固体物理第章固体电子论 参考答案

第四章 固体电子论 参考答案

1. 导出二维自由电子气的能态密度。 解：

二维情形，自由电子的能量是：

2πL x x k n =，

2πL y y k n =

在/k =h 到d k k +区间： 那么：2d ()d Z Sg E E =

其中：22()πm g E =h

2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：

解：由前一题已经求得能态密度：

电子气体的化学势μ由下式决定： ()()2

22E-/E-/001d ()d πe 1e 1B B k T k T L m E N g E L E μμ∞∞==++⎰⎰h 令()/B E k T x μ-≡，并注意到：2s N n L

=

那么可以求出μ：

证毕。

3. He 3是费米子，液体He 3

在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。计算它的费米能E F 和费米温度T F 。

解：He 3的数密度：

其中m 是单个He 3粒子的质量。 可得：

代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16 erg = 4.3x 10-4

eV.

则：F F E T k =＝4.97 K.

4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？

解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如

果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包

含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自

由电子数为

在T=0K 时，费米能量为

代如相关数据得

2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()F erg s cm E g erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈ 在≠T 0K 时，费米能量

所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为

代如相关数据得

可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。

5. 已知锂的密度为30.534/g cm ，德拜温度为

370K ，试求

（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热；

（2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？

解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热 2

'0()2B V B F k T C k E π= （1） 式中0F

E 为绝对零度下的费米能： 202/33()28

F h n E m π= （2）

锂的密度30.534/g cm ，原子量6.94，每立方厘

米锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物质

中包含 6.022x 1023个原子，每个锂贡献一个电

子，则每立方厘米中的电子数

已知

将数据代入（2）得

在室温（300K ）下，0.026B k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热

代入相关数据得

（2）电子比热只在低温下才是重要的。在低温下，由德拜理论知道，晶格比热

依题设，'''V V

C C = 把（1）式代入，即得 代入相关数据得

T=4.42（K ）

6. 已知长为L 的一维方阱中有N 个电子，电子的能级为 22

28n n h E mL =.

证明，T=0K 时电子的平均能量

式中0F E 为绝对零度下的费米能。

解：

电子在能级上的填充要受泡利原理的限制。从n=1的基态起，每个能级只能填充自旋相反的2个电子，N 个电子将填满N/2个能级。这个最后填充的能级是绝对零度下的费米能级，因此，

222/032⎪⎭⎫ ⎝⎛==L N m h E E N F （1）

电子的平均能量总等于总能量除以电子数。n E 写成

则平均能量

因N//2远大于1，我们可以用一积分代替上面的求和，并将（1）代入，即得