固体物理-第5章-晶体中电子能带理论-5.6

C
D
kz
B
O ky
kx
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
B
a (1,1,0) C
2
a (1,0,1) D a (0,1,1)
2
2
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
结果Es
E Emax Emin 12J1
能带宽度由两因素决定：
(1)重叠积分J1的大小；
2)J1 前数字,即最近邻格点数目 （晶体的配位数）
因此,波函数重叠程度越大,配位数越大,能带越宽,反之.
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
四、原子能级与能带的对应
EkiJ0RsJ最近邻
k
s
J
0
4J
cos
kxa 2
cos
kya 2
cos kxa cos kza
2
2
cos
kya 2
cos
kza 2
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
适用性
1.前面讨论的是最简单的情况,只适用于s态电子,一个原子能级 i
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
解：设 J1 J Rs
简立方结构的最近邻格点数为6，位置矢量的坐标： (a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a) (其中a为晶格常量)
Ek
i
J0
Rs
最
J
近邻
Rs
e ikRs
vvvv
k kxi ky j kzk
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
简单晶格
1个原子/原胞
电子在格矢Rm
m1a1
m2a2
m3a3
处原子附近运动。
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
三、微扰计算
1、不考虑原子间相互影响,孤立原子：
[
2 2m
2
V
(r
Rm
)]i
(r
Rm
)
i i
(r
Rm
)
表位于格点 Rm上的孤立原子波函数； 0
孤立原子中的电子能级
r
r
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
继续化简得： （过程略）
紧束缚近似下：
晶体中电子的波函数及能量本征值：
k (r)
1 N
e ikRm
i
(r
Rm
)
m
E
k
i
J0
J R
Rs
最近邻
s
e ikRs
特点：是准连续能级
一般 Rs取最近邻格点的晶格矢量,即只考虑最近邻原子分布。
据简并微扰理论，用孤立原子的电子波函数 i (r线R性m) 组合构成
晶体中电子共有化运动的波函数，因此紧束缚近似也称原子轨函线
性组合法（LCAO）
晶体中电子的波函数
(r)
ami
(r
Rm
)
晶体中电子波动方程：
m
化简：
am i i
r
Rm
amV i
r
Rm
E
am i
r
Rm
m
m
m
问题1：利用紧束缚近似讨论原子能级与能带的关系？
一、基本思想 二、模型与微扰计算 三、原子能级与能带的对应
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
一、基本思想 （设晶体由作用极弱原子组成,则周期场随空间起伏显著）
电子在某原子（格点）附近运动，主要受到该原子场作用， 其他原子场作用看成微扰。
二、模型体系
2、与原子能级简单对应的相
应能带可表示为：
ns带、np带、nd带…等。 原子能级
能带
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
面心立方晶格中由原子s态形成的能带,并分析其能带宽度
解：面心立方结构与简立方结构的原子s态形成的能带的 求解过程的区别主要是最近邻格点的格矢量不同。对于 面心立方结构，最近邻格点有12个，即 Rs1 ~ Rs12 分别为：
Ek
i
J0
Rs
J
最近邻
Rs
eik Rs
vvvv k kxi ky j kzk
v E(k )
i
J0
J1
(eikxa
eikxa
eikya
eikya
eikza
eikza )
化成三角函数形式 E(k ) i J0 2J1(cos kxa coskya coskza)
(3)分析能带宽度
Rn
Rn
2、考虑原子间作用,晶体中电子：
[ 2 2 U (r)] (r) E (r)
2m
紧束缚下晶体中电子波函数
晶体的周期性势场或所有原子的势场之和U (r)
Ｎ
Ｖ
r－Ｒｍ
—— 对方程进行变换
m 1
[
2 2m
2
V
(r
Rm
)]
(r)
[U
(r)
V
(r
Rm
)]
(r)
E
(r)
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
例简立方晶格中由原子s态形成的能带,并分析其能带宽度；
求解方法：利用公式计算
Es (k )
E
k i
J0
Rs
最
J
近邻
Rs
e ikRs
公式中需要解决的是：
(1)不同方向的重叠积分
J
Rs
；
设 J1 J Rs
(2)结构中以某一点有原点，其最近邻格点的
Rs
；
(3)按(xyz)坐标，令 k kxi ky j kzk 。
Rs
eik Rs
Emin i J0 6J1 Emax i J0 6J1
孤立原子中的电子能级
E Emax Emin 12J1
原子能级分裂成能带
孤立原子中电子的一个能级在固体中变成了一个能带
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
原子能级与能带的对应规律
1、原子能级愈低，则对应的能带愈窄； 原子能级愈高，则对应的能带愈宽。
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
只考虑最近邻情况的能量本征值：
E k i J0
J Rs eikRs
Rs 最近邻
关于紧束缚近似下的能带函数的计算：
例：简立方（面心立方、体心立方）晶格中由原子s态
形成的能带，并分析其能带宽度；
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
紧束缚近似的晶格势场
A
r
Rm
注：
V
(r
Rm
)
r
Rm
Rm 处格点对A处
a
电子的作用；
O
V
晶格中 Rm格点附近任意点A的电子势能为： 其它所有格点
U
(
r)
VVU(((rrr)RRVmm())r[URV(mr))VV((rrRRmm))]
对A处电子的 作用之和，看 成微扰。
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
kz
k 0 即布里渊区中心( 点)Emin i J0 6J1
X
R
k
(
a
,
a
,
a
)即布里渊区
R
点 Emax
i
J0
6J1
kx
M
ky
E Emax Emin 12J1
简立方结构布里渊区及对称点
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
Emin i J0 6J1 Emax i J0 6J1