向量数量积的概念

第八章 向量的数量积与三角恒等变换

8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念

【课程标准】 了解向量数量积的概念，了解与数量积有关的投影，夹角，模的几何意义并能进行简单运算。 【核心素养】 逻辑推理，数学运算。 【导学流程】 一、基础感知

1.两个向量的夹角

给定两个非零向量,a b ，在平面内任选一点O ，作,OA a OB b ==，则称[0,]π内的AOB ∠为向量a 与向量b 的 ，记作

。如图8－1－2，向量a

与b 的夹角为4

π

，即,a b <>= ；向量a 与c 的夹角为2

π

，则,a c <>=

；向量a 与d 的夹角为

，即,a d <>=

；向量a 与e 的

夹角为

，即,a e <>=

.

练一练：已知等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，求：

,,,,,,,AB AC BC AC BC CA DA BC <><><><>.

根据向量夹角的定义可知： ,a b ≤<>≤ . ,a b <>=

.

当,2

a b π

<>=

时，称向量a 与向量b ，记作

.

规定：零向量与任意向量垂直.

2.向量数量积的定义

一般地，当a 与b 都是非零向量时，称||||cos ,a b a b <>为向量a 与b 的

.（也称为

），记作

，即

.由定义可

知，两个非零向量a 与b 的数量积是一个

.

两个非零向量的数量积即可以是

，也可以是

，还可以是

.

向量的数量积有如下性质： （1） （2）

当a 与b 至少有一个是零向量时，称它们的数量积为

，即

.

a 与

b 垂直的充要条件是

，即

.

练一练：（1）已知5,4,,120a b a b ===︒，求a b ⋅； （2）已知3,2,3a b a b ==⋅=，求,a b <>.

由（2）可看出，如果,a b 都是非零向量，则cos ,a b <>=

.

3.向量的投影与向量数量积的几何意义.

如图8－1－4所示，设非零向量AB a =，过,A B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为,A B ''，则称向量A B ''为向量a 在直线l 上的

或

.给

定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的

.如图8－1－5中，向量a 在b 上的投影为

.

如图8－1－6（1）（2）（3）所示， 当,2

a b π<时，A B ''的方向与b 方向相同，而且A B ''＝ .

当,2

a b π=时，A B ''为

，即

.

当,2

a b π>

时，A B ''的方向与b 方向相反，而且A B ''＝ .

一般地，如果,a b 都是非零向量，则称cos ,a a b <>为向量a 在向量b 上的

.

因为()cos ,cos ,a b a b a b a a b b ⋅==，所以两个非零向量,a b 的数量

积a b ⋅，等于

.

当e 为单位向量时，a e ⋅＝

.

练一练：如图8－1－7，求出以下向量的数量积.

（1）b a ⋅ （2）c a ⋅ （3）d a ⋅

二、当堂检测

1.根据以下条件，分别求a b ⋅.

（1）||8,||4,,60a b a b ==<>=︒；（2）||7,||12,,120a b a b ==<>=︒； （3）||4,||2,,2

a b a b π

==<>=

；（4）||4,||1,,0a b a b ==<>=.

2. 根据以下条件，分别求a b <⋅>.

（1）510a b a b ⋅=⋅=； （2）816a b a b ⋅=-⋅=； （3）255a b a b ⋅=-⋅==； （4）6326a b a b ⋅=⋅=⋅= 3.如图，已知,,OA OB OC 的模均为５，且60AOB BOC ∠=∠=︒，求

,OA OB OA OC ⋅⋅.

4.已知5a =，b 在a 上的投影的数量为6，而c 在a 上的投影的数量为8-，求

,b a c a ⋅⋅.

5.已知3,5a b =-=，且,45a b <>=︒，求a 在b 上的投影的数量.

限时训练（限时45分钟）

1.若|a|=2,|b|=,a 与b 的夹角为60°,则b a •=( )

A.2

B.

C.1

D.

2.在Rt △ABC 中,C=90°,AC=4,则·=( )

A.-12

B.12

C.-16

D.16

3.已知向量⊥,||=3,则·=( )

A.9

B.8

C.7

D.10

4.若b a •<0,则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A.0°≤θ<90°

B.90°≤θ<180°

C.90°<θ≤180°

D.90°<θ<180°

5.在△ABC 中,=a,=b,且b a •>0,则△ABC 是( )

A.锐角三角形 B .直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

6.已知向量a ，b ,若a 在b 上的投影的数量为b =2,则b a •= .

7.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，求,AB AC AB CA ⋅⋅.

8.判断下列命题的真假.

（1）若向量,a b 共线，则a b a b ⋅=； （2）若向量,a b 满足0a b ⋅=，则0a =或0b =.