人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系
摘要：本文通过分析人在雨中奔跑的速度与淋雨量之间存在的关联，针对不同的降雨方向，将人简化为长方体模型，建立了奔跑速度与总淋雨量的优化模型。

针对问题一，假设雨水淋遍全身且不考虑雨的方向，通过简单的模型分析得到跑完全程的总淋雨量。

针对问题二，考虑雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向雨速和水平方向雨相对于人的速度，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数的单调性分析，得知总淋雨量最少时奔跑速度最大。

针对问题三，考虑雨从后面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向速度和水平方向上的相对速度，针对不同情况，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数单调性的分析讨论，得出了总淋雨量最少时的奔跑速度。

针对问题五，针对雨线方向与跑步方向不在同一平面内的情况，对雨速进行空间直角坐标分解，结合问题三，分析模型发生的变化。

关键词：跑步速度；总淋雨量；相对速度；单调性分析；矢量分解
一、问题重述
对于行人来说，下雨天最糟糕的情况莫过于出门在外雨伞没带。

在这种情况下，人们习惯用快跑来摆脱困境。

归根结底，“跑得越快淋雨就越少”的观点只是一种感性认识。

因此，考虑通过建模来科学分析两者之间的关系。

对于下列四个问题，分别给出奔跑速度与淋雨量之间的定性分析。

问题1：在不考虑雨线方向的情况下，计算以最大速度跑完全程的淋雨量。

问题2：考虑雨从迎面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为α。

建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。

问题3：考虑雨从背面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为β。

建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。

问题5：考虑雨线方向与跑步不在同一铅直面上时，模型的变化。

二、问题分析
问题1，将人简化为长方体模型，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析人的淋雨面积共五个面分别为前面、背部、顶部、左侧面和右侧面。

在雨速为常数且方向不变情况下，可以根据人的最大奔跑速度和路程来求出时间；若测得单位时间，单位面积的降雨量，可以求出总淋雨量。

问题2，雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为θ，雨速为常数且方向不变，可以将雨速正交分解为水平方向和竖直方向，由此分析可知淋雨部位为前面和顶部。

另外，雨迎面打来，雨相对于人的速度会发生变化，查阅资料可以知道降雨强度与雨的空间密度以及雨速有关。

故通过关系式表示出雨的相对速度后，可以进一步表示出降雨强度（单位时间段内的降雨量），时间则可以用路程与人的速度相比得出。

将时间、淋雨面积、降雨强度与总淋雨量关系表示出来，即可建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而分析求解出总淋雨量最少时的奔跑速度。

问题3，雨从背面打来，雨线方向与跑步方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为α，同问题2一样进行分析，忽略次要因素，分析得知淋雨面积为背部和顶部。

另外，由于雨线方向与问题2不同，以奔跑速度和雨速在水平方向上的分量大小分类讨论，时间仍由路程与奔跑速度之比表示，由此表示出时间、淋雨面积、降雨强度与淋雨量之间的关系，建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而讨论分析出总淋雨量最少时的奔跑速度。

问题5，若雨线方向与奔跑方向，不在同一平面内，可以建立空间直角坐标系，将雨速进行空间分解，分析可知淋雨部位，与问题3中的模型进行分析比较，可知模型变化。

三、模型假设
.1把人简化为一个长方体。

.2雨速对人的奔跑速度的影响忽略不计。

.3若长方体表面与雨速平行，假定不沾雨。

.4人的奔跑速度恒定。

.5降雨速度与强度不变。

.6风速始终不变。

四、符号表示
a 人体身高
b 人体宽度
c 人体厚度
d 跑步距离
m ax v 跑步最大速度
u 雨速
I 降雨强度 ω 降雨量 v 跑步速度
θ 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角 α 同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角 t 全过程所花费的时间 S 面积
Q 淋雨量
p 在一定时刻单位体积空间内雨滴所占的空间比例数
五、模型建立与求解
5．1 问题1的模型建立与求解 设长方体模型作为人的简化模型。

全身面积：
bc ac ab S ++=)(2
淋雨量：
[]
max
max
)(2v bc ac ab d v dS
Q ++=
=
ωω
5．2 问题2的模型建立与求解 图1为问题2的示意图。

迎面淋雨量：
v
v u abdp Q )
sin (1+=
θ
其中)sin (v u p I +=θ
顶部淋雨量：
v
bcdpu Q θ
cos 2=
其中θcos pu I =
淋雨量：
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=++=
+=a v c a u bdp v cu v u a bdp Q Q Q )cos sin (cos )sin (21θθθθ （1）
模型（1）连续变化，通过单调性分析，可知模型（1）是Q 关于v 的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。

5．3 问题3的模型建立与求解 图2为问题3的示意图。

背面淋雨量：
v
v
Q )
sin 3-=
α
其中)sin (v u p I -=α
顶部淋雨量：
v
bcdpu Q α
cos 2=
其中αcos pu I =
当v u ≥αsin 时 淋雨量：
u
α
[]
v v u a cu bdp Q Q Q )sin (cos 32-+=
+=αα （2）
模型（2）连续变化，通过单调性分析，模型（2）是Q 关于v 的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。

当v u ≤αsin 时 背面淋雨量：
v u v abdp Q )sin (`
3α-=
顶部淋雨量：
v bcdpu Q αcos `
2=
淋雨量：
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=-+=
+=a v a c u bdp v u v a cu bdp Q Q Q )sin cos ()sin (cos `
3`2αααα （3）
当0sin cos >-ααa c 时，人奔跑的速度越大，总淋雨量越小。

人的奔跑速度最
大时，总淋雨量最少。

当0sin cos <-ααa c 时，人奔跑的速度越小，总淋雨量越小。

αsin u v =时，总淋雨量最少。

5．4 问题5的模型建立与求解 图3为问题5的示意图。

如图3所示，建立空间直角坐标系，将与跑步速度方向不在同一平面内的雨速分解，分析雨速u 在z y x ,,
轴上的分量，可知淋雨部位包括侧面，背面和顶部，
与模型)2(、)3(相比，多考虑了侧面，由此可知，若雨线方向与奔跑方向不在同一平面内，要多考虑侧面，另外雨相对于人的速度会发生变化，需要分类讨论，但问题的性质没有变。

六、模型结果的分析与检验
在不考虑雨的方向的情况下，奔跑速度越快，总淋雨量越小。

当雨从迎面打来时，奔跑速度越快，总淋雨量越小。

当雨从背面打来时，奔跑速度与总淋雨量的关系与参量的大小有关。

由以上结果可知，并不是奔跑速度越大淋雨量越小，淋雨量的大小与奔跑速度以及雨下落的方向有关。

查阅资料可以得到参数具体数值的一组数据如下：
4
1001039.142.05.07.16π
θ=
=⨯=====-m d p s
m u m c m b m a 通过MATLAB 进行简单数值运算和函数单调性分析，得到当
s m u v 828.2sin ==θ时，总淋雨量最小值为L 13.0，经检验符合实际情况。

七、模型评价与推广
优点：
.1模型结果的分析较易实现，不涉及复杂的编程运算。

.2模型简单易懂，便于计算和操作，实用性强。

缺点：
.1为了简化模型，忽略了一些影响因素。

.2降雨强度的测定会有误差。

该模型可以推广应用于估算总淋雨量(可以根据降雨强度等级划分标准找出降雨强度的估测值代入模型中)，还可应用于确定火车、汽车、公交车等交通工具在雨中行驶的速度，以减少淋雨对车身的破坏。

该模型没有考虑人的奔跑速度是变化的情况，在改进模型的过程中可以假设雨速会适当延缓人的奔跑速度，奔跑速度为雨速和时间的函数，结合原模型的推导过程，得到改进后的模型。

参考文献
[]1姜启源, 数学模型（第三版）[M], 北京：高等教育出版社，1999。