例说求函数的最大值和最小值的方法

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函数的最大值和最小值的求解方法[1]

根 A.有且只有一个
B.有2个
（） C
C.至多有一个
D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
要注意函数思想在求函数值域中的运用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。

本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。

例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。

如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。

如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。

对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。

例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。

我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。

同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。

当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。

我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。

在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。

通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

例说数形结合解决求函数最值问题

例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。

在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。

求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。

例1：求函数的值域。

分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。

解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。

作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。

评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。

例2：已知，求的最小值。

【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。

解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。

分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。

如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。

令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。

分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。

解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。

例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。

求函数最值的12种方法

求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例3求函数12x y x +=+的值域。

解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。

求最大值怎么算最小值

求最大值怎么算最小值在数学中，求函数的最大值和最小值是一种常见的问题。

通常情况下，我们可以通过找到函数的导数为零的点，或者通过观察函数的图像来确定函数的最大值和最小值。

接下来，我们将介绍求最大值和最小值的常见方法。

一、求最大值和最小值的基本概念在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望找到该函数在某个区间内的最大值和最小值。

最大值指的是函数在该区间内取得的最大值，而最小值则是函数在该区间内取得的最小值。

通常情况下，我们将求函数最大值和最小值的问题转化为求函数的驻点（导数为零的点）或者分析函数的定义域和函数的图像。

二、求导数为零的点求导数为零的点是求解最大值和最小值的常见方法之一。

假设我们有一个函数f(x)，要找到其最大值和最小值，我们可以先求出函数f(x)的导数，即f′(x)。

然后，我们将f′(x)置为零，得到方程f′(x)=0，解这个方程可以得到函数f(x)的驻点。

我们需要进一步通过二阶导数或者函数图像的形状来判断这些驻点是最大值点还是最小值点。

三、分析函数的定义域和图像除了求导数为零的点之外，我们还可以通过分析函数的定义域和图像来求解最大值和最小值。

通过观察函数的定义域、函数的增减性质和凹凸性质，我们可以初步判断函数的最大值和最小值可能出现的位置。

进一步结合函数的导数和二阶导数，我们可以更准确地确定函数的最大值和最小值。

四、举例说明下面通过一个简单的例子来说明如何求解最大值和最小值。

假设我们需要求函数f(x)=x2−4x+3在区间[−1,5]内的最大值和最小值。

首先我们计算函数的导数f′(x)=2x−4，令导数为零，得到x=2。

然后，我们可以通过计算二阶导数或者观察函数图像的形状，发现x=2是一个最小值点。

进一步计算f(2)，即可得到该函数在区间[−1,5]内的最小值。

五、总结求最大值和最小值是数学中的重要问题，对于函数的最大值和最小值求解有多种方法。

通过求解导数为零的点或者分析函数的定义域和图像，我们可以找到函数的最大值和最小值。

求函数最值的10种方法

【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例 2】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
＝3,
xz 4xz
y2 当且仅当x＝3z时取“＝”．故的最小值为3.故填3.
xz
点评本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
五、函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4・y・(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习：1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。

在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。

本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。

第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。

函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。

函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。

第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。

另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。

求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。

2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。

另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。

还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。

总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。

第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。

1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。

解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。

另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。

中考知识点函数的最大值与最小值

中考知识点函数的最大值与最小值函数的最大值和最小值是中考数学中的一个重要知识点。

在解题过程中，我们需要运用一些方法来求解函数的最大值和最小值。

本文将介绍三种常见的方法：图像法、导数法和附加条件法，以帮助大家更好地理解和应用这一知识点。

一、图像法使用图像法求解函数的最大值和最小值，一般需要绘制函数的图像。

在中考中，我们通常采用手绘图像的方式进行计算。

下面以一个例题来说明图像法的具体步骤。

例题：已知函数$f(x)=x^2-6x+5$，求$f(x)$的最大值和最小值。

解题步骤：（1）首先，我们绘制出函数$f(x)=x^2-6x+5$的图像。

为了方便计算，我们可以计算出函数的顶点坐标。

由二次函数的性质可知，函数的顶点坐标为$(p,q)$，其中$p$的值等于二次项系数的相反数的一半，$q$的值等于函数在$p$处的取值。

可以求得顶点坐标为$p=3$，$q=-4$。

将这个顶点坐标标在函数图像上。

（2）根据图像，我们可以看出函数$f(x)$的最大值为$q=-4$，对应的$x$值为$p=3$；最小值为$q=-\infty$（无穷小），对应的$x$值为$x\to \infty$。

因此，函数$f(x)=x^2-6x+5$的最大值为$-4$，最小值为$-\infty$。

二、导数法使用导数法求解函数的最大值和最小值，可以利用函数的导数来判断函数的增减性。

下面以一个例题来说明导数法的具体步骤。

例题：已知函数$g(x)=3x^2+4x+2$，求$g(x)$的最大值和最小值。

解题步骤：（1）首先，我们需要求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

对于一次或二次函数，我们可以通过对函数的表达式进行求导来得到导函数。

对函数$g(x)$进行求导，得到$g'(x)=6x+4$。

（2）根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。

根据函数的导数可以判断函数的增减性。

当导数大于$0$时，函数递增；当导数小于$0$时，函数递减。

怎么用函数求出最大值最小值

怎么用函数求出最大值最小值在数学中，寻找函数的最大值和最小值是一个常见的问题。

通过计算函数的导数可以找到函数的极值点，进而确定最大值和最小值。

以下是一些常见的方法和步骤来解决这个问题。

寻找最大值和最小值的一般步骤1.求导数：首先，对给定的函数进行求导。

导数表示了函数在不同点的变化率，极值点一般对应导数为0的点。

2.解导数为0的方程：找到导数等于0的方程，并解出其根，这些根就是函数可能的极值点。

3.排除无关点：对于导数等于0的点，需要验证其是否确实是极值点。

排除掉在潜在的极值点处二阶导数不等于0的点。

4.确定最大值和最小值：对剩余的点，通过比较函数在这些点上的取值，确定最大值和最小值。

通常，最大值对应极大值点，最小值对应极小值点。

示例：使用函数求出最大值和最小值假设有一个函数f(x)=x2+3x+2，我们来求解其最大值和最小值。

1.求导数：计算f′(x)=2x+3。

2.解导数为0的方程：解方程2x+3=0，得到 $x = -\\frac{3}{2}$，这是一个极值点。

3.排除无关点：计算二阶导数f″(x)=2，在 $x = -\\frac{3}{2}$ 处二阶导数不等于0，说明这是一个极值点。

4.确定最大值和最小值：分别计算 $f(-\\frac{3}{2})$ 和 $f(-\\infty),f(\\infty)$ 的取值，比较得到最小值和最大值。

因此，函数f(x)=x2+3x+2在 $x = -\\frac{3}{2}$ 处取得最小值为$\\frac{1}{4}$，无最大值。

总结通过对函数进行求导，找到导数为0的点，再通过二阶导数的符号来排除无关点，最终确定函数的最大值和最小值。

这一过程是数学分析中常见的一种方法，可以帮助我们在解决实际问题时准确找到函数的极值点。

如何求一元二次方程的最大值与最小值

如何求一元二次方程的最大值与最小值一元二次方程是代数学中经常遇到的问题之一，求解一元二次方程的最大值与最小值是一项基本的数学技能。

在代数学中，最大值和最小值是函数的重要特征之一，它们不仅能够帮助我们了解函数的行为，还可以应用于各种实际问题的求解。

下面我们将介绍如何求解一元二次方程的最大值与最小值。

一、求解一元二次方程的最大值与最小值的基本思路对于一元二次方程ax2+bx+c，其中a、b、c是实数系数，求解它的最大值和最小值可以通过一些基本的代数方法来实现。

一般来说，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要找到二次函数的顶点，也就是最大值或最小值所在的点。

顶点的横坐标x0可以通过公式 $x_0 = -\\frac{b}{2a}$ 来求得。

2.然后，将x0代入原方程中，求得对应的纵坐标y0。

3.最后，根据二次函数的开口方向（即二次项的系数a的正负性），判断是求最大值还是最小值。

二、实例演示以一元二次方程y=x2−4x+5为例，我们来演示如何求解它的最大值与最小值。

1.首先，根据公式 $x_0 = -\\frac{b}{2a}$，我们计算得到 $x_0 =\\frac{4}{2} = 2$。

2.将x0=2代入方程y=x2−4x+5中，得到 $y_0 = 2^2 - 4 \\times2 + 5 = 1$。

3.由于二次项的系数a为正，所以我们可以得出结论：该二次函数的最小值为y=1，当x=2时取得。

三、总结通过以上实例的演示，我们可以看到，求解一元二次方程的最大值与最小值并不难，只需要按照一定的步骤和公式来进行处理就可以得到答案。

在实际应用中，掌握这一技能对于解决各种数学问题和实际应用问题都是非常有帮助的。

希望这篇文章可以帮助读者更深入地理解如何求解一元二次方程的最大值与最小值。

三角函数最大值和最小值求法

三角函数最大值和最小值求法
三角函数是在坐标系中反比例表示的函数，它以弧度为变量，可以在一定范围内变化。

三角函数是数学中具有极大意义的函数，也是物理和化学中经常使用的函数。

一般来说，要求三角函数的最大值和最小值，首先要知道这个三角函数的范围。

比如，正弦函数的变化范围是 -π／2到π／2。

根据三角函数的定义，给定范围内它的最大值
就是最大数值，最小值就是最小数值。

除正弦函数外，另外还有余弦函数、正切函数等多种三角函数。

对于余弦函数，它的
变化范围是0到2π，其最大值为1,最小值为-1；对于正切函数来说，它的变化范围是 -
π／2到π／2，其最大值为无穷大，最小值为无穷小。

总之，只要知道三角函数可变化的范围，就可以求出最大值和最小值，它们的计算有
一定的规律可循。

第四节函数的最大值与最小值

…, xn. 试证明：当取这n个测量值的算术平均值
x1 x2 xn
n 作为x的近似值时，n次测量所产生的误差平方和(x x1)2
(
证
x
记
x2 )2 y (x
(x x1 )2( x
xnx)22)为2 最小.
(
x
xn
)2
.
现求y的最小
值.
y 2[(x x1) (x x2 ) (x xn )]
3
33 x 33 x
令 f (x) 0,得驻点x 1 ，点 x 0是不可导点.又
3
f (1) 7, f (0) 0, f (1) 3, f (2)
4, 故 f (x) 在
1, 2的最大值为 f (0) 0，最小值为 f (1) 7 .
例 2 求函数 f (x)
x
ln
x
在
1 4
M max f (x1), f (x2 )..... f (xm ), f (a), f (b)，最小值
m min f (x1), f (x2 )..... f (xm ), f (a), f (b).
例 1 求函数 f (x) (2x 5) 3 x2 在1, 2上的最大值
与最小值.
解 f (x) 2 3 x2 2 (2x 5) 1 2 (5x 5)
解设容器的底边为 x，长方体的高为 h，则容器的
表面积为
S 4xh x2
又容器的体积为常数
V，即V
x2h ，故有h
V x2
，
所以表面积 S 为 x 的函数，则有
s(x)
4x
V x2
x2
4V x
x2(x
0) ，s(x)
4V x2

最大值与最小值的解法

最大值和最小值问题的解法摘要：最大(小)值问题是数学中常遇到的问题,在初等数学和高等数学中有广泛的应用.本文是讨论最值问题的若干解法并总结出解这类问题的一些规律. 关键词：最大(小)值、判别式、有界性、单调性、不等式。

引言最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中会遇到的一类问题。

函数最值问题的求法较多，但总的来说，求函数最值的常用方法和函数值域的常用方法是相同的。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最大（小）数，这个数就是函数的最（小）值。

下面来谈一下几种基本的方法：一、利用导数求函数的最值：若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,上有最大值与最小值. 对可导函数来说,若()x f 在区间I 内的一点χ取得最大(小)值,则在χ仅仅有0)(0/=χf(即χ0为f 的稳定点),而且为()x f 的一个极值点,一般而言,最大(小)值还可在区间端点或不可导点上取得.因此,求函数()x f 在区间I 上的最大(小)值的办法是:求出()x f 在I 上所有的稳定点、不可导点以及区间端点,根据题意判断函数在哪个点上可取得最大(小)值或直接比较这点的函数值以便进行判断.例一、求函数f ()x x x x12223+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值。

解：函数f 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上连续，故必存在最大值与最小值。

因为f ()[]()1292122223+-=+-=x x x x x x x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+--250),1292(041),1292(22x x x x x x x x所以=)(/χf⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=+-<≤----=-+-250),2)(1(612186041),2)(1(61218622x x x x x x x x xx 函数f 在x=0时不可导，由于.0)2(,0)1(//==ff故x=1,x=2为f 的稳定点，现在比较函数在稳定点、不可导点及区间端点的函数,可见x=0,x=1,x=2为f 的极小值点。

函数的最大值和最小值(教案与课后反思

函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。

教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。

3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。

二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。

2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。

三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。

四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。

五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。

2. 逐个解答学生提出的疑问。

教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。

在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。

通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。

总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。

但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。

六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。

2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。

3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。

七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。

高中数学例说利用均值不等式求最值的几种技巧2018.1

例说利用均值不等式求最值的几种技巧2018.1 在现行中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得重视的常用方法。

但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。

所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。

由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点。

本文拟就此介绍几种常用的技巧。

一、乘方后使用均值不等式将所得出的正函数平方，立方，……，n 次方，然后再使用均值不等式求解。

例1 已知()πθ,0∈，求函数 )cos 1(2sin θθ+⋅=y 的最大值。

(94年全国数竞题) 解： ()πθ,0∈ )cos 1(2cos 1θθ+⋅-=∴y22)cos 1(2cos 1θθ+⋅-=∴y = )cos 1()cos 1()cos 22(41θθθ+⋅+⋅-⋅ 33)cos 1()cos 1()cos 22(41⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-⋅≤θθθ = 2716 934≤∴y 当且仅当θθcos 1cos 22+=- 即31cos =θ时取到等号。

所以 y 的最大值为934 例2 有一浮标由三部分组成，一个圆筒和两个相同的圆锥，其中每一个圆锥的高等于圆筒的高，问当表面积一定时，什么形状会有最大体积？（第一届普特南数竞题）解：设圆筒的半径为 r , 高为 h ，那么2222r h r rh S +⋅+⋅=ππ 即 rSr S h ⋅-=ππ44422 =⋅=⋅+⋅=h r h r h r V 2223532πππ )4(125422r S r Sπ-⋅⋅ 4422444)4()125(r S r SV π-⋅⋅= 利用五个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即可求得最大体积。

当且仅当42242416r S r ππ-=，即42220πS r =时取到等号。

此时进一步有 r h 522= 。

二、引参后使用均值不等式有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用均值不等式求解。

函数最值的求解方法及应用

函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。

函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。

本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。

一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。

对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。

-首先，求出f(x)的导数f'(x)。

-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。

-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。

2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。

- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。

-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。

-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。

3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。

它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。

-首先，选择任意一个起始点x_0。

-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。

-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。

二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。

例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。

供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。

2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。

例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。

3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。

似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。

函数的最大值和最小值的求解方法

0
,1
0,
2 x1 x2 2 2 x1 x2
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)= •7 .
2 (2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数. ∴当x=1时，ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，故a>-3. 探究提高要注意函数思想在求函数值域中的运用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
求导数得
f
'(x)

ax
ln
a

(x
3 1) 2
,
∵a>1,∴当x>-1时，axln
a>0,
3 (x 1)2
0,
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提高对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.