本思想

两个样本的不良反应率不相同时，可能有两 种可能原因：
– 抽样误差所致； – 两个样本所在总体的不良反应发生率确有所不 同。

检验假设H0：假设这两种注射方式的不良反 应发生率本无不同，差别仅是抽样误差所致 。
χ2 检验的基本思想

如果H0成立，则： π1=π2=57/202=28.22%
χ2分布

χ2分布是由u分布衍生出来的一种连续型分布 。如果ν个相互独立的变量ui～N（0,1）， 则变量χ2服从自由度的ν的χ2分布。
2 χ 2 = u12 + u2 + " + uν2

χ2分布的概率密度函数为：
f (χ ) =
2
1
2Γ(ν / 2) 2
(
χ2
)
(ν /2−1)
e
− χ 2 /2
2 χ 检验
(chi-square test)
.5 .4 ν=1
.3
.2
Biblioteka Baidu
ν=3 ν=6
.1
ν=10
0.0 0 5 10 15 20 25
主要内容
χ2分布
– 了解χ2分布曲线
四格表资料的χ2检验
– 掌握应用条件、基本思想和检验过程
配对设计资料的χ2检验
– 掌握应用条件、基本思想和检验过程


χ2 检验的自由度


χ2值的大小，除决定于O与T的差值外，还 取决于格子数（自由度）的多少。 χ2检验的自由度是指在周边合计固定不变的 条件下，表内全部格子数据中可以自由取值 的格子数。 ν=（R-1）（C-1） 四格表只有两行两列，故其自由度为1。
四格表资料χ2 检验的专用公式
（O − T ) 2 = χ =∑ T
四格表资料的χ2检验
手术时间长短对患者切口是否感染无 影响，即两种手术时间所对应的切口感 染率相等 H1：手术时间长短对患者切口是否感染 有影响 α=0.05
H0 :
四格表资料的χ2检验

n=305>40，但T21 = 4.131<5 ，说明此资 料需运用校正公式计算检验统计量χ2值

四格表资料的χ2 检验

当n≥40，且T≥5 时，不需要进行校正。
（ O − T )2 (ad − bc)2 n χ ＝∑ = T ( a + b )( c + d )( a + c )( b + d )
2

当 n≥40, 但有1≤T<5时，需对进行连续性校正。
n 2 ) n （ O − T − 0 .5) 2 2 = χ ＝∑ ( a + b )( c + d )( a + c )( b + d ) T

Fisher精确概率检验
基本思想：
– 在周边合计不变的情况下，四格表的实际频 数a、b、c、d可有多种组合， – 先求出所有组合四格表的概率，各种组合对 应的概率可用超几何分布公式计算， – 然后将所有小于等于原样本四格表概率的所 有四格表概率值相加，得到双侧检验P值。
超几何分布

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有 M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则
χ2检验是一种用途非常广泛的以χ2分布为
理论依据的假设检验方法，主要用于：
– 两个或多个总体率或构成比的比较； – 两个分类变量之间的关联分析； – 频数分布资料的拟和优度检验等。
四格表资料的χ2 检验
四格表资料的一般形式
属性A B1 A1 A2 合计 a c a+c 属性 B 合计 B2 b d b+d a+b c+d n
(a + b )! (c + d )!
Fisher精确概率检验

例：某医生用新旧两种药物治疗某病患者27 人，治疗结果见下表，问两药的疗效有无差 别？
组别 旧药 新药 合计 治愈数 未愈数 合计 2 3 5 14 8 22 16 11 27 治愈率(%) 12.5 27.3 18.5
Fisher精确概率检验
χ2 检验的基本思想

例：某研究人员对202例暴露于狂犬病的孕妇实施 狂犬疫苗接种治疗，观察病人的不良反应发生情况 。该研究人员采用了肌肉注射和皮下注射两种给药 方式，试问不同给药方式的病人不良反应发生率是 否不同？
分组 肌肉注射 皮下注射 合计 发热及肌肉疼痛 有 35（a） 22(c) 57(a+c) 无 74(b) 71(d) 145(b+d) 合计 109(a+b) 93(c+d) 202(n) 发生率 32.11 23.66 28.22
2
( ad − bc −

当n<40，或T<1时，应采用Fisher精确概率检验。
四格表资料的χ2检验

例9-2：某医院为了探索导致手术切口感染 的原因，怀疑手术时间长短可能是一个危险 因素。于是，收集了305例手术患者的情况 列于下表，问手术时间长短对患者切口是否 感染有无影响？
手术时间（h） ≤5 >5 合计 感染情况 感染 13 7 20 未感染 229 56 285 合计 242 63 305

本例n=27<40，故可用Fisher精确概率检验。周 边合计中最小数为5，故共计可获得5+1=6种组 合的四格表。
0 5 16 6 1 4 15 7 2 3 14 8 3 2 13 9 4 1 12 10 5 0 11 11
Fisher精确概率检验

计算每种组合下对应的概率Pi，本例为第三种 组合，概率为：

其中 Γ(ν / 2) 是伽马函数。
χ2分布曲线
χ2分布的形状依赖于自由度ν的大小，
当ν≤2时，曲线呈L型；随着ν的增加 ，曲线逐渐趋于对称；当ν→∞时, χ2 分布趋向正态分布。
χ2分布曲线
.5 .4 ν=1
.3
.2
ν=3 ν=6
.1
ν=10
0.0 0 5 10 15 20 25
χ2 检验
生存 用丹参 未用丹参 合计 187 36 223 死亡 11 6 17 合计 198 42 240
四格表资料的χ2检验

H0：π1 =π2 (用不用丹参死亡率相同) H1：π1≠π2 α=0.05
2 ( 187 × 6 − 36 × 11 ) × 240 χ2 = = 4.0125 223 × 17 × 198 × 42
四格表χ2检验的校正公式

χ2界值表是根据连续性的χ2分布计算出来的，但原 始数据是分类资料，不是连续的，由此计算的χ2 值也是不连续的，它仅仅是连续性的χ2分布的一种 近似。 n≥40&T ≥5时，这种近似效果较好。 但在样本例数较少或出现理论频数小于5时，算出 的χ2值可能偏大，既求出的概率P值可能偏小，此 时须根据具体情况作不同的处理。
k n−k CM CN −M P( X = K ) = n CN

此时称随机变量X服从超几何分布（ hypergeometric distribution）
超几何分布

超几何分布是统计一种离散概率分布。它描述 了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指 定种类的物件的次数（不放回）。 超几何分布的模型是不放回抽样 超几何分布中的参数是M,N,n，超几何分布记 作X~H（n，M，N）。
2

P>0.05 不拒绝H0，两组死亡率差别无统计学意义， 即不能得出使用丹参注射液降低死亡率的结论。
Fisher精确概率检验

Fisher精确概率检验（Fisher’s exact test, Fisher’s exact probability test）是1934年由 R.A.Fisher提出的直接计算概率P值的方法。 常用于n<40，或理论频数T<1时两率的比较或 两二分类变量的关联性分析。
2 2
2
2
本例的χ2检验
H0：π1=π2，即两种给药方法的总体不
良反应发生率相同 H1：π1≠π2，即两种给药方法的总体不 良反应发生率不同 α=0.05
本例的χ2检验
(O −T )2 (35 − 30.76)2 (74 − 78.24)2 (22 − 26.24)2 (71− 66.76)2 = + + + = 1.771 χ =∑ T 30.76 78.24 26.24 66.76

Fisher精确概率检验
属性A A1 A2 合计

属性 B B1 a c a+c B2 b d b+d
合计 a+b c+d n
按超几何分布的原理，四格表的概率计算公式为：
a c ( Ca C a + b )!(c + d )!(a + c )!(b + d )! a b c d ! ! ! ! +b c + d P= = = a +c n ! Cn a!b!c!d !n! (a + c )!(b + d )!
2
χ
2
( ad − bc ) 2 n = (a + b )(c + d )(a + c )(b + d
)
ν =1
(35 × 71 − 74 × 22 ) 2 202 = = 1.771 109 × 93 × 57 × 145
查界值表，得P>0.05，按α=0.05水准，
不拒绝H0，尚不能认为两种不同给药方 法的不良反应发生率有差别。
2
(a + b)(a + c) ⎞ ⎛ (a + b)(b + d ) ⎞ ⎛ ⎜a − ⎟ ⎜b − ⎟ n n ⎝ ⎠ +⎝ ⎠ + (a + b)(a + c) (a + b)(b + d ) n n (a + c)(c + d ) ⎞ ⎛ (b + d )(c + d ) ⎞ ⎛ − − c d ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠ +⎝ ⎠ (a + c)(c + d ) (b + d )(c + d ) n n (ad − bc) 2 n = ( a + b )( c + d )( a + c )( b + d )
305 × (|13 × 56 − 229 × 7 | −305 / 2 ) 2 χ = = 1.832 242 × 63 × 20 × 285
2
df = 1

结论：P>0.05，按α=0.05 水准不拒绝H0 ，尚不能认为手术时间的长短是导致切口 感染的一个危险因素。
四格表资料的χ2检验

对240例心肌梗塞患者治疗24小时内的死亡情况进行 观察，198例用复方丹参注射液静滴治疗，死亡11例 ；42例未用复丹参注射液静滴治疗，死亡6例，问两 组病死率相差是否显著?
16!11!5!22! P3 = = 0.245262 2!14!3!8!27!
Fisher精确概率检验
0 5 16 6 1 4 15 7 2 3 14 8 3 2 13 9 4 1 12 10 5 0 11 11
• 肌肉注射组发生不良反应的理论人数为：
109×28.22%=30.76人 ；
• 肌肉注射组不发生不良反应的理论人数为：
109-30.76=78.24人；
• 皮下注射组发生不良反应的理论人数为 :
93×28.22%=26.24人 ；
• 皮下注射组不发生不良反应的理论人数为：
93-26.24=66.76人。