容斥原理的极值问题

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(小学奥数)容斥原理之最值问题

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。

容斥原理最值问题

容斥原理最值问题嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理最值问题，这可真是个有意思的玩意儿啊！你说啥是容斥原理最值问题呢？咱打个比方哈，就好比你去参加一个大聚会，里面有喜欢吃苹果的人，有喜欢吃香蕉的人，还有既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉的人。

那怎么能知道最多有多少人喜欢吃这两种水果，或者最少有多少人喜欢呢？这就是容斥原理最值问题啦！咱想想啊，要是只知道喜欢苹果的有多少人，喜欢香蕉的有多少人，可直接把这俩数加起来，那肯定不对呀，因为里面有重复的部分呢，这时候就得用容斥原理来好好算算了。

那最值又是咋回事呢？就好比你想让喜欢吃水果的人最多或者最少，那可得好好琢磨琢磨条件，找到那个最极端的情况。

比如说，有一个班级，会唱歌的有 20 人，会跳舞的有 15 人，既会唱歌又会跳舞的有 5 人。

那这时候让你求既不会唱歌也不会跳舞的最多有多少人，你就得好好想想啦。

要是想让这个最多，那是不是得让会唱歌和会跳舞的人尽可能地重复呀，这样既不会唱歌也不会跳舞的人不就多了嘛！你说是不是这个理儿？再举个例子，有一堆水果，苹果有 10 个，香蕉有 8 个，橘子有 6 个，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有 3 个，既喜欢苹果又喜欢橘子的有 2 个，既喜欢香蕉又喜欢橘子的有 1 个，三种都喜欢的有 1 个。

那这时候让你求喜欢至少一种水果的最少有多少人，这可得好好动动脑筋了。

是不是得让那些重复的部分尽可能地少呀，这样喜欢至少一种水果的人不就最少了嘛！哎呀呀，这容斥原理最值问题是不是挺好玩的？就像解一个小谜题一样，得仔细琢磨条件，找到那个最关键的点。

有时候你可能会觉得有点绕，但别着急，慢慢来，多想想，肯定能搞明白的。

你想想，生活中不也经常会遇到这样的问题嘛。

比如说你组织一个活动，要知道最多能有多少人参加，或者最少需要准备多少东西，这不就和容斥原理最值问题差不多嘛！所以说呀，学会这个可有用啦！咱再回到学习上，遇到这种问题可别头疼，要把它当成一个挑战，一个让你变得更聪明的机会。

两集合容斥原理的极值问题

两集合容斥原理的极值问题
我们可以使用容斥原理来解决这个问题。

设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。

根据容斥原理，A和B的并集的元素个数为：n + m - |A ∩B|
其中，|A ∩B|表示A和B的交集的元素个数。

因此，要使A和B的并集的元素个数最小，需要使|A ∩B|最大，即A和B的交集尽可能大。

假设A和B分别有n个和m个元素，且n < m。

要使|A ∩B|最大，需要使A尽可能包含在B中，即A是B的一个子集。

此时，|A ∩B| = n，因此A和B的并集的元素个数最小，为：n + m - n = m
所以，当A是B的子集时，A和B的并集的元素个数最小。

这个定理的用处在于解决有限集合中元素个数的问题。

通过这个定理，我们可以快速地求出两个集合的并集中的元素个数，而不需要一一列举集合中的元素。

同时，这个定理还可以用于证明其他与集合相关的定理和性质。

2020云南省考行测备考：容斥问题之容斥极值

2020云南省考行测备考：容斥问题之容斥极值少年辛苦终身事，莫向光阴惰寸功。

随着冬天的接近，2019年该是谢幕的时候，2020年云南省公务员考试拉开了序幕。

云南省考竞争是比较大的，需要考生集中精力备考。

今天云南中公教育给大家带来了2020云南公务员考试备考资料：容斥问题之容斥极值，供考生学习。

例1.某一学校有100人，其中选修数学的有69人，选修文学的有40人，那么两种课程都选的学生至多有多少人?两种课程都选的学生至少有多少人?
中公解析：1.计算两种课程都选的学生至多有多少人，只需要让选修文学的40人同时选修数学即可，即至多有40人。

例2.有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。

那么至少有( )人参加了不止一个项目的比赛。

A.7
B.10
C.15
D.20
综上，在容斥极值问题常用解题方法为公式法和方程法，重点还是要对题干认真分析，已知公式中需要的信息或者找出已知的等量关系利用极限思想选择合适的方法求解即可。

小学奥数容斥原理之最值问题(完整版)

小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

国考行测考试“难点”导读：一站全知道——容斥极值

点拨：遇到这类符合条件的题目，直接带入公式就可以，（A∩B）min=A+B-I，（A∩B∩C）min=A+B+C-2I，（A∩B∩C∩D）min=A+B+C+D-3I。
【例】2.一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛？
国考行测考试“难点”导读：一站全知道——容斥极值
同学们，当我们做到数量关系的容斥类题目时，发现掌握二者容斥和三者容斥解题原理后，相关内容还是比较容易理解的，属于手到擒来型。但是一遇到容斥的各类极值题目时，大家就会觉得很麻烦，总是想不明白，弄不清楚，感觉云里雾里，而且这类题目还有很多不同类型，让人望而生畏。下面中公教育专家就带领大家将其一一击破。
【例】4.共有100个人参加某银行的招聘考试，考试内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，则至少有（）人能通过考试。
A.70 B.74 C.55 D.30
【答案】A。解析：通过考试的人员最少，则没通过的人数最多，即100-80+100-92+100-86+100-78+100-74=90人次，根据“答对了3道和3道以上的人员能通过考试”，则让不通过的人都答错3题，即最多有90/3=30人不通过考试，因此通过的人最少有100-30=70人，选择A。
【例】1.阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（）本。
A.5 B.10 C.15 D.20

容斥极值公式推导过程

容斥极值公式推导过程容斥极值公式是高中数学中的一个重要概念，它在组合数学、概率论、计算机科学等领域都有广泛应用。

本文将介绍容斥极值公式的推导过程，并探讨其应用。

一、基本概念在介绍容斥极值公式之前，我们先来回顾一下组合数学中的一些基本概念。

组合数组合数是指从n个不同元素中取出r个元素的方案数，记作C(n,r)或者$binom{n}{r}$。

它的计算公式为：$$C(n,r)=frac{n!}{r!(n-r)!}$$排列数排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列的方案数，记作P(n,r)。

它的计算公式为：$$P(n,r)=frac{n!}{(n-r)!}$$二、容斥原理容斥原理是组合数学中的一个基本原理，它用于计算多个集合的并集的大小。

具体来说，对于两个集合A和B，它们的并集大小为： $$|Acup B|=|A|+|B|-|Acap B|$$这个公式的意思是，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去它们的交集元素个数，这样就可以得到它们的并集元素个数。

三、容斥极值公式的推导容斥极值公式是容斥原理的一个推广，它用于计算多个集合的最大值或最小值。

具体来说，对于n个集合$A_1,A_2,cdots,A_n$，它们的最大值为：$$max{A_1,A_2,cdots,A_n}=max{A_1}-min{A_1capA_2}+max{A_2}-min{A_1cap A_2capA_3}+cdots+(-1)^{n+1}min{A_1cap A_2capcdotscap A_n}$$ 这个公式的意思是，我们先找到第一个集合$A_1$的最大值，然后依次考虑它与其他集合的交集的最小值和其他集合的最大值，最后得到它们的最大值。

每个交集的最小值前面都有一个符号$(-1)^{k+1}$，其中k表示这个交集包含的集合个数，这个符号的作用是使得交集的最小值与最大值的符号相反。

接下来，我们来证明容斥极值公式。

首先，对于任意一个集合$A_i$，它的最大值一定不小于它的交集的最大值。

三者容斥问题3个公式

容斥问题一直是公务员考试备考中不可缺少的一部分。

很多同学在做容斥问题，尤其是三者容斥问题的时候常常会考虑不周，缺了一个部分又多了一个部分。

所以接下来要给大家提供一个万能型的容斥公式，所有的三者容斥问题就迎刃而解了。

如图所示，我们用同一字母表示同一属性的区域。

斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。

因此，根据图形，就有了以下几个公式：1.a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)2.a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)3.b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)一、容斥问题容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。

在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。

二、题目特点题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。

三、常考题型1、二者容斥问题公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集例1:大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。

2.三者容斥问题公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2×三者交例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X人，则89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看过其中两部电影的人数有46人。

小学奥数容斥原理之最值问题

⼩学奥数容斥原理之最值问题⼩学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理⼆量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个⽅⾯的应⽤．⼀、两量重叠问题在⼀些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，⽽要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，⽤式⼦可表⽰成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中⽂“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中⽂“且”的意思．)则称这⼀公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图⽰如下:A 表⽰⼩圆部分，B 表⽰⼤圆部分，C 表⽰⼤圆与⼩圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影⾯积．图⽰如下:A 表⽰⼩圆部分，B 表⽰⼤圆部分，C 表⽰⼤圆与⼩圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影⾯积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进⾏：第⼀步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起)；第⼆步：从上⾯的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．⼆、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类⼜是B 类的元素个数-既是B 类⼜是C 类的元素个数-既是A 类⼜是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．⽤符号表⽰为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图⽰如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利⽤圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学⽬标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中⼩圆表⽰A 的元素的个数，中圆表⽰B 的元素的个数，⼤圆表⽰C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进⾏A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 “⾛美”主试委员会为三～⼋年级准备决赛试题。

行测理-容斥原理(标准含讲解过程)

2.图解法求只A/只B，在公式中没有——>画图（从里向外、注意去重）
......
容斥原理
x = 34
容斥原理
◆例题5◆
某研究室有 12 人，其中 7 人会英语，7 人会德语，6 人会法语，4 人既会英语又
会德语，3 人既会英语又会法语，2 人既会德语又会法语，1 人三种语言都会。会且只
会一种语言的有多少人？
A.8
B.4
√C.5
D.6
A+B+C -A∩B-B∩C-A∩C +A∩B∩C=全-都不 A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
B.15
C.5
100
√D.3
A + B- A∩B = 全 - 都不
15 73 ？
图解法：
都=88-15 =73
?=76-73 =3
求只A/只B，在公式中没有——>画图
容斥原理
2.三集合
标准型公式：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=全-都不
B
A
+2 -1
+3 -1
-1 -1
+2 -1
+2 -1
2.三集合
非标准型公式：A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
B
满足两项：只具有其中两个属性（灰色区域）
A
+2
+3
+2
+2
A+B+C - 满足两项 - 满足三项×2 +都不 = 全 A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
C
都不

容斥极值公式

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。

1、区域出现重叠。

2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。

二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。

三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。

3、应用
【例1】某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？
A.165
B.203
C.267
D.199
【答案】C。

读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。

而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

圣儒教育 —容斥极值问题讲解

圣儒教育—容斥极值问题讲解圣儒教育问题：圣儒教育，简称“圣儒”。

是以圣人的言论为基础而建立起来的教育体系。

它以仁、义、礼、智、信为五德。

一方面把德性分成很多种类；另一方面又要求对每一个品格的理解不能太狭隘，要从各个角度去思考。

这样就产生了一些难以解决的矛盾——容斥极值问题。

圣儒学者们在对事物进行认识时，往往会提出一些悖于常理的观点，他们将难以定论或无法证实的推断归结到难以定论或无法证实上。

如果我们用对待数学中的原始概念那种严谨态度来看待圣儒学说和所有哲学家的言论，就可以发现其中许多都是正确的，即使这些被作为圣人言论而接受下来，也只不过算得上是证明了圣儒学派言论的一部分，并没有穷尽真理。

因此这里谈及的容斥极值问题是指圣儒学派关于数学、逻辑等科学研究和文化价值选择方向上引发的难以解决的矛盾与困境。

通俗地讲，就是指无限递减函数中出现某个确定的容值点（绝对收敛）后，仍然存在比该点更小的值。

圣儒学者们试图通过数学、逻辑、文化等领域对自己的世界观进行最终的证明，从而证明宇宙万物皆由微粒组合而成，继续扩大宇宙规模，则天下安宁，是亘古不变之真理！以至于圣儒学者们忘记了天道、地道乃万物生长运行之根本。

中国古代社会几千年积淀形成的政治制度、伦理道德、精神风貌已经构成我们民族独特的灵魂，即便这是错误的，但是已深入骨髓，渗透血液，融入生命，影响着我们的日常行为和举止。

圣儒学者一味盲目追求不切实际的“上天”“造化”，一再挑战“极限”，用近乎荒唐的愚昧态度挑衅我们祖先曾留给我们的优秀遗产，势必遭遇惨败，甚至招致“群众的愤怒”！圣儒学者妄想创造宇宙，与历史为敌，违背大自然之规律，超越人类所能承载范围。

《老子》曰:“吾不知其名，强字之曰道。

”试问何谓道？不是任意臆测、凭空捏造！是什么？应当怎样做才符合道呢？。

多集合容斥极值

多集合容斥极值
容斥极值是一种数学概念，它可以用来解决多集合的问题。

它的基本思想是，如果有多个集合，那么可以把它们分成两类：一类是共同的，另一类是独立的。

共同的集合中的元素可以被求和，而独立的集合中的元素可以被求差。

这样，就可以得到多集合的极值。

容斥极值的应用非常广泛，它可以用来解决多种复杂的问题。

例如，在统计学中，它可以用来计算不同群体的平均值；在经济学中，它可以用来计算不同国家的国民收入；在物理学中，它可以用来计算不同物质的总能量；在数学中，它可以用来计算不同函数的最大值和最小值。

容斥极值的优点是，它可以解决多个集合的问题，而不需要考虑每个集合的具体情况。

它的缺点是，它只能解决简单的问题，而不能解决复杂的问题。

总之，容斥极值是一种有用的数学概念，它可以用来解决多集合的问题。

它的优点是可以解决多个集合的问题，而不需要考虑每个集合的具体情况，但它的缺点是只能解决简单的问题，而不能解决复杂的问题。

容斥极值公式算出负数

容斥极值公式算出负数
极值公式可以用来计算极值，也就是函数的最大最小值。

前提条件
是函数满足一定的偏微分条件，满足则存在极值，若不满足或者无界，则不存在。

有时候需要的是计算出负数，怎么办呢？请看以下：
一、将函数中的自变量改变符号：
若极值函数为函数f(x)，那么其负数极值函数可以写成f(-x)，此时求解负数极值不再是求f(x)极值，而是求f(-x)极值。

可以发现此时函数f(-x)的极值即为f(x)极值取负数。

二、将函数表达式中的常数改变符号：
若极值函数为函数f(x)，改变函数表达式中的常数，则有f(-x)+c，取c
为负数，此时求解极值就是求f(-x)+c极值。

可以发现此时函数f(-x)+c
的极值即为f(x)+c极值取负数。

三、改变函数表达式的系数：
若函数表达式的系数改变，则极值的大小也会改变。

例如，f(x)=ax+b，其中a为正数，则使a变为负数，极值如下：f(-x)=-ax+b，可以发现f(-x)的极值，即为f(x)的极值取负数。

综上，极值公式可以用来计算极值，若要计算出负数，可以以上三种
方法：
1、将函数中的自变量改变符号；
2、将函数表达式中的常数改变符号；
3、改变函数表达式的系数。

容斥原理之最值问题

7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．1．先包含——A+B重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：A+B+C重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

容斥极值问题

容斥极值问题
容斥极值问题是组合数学中的常见问题之一，它通常涉及计算满足一定条件的对象数量的极值。

设想我们有若干个集合，每个集合都与某种条件相关联。

容斥极值问题要求找到满足条件的对象的最大或最小可能数量。

解决容斥极值问题的一种常见方法是使用容斥原理。

容斥原理是组合数学中的一种计数技巧，用于计算满足不同条件的对象数量之和。

容斥原理的基本思想是在计算满足某个条件的对象数量时，将其划分为几个互斥的情况，然后根据这些情况计算对象数量，并通过加减操作得到结果。

具体的解决容斥极值问题的步骤如下：
1. 确定问题的条件和对象。

2. 将问题划分为几个互斥的情况。

3. 对于每种情况，计算满足条件的对象数量。

4. 使用容斥原理，结合计算的结果，得到满足条件的对象的最大或最小可能数量。

需要注意的是，在应用容斥原理时，正确划分互斥的情况以及准确计算每种情况下对象的数量是关键步骤。

在实际解决问题时，可能还需要使用组合数学中的其他技巧和方法。

总结来说，容斥极值问题是通过应用容斥原理来计算满足一定条件的对象数量的最大或最小可能值。

通过合理划分情况和准确计算对象数量，可以解决这类问题。