苏科版九年级上册数学全册教学课件
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1
1.1 一元二次方程
【问题情境】
正方形桌面的面积是2m2 ．
问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用 什么样的数学式子来描述它们之间的关系？ 设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝ 2．
【数学活动】
问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面 所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.
问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用 什么样的数学式子来描述它们之间的关系？
设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m， 可得：x(19－2x)＝24．
【数学活动】
问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增 加到9.8万册．
问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量 之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们 之间的关系？
个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根
的概念求解 .
【练习】
用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=64; (2)(x+2)2= 9; (3)3(x+5)212=0.
【小结】
1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤； 2．感受转化的数学思想．
（x＋h）2＝ k（h、k是常数，k≥0）．
1.2一元二次方程的解法（2）
x 2＋（x －1）2 ＝25．
(x－
1)m
5m xm
【尝试与交流】
方程 x2＝2、x(19－2x)＝24、5（1 ＋x ）2 ＝9.8 、x 2 ＋（x －1 ）2 ＝25有哪些共同的特征？
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
Hale Waihona Puke Baidu
【概念】
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最
(6).ax2 bx c 0
(7).mx 2 0(m为不等于0的常数)
2.把下列方程化成一元二次方程的一般式，并写 出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1).x2 x 2
(2)4x 1 x2
(3).2x2 3x 1 (4).x(x 3) 2
3.填空与选择
(1：).若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则( C
高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 为什么
任何一个关于x的一元二次方程都可以化？ 成 ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）的一般形式. 其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，
a、b分别叫做二次项系数和一次项系数．
【新知运用】
例1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的 二次项、一次项和常数项及它们的系数： (1).3x(x＋2)＝11＋2(3x－5)； (2).(x＋1)(x－3)＝－(2x-3).
【思维点拨】确定二次项、二次项系数、一次项、 一次项系数以及常数项时应包括它们前面的符号.
例2.已知关于x的方程 (m 2)x m mx 7 0
是一元二次方程，试确定m的值.
【思维点拨】本题的关键是注意m-2≠0这一隐含条件.
【变式训练】m为何值时，上述方程是一元一次方程 .
例3.根据题意，列出方程： (1).剪出一张面积是240的长方形彩纸，使它的 长比宽多8，这张彩纸的长是多少？ (2).某厂经过两年时间将某种产品的产量从每年 14400台提高到16900台，平均每年增长的百分率 是多少？
（2）4x2－1＝0 ．
解：（1）移项，得 x2＝4，（2）移项，得4x2＝1，
∵x是4的平方根， ∴x＝±2． 即 x1＝2，x2＝－2．
两边都除以4，得
1
x2＝ 4 ．
1
∵x是 4 的平方根，
∴x 即x＝1＝
1
1 2
，．2x2＝
1 2．
【例题精讲】
例2 解方程：（x＋1）2＝ 2 . 分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可 以运用直接开平方法求解. 解：∵x＋1是2的平方根，
【问题情境】
解一元二次方程： x2＝5 ； (x＋3)2＝5.
你用的是什么方法？ 这两个方程的解法有相似之处吗？
你会解方程x2＋6x＋4＝0 吗？
【问题情境】
如何解方程 x2＝2 呢？
根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ 2 .
此一元二次方程的根为 x1＝ 2 ， x2= 2 .
【概念】
解方程x2＝2． 解：
x1 ＝ 2 ，x2= 2 .
像这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【例题精讲】
例1 解下列方程：
（1）x2－4＝0；
解：(1).设彩纸的长是x，据意得
：
x(x-8)=240
(2).设平均每年增长的百分率是x，据意得：
14400(1+x)2=16900
【巩固练习】
1.下列方程中，哪些是一元二次方程？
(1).x2 x 1
(2).x2 1
(3).x 1
(4).x2 3x 2 y 0
x
(5).x2 3 (x 1)( x 2)
设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x， 图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5 （1＋x）2万册，
可得：5（1＋x）2 ＝9.8．
【思考与探索】
如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端 与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m ． 设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描 述其中的数量关系？
∵x＞0，∴x=3
答：圆的半径为3厘米 .
5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+m2+1=0的
常数项为2，则m=-1 .
6.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+mx+m2-4=0的
解是0，则m=-2 .
【小结】
① 实际问题
一元二次方程．
② 一元二次方程的概念．
1.2一元二次方程的解法（1）
) A.P为任意实数
B.p=0
C.p≠0
D.p=0或1
(2).若方程(m-2)xm2-2+mx=7是关于x的一元二次方程，
则m= -2 .
4.一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1厘米的正
方形孔.已知圆的面积是正方形面积的9 倍，试
确定这个圆的半径.
解：设圆的半径为x厘米.
据意得： x2= 9
解得：x=±3
∴x＋1＝ 2 ，
即x1＝－1＋ 2 ，x2＝－1－ 2 .
【总结反思】
1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特 点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k
是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法
求解. 2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一
1.1 一元二次方程
【问题情境】
正方形桌面的面积是2m2 ．
问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用 什么样的数学式子来描述它们之间的关系？ 设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝ 2．
【数学活动】
问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面 所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.
问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用 什么样的数学式子来描述它们之间的关系？
设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m， 可得：x(19－2x)＝24．
【数学活动】
问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增 加到9.8万册．
问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量 之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们 之间的关系？
个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根
的概念求解 .
【练习】
用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=64; (2)(x+2)2= 9; (3)3(x+5)212=0.
【小结】
1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤； 2．感受转化的数学思想．
（x＋h）2＝ k（h、k是常数，k≥0）．
1.2一元二次方程的解法（2）
x 2＋（x －1）2 ＝25．
(x－
1)m
5m xm
【尝试与交流】
方程 x2＝2、x(19－2x)＝24、5（1 ＋x ）2 ＝9.8 、x 2 ＋（x －1 ）2 ＝25有哪些共同的特征？
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
Hale Waihona Puke Baidu
【概念】
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最
(6).ax2 bx c 0
(7).mx 2 0(m为不等于0的常数)
2.把下列方程化成一元二次方程的一般式，并写 出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1).x2 x 2
(2)4x 1 x2
(3).2x2 3x 1 (4).x(x 3) 2
3.填空与选择
(1：).若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则( C
高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 为什么
任何一个关于x的一元二次方程都可以化？ 成 ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）的一般形式. 其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，
a、b分别叫做二次项系数和一次项系数．
【新知运用】
例1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的 二次项、一次项和常数项及它们的系数： (1).3x(x＋2)＝11＋2(3x－5)； (2).(x＋1)(x－3)＝－(2x-3).
【思维点拨】确定二次项、二次项系数、一次项、 一次项系数以及常数项时应包括它们前面的符号.
例2.已知关于x的方程 (m 2)x m mx 7 0
是一元二次方程，试确定m的值.
【思维点拨】本题的关键是注意m-2≠0这一隐含条件.
【变式训练】m为何值时，上述方程是一元一次方程 .
例3.根据题意，列出方程： (1).剪出一张面积是240的长方形彩纸，使它的 长比宽多8，这张彩纸的长是多少？ (2).某厂经过两年时间将某种产品的产量从每年 14400台提高到16900台，平均每年增长的百分率 是多少？
（2）4x2－1＝0 ．
解：（1）移项，得 x2＝4，（2）移项，得4x2＝1，
∵x是4的平方根， ∴x＝±2． 即 x1＝2，x2＝－2．
两边都除以4，得
1
x2＝ 4 ．
1
∵x是 4 的平方根，
∴x 即x＝1＝
1
1 2
，．2x2＝
1 2．
【例题精讲】
例2 解方程：（x＋1）2＝ 2 . 分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可 以运用直接开平方法求解. 解：∵x＋1是2的平方根，
【问题情境】
解一元二次方程： x2＝5 ； (x＋3)2＝5.
你用的是什么方法？ 这两个方程的解法有相似之处吗？
你会解方程x2＋6x＋4＝0 吗？
【问题情境】
如何解方程 x2＝2 呢？
根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ 2 .
此一元二次方程的根为 x1＝ 2 ， x2= 2 .
【概念】
解方程x2＝2． 解：
x1 ＝ 2 ，x2= 2 .
像这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【例题精讲】
例1 解下列方程：
（1）x2－4＝0；
解：(1).设彩纸的长是x，据意得
：
x(x-8)=240
(2).设平均每年增长的百分率是x，据意得：
14400(1+x)2=16900
【巩固练习】
1.下列方程中，哪些是一元二次方程？
(1).x2 x 1
(2).x2 1
(3).x 1
(4).x2 3x 2 y 0
x
(5).x2 3 (x 1)( x 2)
设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x， 图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5 （1＋x）2万册，
可得：5（1＋x）2 ＝9.8．
【思考与探索】
如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端 与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m ． 设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描 述其中的数量关系？
∵x＞0，∴x=3
答：圆的半径为3厘米 .
5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+m2+1=0的
常数项为2，则m=-1 .
6.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+mx+m2-4=0的
解是0，则m=-2 .
【小结】
① 实际问题
一元二次方程．
② 一元二次方程的概念．
1.2一元二次方程的解法（1）
) A.P为任意实数
B.p=0
C.p≠0
D.p=0或1
(2).若方程(m-2)xm2-2+mx=7是关于x的一元二次方程，
则m= -2 .
4.一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1厘米的正
方形孔.已知圆的面积是正方形面积的9 倍，试
确定这个圆的半径.
解：设圆的半径为x厘米.
据意得： x2= 9
解得：x=±3
∴x＋1＝ 2 ，
即x1＝－1＋ 2 ，x2＝－1－ 2 .
【总结反思】
1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特 点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k
是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法
求解. 2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一