长沙市长郡中学2019-2020学年高三第一次教学质量检测理科数学
湖南省长郡中学2019届高三月考试卷(一)理科数学
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示学。
科。
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网...由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(含答案)
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数学 !理科"试题 !长郡版" 第"!页 !共"页"
长郡中学#$"%届高考模拟卷!一"
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!!请考生在###'两题中任选一题作答!注意只能做所选定的题目!如果多做则按所 做第一个题目计分! ##!本小题满分!$分选修(*(坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点> 为极点$# 轴的正半轴为极轴建立极坐标系$已知点 5 的
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!#"在!!"的条件下$文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. !"得分不低于 的可以获赠#次随机话费$得分低于 的可以获赠!次随机话 费0
2020年湖南省长郡中学高三第1次月考 理科数学(含答案)
!二"选考题#共!$分!请考生在##%#)题中任选一题作答&如果多做&则按所 做的第一题计分!
##!!本小题满分!$分"选修*(*#坐标系与参数方程 在平面直角 坐 标 系 #-& 中&曲 线 +! 的 参 数 方 程 为23#'#0槡#)=!=为 参 4&'!0! #= 数"!以坐标原点为极点&# 轴正半轴为极轴建立极坐标系&曲线+# 的极 坐标方程为'*647! !!"求曲线+! 的普通方程和+# 的直角坐标方程!#"已知点"!#&!"&曲线+! 与+# 的交点为.%1&求 ". 0 "1 的值!
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随机装入一张卡片&集齐)种卡片可获奖&现购买该种食品%袋&能获奖 的概率为!!!!! !&!已知" 为双曲线+#'###(&*##'!!'-$&*-$"右支上一点&直线5是双曲线 + 的一条渐近线&" 在5 上的射影为$&,! 是双曲线的左焦点&若#",!# 0#"$#的最小值为)'&则双曲线+ 的离心率为!!!!! 三%解答题#本大题共<$分!解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤!第 !<#!题为必考题&每个试题考生都必须作答!第##%#)题为选考题&考 生根据要求作答! !一"必考题#共&$分! (!<!!本小题满分!#分"
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题含详解
2019年4月长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
【精品解析】湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题(附解析)
长郡中学2019届第一次适应性考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含答案
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数121iz i i+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x=<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ）A ．{}2,4B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,x x n n N =∈3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ） A ．12 B ．12- C. 22 D ．325.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3 C.2 D ．36.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：x （单位：℃）17 14 10 1- y （单位：千瓦·时） 24 343864由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A ．56千瓦·时B ．62千瓦·时 C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．5003π B ．23 C.1253π D ．12523 8.知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为（ ）A ．12-B ．312D 39.设,a b R ∈，则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112 B ．114 C. 115 D ．11811.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）A ．3(,)2+∞B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2D ．3(,2)212.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．213,3e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,e ⎡⎤+∞⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则y z x =的最大值为 ．14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
2019届湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届长郡中学高三下学期一模考试
数学（理）试卷
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得：，
所以复数可化为，
所以复数在复面上对应的点的坐标为.
故选：D
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A,B ，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.
所以集合.
由得：.
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2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷及解析(理科)〔精品解析版〕
13．（5 分）在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 CD 的中点，记 ＝ ，
＝ ，用 ， 表示 ，则 ＝
．
14．（5 分）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五 观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太 极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称 为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式 组
D．xy＝2
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6．（5 分）已知命题 p：数列{an}的通项公式为
（a，b，c 为实数，n∈N*），
且 a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列；命题 q：数列{bn}的通项公式为 bn＝ aqn﹣1（q＞1，n∈N*）时，数列{bn}为递增数列．若 p∨q 为真，则实数 a 的取值范围为 （）
A．
B．
10．（5 分）已知双曲线
C．4
D．2
的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物
线
与双曲线 C 交于纵坐标为 1 的点 M，直线 F1M 与抛物线的准线交于 N，若
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
第 2 页（共 28 页）
C．
D．
11．（5 分）某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出 发的运动轨迹如图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ＝∠AOP，练车 时间为 t，则函数 θ＝f（t）的图象大致为（ ）
个人所得税税
率表（调整后）
级数
免征额 3500 元 全月应纳税所得额
湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题 (附答案)
长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE的内切圆内部的概率为A.(5032249π- B.449πC.(2532249π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为3214- 3722+3214+5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,xy 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a a n b nc =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k k a a a k +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}nb 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为 A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()()22,213,24x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t a n0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.B. 23C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为 A.22145x y -= B.221169x y -= C. 22154x y -= D.221916x y -=11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()222222401111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n 项和为_________.三、解答题(共70分。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(A B = )A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]22．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．153．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( )A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．25．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．216．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．210．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．911．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．212．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( )A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数． 类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 ．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = ． 二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯．（1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(AB =)A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]2【解答】解：{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，33{|(32)1}{}22e B x ln x x -=-<=<<，3{|1}[12AB x x ∴=<=…，3)2．故选：B ．2．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．15【解答】解：由(2)1811z i i -=+， 得1811(1811)(2)582(2)(2)i i i z i i i i +++===+--+， ∴4512z i i -=-，则|4|13z i -=． 故选：C ．3．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( ) A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成是首项为103，公差为13的等差数列，则10313(1)1390a n n =+-=+，记其前n 天路程和为1S ，则113(1)1032n n S n -=+； 驽马走的路程可以看成是首相为97，公差为0.5-的等差数列，则97.50.5b n =-，记其前n 天路程和为2S ，20.5(1)972n n S n -=-， 所以1225200(1)4S S S n n n =+=+-． 由题输出时9n =，所以当8n =时，1950S m =<；9n =时，2250S m =…． 所以19502250m <…． 故选：C ．4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．2【解答】解：当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1． f ∴（6）f =（1），当11x -剟时，()()f x f x -=-， f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-， (1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=， f ∴（6）2=．故选：D ．5．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．21【解答】解261116203a a a a a ---+=， 22061611()()3a a a a a ∴+-+-=， 113a ∴=-， 21112163S a ∴==-，故选：C ．6．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立， 例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，⋯，此时2(1)10+-=>，111()0244+-=>； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件， 故选：C ．7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【解答】解：若命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则“[1x ∀∈，2]，212x ax +>，即2111()22x a x x x+<=+恒成立，11()12x x x x+=， 1a ∴<，即实数a 的取值范围是(,1)-∞，故选：C ．8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称【解答】解：将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数2()cos(2)sin 236y g x x x ππ==+-=-的图象， 故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确； 当12x π=时，1sin62y π=-=-，故C 错误；当3x π=时，2sin3y π=-=D 错误， 故选：B ．9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．2【解答】解：由约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……作可行域如图，联立10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：(2,1)A ．化目标函数为直线方程得：(0)a zy x b b b=-+>．由图可知，当直线a zy x b b =-+过A 点时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小．2a b ∴+=即20a b +-=．则22a b +的最小值为24=．故选：B ．10．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：由(2)(2)f x f x -=+得，()(4)f x f x =+，()f x ∴的周期为4， (0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，(0)0f =，当20x -<<时，2()(1)f x ln x x =-++， ∴当22x -<<时，22(1),02()(1),20ln x x x f x ln x x x ⎧-+<<=⎨-++-<⎩…， 当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±， 由于()f x 的周期为4，∴当[0x ∈，8]时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8共7个．故选：C ．11．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．2【解答】解：由2430b e b -+=，得()(3)0b e b e --=，()(3)b e b e ∴-⊥-， 如图，不妨设(1,0)e =，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线(0)y x =>上．不妨以y =为例，则||a b -的最小值是(2,0)0y -=的距离减1．11-=．故选：A ．12．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( ) A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +【解答】解：2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()0f x ∴>恒成立；()[()]f x g f x e m ∴==，()f x lnm ∴=； 作函数()f x ，y lnm =的图象如下，结合图象可知，存在实数(01)m m <…，使122x x e m ==故1212x x m lnm -=-，令1()2g m m lnm =-，则1()12g m m'=-，故()g m 在(0，1]2递减，在1(2，1)递增，111()()2222g m g ln ∴=+…，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = 2【解答】解：||||cos120||a b a b b =︒=-，||2a =，|2|27a b -=，∴2222(2)4444||4||28a b a a b b b b -=-+=++=，解得||2b =或||3b =-（舍去）． 故答案为：2．14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 6 【解答】解：正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得21121116m n m n a a a q q a --==，2216m nm n q qq++-∴==，即422m n q q +=．且7652a a a =+，6541112a q a q a q ∴=+，即 22q q =+，∴正整数2q =，6m n +=． ∴12512512526125261()(125)()106666666m n m n m n m n m n n m n m ++=+=+++=+++=…， 当且仅当25m nn m=时，等号成立，故125m n+的最小值为6， 故答案为：6．15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数．类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 1(,)e+∞ ．【解答】解：设()()g x lnf x xlnx ==， 则()1g x lnx '=+， 令()0g x '>， 则1x e>，即()g x 在1(,)e +∞上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则， (0)x y x x =>的单调增区间为1(,)e +∞，故答案为：1(,)e+∞．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = 3 ． 【解答】解：ABC ∆中，1sin cos()sin 2B BC C =+，∴1cos()2b B C c =+，即cos 02bA c=-<， A ∴为钝角，cos cos 0A C ∴≠；由sin sin()sin cos cos sin 2cos sin B A C A C A C A C =+=+=-， 可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 133tan tan A C CB AC A C tan CC C+∴=-+=-===-++…，当且仅当tan C =时取等号；B ∴取得最大值时，1c b ==，6C B π==． 23A π∴=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：a =，三角形的周长为3a b c b b ++=++=．解得：b =，可得：3a =．故答案为：3．二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】（本小题满分14分）解：（1）由()f x a b =及(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，可得2()s i n s i n c o s f x x x x =+⋯（2分） 1cos21sin 222x x -=+ ⋯（3分）1)242x π=-+ ⋯（4分） 令2242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（5分） 所以，()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（6分） （2）[6x π∈，]3π，∴5212412x πππ-剟．⋯（7分） 又sin y x =在[0,]2π上是增函数，5sinsin(2)sin12412x πππ∴-剟．⋯（8分） 又5222sin sin()sin cos cos sin 12343434πππππππ=-=-12==，⋯（9分）()f x ∴在[6x π∈，]3π，时的最大值是1()2max f x =+=．⋯（11分）不等式()2f x m -<恒成立，即()2f x m -<恒成立，⋯（12分）∴2m -<，即m >所以，实数m 的取值范围是)+∞．⋯（14分） 18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=． 则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-∠， 则：2214(4)2(4)2x x x x =+---， 整理得：2312120x x -+=， 解得：2x = 故：2AC =．（Ⅱ）由于2AC =，4AP AC +=， 所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形．由于：APB ∆的面积是则：1sin 2AP BP BPA ∠= 解得：4BP =． 在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-∠，解得：AB = 在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：4sin BAP =∠解得：sin BAP ∠=19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）定义域为R 的函数()f x 是奇函数， (0)0f ∴=，当0x <时，0x ->， ()23x xf x ---=-， 又函数()f x 是奇函数， ()()f x f x ∴-=-，∴()23x xf x -=+， 综上所述2(0)3()0(0)2(0)3x x x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩．（2）5(1)(0)03f f =-<=，且()f x 在R 上单调， ()f x ∴在R 上单调递减，由22(2)(2)0f t t f t k -+-<， 得22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，22(2)(2)f t t f k t ∴-<-， 又()f x 是减函数，2222t t k t ∴->-即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴△4120k =+<得13k <-即为所求．20．（12分）（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯． （1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）112133n n a a +=+，∴1111133n n a a +-=-，（2分）1110a -≠，∴*110()nn N a -≠∈，（3分） ∴11211()33n n a --=⨯， ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．（4分）（2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．（5分） 1212111111111332()211333313n n n n n S n n n a a a +-=+++=++++=+=+--，（7分）若100n S <，则111003nn +-<，99max n ∴=．（9分） （3）假设存在，则2m n s +=，2(1)(1)(1)m n s a a a --=-，（10分）332n n na =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m sn m s --=-+++．（12分） 化简得：3323m n s +=，（13分）233323s m n m n +=+…，当且仅当m n =时等号成立．（15分）又m ，n ，s 互不相等，∴不存在．（16分）21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．【解答】解：（1）由题可知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()x x af x x +-'=， 因为函数()f x 在区间[1，)+∞上为增函数， 所以()0f x '…在区间[1，)+∞上恒成立， 等价于2()min a x x +…，即2a …，所以a 的取值范围是(-∞，2]．（4分） （2）由题得，2()g x xlnx ax a x =-+-， 则()2g x lnx ax '=-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ， 所以112lnx ax =，222lnx ax =，欲证2312x x e >等价于证2312()3ln x x lne >=， 即1223lnx lnx +>， 所以12322ax ax +>， 因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+，由112lnx ax =，222lnx ax =，可得22112()x ln a x x x =-，则21212()x lnx a x x =-，由可知，原不等式等价于21211232x lnx x x x x >-+， 即22211211213(1)3()221x x x x x ln x x x x x -->=++， 设21x t x =，则1t >，则上式等价于3(1)(1)12t lnt t t->>+，令3(1)()(1)12t h t lnt t t -=->+， 则2(1)(41)()(12)t t h t t t --'=+，因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以当1t >时，()h t h >（1）0+，即3(1)12t lnt t->+， 所以原不等式成立，即2312x x e >．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值． 【解答】解：()I 曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．消去参数t 可得普通方程：4320x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=，可得22cos sin ρθρθ=，可得直角坐标方程：2x y =． ()II 点P的极坐标为)4π-，可得直角坐标(2,2)P -．直线1C 的参数方程化为标准方程：325(425x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）． 代入方程：2x y =．可得：29801500t t -+=， 12809t t ∴+=，121509t t =． ∴12121280111189150||||||||159t t PA PB t t t t ++=+===．。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已如集合P={x|x2−2x−3≥0}，Q={x|1<x<4}，则P∩Q=()A.(−1, 3)B.[3, 4)C.(−∞, −3)∪[4, +∞)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)【答案】B【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】根据不等式的性质求出集合P的等价条件，结合交集定义进行计算即可．【解答】解：P={x|x2−2x−3≥0}={x|x≥3或x≤−1}，∵Q={x|1<x<4}，∴P∩Q={x|3≤x<4}，故选B.2. 设复数z满足|z−i|+|z+i|＝4，z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.x24−y23=1 B.x24+y23=1 C.y24−x23=1 D.y24+x23=1【答案】D【考点】轨迹方程【解析】设复数z对应的点为Z，由|z−i|+|z+i|＝4，知点Z到点A(0, 1)、点B(0, −1)的距离和大于|AB|，由此可得结论，求出方程即可．【解答】设复数z对应的点为Z，则|z−i|表示点Z到点A(0, 1)的距离，|z+i|表示点Z到点B(0, −1)的距离，又|AB|＝2，由|z−i|+|z+i|＝4，知点Z到点A、B的距离和大于|AB|，z的关键为椭圆，所以a＝2，c＝1，则b=√3，椭圆的焦点坐标就是AB，故z在复平面内对应的点的轨迹是：y 24+x23=1．3. 若0<x<y<1，0<a<1，则下列不等式正确的是（）A.log a x2<log a y3B.cos ax<cos ayC.a x<a yD.x a<y a【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】A ．由0<x <y <1，0<a <1，√x <√y <√y 3，即可判断出log a √x 与log a √y 3大小关系．B ．由0<x <y <1，0<a <1，可得0<ax <ay <1，即可得出cos (ax)与cos (ay)大小关系．C ．由0<x <y <1，0<a <1，利用指数函数的单调性即可判断出结论．D ．∵ 0<x <y <1，0<a <1，根据幂函数f(x)＝x a 的单调性即可得出大小关系． 【解答】A ．∵ 0<x <y <1，0<a <1，√x <√y <√y 3，因此log a √x >log a √y 3，因此不正确；B ．∵ 0<x <y <1，0<a <1，∴ 0<ax <ay <1，∴ cos (ax)>cos (ay)，因此不正确；C ．∵ 0<x <y <1，0<a <1，∴ a x >a y ，因此不正确；D ．∵ 0<x <y <1，0<a <1，根据幂函数f(x)＝x a 的单调性，可得x a <y a ．4. A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为√2:1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈√2，那么A4纸的长度为（ ） A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米 【答案】 C【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】由已知可得A 4纸的长为(√2)4，计算得答案．【解答】由题意，A 0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米， 则A 1纸的长为√2，A 2纸的长为118.9√2√2=(√2)2，A 3纸的长为(√2)2√2=(√2)3，A 4纸的长为(√2)3√2=(√2)4=29.7（厘米）．5. 函数f(x)＝x|x|−sin 2x 的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】 B【考点】函数的图象变化 函数的图象 【解析】先判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用当x ＝π时，f(x)的符号是否对应，利用排除法进行求解即可． 【解答】f(−x)＝−x|x|+sin 2x ＝−(x|x|−sin 2x)＝−f(x)， 则f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D 当x ＝π时，f(π)＝π2−sin 2π＝π2>0，排除A ，6. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角二角形的较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1∼15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ） A.1910 B.3910C.3455D.4455【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n =C 153，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率． 【解答】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n =C 153，其中，勾股数为：(3, 4, 5)，(6, 8, 10)，(9, 12, 15)，(5, 12, 13)，共4个， ∴ 这三个数为勾股数的概率为： p =4C 153=4455．7. 已知向量a →，b →满足|a →|=2,|b →|=√2，且a →⊥(a →+2b →)，则b →在a →方向上的投影为（ ） A.1 B.−√2 C.√2 D.−1【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的垂直关系，推出a →⋅b →，然后求解b →在a →方向上的投影．【解答】向量a →，b →满足|a →|=2,|b →|=√2，且a →⊥(a →+2b →)， 可得a →2+2a →⋅b →=0， 可得a →⋅b →=−2， 则b →在a →方向上的投影为：a →⋅b →|a →|=−1．8. 已知函数f(x)=sin (x +π6)−m ，x ∈[0,7π3]有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1+2x 2+x 3的值为（ ） A.10π3B.4πC.11π3D.不能确定【答案】 A【考点】三角函数的最值 正弦函数的图象 【解析】令f(x)=sin (x +π6)−m =0，则sin (x +π6)=m ，由条件知函数y =sin (x +π6)与函数y ＝m 在[0,7π3]上有三个交点，然后根据函数的图象的对称性可得结果．【解答】令f(x)=sin (x +π6)−m =0，则sin (x +π6)=m ，∵ 函数y =sin (x +π6)的对称轴为x =π3+kπ，k ∈Z ，s∴ 当x ∈[0,7π3]时，x =π3或x =4π3．∵ 函数f(x)=sin (x +π6)−m ，x ∈[0,7π3]有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，∴ 函数y =sin (x +π6)与函数y ＝m 在[0,7π3]上有三个交点，∴ 由函数y =sin (x +π6)与函数y ＝m 在[0,7π3]上的图象知当y =sin (x +π6)与函数y ＝m 在[0,7π3]上有三个交点时，x 1+x 22=π3，x 2+x 32=4π3， ∴ x 1+2x 2+x 3=2π3+8π3=10π3．9. 若a ≠b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 x 2−x 1y 2−y 1=( )A.23B.34C.1D.43【答案】 D【考点】等差数列的性质 【解析】根据等差数列的性质可分别求x 2−x 1=13(b −a)，y 2−y 1=14(b −a)，即可求比值． 【解答】∵ a 、x 1、x 2、b 成等差数列 ∴ x 2−x 1=13(b −a)∵ a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列， ∴ y 2−y 1=14(b −a) ∴ x 2−x 1y 2−y 1=43．10. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且AF 1→⋅AF 2→=0，直线AF 2交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝6|OM|，则△OMF 2与△AF 1F 2的面积之比为（ ） A.481 B.427C.25144D.518【答案】 D【考点】 椭圆的离心率 【解析】由题意画出图形，且得到tan ∠MF 2O =13，再由AF 1→⋅AF 2→=0，利用三角形相似可得|AF 1||AF 2|=13，设|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝3x ，得2a ＝3x +x ＝4x ，又4c 2＝(3x)2+x 2＝10x 2，联立求得ca 的值，进一步得到△OMF 2与△AF 1F 2的面积之比． 【解答】由|F 1F 2|＝2c ＝6|OM|，得|OM|=c3，故tan ∠MF 2O =13，由AF 1→⋅AF 2→=0，得∠F 1AF 2＝90∘，故|AF 1||AF 2|=13，设|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝3x ，∴ 2a ＝3x +x ＝4x ， 又4c 2＝(3x)2+x 2＝10x 2，∴ e =ca =√104． ∴ S △OMF 2S △AF 1F 2=4c 29a 2=518．11. 已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，且当x ∈(0, 4]时，f(x)=ln 2x x，关于x的不等式f 2(x)+af(x)>0在[−200, 200]上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−ln 2,−13ln 6)B.(−ln 2,−13ln 6]C.(−13ln 6,−3ln 24) D.(−13ln 6,−3ln 24]【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)， ∴ f(x +4)=f(4−x)=f(x −4)，∴ f(x)的周期为8，且f(x)的图象关于直线x =4对称． 由于f(x)在[−200, 200]上含有50个周期， 且f(x)在每个周期内都是轴对称图形，∴ 关于x 的不等式f 2(x)+af(x)>0在(0, 4]上有3个正整数解． 又当x ∈(0, 4]时，f′(x)=1−ln 2x x 2，∴ f(x)在(0, e2)上单调递增，在[e2,4]上单调递减．∵ f(1)=ln 2，f(2)>f(3)>f(4)=ln 84=34ln 2>0，∴ 当x =k(k =1, 2, 3, 4)时，f(x)>0，∴ 当a ≥0时，f 2(x)+af(x)>0在(0, 4]上有4个整数解，不符合题意， ∴ a <0，由f 2(x)+af(x)>0可得f(x)<0或f(x)>−a ， 显然f(x)<0在(0, 4]上无正整数解，故而f(x)>−a 在(0, 4]上有3个整数解，分别为1，2，3， ∴ −a ≥f(4)=34ln 2，−a <f(3)=ln 63，−a <f(1)=ln 2，∴ −ln 63<a ≤−34ln 2．故选D .12. 已知SC 是球O 的直径，A ，B 是球O 球面上的两点，且CA =CB =1,AB =√3，若三棱锥S −ABC 的体积为1，则球O 的表面积为（ ） A.4π B.13π C.16π D.52π 【答案】 D【考点】球的体积和表面积 【解析】推导出∠SAC ＝∠SBC ＝90∘，SA ＝SB ＝AB =√3，S △ABC =12×√3×12=√34，V =13×√34×ℎ=1，求出ℎ＝4√3，α＝30∘，R 2＝r 2+ℎ2＝(12sin 30)2+(4√32)2＝13，从而能求出球O 的表面积．【解答】∵ SC 是球O 的直径，A ，B 是球O 球面上的两点， 且CA =CB =1,AB =√3，∴ ∠SAC ＝∠SBC ＝90∘，S △ABC =12×√3×12=√34， V =13×√34×ℎ=1，解得ℎ＝4√3，sin α=121=12，∴ α＝30∘，R 2＝r 2+ℎ2＝(12sin 30)2+(4√32)2＝13， 球O 的表面积S ＝4πR 2＝52π．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分若直线y ＝kx(k ≠0)是曲线f(x)＝2x 3−x 2的一条切线，则k ＝________−18 ． 【答案】−18【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设切点为(x 0, kx 0)，求出函数的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程，可得含x 0的方程组，解得x 0，即可得到所求k 的值． 【解答】f(x)＝2x 3−x 2的导数为f′(x)＝6x 2−2x ， 设切点为(x 0, kx 0)， 由切线y ＝kx ，可得：{6x 02−2x 0=k,2x 03−x 02=kx 0,， 将①代入②得2x 03−x 02=6x 03−2x 02，即4x 03=x 02，∴ x 0＝0或x 0=14，∴ k ＝0（舍去）或k =−18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则{a n }的公比q 的值为________． 【答案】 2或−3 【考点】等比数列的通项公式 等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列的公比为q ，由S 3＝7a 1，可得a 1+a 1q +a 1q 2=7a 1，解出即可． 【解答】设等比数列的公比为q ，∵ S 3＝7a 1，∴ a 1+a 1q +a 1q 2=7a 1，化为q 2+q −6＝0，解得q ＝2或−3．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________． 【答案】5081【考点】排列、组合及简单计数问题 等可能事件等可能事件的概率 【解析】利用对立事件，不能获奖的概率，即可得到结论 【解答】因为5袋食品中放入的卡片所有的可能的情况有35种，而不能获奖表明此五袋中所放的卡片类型不超过两种，故所有的情况有C 32⋅25−3种（此处减有是因为五袋中所抽取的卡片全是相同的情况每一种都重复记了一次，故减3）． 所以小明获奖的概率是P ＝1−C 32⋅25−335=5081．已知P 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线的左焦点，若|PF 1|+|PQ|的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为________√2 ． 【答案】√2【考点】双曲线的离心率 【解析】P 在双曲线的右支上，所以PF 1−PF 2＝2a ，F 2是双曲线的右焦点，|PF 2|+|PQ|＝2a +|PF 2|+|PQ|≥2a +|QF 2|结合已知条件推出PQ ⊥l ，通过√a 2+b 2=a ，求解即可．【解答】因为P 在双曲线的右支上，所以PF 1−PF 2＝2a ，F 2是双曲线的右焦点，|PF 2|+|PQ|＝2a +|PF 2|+|PQ|≥2a +|QF 2|当且仅当P 在线段QF 2上时取等号， 因为|PF 1|+|PQ|的最小值为3a ， 所以|QF 2|＝a ，不妨设l 为：y =ba x ，由P 在l 上的射影为Q ，PQ ⊥l ， 所以22=a ，又c 2＝a 2+b 2，可得e 2＝2，所以e =√2．三、解答题本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC =√3DC ． (Ⅰ)若∠BAD ＝60∘，求∠ADC 的大小； (Ⅱ)若BD ＝2DC ，且AB =√6，求AD 的长．【答案】（本题满分为1（1）∵ ∠BAD ＝60∘，∠BAC ＝90∘， ∴ ∠DAC ＝30∘，…1分 在△ADC 中，由正弦定理可得：DC sin ∠DAC=AC sin ∠ADC，…2分∴ sin ∠ADC =ACDC sin ∠DAC =√32，…3分 ∴ ∠ADC ＝120∘，或60∘，…4分又∠BAD ＝60∘，∴ ∠ADC ＝120∘...6分 （2）∵ BD ＝2DC ， ∴ BC ＝3DC ，在△ABC 中，由勾股定理可得：BC 2＝AB 2+AC 2，可得：9DC 2＝6+3DC 2， ∴ DC ＝1，BD ＝2，AC =√3，…8分 令∠ADB ＝θ，由余弦定理：在△ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos θ，…9分在△ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos (π−θ)，…10分可得：{6=AD 2+4−4AD cos θ3=AD 2+1+2AD cos θ，∴ 解得：AD 2＝2，可得：AD =√2⋯12分 【考点】 正弦定理 【解析】(Ⅰ)由已知可求∠DAC ＝30∘，在△ADC 中，由正弦定理可得sin ∠ADC =√32，即可解得∠ADC ＝120∘．(Ⅱ)由已知在△ABC 中，由勾股定理可得DC ＝1，BD ＝2，AC =√3，令∠ADB ＝θ，由余弦定理{6=AD 2+4−4AD cos θ3=AD 2+1+2AD cos θ，即可解得AD 的值．【解答】（本题满分为1（1）∵ ∠BAD ＝60∘，∠BAC ＝90∘， ∴ ∠DAC ＝30∘，…1分在△ADC 中，由正弦定理可得：DCsin ∠DAC =ACsin ∠ADC ，…2分 ∴ sin ∠ADC =ACDC sin ∠DAC =√32，…3分 ∴ ∠ADC ＝120∘，或60∘，…4分又∠BAD ＝60∘，∴ ∠ADC ＝120∘...6分 （2）∵ BD ＝2DC ， ∴ BC ＝3DC ，在△ABC 中，由勾股定理可得：BC 2＝AB 2+AC 2，可得：9DC 2＝6+3DC 2， ∴ DC ＝1，BD ＝2，AC =√3，…8分 令∠ADB ＝θ，由余弦定理：在△ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos θ，…9分在△ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos (π−θ)，…10分可得：{6=AD 2+4−4AD cos θ3=AD 2+1+2AD cos θ，∴ 解得：AD 2＝2，可得：AD =√2⋯12分如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D −AE −C 的余弦值． 【答案】证明：如图所示，取AC 的中点O ，连接BO ，OD ． ∵ △ABC 是等边三角形，∴ OB ⊥AC ．△ABD 与△CBD 中，AB ＝BD ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ， ∴ △ABD ≅△CBD ，∴ AD ＝CD ． ∵ △ACD 是直角三角形，∴ AC 是斜边，∴ ∠ADC ＝90∘． ∴ DO =12AC ．∴ DO 2+BO 2＝AB 2＝BD 2． ∴ ∠BOD ＝90∘． ∴ OB ⊥OD ．又DO ∩AC ＝O ，∴ OB ⊥平面ACD ． 又OB ⊂平面ABC ，∴ 平面ACD ⊥平面ABC ．设点D ，B 到平面ACE 的距离分别为ℎD ，ℎE ．则ℎD ℎE=DEBE ．∵ 平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分， ∴13S △ACE ⋅ℎD 13S △ACE ⋅ℎE=ℎD ℎE=DEBE =1．∴ 点E 是BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB ＝2．则O(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，C(−1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，B(0, √3, 0)，E(0,√32,12)． AD →=(−1, 0, 1)，AE →=(−1,√32,12)，AC→=(−2, 0, 0)．设平面ADE 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅AD →=0m →⋅AE →=0，即{−x +z =0−x +√32y +12z =0，取m →=(3,√3,3)．同理可得：平面ACE 的法向量为n →=(0, 1, −√3)． ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=−2√3√21×2=−√77． ∴ 二面角D −AE −C 的余弦值为√77．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）如图所示，取AC 的中点O ，连接BO ，OD ．△ABC 是等边三角形，可得OB ⊥AC ．由已知可得：△ABD ≅△CBD ，AD ＝CD ．△ACD 是直角三角形，可得AC 是斜边，∠ADC ＝90∘．可得DO =12AC ．利用DO 2+BO 2＝AB 2＝BD 2．可得OB ⊥OD ．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）设点D ，B 到平面ACE 的距离分别为ℎD ，ℎE ．则ℎD ℎE=DEBE ．根据平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，可得13S △ACE ⋅ℎD 13S △ACE ⋅ℎE=ℎD ℎE=DEBE =1，即点E 是BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB ＝2．利用法向量的夹角公式即可得出． 【解答】证明：如图所示，取AC 的中点O ，连接BO ，OD ． ∵ △ABC 是等边三角形，∴ OB ⊥AC ．△ABD 与△CBD 中，AB ＝BD ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ， ∴ △ABD ≅△CBD ，∴ AD ＝CD ． ∵ △ACD 是直角三角形，∴ AC 是斜边，∴ ∠ADC ＝90∘． ∴ DO =12AC ．∴ DO 2+BO 2＝AB 2＝BD 2． ∴ ∠BOD ＝90∘． ∴ OB ⊥OD ．又DO ∩AC ＝O ，∴ OB ⊥平面ACD ． 又OB ⊂平面ABC ，∴ 平面ACD ⊥平面ABC ．设点D ，B 到平面ACE 的距离分别为ℎD ，ℎE ．则ℎD ℎE=DEBE ．∵ 平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分， ∴13S △ACE ⋅ℎD 13S △ACE ⋅ℎE=ℎD ℎE=DEBE =1．∴ 点E 是BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB ＝2．则O(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，C(−1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，B(0, √3, 0)，E(0,√32,12)． AD →=(−1, 0, 1)，AE →=(−1,√32,12)，AC →=(−2, 0, 0)．设平面ADE 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅AD →=0m →⋅AE →=0 ，即{−x +z =0−x +√32y +12z =0，取m →=(3,√3,3)．同理可得：平面ACE 的法向量为n →=(0, 1, −√3)． ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√3√21×2=−√77． ∴ 二面角D −AE −C 的余弦值为√77．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=2√2=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=2√2=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．已知函数f(x)=x2e x（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数g(x)＝f2(x)−kf(x)+1恰有四个零点，求实数k的取值范围．【答案】函数f(x)=x 2e x ，可得f′(x)=2x−x2e x，令f′(x)>0得，得2<x或x<0，故函数f(x)的单调增区间为(0, 2)单调减区间为(−∞, 0)或(2, +∞)．令t＝f(x)因为关于t的方程至多有两个实根，①当△<0时g(x)显然无零点，此时不满足题意；②当△＝0时t2−kt+1＝0有且只有一个实根，结合函数f(x)的图象，可得此时至多2个零点，也不满足题意．③当△>0时即k>2或k<−2，此时关于t的方程t2−kt+1＝0有两个不等实根t1、t2设t1<t2且t1+t2＝k，t1t2＝1，若要g(x)有四个零点则0<t1<f(x)极大值<t2而f(x)=f(2)=4e2，所以(4e2)2−k⋅4e2+1<0，解得k>4e +e24又4e+e24>2，故k>4e2+e24．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数f(x)=x 2e x 的导函数f′(x)=2x−x2e x，通过导函数的符号，求解函数的单调区间．（2）令t＝f(x)因为关于t的方程至多有两个实根，通过①当△<0时，②当△＝0时，③当△>0时，判断方程的解的情况，要g(x)有四个零点则0<t1<f(x)极大值<t2，然后区间极大值列出不等式推出k的范围．【解答】函数f(x)=x 2e x ，可得f′(x)=2x−x2e x，令f′(x)>0得，得2<x或x<0，故函数f(x)的单调增区间为(0, 2)单调减区间为(−∞, 0)或(2, +∞)．令t＝f(x)因为关于t的方程至多有两个实根，①当△<0时g(x)显然无零点，此时不满足题意；②当△＝0时t2−kt+1＝0有且只有一个实根，结合函数f(x)的图象，可得此时至多2个零点，也不满足题意．③当△>0时即k>2或k<−2，此时关于t的方程t2−kt+1＝0有两个不等实根t1、t2设t1<t2且t1+t2＝k，t1t2＝1，若要g(x)有四个零点则0<t1<f(x)极大值<t2而f(x)=f(2)=4e2，所以(4e2)2−k⋅4e2+1<0，解得k>4e2+e24又4e2+e24>2，故k>4e2+e24．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致戏察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得−1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得−1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，p i(i＝0, 1,…,8)表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则P0＝1，p8＝1，p i ＝ap i−1+bp i+cp i+1(i＝1, 2,…,7)，其中a＝P(X＝−1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.6．(i)证明：{p i+1−p i)(i＝0, 1, 2,…,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．【答案】由题意知X所有可能的取值为−1，0，1，P(X＝−1)＝(1−α)β，P(X＝0)＝αβ+(1−α)(1−β)，P(X＝1)＝α(1−β)，∴X的分布列为：∴a＝0.5×0.6＝0.3，b＝0.5×0.6+0.5×0.4＝0.5，c＝0.5×0.4＝0.2，∵p i＝3p i−1+2p i+1，(i＝1, 2,…,7)，即p i＝0.3p i−1+0.5p i+0.2p i+1，(i＝1, 2,…,7)，整理，得5p i＝3p i−1+2p i+1，(i＝1, 2,…,7)，∴p i+1−p i=3(p i−p i−1)，(i＝1, 2,…,7)，2∴{p i+1−p i}(i＝0, 1, 2,…,7)是以p1−p0为首项，3为公比的等比数列．2(ii)由(i)知p i+1−p i ＝(p 1−p 0)⋅(32)i ＝p 1⋅(32)i ，∴ p 8−p 7＝p 1⋅(32)7，p 7−p 6=p 1⋅(32)6，…，p 1−p 0=p 1⋅(32)0， 累加求和得： p 8−p 0＝p 1•[(32)0+(32)1+...+(32)7]=1−(32)81−32p 1=(32)8−112p 1＝1，∴ p 1=12(32)8−1，∴ p 4＝p 4−p 0＝p 1•[(32)0+(32)1+(32)2+(32)3]=1−(32)41−32p 1=(32)4−132−1×32−1(32)8−1=1(32)4+1=1697≈0.16．p 4表示甲小朋友当前累计得分为4分时，本轮游戏最终甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5， 乙小朋友完成指令动作的概率为0.6，本轮游戏甲小朋友获胜的概率p 4≈0.16，这种情况发生的概率非常小，说明这种游戏方案不能够充分验证-次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5， 乙小朋友完成指令动作的概率为0.6的假设． 【考点】 数列的应用离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由题意知X 所有可能的取值为−1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．(2)(i)由α＝0.5，β＝0.6，求出a ，b ，c ，推导出5p i ＝3p i−1+2p i+1，(i ＝1, 2,…,7)，从而p i+1−p i =32(p i −p i−1)，(i ＝1, 2,…,7)，由此能证明{p i+1−p i }(i ＝0, 1, 2,…,7)是以p 1−p 0为首项，32为公比的等比数列．(ii)推导出p i+1−p i ＝(p 1−p 0)⋅(32)i ＝p 1⋅(32)i ，从而p 8−p 7＝p 1⋅(32)7，p 7−p 6=p 1⋅(32)6，…，p 1−p 0=p 1⋅(32)0，累加求和得p 8−p 0=(32)8−112p 1＝1，求出p 1=12(32)8−1，由此能求出p 4=1697≈0.16．由此得到这种游戏方案不能够充分验证-次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，乙小朋友完成指令动作的概率为0.6的假设． 【解答】由题意知X 所有可能的取值为−1，0，1， P(X ＝−1)＝(1−α)β，P(X ＝0)＝αβ+(1−α)(1−β)， P(X ＝1)＝α(1−β)， ∴ X 的分布列为：∴ a ＝0.5×0.6＝0.3，b ＝0.5×0.6+0.5×0.4＝0.5，c ＝0.5×0.4＝0.2， ∵ p i ＝3p i−1+2p i+1，(i ＝1, 2,…,7)，即p i ＝0.3p i−1+0.5p i +0.2p i+1，(i ＝1, 2,…,7)， 整理，得5p i ＝3p i−1+2p i+1，(i ＝1, 2,…,7)， ∴ p i+1−p i =32(p i −p i−1)，(i ＝1, 2,…,7)，∴ {p i+1−p i }(i ＝0, 1, 2,…,7)是以p 1−p 0为首项，32为公比的等比数列． (ii)由(i)知p i+1−p i ＝(p 1−p 0)⋅(32)i ＝p 1⋅(32)i ，∴ p 8−p 7＝p 1⋅(32)7，p 7−p 6=p 1⋅(32)6，…，p 1−p 0=p 1⋅(32)0， 累加求和得： p 8−p 0＝p 1•[(32)0+(32)1+...+(32)7]=1−(32)81−32p 1=(32)8−112p 1＝1，∴ p 1=12(32)8−1，∴ p 4＝p 4−p 0＝p 1•[(32)0+(32)1+(32)2+(32)3]=1−(32)41−32p 1=(32)4−132−1×32−1(32)8−1=1(32)4+1=1697≈0.16．p 4表示甲小朋友当前累计得分为4分时，本轮游戏最终甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5， 乙小朋友完成指令动作的概率为0.6，本轮游戏甲小朋友获胜的概率p 4≈0.16，这种情况发生的概率非常小，说明这种游戏方案不能够充分验证-次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5， 乙小朋友完成指令动作的概率为0.6的假设．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+√32t ，y =1+12t ， （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P(2, 1)，曲线C 1与C 2的交点为A ，B ，求|PA|+|PB|的值． 【答案】解：(1)由{x =2+√32t ，y =1+12t ，消去t 得：x −2=√3(y −1)， 整理得C 1的普通方程为：x −√3y −2+√3=0； 在ρ=4cos θ两边同乘以ρ得：ρ2=4ρcos θ，由ρ2=x 2+y 2，x =ρcos θ得C 2的直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4；(2)将C 1的参数方程{x =2+√32t ，y =1+12t ，代入x 2+y 2=4x 整理得：t 2+t −3=0． 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1+t 2=−1，t 1t 2=−3， 由(1)知C 2是圆心为(2, 0)，半径为2的圆． 检验知点P(2, 1)在该圆内， ∴ t 1，t 2异号，由参数的几何意义知|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√13． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 参数方程与普通方程的互化 直线和圆的方程的应用 【解析】(Ⅰ)直接把直线参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程；把ρ＝4cos θ两边同乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的换算关系式可得曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)将C 1的参数方程代入x 2+y 2＝4x ，整理得关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及参数t 的几何意义求解． 【解答】（1）由{x =2+√32ty =1+12t，消去t 得：x −2=√3(y −1)， 整理得C 1的普通方程为：x −√3y −2+√3=0； 在ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得：ρ2＝4ρcos θ，由ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ得C 2的直角坐标方程为：x 2+y 2＝4x ， 即(x −2)2+y 2＝4；（2）将C 1的参数方程{x =2+√32ty =1+12t ，代入x 2+y 2＝4x 整理得：t 2+t −3＝0． 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1+t 2＝−1，t 1t 2＝−3， 由(Ⅰ)知C 2是圆心为(2, 0)，半径为2的圆． 检验知点P(2, 1)在该圆内， ∴ t 1，t 2异号，由参数的几何意义知|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√13． (2)将C 1的参数方程{x =2+√32t ，y =1+12t ， 代入x 2+y 2=4x 整理得：t 2+t −3=0． 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1+t 2=−1，t 1t 2=−3， 由(1)知C 2是圆心为(2, 0)，半径为2的圆． 检验知点P(2, 1)在该圆内， ∴ t 1，t 2异号，由参数的几何意义知|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√13． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x +2|−|ax −2|（1）当a ＝1时，求不等式f(x)≥2x −1的解集；（2）若存在x ∈(1, 3)，使不等式f(x)>2x 成立，求a 的取值范围．【答案】当a ＝1时，f(x)＝|2x +2|−|x −2|={−x −4,x <−13x,−1≤x ≤2x +4,x >2，当x <−1时，由−x −4≥2x −1解得x <−1；当−1≤x ≤2时，由3x ≥2x −1解得x ≥−1，∴ −1≤x ≤2； 当x >2时，由x +4≥2x −1解得x ≤5，∴ 2<x ≤5； 综上可得，原不等式的解集为{x|x ≤5}．∵ x ∈(1, 3)，∴ f(x)>2x 等价于|ax −2|<2，即−2<ax −2<2， 即等价于0<a <4x，∴ 由题设可得，存在x ∈(1, 3)使0<a <4x成立，又由x ∈(1, 3)，可知4x<4，∴ a 的取值范围为(0, 4)．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）利用分段函数求不等式的解集，注意要分情况讨论； （2）将恒成立问题转化为求最值问题，即可求出a 的范围． 【解答】当a ＝1时，f(x)＝|2x +2|−|x −2|={−x −4,x <−13x,−1≤x ≤2x +4,x >2，当x <−1时，由−x −4≥2x −1解得x <−1；当−1≤x ≤2时，由3x ≥2x −1解得x ≥−1，∴ −1≤x ≤2； 当x >2时，由x +4≥2x −1解得x ≤5，∴ 2<x ≤5； 综上可得，原不等式的解集为{x|x ≤5}．∵ x ∈(1, 3)，∴ f(x)>2x 等价于|ax −2|<2，即−2<ax −2<2， 即等价于0<a <4x ，∴ 由题设可得，存在x ∈(1, 3)使0<a <4x 成立， 又由x ∈(1, 3)，可知4x <4，∴ a 的取值范围为(0, 4)．。
2019-2020年高三教学质量检测(一模)数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三教学质量检测（一模）数学（理）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1},{||10}A B x x =-=+>，那么A ．B ．C ．D ．2、已知复数，则A ．B ．1C ．D ．-13、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为4、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求的值B ．求的值C ．求的值D ．求的值5、已知平面向量满足11,(2)()2a b a b a b ==+-=-， 则与与的夹角为A ．B ．C ．D ．6、在正项等比数列中，232629log log log 3a a a ++=，则的值是A ．16B ．8C ．4D ．27、在二项式的展开式中，含的项的系数为A ．-10B ．10C ．-5D ．58、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率9、焦点在y 轴上的双曲线G 的下焦点为F ，上顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线G 有公共点，则双曲线G 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知()[)[]211,010,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象正确的是A ．的图象B ．的图象C ．的图象D ．的图象11、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、定义域为R 的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(理科)
()
A． 1 (1 ln2) 2
B． 1 ln2 2
C．1 ln2
D． 1 (1 ln2) 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．（5
分） （2019
秋•天心区校级月考）已知向量
a,
b
的夹角为120
，且
|
a
|
2
，| a
2b
|
2
7，
)
A． (, 3) 2
B．[1, 3) 2
C． (1, 3) 2
D． ( 3 ,3] 2
2．（5 分）（2018 春•张家口期末）若复数 z 满足 z(2 i) 18 11i ，则 | z 4i | ( )
A． 13
B． 15
C．13
D．15
3．（5 分）（2019 秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良 马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；
D． 2 3
12．（5
分）（2018•泸州模拟）已知函数
f
(x)
x, x 0 e2x , x0
， g(x)
ex (e
是自然对数的底数），
若关于 x 的方程 g( f (x)) m 0 恰有两个不等实根 x1 、 x2 ，且 x1 x2 ，则 x2 x1 的最小值为
B．函数 g(x) 是奇函数
C．函数 g(x) 的图象关于点 ( ， 0) 对称 12
D．函数 g(x) 的图象关于直线 x 对称 3
x y 10
9．（5
分 ） （ 2014 • 山 东 ） 已 知
湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2019届高考模拟卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再根据求出实数a的取值范围.详解：由题得.因为，所以,所以.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验，，，不满足，（1,3）≠B.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查共轭复数的概念，先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。
3.如图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形的边长为5，小正方形的边长为2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷个点.有个点落在中间的圆内，由此可估计的近似值为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析：利用几何概型概率公式可得.详解：小正方形边长为，所以圆半径为，圆面积为， 又大正方形的棱长为，所以正方形面积为，由几何概型概率公式可得，故选D.点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验及几何概型概率公式，列出符合条件的面积与总面积之间的方程求解. 4.已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与同解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 充分性：举反例，，可判断不成立；必要性：不等式同解可得方程同解，从而证明必要性成立. 【详解】解：若，取，，则解得，解得，所以关于不等式与不同解； 若关于的不等式与同解，则方程与必同解，又都不为0（），所以所以“”是“关于的不等式与同解”的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可.5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相加即可. 【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的直角三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图所以，，左边侧面为等腰三角形，底边为，高为所以三棱锥的表面积故选B．【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能力与计算能力.6.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（）A. 计算数列的前10项和B. 计算数列的前9项和C. 计算数列的前10项和D. 计算数列的前9项和【答案】A【解析】【分析】从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.【详解】解：开始赋值：，；执行，；判断不成立，执行，；判断不成立，执行，；判断不成立，执行，；判断成立，输出.算法结束所以该算法的功能是计算数列的前10项和故选：A.【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规律.7.如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有，则（）A. 在上是减函数B. 在上是减函数C. 在上是增函数D. 在上是增函数【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，，从而有，结合题中条件，可知，，结合的范围，求得，所以，结合函数的性质，可知C是正确的，故选C．考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质．8.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.9.已知定义在上的偶函数（其中为自然对数的底数），记，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由偶函数求出，然后分析出函数在上单调递增，判断出以，且都属于，然后可比较大小.【详解】解：由定义在上的偶函数，可得即，解得所以当时，单调递增，单调递减，所以在上单调递增因为，，所以，且都属于所以，即故选：A.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题.10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（）A. 72B. 71C. 66D. 65【答案】B【解析】【分析】先分析出奇数2019为第1010个奇数，按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数，试值可以分析出第1010个奇数位于第45行，从右到左第20列，从而得出答案.【详解】解：奇数2019为第1010个奇数,按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2019位于第45行，从右到左第20列，则故选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，数与式中的归纳推理，属于中等题.11.已知为抛物线：的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则（）A. 6B.C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】设直线，联立抛物线方程得韦达定理，求出点坐标，由列方程解出，然后可求出.【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是，设直线，将直线与抛物线方程联立，化简得，得，所以，又，根据，得，解得，所以，故选A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题.12.已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题得，令，，利用导数性质能求出实数的取值范围．详解：由，得，得，即，令，，则，显然是函数的唯一零点，易得，∴，即.故选D.点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，向量的夹角是，，则等于________.【答案】2【解析】试题分析:由题意，得，向量a，c 的夹角，则由，得，则；故填2．考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模．14.设满足约束条件，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.【详解】解：先画出约束条件所代表的平面区域，如图中阴影然后画出目标函数如图中过原点虚线所示平移目标函数，在点处取得最小值由，解得所以目标函数最小值为故答案为：.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数中前系数小于0，故向上移越移越小.15.若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为．【答案】【解析】试题分析：的展开式中各项的系数之和为81，的展开式的通项公式为：令，解得∴展开式中常数项为∴直线与曲线围成的封闭区域面积为：．故答案为：．考点：二项式定理，定积分16.已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为：点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简，可得，由成等比数列，用正弦定理进行边角转化为，又，可解出，从而求出角；（2）由外接圆的面积可求出外接圆半径，且，得，，再由余弦定理可求出的范围，得的范围，从而求出的范围.【详解】解：（1），又∵成等比数列，得，由正弦定理有，∵，∴，得，即，由知，不是最大边，∴.（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，由余弦定理，得，又，∴，当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，由正弦定理，得.∴的面积，∵，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于中档题.18.如图1，直角梯形中，中，，分别为边和上的点，且，.将四边形沿折起成如图2的位置，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）。
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长沙市长郡中学2019-2020学年高三第一次教学质量检测
数学试题（理科）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．
第I 卷（满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的． 1.设θ∈R ，则“ππ
||1212θ-
<
”是“1sin 2
θ<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设函数()31,1
,2,1
x
x x f x x -<⎧=⎨
≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）
A.2
,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.[]0,1
C.2,3
⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D.[)1,+∞ 3.若2x =-是函数21
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则
()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1 4.若tan 2tan 5
πα=，则
3cos()
10sin()
5
παπ
α-
=-（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5.在ABC △中，π4
B =，B
C 边上的高等于13
BC ,则cos A =（ ）
C.-
D.-
6.已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13
.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）
A.4
B.–4
C.9
4
D.–94
7.设变量,x y 满足约束条件20,
220,
0,3,
x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨
≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ） A.23 B.1 C.32
D3 8.已知为坐标原点，
是椭圆：
的左焦点，
分别为的左，右顶点.为上一点，且
轴.过点的直线与线段
交
于点
，与轴交于
点.若直线经过
的中点，则的离心率为（ ）
A.
B. C.
D.
9.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1
与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10 10.已知当
时，函数
的图象与
的图象有且只有一个交点，
则正实数的取值范围是（ ） A. B. C.
D.
11.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中
心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为（ ）
A ．16
B ．
C ．12
D ．10 12.
设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成
等比数列，则1a 的值为（ ）
A ．16
B ．14
C ．1
2
D ．10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡上的相应位置．
13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 .
14．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
15．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭
圆22
1123
x y +=有公共焦点，则C 的方程为 . 16．设函数33,()2,x x x a
f x x x a
⎧-≤=⎨->⎩.
①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设函数
，其中
.已知
.
（Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移个单位，得到函数
的图象，求
在
上
的最小值.
18．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，
5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5
4
AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=
（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．
20．（本小题满分12分）设椭圆（
）的右焦点为
，右顶点
为，已知
，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与
交于点
，与轴交于点
，若
，且
，求直线
的斜率的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知函数
，
，其中
是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求
出极值.
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3＋12
t ，
y ＝3
2t
(t 为参数)．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin
θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b
.
证明：(1)a ＋b ≥2；
(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．。