正弦交流电路相量

i1 i2 = i3
时域
I1 I2 I3
频域
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自 变量分析电路。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为 自变量分析电路。
向量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析,
属于频域分析。
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例
u1(t) 6 2sin(314t 30) V
A(t)是旋转相量
相量 旋转因子
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
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二. 相量图
i(t) 2Isin(ω t y i ) I Iy i
u(t) 2Usin(wt y u ) U Uy u
•
U
•
I
yu
yi
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三. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 sin(wt y 1) Im(
若对A(t)取虚部： Im[ A(t )] 2Isin(wt y )
i 2Isin(wt y ) A(t ) 2Ie j(wty )
A(t)还可以写成
A(t ) 2 I e jy e jw t 2 Ie jw t
复常数
•
称 I Iy 为正弦量 i(t) 对应的相量。北方民族大学
•
U1 630o V
u2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
U2 460o V
U U1 U2 630 460 5.196 j3 2 j3.464
7.196 j6.464 9.6741.9o V
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 9.67 2sin(314t 41.9o ) V
2
•
U
1
e
jw
t
)
u2(t)
2 U2 sin(wt y 2) Im(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Im(
2
•
U
1
e
jw
t
)
Im(
2
•
U
2
e
jw
t
)
Im(
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e
jw
t
)
Im(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jw
t
)
U
得： U U1 U2
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这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
i(t) 2I sin(wt y ) I Iy
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位
•
u(t) 2U sin(wt y ) U Uy
例1. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
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例2.
•
已知I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
解：
i 50 2sin(314t 15o ) A
相量的几何意义
I Iy i(t ) 2I sin(wt y )
I Iy A(t ) 2 I e jwt
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初相位 y
i i(t)=Imsin(w t+y)
Im
wt y
波形图
i
00 0 0
t
y
y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
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二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u) i(t)=Imsin(w t+y i)
u, i u i
相位差
0
wt
yu yi
= (w t +y u) - (w t +y i)
= y u-y i
>0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
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特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i
u
i
0
wt
= ( 180o ) ，反相：
(2) 乘除运算——极坐标
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin y = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
j
e2
cos
j sin
j
2
2
Im
j I
I
e j(
2
)
c
o
s
(
2
)
j
s i n (
2
)
j
e j( ) cos( ) j sin( ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im
0.707Im
Im 2I
注意:只适用正弦量
i(t ) Im sin(wt y ) 2I sin(wt y )
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§2. 3 相量法的基础
一、正弦量的相量表示
复函数
A(t ) 2Ie j(wty )
2Icos(wt y ) j 2Isin(wt y )
电压有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
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2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t + y )
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
wt
y
)
dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T sin2 ( wt y ) dt
T 1 cos 2(wt y ) 1
第2章 正弦交流电路
§2.1 §2.2 §2.3
复数 正弦量 相量法的基础
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§ 2. 1 复数
复数及运算 1. 复数A表示形式：
Im
b
A
0
a Re
A a jb
Im
b
A
|A|
y
0
a Re
A A e jy | A | y
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2. 复数运算
(1) 加减运算——直角坐标 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳 态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U2
U
U1
41.9
30 60
Re
U
Im
U2
U1
60
0
Re
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
I jI
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§ 2. 2 正弦量
一. 正弦量的三要素：
i + u_
i(t)=Imsin(w t +y )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
u, i
i
u
0
wt
u, i u i
0
= 90°
wt
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
规定： | | ( 180°)
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三. 有效值(effective value)
1. 定义
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为 rms。)