2012中考数学压轴题及答案40例(3)

2012中考数学压轴题及答案40例（3）

9.已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；

（2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

注：抛物线c bx ax y ++=2

（a ≠0）的顶点坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--a

b a

c ，a b 4422

，对称轴公式为a

b

x 2-=

解: （1）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H

∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ∴OB ＝4，OA ＝32

由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32 ∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3 ∴C 点坐标为（3，3）

（2）∵抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C （3，3）、A （32，0）两点

∴()

()

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b

a b a 323203332

2

解得：⎩⎨⎧=-=321b a

∴此抛物线的解析式为：x x y 322+-=

（3）

存在。因为x x y 322+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C

MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t ∴P （3t ，t ）

作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E

把t x ⋅=3代入x x y 322+-=得：t t y 632+-=

∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632+-） 同理：Q （3，t ），D （3，1） 要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD 即()

16332-=+--t t t ，解得：3

4

1=t ，12=t （舍） ∴ P 点坐标为（

33

4

，34）

∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（

33

4

，34）

10.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A

点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中

C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ， 使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x = ∴A （-1，0）B （3，0）；

将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --

∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =

时，PE 的最大值=94

（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(47),(47)F F F F -+-

11.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x

轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =． （1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-

= （2）(30)A -， (54)B ， (04)

C ， 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

215

466

y x x ∴=-++

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．

过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，5

2

BM =

① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．

222228480AB AQ BQ ∴=+=+=

在1Rt ANP △中，22

22211199

80(5.5)2

PN AP AN AB AN =-=

-=-= 1519922P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭

， ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，22222225295

8042

MP BP BM AB BM =

-=-=-

= 25829522P ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭

，

③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．

过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3

Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312

P K BQ CK AQ ∴

==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK =

3(2.51)P ∴-，