第三章 晶体中的原子热振动

q a q



2a
q

2a
(2) (q)的取值范围
mM 2 mM
1 2
4m M 2 sin aq 1 1 2 m M
1 2

q 0

1 2
2 max min 0
~ 3 1013 s 1

~ q
max
声学波
min 0
2 M
1 2
2
mM 4m M 2 sin aq 1 1 2 mM m M
1 2

: q 0时
上式齐次线性方程组，A、B有不为零的解，其系数行列式为零：
m 2 2 2 cos qa 0
最后得：
2 cos qa M 2
2
m M 4 2 m M 2 4 2 sin 2 qa
mM 4m M 2 2 sin aq 1 1 2 mM m M
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子 的位相差为qa ﹡﹡
xm xn时
则,
Aei qma t Aei qna t
l取整数
2 ma na l q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢 为 q的前进波———格波。
特点:共有化电子可以在整个晶体中运动，因此导电性、导热性 良好、具有高延展性。
4. 分子键 元素周期表中第VIII族元素在低温下结合成的晶体。——非极 性分子晶体 依靠瞬时偶极矩的互作用——范德 瓦耳斯（Van der Waals）力
特点:透明的绝缘体，熔点特低（几十 K）
5. 氢键 氢键是一种氢原子参与成键的特殊键型。氢原子半径小，电离 能很大，一般情况下不易失去电子，而是与其他原子形成共价 键。当氢原子唯一的价电子与其他原子形成共价键后，电子云 分布便靠近共价键一边，而另一边的原子核则暴露在外，容易 通过库仑作用与负电性大的原子相结合。 氢原子的这种结合可表示为 X—H…Y 其中，X—H距离近，作用强；H…Y距离稍远，结合力相对较 弱，通常称H…Y为氢键。 特点:弱键,具有饱和性和方向性。 注意：对于多数固体材料，结合力是综合性的，同时存在着两 类或两类以上的结合力。
2
2
试探解
i q 2 n 1 a t x Ae 2 n 1 i q 2 n 2 a t x Be 2n2
代入振动方程，有
m 2 2 A 2 cos qa B 0 2 2 cos qa A M 2 B 0
x2n1 x2n N 1
e
i 2 Naq
2 1 q l N 2a
对于双原子晶格，在一个布里渊区内，q取N个分立的值，而每 一个q又对应两个 值。 在一维双原子晶格中可以传播的格波数为2N，或者说有2N种振 动模式。其中N个声学波，N个光学波。
5. 三维晶格 (1) 运动方程及其解 设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3；沿基矢方向晶体各有N1、
长波近似，类似于连续介质

1 2
2m M 2 1 sin qa 2 (m M )
2 qa mM
3. 声学波与光学波
mM 2 mM
4m M 2 sin aq 1 1 2 m M
1 2

从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
3.2 一维单原子的振动
近似与简化
晶格动力学方程
振动能量的量子化
一. 近似与简化
绝热近似：解除电子运动与离子运动间的耦合 简谐近似：将原子之间的互作用力看作弹性力 三个近似
1 d 2U 2 U r U a 2 2! dr a 最近邻近似：仅考虑最近邻原子之间的互作用
2. 色散关系
~ q 为非线性关系
将试探解
—色散关系
i qna t
xn Ae
d 2 xn 代入运动方程， m dt 2
得：
xn 1 xn 1 2 xn
qa sin m 2
2

1 2 sin qa m 2
讨论：(1) 相速度

一维单原子晶格振动的色散关系
m 2 2 A 2 cos qa B 0 从前面的方程组 ，得： 2 2 cos qa A M 2 B 0
2 <0 A 2 M 光学波： 0 B 2 cos qa >0
求得两个原子间相互作用力f， 需先求得两原子间的相互作用势U
当大量原子相互靠近时,总的互作用势U:
1 N N U u rij 2 i j 1, j i
N U 2
j 1, j i
u r
ij
N
i , j =1 , 2 , , N
令rij lij r
r —最近邻原子间距
固体电子学导论
岳贤军
南通大学电子信息学院电子工程系
第3章 晶体中的原子热振动
3.1 原子间的相互作用
3.2 一维单原子晶格的振动
3.3 一维双原子晶格的振动 3.4 晶格振动的量子化及声子
3.5 晶体的热学性质
研究对象
晶体中电子状态：假设原子或离子在格点附近固定不动
实际上，有限温度下，晶体中原子或离子微扰格点（平衡 位置）附近做热振动
r 时,
f 0
吸引力：异性电荷间 的库仑引力 排斥力：同性电荷间的 库仑斥力及泡利原理的 排斥力
r r0时, r r0时, r r0时,
r rm时,
f引 f斥 f引 f斥 f引 f斥
吸引力最大
互作用势
u r :
du r f r dr
du r 0 dr r0
+q与 –q是不等效的，前者相应与于向右传播的波，而后者相
应与于向左传播的波。
3.3 一维双原子晶格的振动
1. 振动方程与解
振 动 方 程
d x2 n 1 m x2 n 2 x2 n 2 x2 n 1 2 dt
d x2 n 2 M x2 n3 x2 n 1 2 x2 n 2 2 dt
共价键结合有两个基本特征：饱和 性和方向性。
特点:价电子定域在共价键上致使导电性很弱。熔点高、硬度高。
3. 金属键 金属键常由ⅠA、ⅡA族及过渡元素原子形成。这些原子的负 电性小，最外层一般有一两个容易失去的价电子，失去价电子 的原子称为离子实。由于波函数的交叠，价电子不再属于个别 原子而为所有离子实共有，成为在金属中自由运动着的电子， 也称作共有化运动。 如果将共有化状态的价电子比作电子云，可以用一个简化的物 理模型来描述金属晶体：将离子实看作浸没在电子云中，金属 晶体的结合力主要是来源于离子实和电子云之间的静电作用力。 第I族、第II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。
mM mM
q

2a


1 2
2 min m 1 2 2 max M
1 2
~ q 光学波
min
2 m

1 2
1 2
max
2

特点:晶体结合的稳定性导致导电性能差、熔点高、硬度高和热 膨胀系数小。
2. 共价键
共价键常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每个原 子有4个价电子，能与周围最邻近4个原子形成4个共价键，每个 键含有自旋相反的2个电子，它们来源于2个不同原子。这样，每 个原子周围拥有8个电子，使各原子的电子组态都变为满壳层。
晶体宏观性质<——微观理论
固体：确定形状，确定体积的物质形态 性质：力学、电学、热学、磁学、光学等
复杂：面对具体的物理现象（比如同样原子组成的结构不同 的材料） 微观：从原子、电子层次（每立方1029数量级的原子、电子！） 相互作用及运动规律复杂
金 刚 石 结 构
石 墨
3.1 原子间的相互作用
一. 原子间的互作用 互作用力
二. 一维单原子晶格振动的经典理论
晶格振动的动力学方程 1. 振动方程及行波解

只考虑相邻原子的作用，第n个原子仅受到第(n-1)个和第(n+1) 个原子的作用，总的作用力是：
f xn +1 xn xn xn -1 xn1 xn1 2 xn
表明基元中原子 反向振动。 表明基元中原子 同向振动。
A 2 cosqa 声学波： 0 2 B 2 m
长波近似
A M B m q 0 A 1 B
满足力的平衡条件，质心基本不动。
1 2

2. 色散关系
mM 2 mM
4m M 2 sin aq 1 1 2 m M
1 2
q 讨论：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

双原子晶格振动存在两种色散关系。
(1) (q)具有对称性和周期性
q q
min 0 0
3. 周期性边界条件 设晶格由N 个原胞构成,那么
xn xn N
xn A e
e
iNqa
iq n a t
周期性边界条件
2 1 q l Na
N N l 2 2
2 q l Na
q取N个分立的值，相应地 也取N个分立的值。
在单原子晶格中可以传播的格波数为N，或者说有N种振动模式。
以同一振幅刚性地振动。
短波近似
A B q 2a A 0 B
即A B
质量小的原子对短光学 波贡献大。 质量大的原子对短声学 波贡献大。
即A B
4. 周期性边界条件 设晶体由N个原胞构成，则周期性边界条件为：
根据牛顿定律，第n个原子的运动方程为：
d 2 xn m 2 dt
xn1 xn 1 2 xn
试探解：
xn Ae
i qna t
分析：(1) 观察单个原子
各原子作简谐振动： A—振幅 —振动频率 qna—初相位
(2) 观察整个晶格
xn Ae
i qna t
色散曲线
将q限制在 提供新的格波.
a a 区间(第一布里渊区)即可,在这以外并不
4a
状 态 等 价
q 2a
两者相差 倒格矢的 整数倍
2 q 2a a
4 a 5

(3) (q)的取值范围
1 2 sin qa m 2

max
min
max 2 m a
vp

q
常数
(长波近似)
仅当q 0,即 a时 :
2
qa m 2
1

q


m
a 常数
结论： a,晶格近似看作连续 .
(2) (q)具有对称性和周期性
1 2 sin qa m 2

q q
q q 2a
则U可表达为r的函数，U=U(r)
dU r dr r a
0 U a
晶体的结合能
U a
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。