态叠加原理(关洪)
量子力学态叠加原理是无法剥离状态的结果
量子力学态叠加原理是无法剥离状态的结果量子力学的叠加原理，薛定谔的猫和量子纠缠，是量子力学留给人们最迷惑的问题，而至今无人可解释这种现象，对此我想尝试的去解释下态叠加原理。
以我的宇宙观来看，任何物质在某点上的状态确定且唯一，出现像量子叠加原理这种现象的，那只有一种情况发生，物质状态改变太快，我们测量精度引起的观察错误，为了解释这个现象我们先来看一个实验。
一种物质M有两种状态A状态和B状态，这种物质每隔0.04秒就改变状态，AB状态交叉出现。
对此两个人想观察M状态的变化，他们分别是小李和小张，小李由于条件限制，只能观察到0.04秒包括0.04秒以上物质发生的状态变化，小张由于条件限制只能观察0.08秒包括0.08秒以上物质变化的状态。
小李通过观察物质M，得出结论:M物质存在两种状态他们分别是A和B状态，这两种状态每隔0.04秒切换一次，从一种状态改变成另外一种状态，物质M的状态在某个时间点上是确定且唯一的。
小张观察物质M，他发现每次观察他只能得到物质M的一种状态，要么是A状态，要么是B 状态，且这两种状态是随机出现的，小张感觉很是迷惑，最后小张认为只有一种情况才能说明这种现象，那就是物质M存在两种状态A和B，这两种物质状态在某个时间点上同时出现，不去观察的话，有可能是A状态，也可能是B状态，一旦进入观察，状态就会被确定。
观察精度的差异，导致观察结果不同。
以此实验我想说的是，态叠加原理之所以产生了，是因为两点存在，一个是微观粒子的状态改变太快，二是我们测量手段的限制，我们无法在较小时间差里将物质状态进行剥离，所以导致我们误认为在某个时间点上物质出现两个状态，实际情况是我们观察的状态是在一定时间段里产生的，而不是真正意义上的时间点，所谓的时间点其实也是相对的，相对于我们测量精度的能力，时间点是相对的，而时间段是绝对的，就如我们去剥离一个小时，会发现一个小时里有六十分钟，我们剥离一分钟，会发现一分钟里有六十秒，那么一秒里又会有一千个毫秒，一千毫秒里呢，所以时间点是相对的，时间段是绝对的，当我们测量精度不够的时候，会发现某个我们认为的时间点上出现多态，其实这些多态是在时间段里依次出现的。
D(二章2讲)态叠加原理(一)
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第二章：波函数与Schrödinger方程
第二讲：态叠加原理
一：态叠加原理基本内容
1.区分经典体系和量子体系的判据
德布罗意波体现了物质的波粒二象性
E h h p
经典体系的运动状态具有确定性，遵守因果率。
即：经典粒子在确定时刻有确定位置，其运 动有确定的轨道，通过牛顿第二定律可以确切地 知道粒子的运动状态。并可以测量到代表这个运 动状态的各种物理量（位置，速度，加速度，动 量，能量等）。 量子体系中波粒二象性起重要作用，其运动不遵守因果率， 遵守统计率
即：量子体系的运动具有不确定性，用概率波函数 描述其状态。在同一时刻，粒子的力学量如坐标、动量 等可以有许多可能值。只有对其进行多次测量，测量的 统计平均值才具有确定性。微观粒子的这种量子化的运 动状态称为量子态（quantum state）。因此，描述其运 动状态的波函数也称为态函数，服从态叠加原理
1 2
即：量子条件下波函数遵守叠加原则，称为态叠加原理
电子双缝衍射实验说明：
当两个缝都开着时，电子既不处在 1态，也不处在 2态，而是处在1 和 2 的线性叠加态 1 2 。 可见， 若 1和 2 是电子的可能状态，则其线性叠加 态也是其可能状态。 反言之，电子若处于 1 2 态，则电子以某种 2 态，而不是其他的态。 概率分布处于 1， 叠加态的概率计算:
2. 实验设计（测量设备）很重要
当我们在“挖出”Ａ和Ｂ两条狭缝时，我们已经 “设计”了一个想要观察“电子的波动性”的设备，也 就是电子已经预先被我们设定为“波”了，因此我们观 测到典型的明暗相间波的干涉条纹。 当我们在Ａ和Ｂ装上侦测器时，整个实验又被我们 “设计”成要观察电子的“粒子性”，因为想要知道电 子到底是由Ａ还是Ｂ穿过墙 时，就必须先具备确定的 “位臵”的概念，因此在荧光幕上看到的是典型的粒子 行为——两团亮点，干涉条纹被消失。
343量子力学中的态叠加原理
态叠加原理是量子态的不同表象的理论基础 叠加原理直接反应了波函数能够发生互相干涉的性质 反映了微观粒子的波粒二象性，说明微观粒子的波函数可以叠加，可 以发生干涉现象。这是微观世界中最重要的兴致，是量子力学的核心 内容。 认识到微观粒子的状态可以叠加，人们才进一步提出了用矢量 空间（希尔伯特空间）中的矢量来描写微观状态的完整的量子力学理 论。
和
在x处记录电子,不管时在D1还是D2处记录光子的概率(互斥),都有:
第二项就是干涉相. 这是在光强较弱而无法检测 的,电子可能过缝1也可能过缝2的情况下得到的.即在 光子不能检测电子走向的情况下出现干涉.当完全不可 区分时
参考文献
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曾谨言.量子力学(上)[M],第三版,北京:科学出版 社.2000 喀兴林.高等量子力学[M].北京:高等教育出版社.2000 刘汉平,刘汉法.关于量子力学态叠加原理的讨论[J].山 东理工大学学报(自然科学版).2005.19 喀兴林.谈谈量子力学中的状态叠加原理[J].大学物 理.2006.6 李景艳,胡响明.浅谈量子力学课程学习方法[J].高等函 授学报(自然科学版)2007.20
2 1
2
x s 1 x s x s
1
2
2
*
x s
2
x s
*
x s
2
x s
* 1
I1 ( x) I 2 ( x) 交叉干涉相
从电子波的双缝干涉看态叠加原理
为什么观测的时候会 干涉消失呢? 先来看看电子通过双 缝时的观测示意图(右图)
量子力学5-态叠加原理
t )drdr'
(r
r')
(r ,
t
)(r ,
t
)dr
1
其中使用了
p
(r
)
p
(r'
)dp
(r
r'
)
关系式
由此我们也可以看出把 平面波归一化为 函数的目的。
(r
,
t
)
与
(r
,
t
)
具有类似的物理含义
dW
(r ,t)
若波函数已经归一化，则位置的平均值为
x
ψ
(
r
)
2
xd
3r
势能的平均值为
V
ψ
(
r)
2V
(
r
)d
3r
因空间中某一点的动量没有意义，则动量的平均值
p
ψ
(r )
2
p(r )d
3r
如何求动量的平均值？
波特性：态叠加原理
• （一） （二）
态叠加原理 动量空间（表象）的波函数
（一） 态叠加原理
exp[i
pr]
则 Ψ可按Фp 展开
(r,t)
(
p,
t
)
p
(r )dp
1
(2 )3/2
(
p,
t)
i exp[
p r ]dpxdpydpz
展开系数
(
p,
t)
p
(r )(r ,
t
)dr
（21）3/ 2
(r , t )exp[
i
p r ]dxdydz
显 然 ， 二 式 互 为 F ourier变 换 式 ， 故 而 总 是 成 立 的 。
对量子力学中态叠加原理的探讨
对量子力学中态叠加原理的探讨引言量子力学是描述微观领域中物质和能量行为的理论，提出了一些令人难以理解的概念和原理。
其中，态叠加原理是量子力学的基石之一，也是与经典物理学最明显的区别之一。
本文将探讨态叠加原理的背景、基本概念以及相关实验证据，并对其可能的物理解释进行讨论。
什么是态叠加原理态叠加原理是指在量子力学中，一个量子体系可以处于多个互不相同的态的叠加状态下。
简言之，当一个物体处于超微观的状态时，并不一定处于一个确定的状态，而是处于多个可能的状态中，直到它被测量或与其它体系相互作用时。
根据态叠加原理，物体的波函数可以表示为不同状态的叠加。
双缝实验与态叠加双缝实验的原理双缝实验是量子力学中重要的实验之一，可以用来验证态叠加原理。
实验中，光或电子通过一个带有双个狭缝的屏幕，并在后面的屏幕上形成干涉条纹。
经典物理学的解释是，光或电子可以通过其中的一个缝洞或另一个缝洞。
然而，量子力学的解释是，光或电子同时通过两个缝洞，并在后面的屏幕上形成干涉图样。
双缝实验与态叠加的关系根据双缝实验的结果，我们可以得出一个重要结论：在未进行观测或测量时，粒子可以处于多个可能的状态，以一种叠加的形式存在。
这与态叠加原理是一致的，因为双缝实验显示了光或电子既可以通过一个缝洞，也可以通过两个缝洞，这意味着它们可以处于多种可能的状态。
干涉与态叠加的现象干涉的定义干涉是指波之间相互作用的结果。
在双缝实验中，光或电子通过两个缝洞后，形成了干涉图样。
这是因为通过双个缝洞的波相干叠加形成了干涉效应。
干涉与态叠加的联系根据双缝实验的干涉图样，我们可以得出结论：在没有测量或观测的情况下，粒子可以处于多个状态的叠加，这些状态相互作用形成了干涉。
这进一步支持了量子力学中的态叠加原理。
薛定谔的猫与态叠加的概念薛定谔的猫是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔提出的一个思想实验。
它是对态叠加原理的一种生动描述，旨在说明在微观尺度下，物体可以处于多种可能的状态中。
量子态叠加原理的应用
量子态叠加原理的应用简介量子态叠加原理是量子力学中的基本原理之一，它描述了量子物体可以处于多个状态的叠加状态的现象。
在最近的几十年里，人们对量子态叠加的研究越来越深入，并且已经开始应用于多个领域，包括通信、计算和传感。
本文将介绍量子态叠加原理的基本概念，并讨论其在这些领域的具体应用。
量子态叠加原理的基本概念量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加态。
一个系统的态表示为一个复数的线性组合，其中每个状态的系数表示该状态的概率振幅。
当测量该系统时，根据概率振幅的平方可以得到该系统处于每个状态的概率。
量子态叠加原理的关键在于，当一个系统处于多个状态的叠加态时，测量它将会观察到其中一个状态，而不是所有的状态。
量子态叠加原理在通信领域的应用量子态叠加原理在通信领域的一个重要应用是量子密钥分发（Quantum Key Distribution, QKD）。
量子密钥分发利用量子态叠加的原理，通过传输量子比特来生成和分发密钥。
在传统的公钥加密算法中，为了确保密钥的安全性，需要借助复杂的数学运算。
而量子密钥分发利用了量子态叠加原理，通过检测潜在的窃听行为来保证密钥的安全。
另一个通信领域中的应用是量子隐形传态（Quantum Teleportation）。
量子隐形传态是基于量子态叠加原理的一种通信方式，通过量子纠缠和测量，可以实现量子信息的传输。
这种传输方式可以将量子信息从一个位置传输到另一个位置，而无需经过两个位置之间的物理传输。
量子态叠加原理在计算领域的应用量子计算是使用量子态叠加和量子纠缠原理进行计算的一种计算模型。
与传统的计算方式相比，量子计算具有更强大的计算能力。
量子状态的叠加可以使计算机在同一时间执行多个计算过程，从而加快计算速度。
同时，量子纠缠可以实现信息的高效传输和处理。
量子态叠加原理在传感领域的应用量子态叠加原理在传感领域也有广泛的应用。
一种典型的应用是量子传感器。
传统的传感器通常通过测量物理量来获取所需的数据，而量子传感器利用量子叠加原理对物理量进行测量，可以提供更高的精度和灵敏度。
量子力学中的叠加态与相互干涉现象
量子力学中的叠加态与相互干涉现象在量子力学中，叠加态和相互干涉现象是两个非常关键的概念。
它们揭示了微观世界中粒子性和波动性的奇异行为，挑战了我们对自然界的直观认知。
本文将分别介绍叠加态和相互干涉现象，并解释它们的重要性和应用。
首先，我们来讨论叠加态。
在经典物理学中，物体只能存在于一个确定的状态，例如一个小球可以在静止、向左或向右这三个状态之一。
然而，在量子力学中，叠加态使得微观粒子可以同时处于多个状态之中。
这种奇特的现象被用波函数来描述，波函数是一个复数函数，它包含了系统处于不同状态的概率幅。
举个例子来说明叠加态的概念。
想象一个宏观的实验，一个硬币同时以“正面”和“反面”的形式存在。
在古典物理学中，硬币只能出现一种状态，因此它要么是正面，要么是反面。
然而，在量子力学中，硬币可以处于具有一定概率的“正面”和“反面”的叠加态。
这意味着，在我们观测之前，硬币既不是正面，也不是反面，而是同时是正面和反面的叠加态。
叠加态的一个重要应用是量子计算。
由于叠加态的性质，量子计算机可以同时处理多种可能性，并在计算过程中实现并行计算。
这种并行计算能力使得量子计算机在某些问题上具有远超经典计算机的速度和效率。
然而，要实现这种并行计算，需要对叠加态进行精确控制和测量，这是量子计算中的一大技术挑战。
接下来，我们来讨论相互干涉现象。
在经典物理学中，当两个波相遇时，它们会按照简单的叠加原理相加或相减，从而产生干涉图样。
然而，在量子力学中，这种干涉现象具有更加奇特的性质。
量子干涉是一种只能在微观尺度下观测到的现象。
当两个粒子或两个波包相遇时，它们会表现出一种干涉图样，这取决于它们叠加态的相对相位。
如果它们的相位相同，就会增强干涉信号，而如果它们的相位相反，就会减弱或完全抵消干涉信号。
量子干涉现象在实验室中得到了大量的验证，并且被广泛应用于各种领域。
例如，Young双缝干涉实验可以用来研究光的波动性和粒子性，而双缝干涉实验的量子版本被用来验证叠加态的存在和性质。
再谈态叠加原理
再谈态叠加原理
关洪
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2000(019)008
【摘要】讨论了量子力学里态叠加原理的物理含义,并评论了国内外流行的几种教材中的一些不同讲法.
【总页数】4页(P21-24)
【作者】关洪
【作者单位】中山大学,物理系,广东,广州,510275
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.结构化学小班讨论介绍——态叠加原理 [J], 朱月香;厉建龙
2.量子态叠加原理及其测量的分析与讨论 [J], 黄春晖
3.态叠加原理的翻转课堂探讨研究 [J], 王丽娜;李玮;周丹;栾忠奇;于游;高兆辉;朱娜;唐德龙
4.对量子力学中态叠加原理的探讨 [J], 丁汉芹;刘伟霞;张军
5.统计诠释和微观单个事件守恒律及态叠加原理的讨论 [J], 曾天海;
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§2[1].2态叠加原理
![§2[1].2态叠加原理](https://img.taocdn.com/s3/m/5f1f2b212f60ddccda38a054.png)
1 e 3/ 2 (2π h)
i vr ( P ⋅r − Et ) h
取各种可能值的平面波的线性叠加， 取各种可能值的平面波的线性叠加，即
6
§2.2 态迭加原理（续5）
Chapter 2. The wave function and Schrödinger Equation
v v v v ψ ( r ,t ) = ∑C( P )ψ P( r ,t ) v
ψ = c1ψ1 + c2ψ 2 + L+ cnψ n 2.当体系处于 态时， 2.当体系处于 ψ 态时，发现体系处于 ψ k 态的几率 2 是 ck (k =1,2,LL, n,) ，并且 n , 2
∑
k =1
ck
=1
态的迭加原理是量子力学的一个基本假设， 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的 正确性也依赖于实验的证实。 正确性也依赖于实验的证实。
r r 为自变量的波函数， 为自变量的波函数， 以坐标 r 为自变量的波函数， 以动量 P 为自变量的波函数，
v ψ (r , t )
v C ( P, t )
Chapter 2. The wave function and Schrödinger Equation
Prove:
∝
r r r r ∗ r 2 ∫−∝ |C ( p , t ) | dp = ∫ C ( p , t )C ( p , t ) dp r r r r r ∗ r ∗ r r (r )dr r (r ')dr ' dp = ∫ ∫ψ (r , t )ψ p ∫ψ (r ', t)ψ p r r =δ ( r −r′) r r ∗ r r r r ∗ r r r = ∫∫ψ (r , t )ψ (r ', t ) ∫ψ p (r )ψ P (r ')dp drdr '
量子纠缠与态叠加原理
量子纠缠与态叠加原理量子纠缠是一种量子力学现象，是1935年由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森提出的一种波，其量子态表达式：其中x1，x2分别代表了两个粒子的坐标，这样一个量子态的基本特征是在任何表象下，它都不可以写成两个子系统的量子态的直积的形式。
量子纠缠在定义上描述复合系统（具有两个以上的成员系统）之一类特殊的量子态，此量子态无法分解为成员系统各自量子态之张量积。
在物理学中，量子纠缠是指存在这样一些态：1、A,B,C，…，在t时，这些态之间不存在任何相互作用；2、当t>时，它们的状态由Hilbert空间（希尔伯特空间）HA，HB，HC...，中的矢量| Ψ(t)>A，| Ψ(t)>B，| Ψ(t)>C,…所描述，由A，B，C空间构成的量子系统ABC则由Hilbert空间HABC...=.HA ×HB ×HC...中矢量| Ψ(t)>A，| Ψ(t)>B，| Ψ(t)>C所描述，则这样的态被称为比Hilbert空间的直积态。
否则称态| Ψ(t)>A，| Ψ(t)>B，| Ψ(t)>C,.…是纠缠态。
也就是说，如果存在纠缠态，就至少要有两个以上的量子态进行叠加。
量子纠缠说明在两个或两个以上的稳定粒子间，会有强的量子关联。
例如在双光子纠缠态中，向左（或向右）运动的光子既非左旋，也非右旋，既无所谓的x偏振，也无所谓的y偏振，实际上无论自旋或其投影，在测量之前并不存在。
在未测之时，二粒子态本来是不可分割的。
量子纠缠原理解释：量子纠缠本质是量子波动性的干涉叠加现象。
因为量子具有波粒二象性，建立量子纠缠的本质是对量子波动性施加干涉叠加过程。
纠缠态的量子处于波的叠加态，所以在纠缠态中的双光子无法区分（不能区分左右和自旋方向）。
即使将它们分开依然处于叠加态。
只有在测量后，叠加态才会坍缩。
发生纠缠态的量子在波动性角度表现为波的叠加态；在粒子性角度表现为由纠缠量子构成的系统，系统中的成员相互关联不可以分割。
第12讲 双缝干涉实验 态叠加原理
大学物理量子物理第12讲 双缝干涉实验 态叠加原理双缝干涉实验、态叠加原理一、双缝干涉实验（Double-slit interferece experiment） 1. 电子的双缝干涉实验1) 光波的双缝干涉实验(1801年 杨氏)1s探测器xI1(x)I12(x)2LI2(x)2) 若 s 处为一电子枪n1(x)和n2(x)：分别为仅当缝 1或缝2 打开时的光强n12(x)：双缝同时打开时的光强经典考虑：n12(x)=n1(x)+n2(x)1s探测器xn1(x)n12(x)2Ln2(x)实验发现：n12 (x) ≠n1 (x) +n2 (x)1s探测器xn1(x)n12(x)2Ln2(x)即使光子束或电子束弱到一个一个地通过狭缝， 经足够长时间后，仍然得到双缝干涉图象(a) 28只电子所产生 (b) 1,000只电子所产生(c) 10,000只电子所产生(d) 几百万只电子所产生图14.2 双缝干涉实验干涉不是两电子间的干涉，是自己与自己干涉。
二、态迭加原理（principle of superposition of states）1. 态叠加原理 若Ψ1, Ψ2, …, Ψi , …是系统可能的状态，那么它们的线性 叠加Ψ 也是该系统可能的状态。
∑ Ψ = c1Ψ1 +c2Ψ2 +...+ciΨi +...= ciΨi i其中c1, c2, …, ci , …是复数。
2. 双缝干涉实验的讨论 1) 双缝干涉实验中，是一个电子的两个态的叠加Ψ = c1Ψ1 +c2Ψ2( )( ) Ψ 2 = c1Ψ1 +c2Ψ2 2 = c1*Ψ1* +c2*Ψ2* c1Ψ1 +c2Ψ2= c1*Ψ1* 2 + c2*Ψ2* 2 + c1*c2Ψ1*Ψ2 + c1c2*Ψ1Ψ2*干涉是自己与自己干涉，决不是两个电子的干涉。
2) 电子经过狭缝时的干涉和衍射图象与经典波的图象毫无关系，它起因于“统计规律中的态叠加原理”经典： Ψ =Ψ1 +Ψ2新的状态量子： Ψ = c1Ψ1 + c2Ψ2不构成新状态状态： Ψ 1 Ψ 2Ψ 物理量： β1β2几率： c1 2c2 2严格的因果律，经典统计的核心：几率 3) 区别统计规律，量子统计的核心：波函数 不确定关系，互补原理玻尔—爱因斯坦论战：两阶段 完备性1927年第五届索尔维会议在布鲁塞尔召开三、小结 1. 电子的双缝干涉实验n12≠ n1 + n22. 态叠加原理∑ Ψ = c1Ψ1 +c2Ψ2 +...+ciΨi +...= ciΨi i其中c1, c2, …, ci , …是复数。
量子力学中的叠加态：叠加原理与量子态叠加的解释
量子力学是描述微观粒子行为的理论。
其中一个重要的概念是叠加态，也称为叠加原理。
叠加态指的是量子系统可以同时处于多个可能的状态之一的状态。
本文将探讨叠加原理的解释以及量子态叠加的现象。
首先，让我们来理解叠加原理。
在经典物理中，粒子的状态是确定和可测量的，例如一个自由落体的物体的位置和速度。
然而，在量子力学中，粒子的状态存在不确定性。
根据叠加原理，当一个量子系统处于多个可能的状态时，它可以同时处于这些状态的线性组合，而不是一个特定的状态。
这种线性组合的系数称为叠加态的振幅。
一个经典的例子是著名的薛定谔猫实验。
在这个实验中，一只猫被置于一个装有放射性物质的盒子中。
根据量子力学的叠加原理，当放射性物质衰变时，猫可以处于活着或死去的“叠加态”中，直到盒子被打开进行测量。
量子态叠加的现象可以通过计算来解释。
在量子力学中，我们用波函数来描述粒子的状态。
波函数是叠加态的数学表示，它包含了所有可能状态的信息。
由于叠加原理的存在，波函数可以表示为多个可能状态的叠加，每个状态对应一个振幅。
当我们进行测量时，波函数会坍缩到一个确定的状态，其中每个状态的概率由其振幅的平方给出。
叠加态的解释对于理解量子力学中的奇特现象非常重要，例如量子干涉和量子纠缠。
量子干涉指的是当两个或多个量子系统叠加时，它们的波函数会相互干涉，产生一些非经典的效应。
例如，当两个光子相遇时，它们可以表现出互相增强或互相抵消的干涉图样。
量子纠缠是量子力学中最迷人和难以理解的现象之一。
它指的是当两个或多个量子系统之间存在特殊的关联时，它们的状态不能被单独描述，只能作为一个整体考虑。
这意味着一个粒子的状态的改变，会立即影响到与之纠缠的粒子的状态，无论它们之间的距离有多远。
通过叠加原理和波函数的描述，我们可以更好地理解这种奇特的纠缠现象。
总结起来，叠加原理是量子力学中的一个基本原理，它表示量子系统可以同时处于多个可能的状态之一。
这种叠加态可以通过波函数的线性组合来描述，而测量时波函数会发生坍缩。
量子力学中的叠加态现象
量子力学中的叠加态现象量子力学是一门研究微观世界的物理学分支，其中最引人注目的现象之一就是叠加态。
叠加态是指量子系统在未被观测之前，同时处于多个可能的状态中。
这一现象在理论上被广泛研究和实验证实，并对我们对于自然界的理解产生了深远影响。
本文将深入探讨量子力学中的叠加态现象，解释其原理和应用。
为了理解叠加态，我们首先需要了解量子力学中的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以被视为粒子（具有质量和位置），又可以被视为波动（具有频率和波长）。
这种波粒二象性的基本观念由德布罗意（de Broglie）在上世纪20年代提出，并通过实验验证。
在量子力学中，叠加态是一种特殊的量子态，它可以由多个基态的线性组合表示。
基态是量子系统的可能状态，而叠加态则是这些可能状态的某种线性组合。
具体而言，对于一个带电粒子的自旋态来说，可能的基态可以是自旋向上或向下。
叠加态则是自旋向上和向下态的线性组合，即同时具有向上和向下自旋的可能性。
叠加态的最著名例子之一是著名的薛定谔猫实验。
这个实验设想了一个盒子里的猫，被放置在一个封闭的系统中。
根据量子力学的原理，盒子中的猫在未被观测之前，其状态可以同时是活着和死亡的叠加态。
这意味着在未进行观测之前，猫既是活着的，又是死的。
叠加态的存在并不仅仅是一种理论上的抽象概念，它已经通过实验得到了验证。
实验中，科学家们使用各种手段来测量和操控量子系统的状态。
例如，双缝干涉实验证明了光子和电子在通过两个缝隙时，能够形成干涉图样，这表明它们是存在叠加态的。
此外，量子计算和量子通信等领域的研究，也基于对叠加态的操作和控制。
叠加态的存在迅速引起了科学界的广泛兴趣，并产生了许多意想不到的应用。
其中之一是量子计算，叠加态可以同时代表多个计算结果，大大提高了计算效率。
此外，叠加态还被应用于量子通信和量子密码学中，用于实现更高级别的加密和安全通信。
另外，叠加态还可以用于制备高灵敏度的传感器，例如用量子叠加态来提高测量的精度。
对量子力学中态叠加原理的探讨
- --对量子力学中态叠加原理的探讨摘要：量子力学对于现在的我们来说是一门新兴的学科，在这门学科中我们还有很多的前沿领域需要我们去探索发现，量子力学中态叠加原理就是我们要探讨的一小部分。
在量子力学中我们主要探讨的是态叠加原理的推导、几种不同的表述、以及它在量子力学中的作用，在讨论中我们运用了一些物理学家的结论，也便于我们对态叠加原理的推导。
关键词：量子力学的发展史、态叠加原理的表述推导、综合性论述、量子态目录1.量子力学的发展史 ................................................... 错误!未定义书签。
1．1量子力学的起源 ............................................. 错误!未定义书签。
1．2量子力学的发展 ............................................. 错误!未定义书签。
2.态叠加原理得出的过程.............................................. 错误!未定义书签。
2．1在量子力学中对态叠加原理的诸多推导 .................. 错误!未定义书签。
2．2不同学者对叠加原理的表述的差异........................ 错误!未定义书签。
2．3态叠加原理有什么作用 ..................................... 错误!未定义书签。
3.对态叠加原理的综合性论述......................................... 错误!未定义书签。
3．1对于以上学者不同论述的分析 ............................. 错误!未定义书签。
3．2对态叠加原理的总结性论述................................ 错误!未定义书签。
叠加态
量子力学术语
目录
01 简单理解
03 态叠加原理
02 物理意义
基本信息
叠加态，或称叠加状态（superposition state），是指一个量子系统的几个量子态归一化线性组合后得到 的状态。
简单理解
简单理解
如果我们把一只猫关进一个密闭的盒子，用枪对盒子射击，这支枪的扳机是由原子衰变扣动的，那么我们便 无法知道这只猫究竟是死还是活，因为原子的是否衰变是一个随机事件。在量子力学中，我们便把这只猫所处的 状态称为死与活的叠加状态。
量子力学认为微观事物的运动和状态均是不确定的，如果将其推广到宏观世界上来，那么，即将掷出的骰子、 犹豫不决的人、风暴的移动方向等各种不确定的事物均可以被认为是处在多种状态的叠加状态。在平行宇宙理论 中，一个处在叠加状态的物质可以分裂，不同的状态发生在不同的宇宙之中。
态叠加原理
态叠加原理
在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种 不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成 叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的概率是对应权值的绝对值平方。
更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量A，而可观察量A的本征态分别拥有本征值，则根据薛定谔 方程的线性关系，叠加态也可以是这量子系统的量子态；其中，分别为叠加态处于本征态的概率幅。假设对这叠 加态系统测量可观察量A，则测量获得数值是的概率分别为，期望值为。
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物理意义
物理意义
当我们进行单个电子的双缝干涉实验时，两条狭缝上都留下了这个电子干涉过的条纹。一旦我们用专门的仪 器观察电子进行，干涉条纹便消失了。对此的解释是这样的：当我们不进行观察时，电子具有波动性，因此能弥 散开来，留下条纹；一旦我们展开观察，就有一个光子撞击了这个电子，这个电子便具有了确定的位置，呈现出 粒子性，直线传播而无法干涉这两条狭缝。在不观察时，由于电子没有确定的位置，电子便是在各种位置的叠加 状态，而人的观察使得这个电子退出了叠加状态。
毕业论文---量子力学中的态叠加详解
题目：量子力学中的态叠加郑重声明本人的毕业论文(设计)是在指导老师尹建武的指导下独立撰写并完成。
毕业论文（设计）没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任；并可以通过网络接受公众的查询。
特此郑重声明。
毕业论文设计者（签名）：目录摘要；本文根据量子力学中的态叠加原理，给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述，比较和分析了各种表述中的观点和有争议的问题，对于叠加原理的物理意义，以及数学型叠加和物理型叠加等问题进行了讨论，特别强调了体系的外部环境与状态叠加之间的关系。
本文的主要研究内容包括：1. 有关学者对原理的表述 2. 有关学者对原理的认同点 3. 不同学者对原理的争议之处 4.简单总结评论 5. 有关问题的进一步讨论关键词：量子态；态叠加原理；量子力学基本问题英文摘要；The principle of superposition in quantum mechanics Abstract：According to the principle of superposition in quantum mechanics in this paper,given the different scholars on the superposition principle of quantum mechanics of several statements,The agreement and disagreement among these statements are comparedand analyzed．The physical meaning of this principle and mathematical type and physical type of superposition are discussed．The relationships between superposition of quantum state and external environment of the system havebeen laid on special emphasis．Key words：quantum state，principle of superposition，fundamental problem of quantum mechanics正文：量子力学是现代物理学的两大支柱之一，是20世纪基础物理学取得的两大成就之一，是反映微观粒子运动规律的理论．量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理，在量子力学理论体系中占有相当重要的地位．虽然量子力学诞生至今已近80年了，叠加原理也得到了一系列实验的证明，如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等，但时至今日，人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智．本文对这个问题进行了比较、分析和讨论．1.有关学者对原理的表述在量子力学发展史上，尤其是现行的量子力学专著或教材里，不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述．我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍．1)狄拉克的表述据说，第一次明确提出态叠加原理的是狄拉克．他在1930年出版的第l版《量子力学原理》书中提出“系统的态可以定义为受许多条件或数据所制约的未受干扰的运动．⋯⋯在实践上，这些条件可以通过适当的制备系统而加上去．⋯⋯态这一词可能用于指某一特定时刻(在制备过程以后)的态，或者也可能用于指在制备过程以后全部时间的态．为了区别这两种含义，在容易产生含混时我们将把后一种称之为运动态”．关于态叠加原理，狄拉克认为“每当系统是确定地处于一个态时，我们就能把它看成是分别部分地处于两个或更多的态中的每一个”⋯．2)朗道的表述朗道和E．M．栗弗席茨在他们著的《量子力学》中把态叠加原理表述为：“假如在波函数为ψ1（q，t）t)的态中进行某种测量获得可靠的肯定结果(称为结果I)，而在波函数为ψ2(q，t)的态中获得的结果为Ⅱ，那么可以断定在ψ1与ψ2的任一线性组合给出的态中，亦即在任一形如C1ψ1+C2ψ2的函数形式(其中C1和C2是两个常数)的态中，进行同样的测量所得的结果或者是I，或者是Ⅱ．此外，我们还可以假定，如果已知以上两个态与时间的关系，其中一个由函数ψ1(q，t)给出，另一个由函数ψ2(q，t)给出，那么它们的任一线性组合也给出该组合态与时间的可能关系．以上假定构成了所谓的态叠加原理”.4）喀兴林的表述ψ喀兴林在2000年出版的《高等量子力学》书中把态叠加原理表述为“若ψ1和ψ2是粒子的两个可能状态，则ψ =C1ψ1+C2ψ2也是粒子可能的状态”．尽管原理的表述形式各异，但都包含以下基本内容如果ψ=1和ψ2是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加ψ=C1ψ1+C2ψ2(C1..C2是复数)也是这个体系的一个可能状态4）曾谨言的表述曾谨言在他著的《量子力学》中说：“更简单和更一般地说，设体系处于ψ1所描述的状态下，测量某力学量A所得结果是一个确切的值a1，又假设在ψ2描述的状态下，测量A的结果是另外一个确切的值a2，则在ψ =C11ψ +C2ψ2(其中C1和C2是两个常数)所描述的状态下，测量A所得结果可能为a1，也可能为a2(但不会是另外的值)，而测得为a1或a2的相对几率是完全确定的．我们就称ψ态是ψ1态和ψ2态的线性叠加．”这就是曾谨言关于态叠加原理的表述．5）周世勋的表述对于一般的情况，如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理。
量子力学第二章教案-态的叠加原理
§2.2 态的叠加原理1、量子态及其表象在统计物理中，我们学过量子态的概念。
那时我们把微观粒子的运动状态称为量子态。
通过前面的学习我们又知道2|)(|rψ给出粒子出现在r 的处几率。
2|)(|pϕ给出粒子出现在p 处的几率。
)(p ϕ是)(rψ的Fourier 变换：⎰⋅-=r e r p r p i 3/2/3d )()2(1)(ψπϕ ⎰⋅=p e p r r p i 3/2/3d )()2(1)( ϕπψ 此时若),(t rψ给定，所有力学量测值几率分布就给定，平均值就可求出。
),(t r ψ完全确定了一个三维空间t 时刻的量子态，),(t rψ是几率幅，又称态函数。
同样)(p ϕ给定后，动量的几率分布就可求，而且由于)(r ψ可由)(p ϕ求出，故)(pϕ也可作为量子态完全描述体系，即)(p ϕ和)(rψ是等价的，彼此有确定的关系，那么二者有何区别？二者的表象不一样。
量子力学中把态和力学量的具体表示方式成为表象。
)(r ψ、)(pϕ是一个状态在坐标表象和动量表象中的表示。
有关表象的问题我们将在以后作详细介绍。
前面我们学习了量子力学的基本原理之一：微观粒子的运动状态用波函数),(t rψ完全来描述。
下面我们学习第二个基本原理 2、态的叠加原理问题的提出:自由粒子的波函数是动量取确定值的态函数，即平面波。
考虑一个波包)(rψ，它由平面波叠加而成。
在这个波包中测量动量，能测得什么值？ 态的叠加原理能回答这个问题。
态的叠加原理：设体系处于1ψ状态，测量力学量A 所得值为a 1，1ψ称为力学量A 的相应于本征值a 1的本征态。
又体系处于2ψ状态，测量力学量A 所得值为a 2，2ψ称为力学量A 的相应于本征值a 2的本征态。
则2211ψψψc c +=也是体系的一个状态，这就是态的叠加原理。
在ψ态中测量A 可能得a 1，也可能得a 2，而且相应的测量几率是确定的。
——态的叠加是波的叠加的结果，导致叠加态下观测结果的不确定性。
量子力学态叠加原理
问一句，量子力学中最为核心、最为本质，导致量子力学各种偏离经典力学的原理是什么？费曼在他的《费曼物理讲义》（The Feynman's Lectures on Physics）明确指出，是量子力学的态叠加原理。
而狄拉克在他的《量子力学原理》中，开篇也是从量子力学的态叠加原理讲起。
为什么大牛们都不约而同的如此突出态叠加原理？态叠加原理究竟在量子力学中占据什么地位？那么我们首先回顾一下什么是态叠加原理。
本人喜欢使用这样的表述：若态是体系的可能状态，态也是体系的可能状态，那么他们的叠加态也是体系的可能状态。
这一表述看似平凡无奇，但一旦与量子力学的其他原理相结合，就能得到一些震撼人心的背离经典的图像。
最为著名的例子或许就是双缝干涉了。
电子的双缝干涉实验是将电子通过双缝，观察双缝后所记录下来的干涉条纹。
特别是，当电子的发射速率如此之小以至于每次只能有一个电子穿过双缝后，干涉条纹仍然存在。
这样，干涉条纹的存在就不能解释为电子之间相互影响所造成的。
而必须说电子同时穿过了两条缝并与自身发生干涉。
怎样使用量子力学的原理来理解这看似不可能的解释呢？这里使用态叠加原理就能清楚而简洁的解释此实验了。
首先，假设、分别代表通过缝a和缝b的电子的归一化的本征态。
那么，由态叠加原理，电子可处于其叠加态：。
而这一叠加态，正是前述电子双缝干涉实验中，电子所处的量子态。
正是由于电子处于这一量子态，才会产生干涉条纹。
因为的模会出现复数项。
使用量子力学的几率解释，那么前述叠加态意味着什么呢？意味着电子确实以不同的概率同时穿过了两条缝，且穿过缝a的概率为，穿过缝b的概率为。
并且电子确实与“自己”发生了干涉。
这一实验还有一个延伸版。
那就是在双缝上装上探测器，探测器可用来探测电子具体是从哪一条双缝穿过的。
然而这一实验给出的结果是：探测器越灵敏，干涉条纹越模糊，当探测器长时间的保持几乎可以完全判断电子是通过哪一条缝时，干涉条纹消失。
如何理解这一实验？我们仍然使用态叠加原理。
[精品]态叠加原理
![[精品]态叠加原理](https://img.taocdn.com/s3/m/3f3c8126876fb84ae45c3b3567ec102de2bddf2b.png)
[精品]态叠加原理态叠加原理是指，在物理学中，多个波叠加时，每个波的振幅加起来形成了叠加波。
这个原理是事实上许多物理现象的基础，包括声音、光线和无线电信号。
态叠加原理也被用于研究量子力学中的电子态和波函数。
在经典物理学中，波叠加的原理可以解释许多现象。
例如，当两个相同的波同时到达一个点时，它们的振幅加起来会形成一个更大的波。
这可以用加法来表示，即A + B = C，其中C表示两个波的叠加波的振幅。
这个原理不仅适用于相同的波，也适用于不同的波。
例如，当两个不同的波到达一个点时，它们可以相互干涉。
这种情况下，波的振幅可以相互增强（构造干涉），也可以相互抵消（破坏干涉）。
另一个例子是当一个波通过一个狭窄的孔时，它会形成一个由多个波叠加而成的模式。
这种模式称为衍射模式，并且可以用来确定孔的大小和形状。
在量子力学中，态叠加原理是量子力学中的核心概念之一。
量子力学中的电子、质子等粒子不是像经典物理学中的粒子一样存在于确定的位置和速度，而是存在于一系列可能的状态和位置之中。
这些可能的状态和位置由波函数描述，波函数本质上是对粒子的可能状态的描述。
当两个或多个波函数叠加时，它们的相干叠加可以导致一个新的波函数出现。
在这种情况下，波函数的模方表示粒子位于某个位置或处于某种状态的可能性。
在量子力学中，这个过程被称为波函数坍缩。
波函数坍缩是一种出现新的波函数的过程，它的出现是由测量粒子而导致的。
态叠加原理的实际应用非常广泛。
它在声学，光学，通信和量子计算中都具有重要的作用。
它还可以用于控制和操纵量子系统，包括利用波函数坍缩来实现量子态的测量和控制。
最近，态叠加原理在量子信息领域中被广泛应用，以实现超导量子计算和量子通信。
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关于量子力学中态叠加原理的讨论关洪（中山大学物理系，广州 510275）摘要：讨论了量子力学中态叠加原理的意义。
评论了它的不同表述和解说，倾向于以简单明白的语言来叙述这一原理。
关键词：量子力学；态叠加原理1 引言读到喀兴林新近发表的文章《谈谈量子力学中的状态叠加原理》[1]，深受启发。
特别是我十分佩服他胜似后生的勇气，敢于在文章里表示“不赞成”狄拉克用光的偏振态叠加来对量子力学里态叠加原理的说明。
他的理由是：“量子力学中根本没有偏振这个概念。
用光的行为引入量子力学的基本原理，在物理上和逻辑上都是讲不通的。
”我觉得这段话说得很好，并且我没有看到过国内外其他作者发表过类似的意见。
我曾经特意查阅过狄拉克的《量子力学的基本原理》一书的前后各个版本。
在1930年第一版里[2]，第一章“态叠加原理”的第二节的标题就是“光子的偏振”，在这一节里已经有了那种讲法。
1935年狄拉克在这本书的第二版[3]里重写了第一章，其中第二节的标题仍然是“光子的偏振”，基本内容则改成了在后继的两个版本里我们看到的样子[4]。
后来，国内不少量子力学教材沿用了狄拉克的这种被当做“经典”的讲法。
25年前，我第一次讲量子力学课时，也跟着这样讲。
但是，我一边嘴上讲一边心里就觉得别扭，讲完之后想清楚了，这种论证与量子力学没有什么实质上的联系。
于是，在我后来讲的量子力学课和写的量子力学教材里[5]，都不用这种讲法了。
但是，我不曾把这一认识写到我的著作里。
这是因为，我曾经在不止一次会议上的发言引起个别听者的强烈排斥，他们的理由是狄拉克（或者爱因斯坦，或者泡利……）是不会错的，他说了的话是不容讨论的。
那么，我只好少说几句算了。
其实狄拉克这本书，尤其是第一章，确实存在一些毛病。
况且，他自己也承认有毛病。
我指的是在文献 [3] 或者 [4] 的第13页有一个脚注，承认正文里的一处陈述的成立是“有限制”的，亦即不是普遍成立的。
关于这个问题，我已经做过专门的论述[6-8]，不再在这里重复。
我十分欣赏狄拉克这种敢于公开承认自己的失误的态度。
文献 [1] 对几本国外的量子力学著名教材里对态叠加原理的表述文字进行了认真细致的分析。
而我在这里试图从另一个角度来谈这个问题。
我以为，不必使用诘屈拗口而不容易理解的语言来表达量子力学里的态叠加原理，如果使用简单明白的语言来表述，就会令教师和学生都省去不少麻烦。
下面还将对文献 [1] 提到的一些问题做些补充和讨论。
2 态叠加原理的实质我以为，量子力学里态叠加原理的实质是说：在量子力学里使用作为概率幅的态函数（波函数）ψ描写一个物理系统的状态。
（命题1）初看起来，命题1好像是一句“大实话”，其实它是有深刻含意的。
回顾在经典力学里，描写一个质点的状态，用的是它的坐标x和动量p。
而且，物理学里的运动方程就是描写物理系统状态随时间的变化的。
因此，经典力学里的基本运动方程（牛顿第二定律或者相对论里的相应方程）必定是坐标x或者动量p满足的方程。
那么，我们亦很自然地就会从命题1得出这样的推论：量子力学里的基本运动方程（薛定谔方程，或者狄拉克方程等等），是作为概率幅的态函数ψ 所满足的方程。
（命题2）所以，态叠加原理一开始就揭示了，量子力学的理论框架与经典力学根本不同。
即是说，量子力学里满足基本运动方程的不是像在经典物理学里那样的各种物理量，而是本身并非物理量的概率幅。
而且，经典物理学与量子力学的基本运动方程在形式上也稍有差别。
例如，在经典物理学里，有源的电磁场方程是非齐次的，只有自由传播的电磁场才满足齐次的微分方程。
然而，在常规的量子力学里，作为概率幅的态函数ψ 所满足的基本运动方程总是齐次的线性微分方程。
（命题3）我很高兴看到文献 [1] 这样肯定了类似的陈述：“状态叠加原理的物理叠加型表述，在某种意义上可以说是‘薛定谔方程……是线性微分方程’这句话的物理诠释和直接推论。
”大家知道，齐次线性微分方程的解具有可叠加性。
亦即是说，这种方程的两个（或更多个）解的叠加，仍然满足原来的方程。
具体说来，如果ψ1是和ψ 2都是方程的解，那么它们的叠加ψ1 +ψ 2 或者c1ψ1 +c2ψ 2 ，必定也是同一方程的解。
于是，以上由浅入深，或者说由抽象到具体的三个命题，都可以看做是态叠加原理的表述。
一句话，态叠加原理实际上说的是：在量子力学里，满足叠加规则的是作为概率幅的态函数ψ 。
这句话亦道出了量子力学与经典力学的本质差别。
关于量子力学里态叠加原理的一种清楚明白的表述，是费曼首先提出来的。
费曼早就强调：“在量子力学里概率的概念没有改变”，“变化了而且剧烈地变化了的是计算概率的方法。
”[9]他指的是在量子力学里一般使用概率幅叠加的规则，而不是在经典物理学里的概率叠加规则。
而且，在文献 [9] 和他的《物理学讲义》第三卷 [10] 里阐述量子力学的基本原理时，都是从电子的双缝衍射引出概率幅叠加规则开始的。
3 关于态叠加原理的“第二种表述”在有些量子力学教材里，表达了与上一节里的某个命题相同的内容，不再明白地提到态叠加原理这个话题，这种讲法也是可以行得通的。
例如，文献 [1] 指出，席夫的《量子力学》就是这样。
可是，有更多的量子力学教材里，却试图使用一些意义含混的文字来表述态叠加原理，这样做不但没有什么好处，而且很容易落到“画蛇添足”的尴尬境地。
在这一节我们剖析一下这方面的一个种讲法。
文献 [1] 的第二节“第二种表述”里，先引述了狄拉克和朗道关于态叠加原理的类似的两种有关表述。
为了便于讨论，我们在这里扼要复述文献 [1] 所引用的一段朗道的《量子力学》里的话：“设在波函数为ψ1的态中进行某种测量，可以获得可靠的肯定结果1，而在ψ2的态中进行这种测量可以获得可靠的肯定结果2。
那么可以假定，在ψ1和ψ2的任一线性组合所给出的态中，即在任一具有c1ψ1＋c2ψ2函数形式的态中，进行该种测量所得结果或者是1，或者是2……以上这些假定，构成了量子力学的一个首要原理，称为态叠加原理。
”首先应该指出，这段话是不对的，或者说这种陈述是不是普遍成立的。
要说明这一点，举一个反例就够了。
我们先仿照上面的说明，设在波函数为ψ1的态中进行某种测量，可以获得可靠的肯定结果a≠0。
然后，再选ψ2= -ψ1，在ψ2的态中进行测量，当然也获得同样的肯定结果a。
现在我们做一个组合ψ1＋ψ2 = ψ1 - ψ1 = 0。
（相当于在组合式里取ψ2= ψ1，c1＝1，c2＝－1）那么，在这个叠加态里，测量到的肯定不是在ψ1态和ψ2态的相同结果a，而是0！所以，这种“第二种表述”说轻一点是不得要领，说重一点就是文不对题了。
出问题的原因在于这种表述没有反映出量子力学里概率幅干涉的特征，遇到上面举出的发生严重相消干涉的情况就完全失灵了。
因此，我们说这种“第二种表述”不得要领或者文不对题，是指它没有反映出量子力学的特征，实际上讲的是经典物理学里也存在着的规则。
举一个例子就明白了。
设有一束电磁波A，携带着一台电视广播a的信号；又有另一束电磁波 B，携带着另一台电视广播b的信号。
那么，当这两束电磁波传到同一地点而叠加时，可以收到的电视广播就必定或者是a，或者是b。
这明明是经典物理学，不是量子力学！所以，这种不得要领的话，高谈阔论不如少说为妙。
我以为，脱离了概率幅的概念是讲不清楚态叠加原理的。
狄拉克的书的第一章在引入概率幅之前讲态叠加原理，肯定是不合适的。
结果，就真的出了上面提到过的，他要在脚注里更正的毛病。
这个毛病也由于狄拉克的有关说法没有反映出概率幅的干涉性质。
[参看文献5-7]4 关于“数学叠加型的态叠加原理”文献 [1] 提出，在量子力学里有两种不同的态叠加原理，一种是“物理叠加型”的，另一种是“数学叠加型”的。
这两种类型的叠加的区别在于前者叠加的各个态函数，都是同一道薛定谔方程的解，或者说是对应于用同一个哈密顿算符描写的物理系统；而后者则不受此限，纯粹是一种数学上的叠加或者分解。
并且，文献 [1] 认为，“数学叠加型”的态叠加原理，“是在真实的物理状态中各个物理量取值的规律，这是一个新的规律，是量子力学的又一个基本原理。
”那么，按照这种分法，在第二节里讲的命题，都是“物理叠加型”的态叠加原理。
下面我们对所谓“数学叠加型”的态叠加原理做一点分析，说明它正是普通的态叠加原理、即所谓“物理叠加型”的态叠加原理，加上量子力学的其他基本假设所得出的结果。
首先，按照量子力学的一条基本假设，用一个自伴算符（或者马虎一点说，厄米算符）描写一个动力学变量。
由这种算符的数学性质，我们知道它的本征函数组是正交且完备的，可以做任意态函数展开的基。
用公式表示，算符F的本征值方程是Fφn= λn φn式中的φn是归一化的本征函数，λn是相应的本征值。
由于φn构成一组完备基，任意态函数ψ就可以用这组基来展开以上纯粹是数学问题。
量子力学还有一条基本假设，即所谓“平均值公设”。
它可以将在状态ψ 中对F 进行多次测量所得到的平均值表示为如下内积那么，将前面两式代入到这道内积公式里，就可以推导出于是，ψ 展开式里的系数 c n的绝对值平方，就可解释为测量 F得到值 λn的概率。
或者说，c n也是一种概率幅。
事实上，在算符F取对角形式的表象里，这一组c n就构成了矩阵形式的态函数。
本来，以上的推导在教科书里都有，在这里写出来是为了看清楚一些。
前面的ψ 展开式完全是一道数学式子，到这一步没有任何物理意义。
但是，下面的“平均值公设”就引入了物理内容，实际上它是量子力学基本假设里面唯一一条将理论与经验联系起来的命题。
于是我们就得出了这样的结论：上述概率幅ψ 的展开式里的各项，或者各项的系数c n也是一种概率幅。
这实际上就是说概率幅的这种叠加是有物理意义的，而这种物理意义同原来（“物理叠加型”）的态叠加原理是分不开的。
或者可以换一种思路说，在量子力学里任何函数都可以用一套正交完备基展开，但只有概率幅的展开才具有上面所说的物理意义。
举一个经典物理学的例子。
任何连续性不太差的函数都可以做傅立叶展开，但不是任何函数的傅立叶展开都是有意义的。
例如，对光信号或者电磁波信号的振幅做傅立叶展开，能够得到很有意义的频谱分布。
可是，虽然这些信号的强度也可以做傅立叶展开，但那是没有任何意义的。
那正是因为，电磁波的振幅即电场或者磁场是满足叠加原理的缘故。
因此，我们认为，文献 [1] 说的“数学叠加型”的态叠加原理，其实是本来意义的态叠加原理同量子力学的其他基本假设相结合的推论，不是一条独立的基本原理。
作者感谢阮东教授在提供资料上的帮助。
参考文献：[1] 喀兴林，，大学物理，2006，25(8): 1-5,15[2] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press,1930[3] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, second edition, OxfordUniversity Press, 1935[4] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, fourth edition, OxfordUniversity Press, 1958[5] 关洪，《量子力学基础》，北京：高等教育出版社，1999[6] 关洪, 关于态叠加原理, 大学物理，1988，(10): 1-4[7] 关洪, 《量子力学的基本概念》, 北京：高等教育出版社, 1990，[8] 关洪，再谈态叠加原理，大学物理，2000，19(8): 21-24[9] Feynamn R P, Hibbs A R, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965, p.2；这里复述的原话是费曼1951年在一次会议上讲的。