导数与不等式专题一

导数与不等式专题一

1. （优质试题北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数。

⑴求的单调区间；

⑵若对于任意的，都有

≤，求的取值范围.

解：⑴，令，

当时，与的情况如下：

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是， 当时，与的情况如下：

所以，的单调递减区间是和：单调递增区间是。 ⑵当时，因为11

(1)k k

f k e

e

++=>，所以不会有

当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是，

所以等价于,解 综上：故当时，的取值范围是[，0].

2

()()x k

f x x k e =-()f x (0,)x ∈+∞()f x 1e

k 221()()x

k

f x x k e k

'=-()0,f x x k '==±0k >()f x ()f x '()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x ()f x '()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -0k >1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤0k <()f x (0,)+∞2

4()k

f k e

-=1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤24()k f k e

-=

1

e ≤10.2k -≤<1(0,),()x

f x e ∀∈+∞≤

k 1

2

-

2. （优质试题天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数，其中.

⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性；

⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 解：⑴，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． ⑵． 当时，显然(),这时在，上内是增函数． 当时，令，解得

当变化时，，的变化情况如下表：

＋ 0 － － 0 ＋

↗

极大

值

↘

↘

极小值

↗

∴在，内是增函数，在，内是减函数．

⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的

，()()0≠++=

x b x

a x x f R

b a ∈

,()x f y =()(

)2,2f P 13+=x y ()x f ()x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ()10≤x f ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1,41b 2()1a

f x x

'=-

(2)3f '=8a =-(2,(2))P f 31y x =+27b -+=9b =()f x 8

()9f x x x

=-+2

()1a

f x x '=-

0a ≤()0f x '>0x ≠()f x (,0)-∞(0,)+∞0a >()0f x '=x =x ()f x '()f x x (,-∞()+∞()f x '()f x ()f x (,-∞)+∞((0,)+∞()f x 1[,1]41()4f (1)f 1

[,2]2

a ∈

不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的

成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．

3. （转换变量，作差） 已知函数. ⑴若，求的单调区间；

⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b 的取值范围。

解：⑴，或1 令，解得令，解得，

的增区间为；减区间为，

⑵，即

由题意两根为，，又 且△，.

设

， 或 0(1)f x ≤1[,1]410(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩39449a b a

b ≤

-≤-⎧

⎪⎨⎪⎩1[,2]2a ∈74b ≤b (7

,]4

-∞2()()x f x x a e =-3a =()f x 12,x x ()f x 1212||||x x x x +≥3

233()32

f a a a a b <+-+23,()(3)x a f x x e =∴=-2()(23)0x f x x x e '=+-=3x ⇒=-()0f x '>(,3)(1,)x ∈-∞-+∞()0f x '<(3,1)x ∈-()f x ∴(,3),(1,)-∞-+∞(3,1)-2()(2)0x f x x x a e '=+-=220x x a +-=12,x x 12122,x x x x a ∴+=-⋅=-1212||||x x x x +≥22a ∴-≤≤440a =+>12a ∴-<≤3223

233()3()33()322

a g a f a a a a a a e a a a =--+=---

+2()3(1)(1)0a g a a a e a '=+--=⇒=

0a =

又，， ，.

恒成立之分离常数

4. （分离常数）

已知函数

(1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.

解: (1) 定义域为,直线的斜率为,

,,.所以 由; 由

所以函数的单调增区间为,减区间为. (0)0g =2(2)68g e =-2

max ()68g a e =-268b e ∴>-()ln 1,.a

f x x a R x

=+-∈()y f x =0(1,)P y 1y x =-+()y f x =0a >(0,2]x e ∈()0f x >a ()ln 1,.a

f x x a R x

=+-∈)(x f ),0(+∞1y x =-+1-x x a x f 1)('2+-

=11)1('-=+-=a f 2=∴a 222

12)('x

x x x x f -=+-=20)('>>x x f 得200)('<<

(0,2)