容斥原理的极值问题

容斥原理的极值问题文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

有关容斥原理的极值问题

所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。

通过以下几个例题具体看一下：

1. 某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加

解析: 逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5

2. 参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试

解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86+88+92+76+72+70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120-

92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为

34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

（注意：算出来的值要跟上述的每一题做错的值相比，只有大于上述每一个值，才可以直接拿总数去减）

3. 一次考试共有五道试题，做对第1、2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？

（参考第二题的思想，一个类型）100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30，100-30=70。因为30>26（错的最多的题次），所以直接除以3。

4. 一次考试共有五道试题，做对1、2、3、4、5题的分别占考试人数的84%、88%、72%、80%、56%，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？

100-84,88,72,80,56=16+12+28+20+44=120，120/3=40，

(16+12+28+20)/2=38，100-38=62

解析1：及格率至少多少，就是错的要最多，也就是错3道题目要最多。错的题目：16+12+28+20+44=120，120/3=40，考虑40<44，所以错的题目有多算了。所以：要错3题最多，则第五道题肯定要错，那么题目可以转化为：前四道题错2题的最多，即16+12+28+20=76，76/2=38，38<44。所以错三道最多为38%。那么及格率至少为1-38%=62%。

（跟第二题的解法作对比，掌握不同的处理方式）

解析2：假设这次考试有100人参加，那么五题分别做对的人数为84、88、72、80、56人。全班共做对84+88+72+80+56=380（题）。要求及格率最少，也就是让不及格人尽量的多，即仅做对两题的人尽量的多；要让及格

的人尽量的少，也就是说共做对5题和共做对4题的人要尽量的多。我们可以先假设所有人都只做对两题，那么共做对100×2=200（题）。由于共做对5题的最多有56人，他们一共多做了56×3=168（题），这时还剩下 380－（200+168）=12（题）。因为做对4题的人要尽量的多，所以每2题分给一个人，可以分给12÷2=6（人），即最多6个人做对4题。加上做对5题的56人，那么及格的人最少有56+6=62（人），也就是及格率至少为62%。

5. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水。已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆。

请问：（1）恰好被3人浇过的花最少有多少盆

解析：100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇次，那说明一定有一些花被浇3次或4次才可能使得平均数为。要使被浇3次的花少，只需被浇4次的花多即可，由于甲只浇了30盆，那么被浇4次的花最多只能有30盆。排除这30盆花，余下70盆被浇了155次，平均每盆被浇次，为了接近总数 155次，我们假设70盆都被浇2次，那么共被浇140次，还少15次，我们只好让其中15盆花每盆再多浇一次。所以答案为15盆