运筹学第二章线性规划

第二章线性规划

教学目的和要求：

目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。

要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了

解图解法。

重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。 难点：线性规划基本定理，单纯形法。 教学方法：讲授法，习题法。 学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.

线性规划是运筹学的一个重要分支。1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。

第一节线性规划问题

一、问题的提出

在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。

例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。 A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？

解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3

的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，

X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；

以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦650

4X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700

X j ≧0 (j=1,2,3)

例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。已知A i 到B j 的单位运价是C ij (i=1,2, …,m;

j=1,2, …,n)。

设供销满足平衡条件，即 。

问怎样组织运输，才能满足要求，且使总运费最少？

---- 7 5 4.5 单位利润 700 2 4 2 丁 850 3 2 4 丙 650 3 2 1 乙 800 4 2 2 甲 设备可供工时(h) C B A

产品 设备 ∑=∑==n 1j j b m 1i i a

解：设X ij (i=1,2, …,m; j=1,2, …,n)表示由A i 到B j 的物资运输量，则总运费为

∑=∑==m 1i ij

X

n

1

j ij C Z ，另外，对A i 应有i a n

1

j ij x =∑=, i=1,2, …,m 对B j ，应有j b m

1

i ij x =∑=, j=1,2, …,n

同时，运输量应非负，故X ij ≧0，(i=1,2, …,m; j=1,2, …,n) 以上问题数学模型为：极小化∑=∑==m 1i ij

X

n

1

j ij C Z 满足 i

a n

1

j ij x =∑=, i=1,2, …,m

j b m 1

i ij x =∑=, j=1,2, …,n

X ij ≧0 (i=1,2, …,m; j=1,2, …,n)

例3.配料问题

要配制一种面包，每只面包要求含甲、乙、丙3种营养成分至少各为20、24、30单位。现有4种原料可供选用，下表给出了每10g 原料所含各种营养成分的单位数。试确定每种原料各取多少，才能使面包的配制成本最低？

解：先假设配制一只面包，数量多只需扩大相应倍数即可。由观察可知，原料A 不论在营养成分含量上还是价格上都优于C ，故C 不选用，设A 、B 、D 各取X 1, X 2 , X 4个10 g 。

则可得数学模型如下： 极小化Z=10X 1+15X 2+25X 4 满足 X 1+2X 2+(1/4)X 4 ≧ 20 3X 1+ X 2+(1/2)X 4 ≧ 24 3X 1+ X 2+ 4X 4 ≧ 30

X 1，X 2，X 4≧0 二、线性规划模型

以上几个问题各有不同，但其数学模型有共同之处：

它们都是要求一组变量(称为决策变量)X 1,X 2，…，X n ，这组变量全部或者其中一部分具有非负要求，且满足一系列线性等式或不等式∑=≥≤=n 1

j i

)b , (j x ij a , i=1,2, …,m, 使一个用线性式表示的目标(称为目标函

25 30 15 10 价格(分/10g) 4 2 1 3 丙 1/2

2 1

3 乙 1/

4 1/2 2 1 甲 D C B A

原料营养种类

数)Z=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n 达到极值，这类问题称为线性规划。

一般而言，线性规划数学模型为：极大化(极小化) Z=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n …………①，

∑=≥≤=n

1

j i )b

,(j x i a j , i=1,2, …,m……② X j ≧0 全部或部分j , j=1,2, …,n……③

①式为目标函数，②为约束条件，③为非负要求；式①，②全为线性式，否则称为非线性规划。

满足②，③的一组变量X 1，X 2，…，X n 称为线性规划的可行解，由所有可行解组成的集合称为可行解集合或可行域，若X=(X 1，X 2，…，X n )T

使目标函数达到极值的可行解，称为最优解。为了表述方便及深入研究线性规划，线性规划模型可表示为矩阵和向量形式：

极大化(极小化)Z=CX , 满足 AX=(≦，≧)b, X ≧0; 或极大化(极小化)Z=CX 满足P 1X 1+P 2X 2+…+P n X n = (≦，≧)b, X ≧0 其中C=(C

1，C 2， … ，C n )，X=(X 1，X 2，…，X n )T ，

b=(b 1,b 2, …,b m )T ，P j =(a 1j ,a 2j , …a mj )T

j=1,2, …,n

a 11 a 12 …a 1n

A= a 21 a 22 …a 2n =(P 1，P 2，…，P n ) ………………

a m1 a m2 …a mn

第二节线性规划的图解法

线性规划的图解法是一种解析几何方法，它简单直观，有助于理解其基本概念和求解一般原理。 例4.求解线性规划 极大化Z=600X 1+700X 2 满足 X 1+2X 2≦160 X 1+ X 2≦120 3X 1+ X 2≦300 X 2≦60

X 1， X 2 ≧0

解：(1)在平面上建立直角坐标系O-X 1X 2，X 1为横轴，X 2为纵轴。 (2)找出可行域，由解析几何知识可知， X 1+2X 2≦160代表直线X 1+2X 2=160左下半平面， X 1+X 2≦120代表直线X 1+X 2=120左下半平面，3X 1+X 2≦300代表直线3X 1+X 2=300左下半平面，X 2≦60代表直线X 2=60下半平面， X 1≧0，X 2≧0表示第一象限，以上区域的公共部分D 即为可行域。

(3)在可行域中找最优解，将Z 视为参数，则Z=600X 1+700X 2可表示为以Z 为参数的一族平行线，X 2=(－600/700) X 1+(Z/700),其中同一条直线上任何一点都具有相同的Z 值，故称之为等值线。当Z 值由小变大时，等值线沿其法线方向(垂直方向)向右上方移动，当移动到过X *

点时，Z 值最大，因为若Z 值再增大，则等值线与可行域无交点，不满足约束条件。初始等值线可选择一个适宜的Z 值，与可行域相交即可，

比如Z=42000,故本例最优解为X *=(80,40)T ,最优值为Z *

=76000

例5：用图解法求解下列线性规划 (1)极大化Z=2X 1+2X 2

满足 X 1-X 2≧

1 -X 1+2X 2≦0 X ，X ≧0