刚体转动及角动量守恒

∑
转轴
∑
0.75
质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 新轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 例如： 代入可得 端 时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m I= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m I = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=m R2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
m 2 m 2 L I= R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
m R2 I= 2
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
F2
Fτ 2
ϕ2
F1 τ
O
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
r2
P2
r1
P1
F1
ϕ1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin ϕ1 方向
d2 d1
M2
合外力矩 大小
大小
= F1 d 1 = Fτ 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin ϕ 2 F = F2 d 2 = Fτ 2 r2
O
ϕi
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin ϕ i + f i sin θ Fi刚体的转动定律i = a iτ = ri β
受外力 Fii 受内力 fi β ∑ ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向n 分量均通过转轴， 关的物理量，用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 转动惯量 其切向 τ 投影式为
匀质实心球对心轴的 可看成是许多半径不同的共轴 球体算例
薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
的薄圆盘的转动惯量为
其中
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m m
L
1 mR2 I= 2
1 mL2 I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
定理的积分形式
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例如，
单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水 平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t 下 摆至铅垂位置， 角动量大小为 L⊥ = m v⊥ r 。则此过程单摆 所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r = m r 2gr 。
质点 对参考点 的
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小 方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。 的 所受的合外力矩
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向，用代数法求合力矩。
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Iβ 再联立求解。
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
R
R
m
m
（B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 β 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
含平动的转动问题
力 外 力矩 动 平动 转动 力 非保守内力矩 势 动 平动 机械 势 转动
势
左例 系统（轮、绳、重物、地球）
力 外 力矩 平动 转动
忽略 摩擦
势
力 非保守内力矩 平动 转动 势
此外 可求 或
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
取小于
的转向
大小 方向 垂直于
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零 重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置（ ） 的一瞬间，角动量的时间变化率 为零外，其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小 角动量的大小不随时间变化
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
∑
得
∑
转动惯量 I
I
力矩的功
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
作的总功为 力矩的瞬时功率
拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴 平放一圆盘
总摩擦力矩 各微环带摩擦元力矩 环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩
是
的积分
粗糙水平面
圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功 得
刚体的动能定理
回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
匀质圆盘
动能定理例题一
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放
圆盘下摆 时质点 的 角速度 、切向、法向加速度 的大小 对
外力矩的功
系统
系统转动动能增量
质点系的角动量定理
将 对时间求导
某给定 参考点
内
外 外 外 内
内
得
质点系的角动量 的时间变化率 称为
内
外
质点受外力 矩的矢量和 微分形式
外 外
内力矩在求矢 量和时成对相消
续12
将
外
对时间求导 的微分形式
质点系的角动量 的时间变化率
质点受外力 某给定 参考点 矩的矢量和 的积分形式
内
外 外 外 质点系的 内
质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
刚 公式对比体 角位移 角速度 角加速度
的 定 轴 转 动
匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质点
或
刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力 惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？ 若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
M = M1 + M 2
M = F1 d 1
r r2 Fτ F2 d 2 = Fτ 叉乘右螺旋2 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
τ
θi
n
fi
∑ Fi ri sin ϕ i + ∑ f i ri sin θ i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ϕi
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
转动动能
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能 对所有质元的动能求和
乘 所决定的 叉 的旋进方向。 平面， 指向右螺旋
角动量 又称 动量矩
质点 参考点
对 引例 角动量 的 大小
太阳系中的行星
地球上的单摆
变
变变
变
大小会变
大小未必会变。靠什么判断？
质点的角动量定理
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？ 与什么有关？ 思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得 角动量的时间变化率
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
R
T2
m T1
a
m2 m1
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 （以后各例同）
I=mR2 2 β 平动 m2 g – T2 = m2a T1 – m1 g = m1a T1 T2 a = Rβ 线-角 T1 T2 联立解得 a a m2 m1 g g a= 1 G1 m1+ m2+ 2 m G2 T1 = m1 ( g + a ) m1 g T2 = m2 ( g – a ) m2 g
Fi sin ϕ i + f i sin θ i = a iτ = ri β
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 τ 投影式为
r
ri
β
β
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
τ
θi
n
fi
刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin ϕ i + ∑ f i r θi = ∑ ri β 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri β
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律 开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
时刻 m 对 O 的角动量大小为
定律的证明
瞬间 位矢扫过的微面积
即
（称为掠面速率） 守恒。
因行星受的合外力总指向是太阳，角动量
则
常量
故，位矢在相同时间内扫过的面积相等
质点系的角动量
惯性系中某 给定参考点
内
得
内 质点系所受的
冲量矩 质点系的角动量
矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反 内力矩在求矢 两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为
恒量 且t=0 时
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬 时角加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量 角量 线量与角量 线量 角量的基本关系
刚体上 复杂 各质点都 的运动 以某一定 与平动 点为球心 的混合。 的各个球 面上运动。
定轴转动参量
1. 角位置
刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移 3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直） 匀角速 转轴
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
刚体转动及角动量守恒
刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体每点 限制在一平 两点的连线 保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴 变。各点的 作圆周运动， 可平动，但 且转轴空间 始终垂直于 位置及方向 该平面且通 相同，可当 不变。 过质心 作质点处理。
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理 若 即 则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
通过盘心垂直 盘面的水平轴
其中
得
由转动定律 得 则
一端为轴 匀直细杆 水平位置静止释放
动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功
由 得 本题 代入得 利用 摆至垂直位置时杆的 的关系
还可算出此时杆上各点的线速度
动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位置静止释放 段，外力矩作正功 段，外力矩作负功 合外力矩的功 ∑ 由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位置时杆的 代入得
用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
单位：
转动方程求导例题wenku.baidu.com
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150π 100π 50π π 53π 52π 51π 50π
rad s
1
rad s
2
π t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
2 m R2 I= 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。 与 时刻对应，何时 何时 则何时 恒定 则何时 ， 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例题二 2 – T1 ) R = Iβ 转动 ( T
=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I β
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴 若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则