人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

摘要：本文通过分析人在雨中奔跑的速度与淋雨量之间存在的关联，针对不同的降雨方向，将人简化为长方体模型，建立了奔跑速度与总淋雨量的优化模型。

针对问题一，假设雨水淋遍全身且不考虑雨的方向，通过简单的模型分析得到跑完全程的总淋雨量。

针对问题二，考虑雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向雨速和水平方向雨相对于人的速度，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数的单调性分析，得知总淋雨量最少时奔跑速度最大。

针对问题三，考虑雨从后面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向速度和水平方向上的相对速度，针对不同情况，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数单调性的分析讨论，得出了总淋雨量最少时的奔跑速度。

针对问题五，针对雨线方向与跑步方向不在同一平面内的情况，对雨速进行空间直角坐标分解，结合问题三，分析模型发生的变化。

关键词：跑步速度；总淋雨量；相对速度；单调性分析；矢量分解

一、问题重述

对于行人来说，下雨天最糟糕的情况莫过于出门在外雨伞没带。在这种情况下，人们习惯用快跑来摆脱困境。归根结底，“跑得越快淋雨就越少”的观点只是一种感性认识。因此，考虑通过建模来科学分析两者之间的关系。

对于下列四个问题，分别给出奔跑速度与淋雨量之间的定性分析。

问题1：在不考虑雨线方向的情况下，计算以最大速度跑完全程的淋雨量。

问题2：考虑雨从迎面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为α。建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。

问题3：考虑雨从背面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为β。建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。

问题5：考虑雨线方向与跑步不在同一铅直面上时，模型的变化。

二、问题分析

问题1，将人简化为长方体模型，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析人的淋雨面积共五个面分别为前面、背部、顶部、左侧面和右侧面。在雨速为常数且方向不变情况下，可以根据人的最大奔跑速度和路程来求出时间；若测得单位时间，单位面积的降雨量，可以求出总淋雨量。

问题2，雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为θ，雨速为常数且方向不变，可以将雨速正交分解为水平方向和竖直方向，由此分析可知淋雨部位为前面和顶部。另外，雨迎面打来，雨相对于人的速度会发生变化，查阅资料可以知道降雨强度与雨的空间密度以及雨速有关。故通过关系式表示出雨的相对速度后，可以进一步表示出降雨强度（单位时间段内的降雨量），时间则可以用路程与人的速度相比得出。将时间、淋雨面积、降雨强度与总淋雨量关系表示出来，即可建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而分析求解出总淋雨量最少时的奔跑速度。

问题3，雨从背面打来，雨线方向与跑步方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为α，同问题2一样进行分析，忽略次要因素，分析得知淋雨面积为背部和顶部。另外，由于雨线方向与问题2不同，以奔跑速度和雨速在水平方向上的分量大小分类讨论，时间仍由路程与奔跑速度之比表示，由此表示出时间、淋雨面积、降雨强度与淋雨量之间的关系，建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而讨论分析出总淋雨量最少时的奔跑速度。

问题5，若雨线方向与奔跑方向，不在同一平面内，可以建立空间直角坐标系，将雨速进行空间分解，分析可知淋雨部位，与问题3中的模型进行分析比较，可知模型变化。

三、模型假设

.1把人简化为一个长方体。

.2雨速对人的奔跑速度的影响忽略不计。

.3若长方体表面与雨速平行，假定不沾雨。

.4人的奔跑速度恒定。

.5降雨速度与强度不变。

.6风速始终不变。

四、符号表示

a 人体身高

b 人体宽度

c 人体厚度

d 跑步距离

m ax v 跑步最大速度

u 雨速

I 降雨强度 ω 降雨量 v 跑步速度

θ 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角 α 同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角 t 全过程所花费的时间 S 面积

Q 淋雨量

p 在一定时刻单位体积空间内雨滴所占的空间比例数

五、模型建立与求解

5．1 问题1的模型建立与求解 设长方体模型作为人的简化模型。 全身面积：

bc ac ab S ++=)(2

淋雨量：

[]

max

max

)(2v bc ac ab d v dS

Q ++=

=

ωω

5．2 问题2的模型建立与求解 图1为问题2的示意图。

迎面淋雨量：

v

v u abdp Q )

sin (1+=

θ

其中)sin (v u p I +=θ

顶部淋雨量：

v

bcdpu Q θ

cos 2=

其中θcos pu I =

淋雨量：

[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++=++=

+=a v c a u bdp v cu v u a bdp Q Q Q )cos sin (cos )sin (21θθθθ （1）

模型（1）连续变化，通过单调性分析，可知模型（1）是Q 关于v 的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。 5．3 问题3的模型建立与求解 图2为问题3的示意图。

背面淋雨量：

v

v

Q )

sin 3-=

α

其中)sin (v u p I -=α

顶部淋雨量：

v

bcdpu Q α

cos 2=

其中αcos pu I =

当v u ≥αsin 时 淋雨量：

u

α