石子归并一

动态规划
中山纪念中学 宋新波
动态规划的关键点
• 最优化原理 子问题最优化结构 • 无后效性 未来与过去无关 • 状态 描述最优解的结构 • 状态转移方程 递归定义最优解的值 • 程序实现 用记忆化搜索或迭代法求解
例1：01背包
• 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品 只有1过背包 容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。
方法三
• 证明： • 当x=0时：只要都不选就可以； • 当1<=x<=2^k-1时：把x转为二进制，选择对应位为1 的物品。如x=5,5的二进制为101，5=1+4； • 当2^k<=x<=m[i]时：由于m[i]-(2^k-1)<2^k，则选 择m[i]-(2^k-1)，剩下的为x-m[i]+2^k-1<=2^k-1可 以由前面的1,2,...,2^(k-1)组合得到。 m[ i ] • 物品i可以被分解为 log 2 个数量为1的物品，题目就 转化为 log 个物品的01背包。 • 时间复杂度为O(V* log )。
方法二
• 方法一中计算f[i]时需要从1到i-1逐一枚举j，我们 可以记录g[x]表示，以数值x结尾的最长上升子序列 的长度，利用树状数组维护g[1..x]的最大值，在计 算f[i]时直接利用树状数组计算出g[1..a[i]-1]的最 大值。 • 如果a[i]数值不大可以直接做，否则需要离散化。 • 时间复杂度为O(nlgn)。
N i 1
方法二
• 把“m[i]个第i种物品”看作是“m[i]种物品”，每种 物品只有一个，体积和价值分别为v[i]和w[i]，这样 原问题就转变为 m[i] 个物品的01背包问题。 • 时间复杂度也是O(V* m[i] )。
N i 1
N
i 1
方法三
• 应用二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物 品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略(取0..m[i] 件)均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过 m[i]件的策略必不能出现。 • 方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有 一个系数，这件物品的体积和价值均是原来的体积和价值 乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k1),m[i]-2^k+1，其中k满足m[i]-2^k+1<2^k。例如，如果 m[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件 物品。 • 如何证明任何x(0<=x<=m[i])都可以用上述系数相加得到？
• 给你n个数a1,a2,...,an的序列，要求输出最 长上升子序列的长度。 • 如n=6，序列为{3 4 1 5 2 6}的最长上升子序 列的长度为4，子序列为{3,4,5,6}
方法一
• 状态：f[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列的长度。 • 考虑前一个数可能的位置进行状态转移，假设前一个数 是a[j]，则必须满足j<i同时a[j]<a[i]，满足条件的j 有多个，找出最大的f[j]即可。 • 状态转移方程为： • 1 i=1 • f[i]= • max{f[j],0}+1 (j<i)and(a[j]<a[i]) • 答案为max{f[i]}(1<=i<=n)。时间复杂度为O(n2)。
分析
• 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获 得的最大价值。 • 考虑第i种物品装或不装进行状态转移: 1.装：f[i-1,j-v[i]]+w[i](必须满足j>=v[i]) 2.不装：f[i-1,j] 两种情况取较大值。 • 状态转移方程为：
• 0 i=0(边界条件) • f[i,j]= f[i-1,j] j<v[i] • max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]]+w[i]) j>=v[i]
n m[ i ] 2 i 1
n
m[ i ] 2
i 1
方法四
• 回顾方法一状态转移方程： • 0 i=0 f[i,j]= • max{f[i-1,j-x*v[i]]+x*w[i]} 0<=x<=min(m[i],j div v[i]) • 可以用单调队列优化到O(N*V)。
例4：最长上升子序列
• 答案为f[n,v]，时间复杂度为O(N*V)。
例2：完全背包
• 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品 有无穷个，体积是v[i]，价值是w[i]。选择物 品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包 容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。
方法一
• 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获 得的最大价值。 • 考虑第i个物品装几个来进行状态转移，假设装x个， x的范围为0<=x<=j div v[i] • 状态转移方程：
例3：多重背包
• 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最 多有m[i]件可用，体积是v[i]，价值是w[i]。 选择物品装入背包可使这些物品的体积总和不 超过背包容量，且价值总和最大。
方法一
• 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获 得的最大价值。 • 跟完全背包方法一相同，考虑第i个物品装几个来进行 状态转移，假设装x个，x的范围为0<=x<=min(j div v[i],m[i]) • 状态转移方程： 0 i=0 f[i,j]= • max{f[i-1,j-x*v[i]]+x*w[i]} 其中0<=x<=min(m[i],j div v[i]) • 答案为f[n,v],时间复杂度为O(V* m[i])。
0 i=0
f[i,j]=
max{f[i-1,j-x*v[i]]+x*w[i]} 0<=x<=j div v[i]
• 答案为f[n,v],时间复杂度为o( V
2
*
i 1
N
1 v[i ]
)
方法二
• 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的 最大价值。 • 考虑第i个物品装或不装来进行状态转移： 1.装:必须满足j>=v[i]，由于物品有无穷多个，装一次 后后面还可以再装，所以状态为f[i,j-v[i]]+w[i]; 2.不装：f[i-1,j] • 状态转移方程： • 0 i=0 • f[i,j]= f[i-1,j] j<v[i] • max(f[i-1,j],f[i,j-v[i]]+w[i]) j>=v[i] • 答案为f[n,v]，时间复杂度为O(N*V)。