二叉树模型介绍

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原因： 根据标的股票的价格估计期权的价值。 未来上升和下降的概率已经包含在股票 的价格中。 它说明：当根据股票价格为期权估值时， 我们不需要股票价格上涨下降的概率。
二、风险中性估值



1、预期价格与无风险利率 变量p解释为股票价格上升的概率，于是 变量1—p，就是股票价格下降的概率。 ①在T时刻预期的股票价格ST： E（ST）=pSu+(1-p)Sd 即E（ST）=pS（u-d）+Sd 。



2）构造组合： 一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍 生证券空头来组成。 如果股票价格上升,在有效期末该组合的 价值为： SuΔ—fu 如果股票价格下降，在有效期末该组合 的价值为： SdΔ—fd

当两个价值相等时： SuΔ—fu =SdΔ—fd
fu fd Su Sd
3）定价： 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。 在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生 证券价格变化与股票价格变化之比。 无风险利率用r来表示。



在无套利均衡的情况下，无风险证 券组合的盈利必定为无风险利率。 假设在这种情况下，无风险利率为 年率12％。 该组合现在价值一定是$4．5的现值。 即：4.5e-0.12×0.25=4.3674．

股票现在的价格已知为$20。 假设期权的价格由f来表示。 现在该组合的价值：20×0.25－f=5－f 即f=0.633
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性


衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。



②期权定价: 在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率 为0.6523，价值为零的概率为0.3477。 看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 期权现在的价值： f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633
三、两步二叉树图



1、两步二叉树图的例子 1）条件： 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树 图的每个单步二叉树图中，股票价格可 以上升10％或者下降10％。 我们假设在每个单步二叉树的步长是三 个月，无风险利率是年率12％。 期权的执行价格为$21
二叉树模型介绍


为期权和其它衍生证券进行估值的一个 有用和很常见的方法是构造二叉树图 (binoinial tree)。 二叉树树图表示了衍生证券的标的资产 价格在有效期内可能遵循的路径。
一、单步二叉树模型
1、单步二叉树定价


1）条件： 假设一种股票当前价格为$20，三个月后 的价格将可能为$22或$18。 假设股票三个月内不付红利。 欧式看涨期权执行价格$21，有效期为三 个月后以买人股票的进行估值。


2）定价思路： 构造一个股票和期权的组合，使得在三 个月末该组合的价值是确定的。 它的收益率一定等于无风险收益率。 由此得出该期权的价格。

3）构造组合：

该组合包含一个Δ股股票多头 头寸和一个看涨期权的空头 头寸。


上升时：股票价格从$20上升到$22，期 权的价值为$l，该证券组合的总价值为 22Δ-1； 下降时：股票价格从$20下降到$18，期 权的价值为零，该证券组合的总价值为 18Δ。
2）定价： 计算在节点B的期权价格： u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十 0.3477×0)=2.0257 同理求出节点C的期权价格为：0



3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融资产放在风险中性的世界去估值 即为期权和其它衍生证券估值时，世界 是风险中性的。 在风险中性世界中得到的价格，在现实 世界中也是正确的。
4、风险中性定价举例：

①求风险中性概率p 在风险中性世界，股票的预期收益率一 定等于无风险利率12％。 则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25 即 4p=20e0.12×0.25-18 p=O.6523。

如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值 对两个股票价格都是相等的，则该组合 就是无风险的。

22Δ—1=18Δ

Δ=0.25
一个无风险的组合是： 多头：0.25股股票 空头：一个期权




4）定价： 如果股票价格上升到$22，该组合的价值 为：22×0.25＝4.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值 为：18×0.25＝4.5 无论股票价格是上升还是下降，在期权 有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。


将P代入上式，化简得： E（ST）=SerT 即：平均来说，股票价格以无风险利率 增长。 因此，设定上升运动的概率等于p就是等 价于假设股票收益等于无风险利率

②则衍生证券的预期收益：pfu+(1-p)fd 衍生证券的价值是其未来预期值按无风 险利率贴现的值 。



2、风险中性世界(risk-neutral wrld)：我 们将把每一个人是风险中性的世界称为 风险中性世界。 在这样的世界中，投资者对风险不要求 补偿，所有证券的预期收高效益是无风 险利率。 上升运动的概率为p时，我们就在假设一 个风险中性世界 。


5）偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该 组合的成本就有可能低于$4.367，并将 获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空 该证券组合将获得低于无风险利率的资 金。
2、一般结论
1）条件： 考虑一个无红利支付的股票，股 票价格为S。 基于该股票的某个衍生证券的当 前价格为f。 假设当前时间为零时刻，衍生证 券给出了在T时刻的盈亏状况 。