李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
电路分析基础 李瀚荪
将 IS 断开
将 E 短接
I2
R2
E R3
10 55
A
1A
US I2 R2 1 5V 5V
例1：电路如图，已知 E =10V、IS=1A ，R1=10 ,
R2= R3= 5 ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2和理
想电流源 IS 两端的电压 US。
R2
R2
R2
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1'
U1ⅱ = 44´+66?4 9.6V
= -101+41= -6V
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
3.3 叠加方法与功率计算
P1
I2 1
R1
( I1
I1)2
R1
I12 R1
I1
R2 1
③ 不作用电源的处理：
E = 0，即将E 短路； Is= 0，即将 Is 开路 。 ④ 解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。
若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方 向相反时，叠加时相应项前要带负号。
⑤ 应用叠加原理时可把电源分组求解 ，即每个分电路 中的电源个数可以多于一个。
+
I2
++
I2'
+
E –
R1
R3
IS
–US –
R1
R3
US'
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(分解方法及单口网络)
第4章分解方法及单口网络4.1 复习笔记一、分解的基本步骤1．划分原则一个元件的电压电流关系是由这个元件本身所确定的，与外接的电路无关。
从全面求解网络的角度来看，何处划分是随意的，视方便而定。
2．分解步骤分解的基本步骤为：（1）把给定网络划分为两个单口网络N1和N2；（2）分别求出N1和N2的VCR（计算或测量）；（3）联立两者的VCR或由它们伏安特性曲线的交点，求得N1和N2的端口电压、电流；（4）分别求解N1和N2内部各支路电压、电流。
二、单口网络的电压电流关系1．单口网络的伏安关系VCR单口网络的伏安关系可用以下方式来描述：（1）具体的电路模型；（2）方程或曲线的形式；（3）等效电路。
2．单口网络VCR的求解方法（1）在单口网络两端外施电流源i求单口网络两端电压u；（2）在单口网络两端外施电压源u求单口网络两端电流i。
3．注意事项（1）单口网络的VCR与外接电路无关；（2）可以在最简单的外接电路情况下，求得单口网络的VCR；（3）外施电流源求电压法和外施电压源求电流法是求解VCR常用的方法.三、单口网络的置换-置换定理1．置换定理内容置换定理可表述为：若网络N由两个单口网络N1和N2连接组成，且已知端口电压和电流值分别为α和β，则N1（或N2）可以用一个电压为α的电压源或用一个电流为β的电流源置换，不影响N1（或N2）内各支路电压、电流原有数值。
2．置换过程的图示置换过程如图4-1所示。
（a）（b）N2为电压源所置换（c）N2为电流源所置换图4-1 置换定理四、单口网络的等效电路两单口网络等效是指一个单口网络N和另一个单口网络N'的电压、电流关系完全相同，即它们在u-i平面上的伏安特性曲线完全重叠。
1．等效串联电路（1）典型电路图串联等效电路的典型电路图如图4-2所示。
图4-2 串联等效电阻（2）串联等效的公式串联等效的公式为（3）串联等效的表述串联等效电路的电阻为各电阻之和。
2．等效并联电路（1）并列等效的公式等效并联电阻公式为（2）并联等效的表述并联等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和。
李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第一章课件精品名师资料
时变电流：大小、方向随时间变化。用小写字 母 i 表示
交流电：大小和方向作周期性变化的时变电流
电流的参考方向 P6
★参考方向：任意选定的一个方向
参考方向的两种表示方法：
1 在图上标箭头； 2 用双下标表示iab
iab a b
★在参考方向下，若计算值为正，表明
电流真实方向与参考方向一致；若计算 值为负，表明电流真实方向与参考方向 相反。
（2）若电压的参考方向如图，则该电压u为多少？
+
a
u
b
解：（1）相当于正电荷从b到a失去能量， 故电压的真实极性为：b—“+”, a—“-”。 （2）单位负电荷移动时，失去4J能量，说 明电压大小为4伏，由于电压的参考极性与 真实方向相反，因而，u = - 4伏。
★关联参考方向 P8
关联：电流与电压降的参考方向选为一致。
例1 在图示参考方向下，已知
i (0.5) 的真实方向； 求：（1） i ( 0) ， （ 2 ）若参考方向与图中相反， 则其表达式？ i (0) ，i (0.5) 的真实方 向有无变化？
a
i
b
§1-2 电路变量 电流、电压、功率
a
解：（1） i (0) 4 cos( / 4) 2 2 0 表明此时真实方向与参考方向一致， 从a->b；
电压的分类
恒定电压（直流电压）：大小、方向恒定。 用大写字母 U表示。
时变电压：大小、极性随时间变化。用小写字 母 u表示
交流电压：大小和极性作周期性变化的时变电压
§1-2 电路变量
电流、电压、功率
参考方向：也称参考极性。
两种表示方法：
在图上标正负号； 用双下标表示 uab a
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(集总参数电路中电压、电流的约束关系)
第1章1.1 复习笔记一、电路及集总电路模型1．基础元件图形实际电路是由电阻器、电容器、线圈、电源等部件和晶体管等器件相互连接组成的，各种部、器件可以用图形符号表示，如表1-1所示。
表1-1 部分电气图用图形符号2．集总电路（1）定义集总电路是指由集总参数元件组成的电路。
（2）应用条件当电路的尺寸远小于最高频率所对应的波长时，可以当做集总电路来处理。
二、电路变量电流、电压及功率1．电流（1）定义电流是指每单位时间内通过导体横截面的电荷量。
（2）表达式电流的表达式为（3）分类①恒定电流恒定电流是指大小和方向都不随时间变化的电流，简称直流。
②交变电流交变电流是指大小和方向都随时间作周期性变化的电流，简称交流。
2．电压（1）定义电路中a、b两点间的电压是指单位正电荷由a点转移到b点时所获得或失去的能量。
（2）表达式电压的表达式为（3）分类①恒定电压恒定电压是指大小和极性都不随时间而变动的电压，也叫直流电压。
②时变电压时变电压是指大小和极性都随时间变化的电压，也叫交流电压。
（4）关联参考方向：关联参考方向是指电流参考方向与电压参考方向一致，如图1-1所示。
图1-1 关联的参考方向3．功率（1）定义功率是指能量流动的速率。
（2）表达式功率的表达式为p（t）＝u（t）i（t）（3）功率的正负功率的正负表示能力的吸收与产生，电压电流取关联参考方向时：①当功率为正，电路吸收能量，p值即为吸收能量的速率；②当功率为负，电路提供能量，p值为产生能量的速率。
三、基尔霍夫定律1．基尔霍夫电流定律（1）定律内容基尔霍夫电流定律可表述为：对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流进）该节点的所有支路电流的代数和为零。
（2）表达式基尔霍夫电流定律的数学表示式为（3）理论基础基尔霍夫电流定律的理论基础是电荷守恒法。
2．基尔霍夫电压定律（1）定律内容基尔霍夫电压定律可表述为：对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。
电路分析(李瀚荪版)
顿）等效电路、元件等效置换、T形（∏形）网 络等效变换、正弦量变换为相量； 7. 三要素法分析； 8. 分解法分析。
三、基本电路：
时域模型、相量模型（复数域模型） 电阻电路、动态电路（一阶电路、二阶电路）
四、元件及电路的约束方程：
欧姆定律： u = Ri U&m = ZI&m
K
基尔霍夫定律： KCL： ik = 0
k =1
K
KVL： uk = 0
k =1
K
I&km = 0
k =1
K
U&km = 0
k =1
五、电路的分析方法：
I&
+1
4. 耦合电感
u1
=
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
u2
=
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
U&1 = jwL1I&1 + jwMI&2 U&2 = jwL2I&2 + jwMI&1
u1
=
L1
di1 dt
-
M
di2 dt
u2
=
L2
di2 dt
-
M
di1 dt
U&1 = jwL1I&1 - jwMI&2 U&2 = jwL2I&2 - jwMI&1
I&m = Ime jji = ImÐji －－电流振幅相量
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电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)课后答案下载电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)内容简介下册第三篇动态电路的相量分析法和s域分析法第八章阻抗和导纳8—1 变换方法的概念8—2 复数8—3 振幅相量8—4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式8—5 三种基本电路元件VCR的相量形式8—6 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入8—7 弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比——相量模型的引入8—8 正弦稳态混联电路的分析8—9 相量模型的网孔分析和节点分析8—10 相量模型的等效8—11 有效值有效值相量8—12 两类特殊问题相量图法习题第九章正弦稳态功率和能量三相电路 9—1 基本概念9—2 电阻的平均功率9—3 电感、电容的平均储能9—4 单口网络的`平均功率9—5 单口网络的无功功率9—6 复功率复功率守恒9—7 弦稳态最大功率传递定理9—8 三相电路习题第十章频率响应多频正弦稳态电路 10一1 基本概念10—2 再论阻抗和导纳10—3 正弦稳态网络函数10—4 正弦稳态的叠加10—5 平均功率的叠加10—6 R1C电路的谐振习题第十一章耦合电感和理想变压器11—1 基本概念11—2 耦合电感的VCR耦合系数11—3 空心变压器电路的分析反映阻抗11—4 耦合电感的去耦等效电路11—5 理想变压器的VCR11—6 理想变压器的阻抗变换性质11—7 理想变压器的实现11—8 铁心变压器的模型习题第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用 12一1 拉普拉斯变换及其几个基本性质12—2 反拉普拉斯变换——赫维赛德展开定理 12—3 零状态分析12—4 网络函数和冲激响应12—5 线性时不变电路的叠加公式习题附录A 复习、检查用题附录B 复习大纲部分习题答案(下册)索引结束语电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)目录《电路分析基础》(下高等学校教材)第4版下册讲授动态电路的相量分析法和s域分析法。
具体内容有：阻抗和导纳、正弦稳态功率和能量/三相电路、频率响应/多频正弦稳态电路、耦合电感和理想变压器、拉普拉斯变换在电路分析中的应用。
电路分析基础第六章(李瀚荪)
t
t0
t U S uC 1 解二： iC [U S U S (1 e )] R R t US e , t0 R
二、RL电路的零状态响应 t=0
iR
R IS
iL
L
+ uL _
已知：iL(0_ ) = 0，求 iL(t) , uL(t) , t 0 解：１. 定性分析
1. 定性分析
① t＜ 0 —充电 ② t = 0 —换路
③ t≥0 —放电
2. 定量分析
建立图(b)电路的一阶微分方程
u R uC 0
齐次方程通解： 根据初始条件 其解为：
duC RC uC 0 dt
uC (t ) Ke
uC (0 ) Ke
t RC
st
1 S=－ RC
= 18e- 2500tV 18e- 2500t 6 ? 4 9
(t ? 0) 3e- 2500t A(t > 0)
uC (t ) 6 i1 (t ) = ? R 3+ 6
例3： 已知i (0 +) = 2A 求：i(t) , u(t) , t ≥ 0 3
i
0.5u
1
4H
+ u
_
u 3i (0.5u i) 1
t
6e 20 t V
( t 0)
duC U 0 t 6 20 t iC ( t ) C e e dt R 10 103 0.6e 20 t m A ( t 0)
电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电
流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
引例：求图示电路的一阶微分方程。
电路分析基础第四章(李瀚荪)
a
I I I1 R1 IS R R
R1
IS
a + U1 _ (2)由图(a)可得：
R1 IS I
a
I I1
R
R1
IS
R
(b)
b
(c) b
I R1 IS－I 2A－6A －4A U1 10 I R3 A 2A R3 5
理想电压源中的电流 I U 1 I R3－I R1 2A－(－4)A 6A 理想电流源两端的电压 U IS U R2 IS RI R2 IS 1 6V 2 2V 10V
I
– 2V 2
I
试用电压源与电流源等效变换的方法计算图示 例 3： 电路中1 电阻中的电流。 2
+ 6V 3 2A 6 + 4V 4 1 I
解：统一电源形式
2 3 2A 2A 6 1A 4 1 I 2 2 4 I 1
4A
1A
解：
2 2 4 I 1 + 8V -
+ US1_ _ US2 + + US3 _ +
US = US1 US2 + US3
电源与等效电源参考 方向一致为+,反之为-
US_
4. 理想电流源并联 IS = IS1IS2 + IS3
IS1
IS2
IS3
IS
5. 电压源并联
(1)
+ 5V _
+ 5V _
+ 5V _
不允许，违背KVL
(2)
一些简单的等效规律和公式电源两种模型之间的等效变换电源两种模型之间的等效变换iriririr电压源电压源等效变换条件等效变换条件电流源电流源等效变换时两电源的参考方向要一一对应等效变换时两电源的参考方向要一一对应理想电压源与理想电流源之间无等效关理想电压源与理想电流源之间无等效关电压源和电流源的等效关系只对外电路而言电压源和电流源的等效关系只对外电路而言对电源内部则是不等效的
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(电容元件与电感元件)
图 5-3 具有初始电压 U0 的电容及其在 t≥t0 时的等效电路
四、电容的储能
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1.瞬时功率
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（1）定义
瞬时功率是指每一瞬间的功率，可由该元件两端电压 M 和流过的电流 i 的乘积来计算，
即
（2）功率波形图 功率波形图是把同一瞬间的电压和电流相乘，然后逐点绘出功率随时间变化的曲线所得 的图形。 ①功率为正时，电容吸收功率； ②功率为负时，电容放出功率。 2.电容储能 （1）储能公式 电容 C 在某一时刻 t 的储能只不该时刻 t 的电压有关，即
u 和 i 波形相同，但最大值、最小值并丌同时发生。
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5-2 考虑漏电现象，电容器可以用一个电容 C 不漏电阻 R 并联的电路作为模型。若某 电容器的模型中 C=0.1μF，R=150kΩ，外施电压如图 5-1 所示，试绘出电容器电流的波形。
（2）注意事项 ①电容的储能本质使电容电压具有记忆性质； ②电容电流在有界的条件下储能丌能跃变使电容电压具有连续性质。
五、电感元件 1.概念 （1）定义 电感元件是指在任意时刻，电流 i（t）同它的磁链 （t）乊间的关系可以用 i－ 平
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七、电容不电感的对偶性 状态变量 1．对偶性. （1）对偶性含义 对偶性是指如果把电容 VCR 式中的 i 换以 u，u 换以 i，C 换以 L 就可得到电感的 VCR 式；反乊亦然。 （2）对偶性推论 根据对偶性，可知电感电流具有连续性质和记忆性质，即若电感电压 u（t）在[tq，tb] 内为有界的，则对任何时刻 t，ta＜t＜tb
李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用【圣才出品】
第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
12-1 RC 串联电路t ＝0时与10 V 电压源接通，已知R ＝2MΩ、C ＝1μF，试用拉氏变换法求电流i （t ）和电容电压M 。
（t ）， t≥0。
已知u C （0－）＝0。
解：电路如图
12-1（a ）所示，画出电路的
s 域模型如图
12-1（b
）所示，可得（s ）的反变换为
比较系数得
解得
所以
U （s ）的反变换为
图12-1
12-2 RL 并联电路如图
12-2所示，已知
试用拉氏变换法求u （t ），
t≥0。
图
12-2
图12-3
解：画出电路的s 域模型如图12-3所示。
列出方程
反变换得。
12-3 t≥0
时电路如图12-4所示，已知，试求
图
12-4
图12-5
解：方法一：画出电路的s域模型如图12-5所示。
列出方程
所以
解得反变换得
方法二：用戴维南定理。
在图12-5中，断开电容支路，得接上电容支路，得以下与方法一相同。
12-4 电路如图12-6所示，
t ＝0时开关打开，求。
图12-6
图12-7
解：画出电路的s 域模型如图12-7所示。
可列出方程
反变换得
§12-2 反拉普拉斯变换
——赫维赛德展开定理
12-5 求若F （s ）为：
解：
所以
F （s ）为假分式，不能直接使用赫维赛德定理。
用长除法，得对真分式部分有
所以。
李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第六章
1 iC
R
0 t0
t
注意 不要写为
1 R
e
－t RC
(
t
-
t0
)
6-3 阶跃响应 冲激响应
例 1 求图示电路中电流 iC(t)
10k
+
ic
us
10k
-
100F
+
10 (t)
-
us(V) 10
uC(0-)=0
+
10 (t 0.5)
-
0
0.5 t(s)
uS 10 (t) 10 (t 0.5)
含有多个电阻电路元件时，怎么处理？ 例：电路如图所示，以iL为变量列出电路的微分方程。
第六章 一阶电路
解一：列出网孔方程
(
R1
R2 )i1
R2iL
uS
(1)
R2i1
L
diL dt
R2iL
0
(2)
由式(2)求得
i1
L R2
diL dt
iL
代入式(1)得到
整理
( R1
（2）延迟一个函数
f(t)
sin t (t )
f(t) sin( t t0 ) (t t0 )
0
t
（3）起始一个函数
0 t0
t
f(t) sinsi(nt()t )(t(t )t0 )
0
t0
t
6-3 阶跃响应 冲激响应
由单位阶跃函数可组成复杂的信号，分段信号
例1
f(t)
1
f(t)
(t)
+
10 (t 0.5)
李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第4章 分解方法及单口网络【圣才出品】
第4章 分解方法及单口网络§4-2 单口网络的电压电流关系4-1 求图4-1所示单口网络的VCR。
图4-1解：标出端口u和i，电压u可认为是外施电压源电压，i流出网络，指向外施电源正极。
用网孔法列出电路方程。
设网孔电流和i均为顺时针方向。
找出i和u的关系得u＝－12.5i＋11.25 （1）如i指向网络内部，则u＝12.5i＋11.25 （2）u、i的单位分别为V、A。
列网孔方程就是如此规定的。
4-2 试用外施电源法求图4-2所示含源单口网络的VCR，并绘出伏安特性曲线。
图4-2解：图中u可认为是外施电压源的电压。
根据图中所示i的参考方向，可列出u＝（3 Ω）i＋（6 Ω）（i＋5 A）＋20 V＝（3 Ω＋6 Ω）i＋（6 Ω）（5 A）＋20 V＝（9 Ω）i＋50 V伏安特性曲线是条直线。
i＝0时u＝50 V，即u轴截距为50；u＝0时，即i轴截距为4-3 试求图4-3所示电路的VCR。
图4-3解：施加电压源u于a、b两端，由KVL和KCL，可得§4-3 单口网络的置换——置换定理4-4 在图4-4所示电路中已知N的VCR为5u＝4i＋5，试求电路中各支路电流。
图4-4解：分割出图4-4所示虚线框内电路，设外施电压为u，为求其VCR，可列出节点方程整理得VCRu＝2－1.2i以之与N的VCR联立可解出i，即5（2－1.2i）＝4i＋5解得i＝0.5 A，u＝1.4 V以1.4 V电压源置换N，可简便地估计到N存在的影响，由此可得4-5 试设法利用置换定理求解图4-5所示电路中的电压何处划分为好？置换时用电压源还是电流源为好？图4-5图4-6解：试从图4-6的虚线处将电路划分成两部分，对网络有整理得15u＝117－14i（1）对网络有 联立（1）、（2）两式解得i＝3 A。
用3 A电流源置换较为方便，置换后利用分流关系，可得4-6 电路如图4-7（a）所示，网络N的VCR如图4-7（b）所示，求u和i，并求流过两线性电阻的电流。
李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第八章
8-3 振幅相量
P8
★ 由于已知振幅Fm ，
角频率ω
和
初相 ，
就能完全确定一个正弦波，
称它们为正弦波的三特征。
例2 已知正弦电压的振幅为10伏，周 期为100ms，初相为/6。试写出正弦 电压的函数表达式和画出波形图。
解：角频率
2
T
2
100 103
20
rad/s
函数表达式为
Im
b
A
|A|
O
a Re
A a jb
A | A | e j | A |
A | A | cos j | A | sin
代数式 指数式（极坐标式） 三角函数式
8-2 复数
几种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im b |A|
Re[Fme je jt ] Re[Fme jt ]
Fm Fmej Fm
f (t) Fm cos( t )Fm Fm
可见，一个按正弦规律变化的电压和电 流，可以用一个相量(复常数)来表示。 已知正弦量的时间表达式，可得相应的 相量。反过来，已知电压电流相量，也 就知道正弦电压电流的振幅和初相，再 加上角频率，就能写出正弦电压电流的 时间表达式(两者存在一一对应关系)。 即
8-3 振幅相量
正弦量的相量表示
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和振幅就行了。
引入欧拉公式
e jt cos(t) j sin(t)
cos(t) Re{e jt}
正弦量
复数
8-3 振幅相量
李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第二章
§2-1 网孔分析法
网孔电流
若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6 条支路和4个节点。对①、②、③节点写出KCL方程。
i1 i3i1i4i30i4 0 i4 i1 i3
i1
i2i1i5i20i5
0i5
i1
i2
i2 i3i2i6i30i6 0 i6 i2 i3
电流i4、i5和i6是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和i3 的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、 i2和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。 这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。它是一组能
确定全部支路电流的独立电流变量。
§2-1 网孔分析法
思想： 以网孔电流为求解对象，列写KVL方程。
im1
R1 im2 R2
- US2+
im3
R3
R4im1 R4im2 U S U S 2 R4im1 (R1 R2 R4 )im2 R2im3 0 R2im2 (R2 R3 )im3 U S 2
iR2 im2 im3
含有电流源电路的网孔方程
本网孔中沿网孔电流方向所含电压源 电压升的代数和
§2-1 网孔分析法
网孔电流法的一般步骤：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，确定其绕行方向； (2) 对m个网孔，以网孔电流为变量，列写
其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到m个网孔电流； (4) 求各支路电流(用网孔电流表示)； (5) 求解其它参数。
图2-2
+ 10V -
(R1 R3 )im1 R3im2 20
（续）例2-1
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(网孔分析和节点分析)
第2章网孔分析和节点分析2.1 复习笔记一、网孔分析法1.网孔分析（1）概念①定义网孔分析法是以网孔电流作为求解的对象来分析电路的一种方法，又叫网孔电流法。
②网孔电流网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，如图2-1中的所示。
图2-1 网孔电流③网孔电流方程具有m个网孔的电路，网孔方程的形式应为（2）求解步骤①选定网孔电流，为每一个网孔列写一个KVL方程；②通过欧姆定律解出方程中的支路电压；③写出以网孔电流为变量的方程组，就可解出网孔电流。
（3）难点分析①含有电流源的情况a．含有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再列回路方程；b．存在无伴电流源，且无伴电流源仅处于一个回路时，该回路的电流就是电流源电流；把无伴电流源的电压作为未知量，同时增加一个回路电流的附加方程。
②含有受控电压源的情况a．将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程；b．再把受控电压源的控制量用回路电流表示；c．将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边。
2.互易定理互易定理：在只含一个电压源，不含受控源的线性电阻电路中，若在支路x中的电压源u z，在支路y中产生的电流为i y，，则当电压源由支路x移至支路y时将在支路x中产生电流i y。
二、节点分析1．概念（1）定义节点分析是以节点电压作为求解对象的分析方法，又叫节点电压法。
（2）节点电压节点的节点电压是指该节点到参考节点的电压降。
如图2-2所示。
图2-2 节点分析法用图（3）节点方程对具有（n－1）个独立节点的电路，节点方程的形式为2.难点分析（1）电路中含有无伴电压源的情况①电压源的一端连接点作为参考点，另一端的结点电压已知，无需再列方程；②把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，增加结点电压与无伴电压源电压之间的关系。
（2）电路中含有受控电源的情况①含有受控电流源时，先把它当作独立电流源，再把控制量用结点电压表示；②含有有伴受控电压源时，把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流源；③含有无伴受控电压源，参照无伴独立电压源的处理方法。
电路分析基础第一章(李瀚荪)
A
iAB
B
2. 电压的参考方向 (voltage reference direction)
电位 电压U
单位正电荷q 从电路中一点移至参考点 （＝0）时电场力做功的大小
单位正电荷q 从电路中一点移至另一点时 电场力做功（W）的大小
U
def
dW
dq
实际电压方向
电位真正降低的方向
单位：V (伏)、kV、mV、V
问题
复杂电路或交变电路中，两点间电压的实际方向往往 不易判别，给实际电路问题的分析计算带来困难。
电压(降)的参考方向
假设的电压降低之方向
参考方向
+
U
–
参考方向
+
U
–
+ 实际方向
U >0
实际方向 +
U <0
电压参考方向的三种表示方式：
(1) 用箭头表示
U
(2) 用正负极性表示
+
U
(3) 用双下标表示
def
i(t)
lim Δ q
dq
Δ t0 Δ t dt
单位
A（安培）、kA 、mA、A
1kA=103A 1mA=10-3A
1 A=10-6A
方向
规定正电荷的运动方向为电流的实际方向
元件(导线)中电流流动的实际方向只有两种可能:
实际方向
A
B
实际方向
A
B
问题
复杂电路或电路中的电流随时间变化时， 电流的实际方向往往很难事先判断
例
a
已知：4C正电荷由a点均匀移动至b点
b
电场力做功8J，由b点移动到c点电场
力做功为12J，
电路分析基础李瀚荪
U1 U 0 U
U2 U 120 U3 U 120
波形图
相量图
u
.
u1 u2 u3
U3
120° 240° 360°
O
2
120° .
120°
U1
t
120°
.
U2
39
三个正弦交流电动势满足以下特征
最大值相等
结论：二端口网络的功率
1.平均功率 P UI cos
2.无功功率 Q UI sin
P I2 eZ I2R U2 eY U2G
Q I2ImZ I2X
U2ImY U2B
3.视在功率 S UI
S P2 Q2
4.功率因数 P cos
S
5.平均功率（无源二端网络）
也等于网络中各电阻消耗的平均功率总和
2. 在输电方面：三相系统输电用三根（或四根线）, 而单相系统要六根，三相输电可节省有色金属 25% 。
3. 在配电方面：相同容量的三相变压器的体积比单 相变压器的体积小得多。
4. 在用电方面：三相电动机比单相电动机运行平稳。
36
一、三相电源
1. 三相电压的产生
V2 +
W1
U1
定子
S
W2
+
_
转子
+
I IC
IL
U
R C
L
_
解法一：
U 1000V I 12.6518.5A IL 20 53.1A IC 2090A
P UI cos Z 100 12.65 cos(18.5) 1200W
解法二：
李瀚荪编电路分析基础第版
10-3 正弦稳态网络函数
例 接上题,
u1 (t) 10 2 cos(ωt 10 )V, R 1k, C 1μF g m 2mS
若：(1) =103rad/s ,(2) =104rad/s，试求输出电压u2(t)。
解：将R、C、gm代入上题得到旳转移电压比中，得
1 (RC)2
jC
Z ( j)
R
1 (RC)2
Z () arctan(RC)
10-3 正弦稳态网络函数
网络函数旳定义和分类
动态电路在频率为ω旳单一正弦鼓励 下，正弦稳态响应(输出)相量与鼓励 (输入)相量之比，称为正弦稳态旳网 络函数，记为H(jω)，即
H ( j)
响应相量 激励相量
相量可觉得振幅或有效值相量，激励是独立电压 源或独立电流源，响应是感兴 Im U Um
Y i u
Y ( j)
Y
(
j
)
Y
(
)
频率 响应
幅频特征：决定了电压与电流（有效 值或幅值）旳比值关系
相频特征：决定了电压与电流旳相位关系
10-2 再论阻抗和导纳
阻抗与导纳
Z ( j) R() jX ()
R() ：电阻分量
X () ：电抗分量 0 0
输入阻抗函数包括了与指定正弦稳态响应有关旳全部信息。
10-2 再论阻抗和导纳
6rad/s,
Zab ( j6)
j2
360 j90 162 j172
3.1348.9
Z Um 3.13 Im
Z u i 48.9
u(t) 3.13cos(6t 45o 48.9o ) 3.13cos(6t 93.9o )V
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（1）线性性质 若
，则对任何常数 α1 和 α2，都有
（2）微分性质 若 则
时域内的微分运算相当于复频域内的乘法运算。 （3）积分性质 若 则
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（2）解的结构 Q（s）和 D（s）的每一个根，在 [零状态响应]的部分分式展开式中都占有一项，即
其中，第一括号内是稳态（强迫）响应的拉氏变换；第二括号中为瞬态（固有）响应的拉氏 变换。
（3）特性 ①Q（s）和 D（s）的根是响应 Y（s）的极点，它们决定着零状态响应中各分量随时 间变化的方式； ②D（s）即网绚函数 H（s）的分母为电路的特征多项式，它的根为特征根或固有频率， 决定着固有响应随时间变化的方式； ③Q（s）即 X（s）的分母的根决定着强制响应随时间变化的方式。
所以 解得 反变换得 方法二：用戴维南定理。在图 12-5 中，断开电容支路，得 接上电容支路，得
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以下不方法一相同。
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12-4 电路如图 12-6 所示，t＝0 时开关打开，求
。
图 12-6
解：
图 12-7
画出电路的 s 域模型如图 12-7 所示。 可列出方程
反变换得
五、线性时丌变电路的叠加公式
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1．叠加公式
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在 s 域分析中，对某选定的响应，叠加公式为
式中
2．公式说明 （1）任意时刻 t≥0 的响应是零状态响应不零输入响应乊和； （2）零状态响应表明所有 t≥0 的输入在该时刻所形成的效应； （3）零输入响应表明所有 t＜0 的输入在该时刻继续存在的效应。
12.2 课后习题详解
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
12-1 RC 串联电路 t＝0 时不 10 V 电压源接通，已知 R＝2MΩ、C＝1μF，试用拉氏 变换法求电流 i（t）和电容电压 M。（t）， t≥0。已知 uC（0－）s 域模型如图 12-1（b）所示，可得
①计算 K1 时，等式两端乘以（s－s1），得
②K1 的计算公式为
③赫维赛德展开定理
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（2）B（s）＝0 含有重根的情冴 B（s）＝0 含有重根时，展开式中的各项系数的计算式为
三、零状态分析 1．电路元件的零状态 s 域模型 （1）零状态的 S 域模型 确定零状态响应是动态电路分析中最基本的问题，零状态元件的 s 域模型如图 12-1 所 示。
时域中的积分运算相当于复频率域中的除法运算。
二、反拉普拉斯变换——赫维赛德展开定理 设 F（s）可表示为 s 的多项式乊比，如
1．若 n≥m，则 F（s）称为假分式 如果 F（s）为假分式，则总能分解为一个 s 多项式和一个真分式乊和，例如
分母去除分子（长除法）可得
2．若 n＜m，则 F（s）称为真分式 （1）方程式 B（s）＝0 为丌等根的情冴 一般来说，若 F（s）为真分式，s1、s2、…、sm 为 B（s）＝0 的丌等根，则 F（s）可 表示为
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第 12 章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
12.1 复习笔记
一、拉普拉斯变换及其基本性质 1．拉普拉斯变换 （1）定义式 时间函数 f（t）的拉普拉斯变换
的定义为
（2）作用 把直观的时域变量变为抽象的复频率变量，是为了便于分析和计算电路问题，待得出结 果后再反变换为相应的时域变量。 2．基本性质 表 12-1 给出了一些常用时间函数的拉氏变换。
图 12-1 零状态元件的 s 域模型 （2）S 域模型公式 如图 12-1 所示，零状态元件的 s 域公式为
2．元件的 s 域阻抗和导纳 （1）广义阻抗 ①定义 广义阻抗，又叫拉普拉斯阻抗，是指零状态元件两端电压 U（s）不电流 I（s）乊比，
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记为 Z（s），即
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②元件的统一表示 引入广义阻抗后，三种元件可统一地用 a．对于电容元件
来表征电压不电流的关系。
b．对于电感元件 Z（s）＝sL
c．对于电阻元件 z（s）＝R
（2）广义导纳 ①定义 广义导纳是指零状态元件电流 I（s）不电压 U（s）的比值，记为 Y（s）。 ②表达式 零状态元件的广义导纳为
图 12-3 解：画出电路的 s 域模型如图 12-3 所示。列出方程
反变换得 12-3 t≥0 时电路如图 12-4 所示，已知
。 ，试求
图 12-4
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图 12-5
解：方法一：画出电路的 s 域模型如图 12-5 所示。列出方程
（s）的反变换为
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比较系数得 解得 所以 U（s）的反变换为
图 12-1
12-2 RL 并联电路如图 12-2 所示，已知
试用拉氏变换法求 u（t），t≥0。
图 12-2
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四、网绚函数和冲激响应 1．网绚函数 （1）定义式 对 s 域模型，在单一激励情冴下网绚函数 H（s）的定义式为
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（2）方框图
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表征 s 域模型响应不激励的关系如图 12-2 所示。
图 12-2 表征 s 域模型响应不激励关系的方框图 2．冲激响应 （1）冲激函数的表达式 若已知网绚函数 H（s）和 X（s），则 Y（s）为