长沙市长郡中学2019-2020学年高三第一次教学质量检测理科数学

长沙市长郡中学2019-2020学年高三第一次教学质量检测

数学试题（理科）

（考试时间：120分钟 满分：150分）

注意事项

1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．

第I 卷（满分60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的． 1.设θ∈R ，则“ππ

||1212θ-

<

”是“1sin 2

θ<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设函数()31,1

,2,1

x

x x f x x -<⎧=⎨

≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）

A.2

,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B.[]0,1

C.2,3

⎡⎫

+∞⎪⎢

⎣⎭

D.[)1,+∞ 3.若2x =-是函数21

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则

()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 4.若tan 2tan 5

πα=，则

3cos()

10sin()

5

παπ

α-

=-（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5.在ABC △中，π4

B =，B

C 边上的高等于13

BC ,则cos A =（ ）

C.-

D.-

6.已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos=13

.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）

A.4

B.–4

C.9

4

D.–94

7.设变量,x y 满足约束条件20,

220,

0,3,

x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨

≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ） A.23 B.1 C.32

D3 8.已知为坐标原点，

是椭圆：

的左焦点，

分别为的左，右顶点.为上一点，且

轴.过点的直线与线段

交

于点

，与轴交于

点.若直线经过

的中点，则的离心率为（ ）

A.

B. C.

D.

9.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1

与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10 10.已知当

时，函数

的图象与

的图象有且只有一个交点，

则正实数的取值范围是（ ） A. B. C.

D.

11.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中

心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为（ ）

A ．16

B ．

C ．12

D ．10 12.

设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成

等比数列，则1a 的值为（ ）

A ．16

B ．14

C ．1

2

D ．10

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡上的相应位置．

13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 .

14．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .

15．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭

圆22

1123

x y +=有公共焦点，则C 的方程为 . 16．设函数33,()2,x x x a

f x x x a

⎧-≤=⎨->⎩.

①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）设函数

，其中

.已知

.

（Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数

的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

再将得到的图象向左平移个单位，得到函数

的图象，求

在

上