1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义

函数的定义及表示

知识讲解

一、函数

1.函数的概念

概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y

f x ，x

A 其中x 叫

做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合

{()}y y

f x x

A ，叫做这个函数的值域．

2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则

3.函数的表示法

1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．

4.求函数定义域注意事项

1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；

3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2

x x

k k

Z π

π

，；

6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．

5.分段函数

定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．

6.复合函数

定义：若()

∈，(),

x a b

u m n

∈，那么[()]

y f u

=，(),

=，()

u g x

y f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()

g x的值域．

注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．

二、映射

，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B

中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()

f x，于是

()

y f x

x称为y的原象，映射f也可记为：

:f A B

()

x f x

f x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()

f A．

值域．通常记作()

、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B

在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．

三、函数求解析式

1.换元法

2.方程组法

四、函数求值域

1.直接法（分析观察法）

2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值

域．

3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中

要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2

y ax bx c (0)a

或

2

()

[()]()

F x a f x bf x c (0)a

类的函数的值域问题，均可使用配方法．

4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．

5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可

以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而

求得原函数的值域． 对形如

的函数，令

；形如

的函数，令

；形如含

的结构的函数，可利用三角代换，令，或令

．

6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方

程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如

2

1112

222

a x

b x

c y

a x

b x

c （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．

注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．

7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定

值，解析式是积时要求和为定值．

8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一

个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．

()

1

y f x =

()f x t

=,,,,0)

y ax b a b c d

ac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤

=∈-⎢⎥

⎣⎦x 0∆≥0≥∆

经典例题

一．选择题（共12小题）

1．（2017秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：B 中，当x ＞0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性， A ，C ，D 满足函数的定义， 故选：B ．

2．（2017秋•大观区校级期中）已知集合P={x |0≤x ≤4}，集合N={y |0≤y ≤2}，下列从P 到N 的各对应关系f 不是函数的是（ ） A ．f ：x→y=1

2x

B ．f ：x→y=1

3

x

C ．f ：x→y=2

3

x

D ．f ：x→y=√x

【解答】解：f ：x→y=1

2

x ，是函数，

f ：x→y=1

3

x ，是函数，