2018年度上海崇明区高考数学一模试卷
崇明区2018学年度第一次高考模拟考试试卷数学
崇明区2018学年度第一次高考模拟考试试卷数学考生注意：1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分） 1. 20lim31n n n →∞+=+.2. 已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂.3. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则=z .4. 821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含7x 项的系数为（用数字作答）.5. 角θ的终边经过点()y P ，4，且53sin -=θ，则=θtan . 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x y 42=上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是. 7. 圆04222=+-+y x y x 的圆心到直线0543=++y x 的距离等于.8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于. 9. 若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a . 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种. 11. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为.12. 已知数列{}n a 满足：①01=a ，②对任意的*∈N n 都有n n a a >+1成立.函数()n n a x nf -=1sin，[]1,+∈n n a a x 满足：对于任意的实数[)1,0∈m ，()m x f n =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11>.B b a >-.C 22b a >.D 33b a < 14. “2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件15. 已知a b c ，，满足++=0a b c ，且222a b c << ，则a b b c a c ⋅⋅⋅ ，，中最小的值是（ ） .A a b ⋅ .B b c ⋅ .C a c ⋅.D 不能确定16. 函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11.B 13.C 14.D 18三、解答题（本大题共有5题，满分56分）17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小. 解：（1）联结AC ， 因为1AA ABCD ⊥平面，所以1ACA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，……………………………………2分 所以14A CA π∠=，所以1AA =4分所以11113A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//AD B C 所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………3分ABCD 1A 1B 1C 1D在1BA D 中，12cos 3BA D ∠==所以12arccos3BA D ∠=……………………………………6分 所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3……………………………………7分18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）已知函数()2cos sin f x x x x =⋅+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,3,42f A a b ===.求ABC ∆的面积.解：（1）2()cos sin f x x x x =⋅+1sin 22sin(2)23x x x π=+=+……………………………………3分 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得：51212k x k ππππ-≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212k k k Z ππππ-+∈…………………………6分 （2）1()sin(2)32f A A π=+=因为(0,)2A π∈，所以42(,)333A πππ+∈所以5236A ππ+=，4A π=……………………………………2分由222cos 2b c a A bc +-==1c =……………………………………5分因为ABC △是锐角三角形，所以1c =……………………………………6分所以ABC △的面积是1sin 22ABC S bc A == ……………………………………8分19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.）（1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； （2）已知函数()()51g x a =-≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. 解：（1）因为525(25)1065f =>， 即函数()f x 不符合条件③所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分 （2）因为1a ≥，所以函数()g x 满足条件①，……………………………………2分 结合函数()g x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②，得：575≤，所以2a ≤ ………………………………………………………………4分 由函数()g x 满足条件③，得：55x≤对[25,1600]x ∈恒成立即a ≤对[25,1600]x ∈恒成立因为25+≥，当且仅当25x =时等号成立……………………………………7分 所以2a ≤………………………………………………………………8分 综上所述，实数的取值范围是[1,2]a ∈……………………………………9分20. （本题满分16分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分7分）已知椭圆()2222:10y x a b a bΓ+=>>，12,B B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点12,B B 的点，若112B F B ∆的边长为4的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； （3）设点R 满足：1122,RB PB RB PB ⊥⊥,求证：12PB B ∆与12RB B ∆的面积之比为定值.解：（1）221164x y +=………………………………………4分 （2）由题意，得：直线1PB 的方程为2y x =+…………………………………1分由2221164y x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：21121605,265x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩…………………………………3分 a故所求圆的圆心为84(,)55-，半径为5………………………………………4分 所以所求圆的方程为：2284128()()5525x y ++-=………………………………………5分（3）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164y x +=，得()2241160k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =21641k k -+．……………3分 所以21'4P P y k x k+==- …………………………………4分 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-． 由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩，得2441R k x k =+． …………………………………6分所以12120216414441PB B RB B R k S x k S x kk ∆∆-+===+． …………………………………7分21. （本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知数列{}{},n n a b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N *+=+∈. （1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 解：（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.………………………4分 （2）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②， ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 所以111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+，………………………3分所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，………………………5分 又因为101n b q+≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以1{}1n b q+- 为等比数列。
最新上海市2018届高三一模数学试卷(含答案)
高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 方程lg(34)1x +=的解x =2. 若关于x 的不等式0x a x b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}n nb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞ 16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过2017 D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2A n A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m =⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214yx+=的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为25，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标M y的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
2018年上海市各区高考数学一模试卷及答案解析(全集)
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A={1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，可得S n+1即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B={1，3} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=3．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣15．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80．=C5r（2x）5﹣r，【解答】解：设求的项为T r+1今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：807．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3] ．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为10．【解答】解：根据题意，等比数列为{a n}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和S n==（3n﹣1），若S n＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，故答案为：π．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为2．【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），∵直线OM与ON的斜率之积为2，∴•=2，所以2x1x2﹣y1y2=0，①，∵动点P满足，∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2），则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2=4（2x12﹣y12）﹣（2x22﹣y22）﹣4（2x1x2﹣y1y2）=4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2），把①代入上式得：2x2﹣y2=12，即﹣=1，所以点P是双曲线﹣=1上的点，因为即﹣=1的两个焦点为：F1（﹣3，0）、F2（3，0），所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．故答案为：2．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，故选：B．14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．33【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，∴x2 =0，且+arcsin（cosx1）﹣=0，x32+arcsin（cosx3）﹣=0，x1=﹣x3，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32=0+1+1=2．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）∵AB=2，AD=1，A1A=1．∴在等腰△ACD1中，∴cos∠CD1A===，…（4分）∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）（2）…（4分）==．…（3分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．【解答】解：（1）由，∴2ccosC+acosB+bcosA=0，由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinC≠0，∴，∴；（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+ab﹣6b2=0，∴a=2b；由知，，∴，∴b=2．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p ∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，=2p（n+1）﹣p+2，则a n+1∴a n﹣a n=2p=2，+1∴p=1，a n=3+（n﹣1）2=2n+1，（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，∴q=3，，当n=2k，k∈N*时，T n=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）==；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，=，∴．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：k AB+k AC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：l AE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）t=x+1∈（1，2），g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．，故，解得．另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，故解得．（3）如果f（D）=D，则f n（D）=D，与题干矛盾．因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1，则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．考虑到p∈D\D1，即，因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D\{p}）=f（D）\{f（p）}=D1\{f（p）}⊊D1这样就有了f（D1）⊊D1．接着令D n=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．+12018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=．2．（4分）计算=．3．（4分）方程的根是．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为（用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是（结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k 的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n}，使得当x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，2x+1∈[a n，a n+2），并求x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析+1式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．2018年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M={0，1，2} ．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（4分）计算=．【解答】解：===，故答案为：．3．（4分）方程的根是10．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴lgx=1，∴x=10．故答案为：10．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．【解答】解：∵是纯虚数，。
2018年上海市崇明县中考数学一模试卷(解析版)
2018年上海市崇明县中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．2．（4分）抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A．（3，4） B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）3．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．144．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．（4分）已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知2x=3y（y≠0），那么=．8．（4分）计算：=．9．（4分）如果一幅地图的比例尺为1：50000，那么实际距离是3km的两地在地图上的图距是cm．10．（4分）如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是．11．（4分）抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为．12．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1y2．（填“＞”、“=”或“＜”）13．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为．14．（4分）已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA 的长度为．15．（4分）正八边形的中心角等于度．16．（4分）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为．17．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是．18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣3sin60°+2cos45°．20．（10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC 交AB于点D，已知AD=5，BD=4．（1）求BC的长度；（2）如果=，=，那么请用、表示向量．21．（10分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．22．（10分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（12分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB=DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．24．（12分）如图，抛物线y=﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．2018年上海市崇明县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由勾股定理，得AC==4，由正切函数的定义，得tanA==，故选：A．2．（4分）抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A．（3，4） B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【解答】解：∵y=2（x+3）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），故选：D．3．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=8．故选：B．4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．5．（4分）已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，又∵5﹣2=3，∴两圆的位置关系是内切．故选：D．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，∵BC===8，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴=，即=，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知2x=3y（y≠0），那么=．【解答】解：由2x=3y（y≠0），可得：，所以，故答案为：8．（4分）计算：=﹣+．【解答】解：原式==﹣﹣+2=﹣+故答案为9．（4分）如果一幅地图的比例尺为1：50000，那么实际距离是3km的两地在地图上的图距是6cm．【解答】解：设两地在地图上的图距是xcm，根据题意得：=，∴x=6cm故答案为：6．10．（4分）如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：∵抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，∴a+1＜0，即a＜﹣1．故答案为a＜﹣111．（4分）抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为y=2（x+2）2+4．【解答】解：∵y=2x2+4=2（x+0）2+4，∴抛物线y=2x2+4的顶点坐标是（0，4），∴将抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，4），则平移后新抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+4．故答案是：y=2（x+2）2+412．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1＞y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【解答】解：∵y=2（x﹣3）2+5，∴a=2＞0，有最小值为5，∴抛物线开口向上，∵抛物线y=2（x﹣3）2+5对称轴为直线x=3，∵x1＞x2＞4，∴y1＞y2．故答案为：＞13．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为 4.8．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC==10，∵AD⊥BC，∴6×8=AD×10，解得：AD=4.8．故答案为：4.8．14．（4分）已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为．【解答】解：延长AG交BC于D，∵G是三角形的重心，∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，由勾股定理得，AD==，∴GA=AD=，故答案为：．15．（4分）正八边形的中心角等于45度．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．16．（4分）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为1：2.4．【解答】解：∵一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，∴这个斜坡的水平距离为：=120m，∴这个斜坡的坡度为：50：120=1：2.4．故答案为1：2.4．17．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．【解答】解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1），故答案为（﹣1，1）18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．【解答】解：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°，∴D，C，E，F四点共圆，∴∠CDE=∠CFE=∠B，又∵CE=FE，∴∠CFE=∠FCE，∴∠B=∠FCE，∴CF=BF，同理可得，CF=AF，∴AF=BF，即F是AB的中点，∴Rt△ABC中，CF=AB=5，由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC=∠DEC，由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A，∴∠DFC=∠A，又∵∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2=CD×CA，即52=CD×8，∴CD=，故答案为：．解：由对称性可知CF⊥DE，又∵∠DCE=90°，∴∠CDE=∠ECF=∠B，∴CF=BF，同理可得CF=AF，∴F是AB的中点，∴CF=AB=5，又∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2=CD×CA，即52=CD×8，∴CD=，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣3sin60°+2cos45°．【解答】解：原式===．20．（10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，已知AD=5，BD=4．（1）求BC的长度；（2）如果=，=，那么请用、表示向量．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵ED∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE=4，∵ED∥BC，∴，又∵AD=5，BD=4∴AB=9，∴∴．（2）∵ED∥BC，∴，∴，又∵与同向，∴，∵，，∴，∴．21．（10分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC∴∠AFO=∠CEO=90°，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵CE=2，∴AF=2，∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴AB=4．（2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC∵AB=4，∴，∵∠AEB=90°，∴∠A=30°，又∵∠AFO=90°，∴cosA===，∴，即⊙O的半径是．22．（10分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tan37°=，∴AH==，在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴=，∵AC=CB，∴AH=HD，∴=x+5，∴x=≈15，∴AE=AH+HE=+15≈35km，∴E处距离港口A有35km．23．（12分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB=DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD，∵∠BGC=∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC=DF•BG，∵AB=BC，∴DG•AB=DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD=∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG=∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG=45°．24．（12分）如图，抛物线y=﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），∴NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，而NP=PM，∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得m1=3（舍去），m2=，∴N点坐标为（，）；（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴AB==，BP==m，而NP=﹣m2+4m，∵MN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，当=时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即m：2=（﹣m2+4m）：，整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此时M点的坐标为（，0）；当=时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即m：=（﹣m2+4m）：2，整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此时M点的坐标为（，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴，∵AC=8，∴AB=10，∵D是AB边的中点，∴，∵DE⊥AC，∴∠DEA=∠DEC=90°，∴，∴AE=4，∴CE=8﹣4=4，∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，∴DE=3，∵DF⊥DE，∴∠FDE=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF=EC=4，∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，∴EF=5（2）不变如图2，过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，由（1）可得DH=3，DG=4，∵DH⊥AC，DG⊥BC，∴∠DHC=∠DGC=90°又∵∠ACB=90°，∴四边形DHCG是矩形，∴∠HDG=90°，∵∠FDE=90°，∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，即∠EDH=∠FDG，又∵∠DHE=∠DGF=90°∴△EDH∽△FDG，∴，∵∠FDE=90°，∴，（3）①当QF=QC时，∴∠QFC=∠QCF，∵∠EDF+∠ECF=180°，∴点D，E，C，F四点共圆，∴∠ECQ=∠DFE，∠DFE+∠QFC=∠ECQ+∠QCF=∠ACB=90°，即∠DFC=90°，又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴，∴，②当FQ=FC时，∴∠BCD=∠CQF，∵点D是AB的中点，∴BD=CD=AB=5，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，∴△FQC∽△DCB，由①知，点D，E，C，F四点共圆，∴∠DEF=∠DCF，∵∠DQE=∠FQC，∴△FQC∽△DEQ，即：△FQC∽△DEQ∽△DCB∵在Rt△EDF中，，∴设DE=3k，则DF=4k，EF=5k，∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，∴DE=DQ=3k，∴CQ=5﹣3k，∵△DEQ∽△DCB，∴，∴，∴，∵△FQC∽△DCB，∴，∴，解得，∴，∴，③当CF=CQ时，如图3，∴∠BCD=∠CQF，由②知，CD=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵△EDQ∽△BDK，在BC边上截取BK=BD=5，过点D作DH⊥BC于H，∴DH=AC=4，BH=BC=3，由勾股定理得，同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，∴设DE=3m，则EQ=3m，EF=5m，∴FQ=2m，∵△EDQ∽△BDK，∴，∴DQ=m，∴CQ=FC=5﹣m，∵△CQF∽△BDK，∴，∴，解得m=，∴，∴．即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
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第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
2018年上海市崇明区高考数学一模试卷
2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合A ={1, 2, 5}，B ={2, a}，若A ∪B ={1, 2, 3, 5}，则a =________．2. 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为________．3. 不等式xx+1<0的解是________．4. 若复数z 满足iz =1+i （i 为虚数单位），则z =________．5. 在代数式(x −1x 2)7的展开式中，一次项的系数是________．（用数字作答）6. 若函数y =2sin(ωx −π3)+1(ω>0)的最小正周期是π，则ω=________．7. 若函数f(x)=x a 的反函数的图象经过点(12, 14)，则a =________．8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为________cm 2．9. 已知函数y =f(x)是奇函数，当x <0 时，f(x)=2x −ax ，且f(2)=2，则a =________．10. 若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a −32，且 lim n→∞S n =a ，则a =________．11. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）12. 在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若AE →⋅BC →=6，|AB →|=2，则AC =________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）展开式为ad −bc 的行列式是（ ）A.|a b d c| B.|a c b d | C.|a d b c | D.|b a d c|设a ，b ∈R ，若a >b ，则（ ） A.1a <1bB.lga >lgbC.sin a >sin bD.2a >2b已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件直线x =2与双曲线x 24−y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP →=aOA →+bOB →（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≥1 B.|ab|≥1C.|a +b|≥1D.|a −b|≥2 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60∘， （1）求四棱锥A 1−ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．已知f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．（1）求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a =√7，b =√3，且f(A2)=√3，求边c 的值．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f (n)为第 1 年至此后第 n (n ∈N ∗)年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位：千万元），且当 f (n)为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f (n)的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．在平面直角坐标系中，已知椭圆C:x 2a +y 2=1 (a >0, a ≠1)的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l:y =kx +m(k, m ∈R)与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；，求证：△OAB的面积为定值．（3）若a=2，且k OA⋅k OB=−14若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”．（1）若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f(x)＝log2x是否是“2−利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f(x)(x∈R)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤1．参考答案与试题解析2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.【答案】3【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A={1, 2, 5}，B={2, a}，A∪B={1, 2, 3, 5}，∴a=3．2.【答案】(1, 0)【考点】抛物线的性质【解析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】∵抛物线y2＝4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p＝2∴焦点坐标为：(1, 0)3.【答案】(−1, 0)【考点】其他不等式的解法【解析】不等式xx+1<0，即x(x+1)<0，由此求得它的解集．【解答】不等式xx+1<0，即x(x+1)<0，求得−1<x<0，4.【答案】1−i【考点】复数的运算【解析】由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】由iz=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)i(−i)=1−i5.【答案】21【考点】二项式定理的应用【解析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【解答】(x−1x2)7的展开式的通项为T r+1=C7r∗x7−r∗(−1x2)r=(−1)r∗C7r∗x7−3r，由7−3r=1，得r=2，∴一次项的系数是(−1)2∗C72=21．6.【答案】2【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据正弦函数的图象与性质，即可求出ω的值．【解答】根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin(ωx−π3)+1(ω>0)的最小正周期是T=2πω=π，解得ω=2．7.【答案】12【考点】反函数【解析】直接利用反函数的性质求出结果．【解答】若函数f(x)=x a的反函数的图象经过点(12, 14 )，则：(14, 12)满足f(x)=xα，所以：12=(14)α，解得：α=12，8.【答案】18π【考点】柱体、锥体、台体的面积求解【解析】设正方形的边长为acm，根据圆柱体的体积求出a的值，再求该圆柱体的侧面积．【解答】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2⋅a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．9.【答案】−9 8【考点】函数的求值【解析】x>0时，f(x)=−2−x−ax，再由f(2)=2，得f(2)=−2−2−2a=2，由此能求出a 的值．【解答】∵函数y=f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=2x−ax，∴x>0时，−f(x)=2−x−a(−x)，∴f(x)=−2−x−ax，∵f(2)=2，∴f(2)=−2−2−2a=2，解得a=−98．10.【答案】2【考点】数列的极限【解析】运用无穷递缩等比数列的求和公式，可得11−(a−32)=a，解方程可得a的值，由0<|q|<1，即可得到所求值．【解答】无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a−32，且limn→∞S n=a，可得a11−q =a，即有11−(a−32)=a，即为2a2−5a+2=0，解得a=2或12，由题意可得0<|q|<1，即有0<|a−32|<1，检验a =2成立；a =12不成立． 11.【答案】 780【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，按参加服务队女生的人数分2种情况讨论，每种情况中先计算4人的选取方法，再计算队长和副队的分配情况数目，由分步计数原理计算可得每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【解答】根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C 53C 31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C 52C 32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C 51C 33=5种选法， 这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有5×12=60种不同的选法， 则一共有360+360+60=780； 12.【答案】 4【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据题意建立平面直角坐标系，设B(−a, 0)，C(a, 0)，E(0, b)，∠ABC =α，由|AB →|=2求出点A 的坐标，再写出AE →、BC →，利用AE →⋅BC →=6求出a 与α的关系，计算模长|AC →|．【解答】建立平面直角坐标系如图所示，设B(−a, 0)，C(a, 0)，E(0, b)，∠ABC =α， 由|AB →|=2，知A(−a +2cosα, 2sinα)，∴ AE →=(a −2cosα, b −2sinα)， BC →=(2a, 0)，∴ AE →⋅BC →=2a(a −2cosα)+0=2a 2−4acosα=6， ∴ a 2−2acosα=3；又AC →=(2a −2cosα, −2sinα)， ∴ AC →2=(2a −2cosα)2+(−2sinα)2 =4a 2−8acosα+4 =4(a 2−2acosα)+4 =4×3+4 =16，∴ |AC →|=4，即AC =4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 【答案】 B【考点】二阶行列式与逆矩阵 【解析】 根据|a bc d|叫做二阶行列式，它的算法是：ad −bc ，再根据所给的式子即可得出答案． 【解答】根据|a bcd|叫做二阶行列式，它的算法是：ad −bc ， 由题意得，|acbd|=ad −bc ． 【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】利用指数函数的单调性可判断D 准确． 【解答】由a >b ，利用指数函数的单调性可得：2a >2b ．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ，B ，C 不正确． 【答案】 C【考点】 此题暂无考点 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n }为等差数列，所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d ，2S 5=10a 1+20d ，S 4+S 6−2S 5=d ，所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5． 故选C ．【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】 双曲线x 24−y 2=1的渐近线为：y =±12x ．把x =2代入上述方程可得：y ．不妨取A(2, 1)，B(2, −1)．利用OP →=aOA →+bOB →，可得P 坐标，代入双曲线方程，再利用重要不等式的性质即可得出结论． 【解答】 双曲线x 24−y 2=1的渐近线为：y =±12x ．把x =2代入上述方程可得：y =±1． 不妨取A(2, 1)，B(2, −1)．OP →=aOA →+bOB →=(2a +2b, a −b)． 代入双曲线方程可得：(2a+2b)24−(a −b)2=1，化为ab =14． ∴ 14=ab ≤(a+b 2)2，化为：|a +b|≥1．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【答案】∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2， ∴ AA 1⊥平面ABCD ，AC =√22+22=2√2， ∴ ∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵ A 1C 与底面ABCD 所成的角为60∘，∴ ∠A 1CA =60∘，∴ AA 1=AC ⋅tan60∘=2√2⋅√3=2√6， ∵ S 正方形ABCD =AB ×BC =2×2=4， ∴ 四棱锥A 1−ABCD 的体积：V =13×AA 1×S 正方形ABCD =13×2√6×4=8√63． ∵ BD // B 1D 1，∴ ∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）． ∵ BD =√4+4=2√2，A 1D =A 1B =√22+(2√6)2=2√7， ∴ cos∠A 1BD =A 1B 2+BD 2−A 1D 22×A 1B×BD=2×27×22=√1414． ∴ ∠A 1BD =arccos √1414．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos√1414．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】（1）推导出AA1⊥平面ABCD，从而∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，进而∠A1CA=60∘，AA1=AC⋅tan60∘=2√6，由此能求出四棱锥A1−ABCD的体积．（2）由BD // B1D1，得∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与B1D1所成角．【解答】∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC=√22+22=2√2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60∘，∴∠A1CA=60∘，∴AA1=AC⋅tan60∘=2√2⋅√3=2√6，∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，∴四棱锥A1−ABCD的体积：V=13×AA1×S正方形ABCD=13×2√6×4=8√63．∵BD // B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=√4+4=2√2，A1D=A1B=√22+(2√6)2=2√7，∴cos∠A1BD=A1B2+BD2−A1D22×A1B×BD =2×27×22=√1414．∴∠A1BD=arccos√1414．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos√1414．【答案】当2x+π6=π2+2kπ时，即x=kπ+π6(k∈Z)，f(x)取得最大值为2；由f(A2)=√3，即2sin(A+π6)=√3可得sin(A+π6)=√32∵0<A<π∴π6<A+π6<7π6∴A+π6=π3或2π3∴A=π6或π2当A=π6时，cosA=c2+b2−a22bc=√32∵a=√7，b=√3，解得：c=4当A=π2时，cosA=c2+b2−a22bc=0∵a=√7，b=√3，解得：c=2．【考点】三角形求面积【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）根据f(A2)=√3，求解A，利用余弦定理即可求解c的值；【解答】当2x+π6=π2+2kπ时，即x=kπ+π6(k∈Z)，f(x)取得最大值为2；由f(A2)=√3，即2sin(A+π6)=√3可得sin(A+π6)=√32∵0<A<π∴π6<A+π6<7π6∴A+π6=π3或2π3∴A=π6或π2当A=π6时，cosA=c2+b2−a22bc=√32∵a=√7，b=√3，解得：c=4当A =π2时，cosA =c 2+b 2−a 22bc=0∵ a =√7，b =√3， 解得：c =2． 【答案】 =−152<0，f=(32)7−21≈5×278−21=−338<0，f(1)=(32)8−23≈25−23=2>0．∴ 该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）由题意知，第1年至此后第n(n ∈N ∗)年的累计投入为8+2(n −1)（千万元），第1年至此后第n(n ∈N ∗)年的累计净收入为12+12×(32)1+12×(32)2+...+12×(32)n−1，利用等比数列的求和公式可得f(n)．（2）方法一：由f(n +1)−f(n)=12[(32)n −4]，利用指数函数的单调性即可得出； 方法二：设f(x)=(32)x −2x −7(x ≥1)，求导利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】由题意知，第1年至此后第n(n ∈N ∗)年的累计投入为8+2(n −1)=2n +6（千万元）， 第1年至此后第n(n ∈N ∗)年的累计净收入为12+12×(32)1+12×(32)2+...+12×(32)n−1 =12[1−(32)n brack 1−32=(32)n −1（千万元）．∴ f(n)=(32)n −1−(2n +6)=(32)n −2n −7（千万元）．方法一：∵ f(n +1)−f(n)=[(32)n+1−2(n +1)−7]−[(32)n −2n −7]=12[(32)n −4]，∴ 当n ≤3时，f(n +1)−f(n)<0，故当n ≤4时，f(n)递减； 当n ≥4时，f(n +1)−f(n)>0，故当n ≥4时，f(n)递增． 又f(1)=−152<0，f(7)=(32)7−21≈5×278−21=−338<0，f(8)=(32)8−23≈25−23=2>0．∴ 该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f(x)=(32)x −2x −7(x ≥1)，则f′(x)=(32)x ln 32−2，令f ′(x)=0，得(32)x=2ln 32=2ln3−ln2≈21.1−0.7=5，∴ x ≈4．从而当x ∈[1, 4)时，f ′(x)<0，f(x)递减； 当x ∈(4, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)递增．又f(1)=−152<0，f(7)=(32)7−21≈5×278−21=−338<0，f(8)=(32)8−23≈25−23=2>0．∴ 该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利． 【答案】∵ M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴ △MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴ OF 1=OM ，当a >1时，√a 2−1=1，解得a =√2， 当0<a <1时，√1−a 2=a ，解得a =√22，当k =1时，y =x +m ，设A(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，由{y =x +mx 2a 2+y 2=1 ，即(1+a 2)x 2+2a 2mx +a 2m 2−a 2=0， ∴ x 1+x 2=−2a 2m 1+a2，x 1x 2=a 2m−a 21+a 2，∴ y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m 2−a 21+a 2，∵ △OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴ OA →⋅OB →=0， ∴ x 1x 2+y 1y 2=0， ∴a 2m−a 21+a +m 2−a 21+a =0，∴ a 2m 2−a 2+m 2−a 2=0 ∴ m 2(a 2+1)=2a 2，证明：当a =2时，x 2+4y 2=4， 设A(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， ∵ k OA ⋅k OB =−14，∴ y 1x 1⋅y 2x 2=−14，∴ x 1x 2=−4y 1y 2，由{x 2+4y 2=4y =kx +m ，整理得，(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0． ∴ x 1+x 2=−8km1+4k ，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =4m 2k 2−4k 21+4k 2+−8k 2m 21+4k 2+m 2=m 2−4k 21+4k 2，∴4m 2−41+4k 2=−4×m 2−4k 21+4k 2，∴ 2m 2−4k 2=1，∴ |AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k 2m 2(1+4k 2)2−16m 2−161+4k 2=2√1+k 2⋅√4k 2+1−m 21+4k 2=4√1+k 2∗√m 21+4k 2∵ O 到直线y =kx +m 的距离d =√1+k2=√m 2√1+k 2，∴ S △OAB =12|AB|d =12=4√1+k2∗√m 21+4k 2√m 2√1+k 2=2m 21+4k 2=1【考点】椭圆的定义 【解析】（1）根据△MF 1F 2是直角三角形，即可OF 1=OM ，分类讨论即可即可求得a 的值方程； （2）将直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，以及向量的数量积即可求出m 2(a 2+1)=2a 2；（3）将直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及直线的斜率公式，求得2m 2−4k 2=1．由弦长公式及点到直线的距离公式，求得|AB|及d ，根据三角形的面积公式，化简即可求得△AOB 的面积为定值 【解答】∵ M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴ △MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴ OF 1=OM ，当a >1时，√a 2−1=1，解得a =√2， 当0<a <1时，√1−a 2=a ，解得a =√22，当k =1时，y =x +m ，设A(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，由{y =x +mx 2a2+y 2=1 ，即(1+a 2)x 2+2a 2mx +a 2m 2−a 2=0， ∴ x 1+x 2=−2a 2m 1+a 2，x 1x 2=a 2m−a 21+a 2，∴ y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m 2−a 21+a 2，∵ △OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴ OA →⋅OB →=0， ∴ x 1x 2+y 1y 2=0， ∴a 2m−a 21+a 2+m 2−a 21+a 2=0，∴ a 2m 2−a 2+m 2−a 2=0 ∴ m 2(a 2+1)=2a 2，证明：当a =2时，x 2+4y 2=4， 设A(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， ∵ k OA ⋅k OB =−14，∴ y 1x 1⋅y 2x 2=−14，∴ x 1x 2=−4y 1y 2，由{x 2+4y 2=4y =kx +m，整理得，(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0．∴x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=4m2k2−4k21+4k2+−8k2m21+4k2+m2=m2−4k21+4k2，∴4m2−41+4k2=−4×m2−4k21+4k2，∴2m2−4k2=1，∴|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√64k2m2(1+4k2)2−16m2−161+4k2=2√1+k2⋅√4k2+1−m21+4k2=4√1+k2∗√m21+4k2∵O到直线y=kx+m的距离d=√1+k2=√m2√1+k2，∴S△OAB =12|AB|d=12=4√1+k2∗√m21+4k2√m2√1+k2=2m21+4k2=1【答案】若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1, 4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<x+x<12，∴k的最小值为12．f(x)＝log2x的定义域为(0, +∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)＝log212−log214=−1−(−2)＝1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)＝log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0, 2]内f(a)＝M，f(b)＝m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m＝f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m＝f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；（2）令x1=12，x2=14即可举出反例，得出结论；（3）设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f(a)＝M，f(b)＝m，根据|a−b|与1的大小关系和“1−利普希兹条件函数”的性质得出结论．【解答】若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1, 4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<√x+√x<12，∴k的最小值为12．f(x)＝log2x的定义域为(0, +∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)＝log212−log214=−1−(−2)＝1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)＝log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0, 2]内f(a)＝M，f(b)＝m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m＝f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m＝f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．。
最新-上海市崇明县2018届高三数学高考模拟考试试卷 文
崇明县2018年高考模拟考试试卷高三数学（文科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上） 1、方程2log (34)1x -=的解x = ．2、函数44cos sin y x x ππ=-的最小正周期T = ．3、已知z 是方程2(1)z i z -=+的复数解，则z = ．4、若直线l 过点(0,1)P ，且方向向量为(2,1)-，则直线l 的方程为 ．（用直线方程的一般式表示） 5、二项式6(x -的展开式中常数项是第 项．6、执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值等于 ．7、函数11()(1)2f x x xx=≥的值域为 ． 8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若318156,18S S S =--=，则18S = ．9、已知实数,x y 满足以下关系：0,0,230x y x x y ≥-≥+-≤，设2z x y =-，则z 的最大值等于 ． 10、若一个无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1lim 2n n S →∞=， 则首项1a 取值范围是________．11、圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的实心铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好 淹没最上面的球，则球的半径等于 cm ．（第6题图）ABCD12、已知双曲线22118x y m m -=+(0)m >的一条渐近线方程为y ，它的一个焦点恰好在抛物线22y px =(0)p >的准线上，则p = ． 13、如图：在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，1,2AB BC BD ==，则AC AB ⋅= ．14、设函数2()1f x x =+，若关于x 的不等式2()4()4()(1)xf f m m f x f x m+≤+-对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分） 15、从总体中抽取的一个样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则总体方差的点估计值等于………………………………………………………………（ ） A 、52BCD 、216、命题P ：“12x -<”，命题Q ：“213x x -<-”．则P 是Q 的……………………………（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件17、函数()23x f x x =+的一个零点所在的一个区间是………………………………………（ ） A 、(1,2)B 、(0,1)C 、(1,0)-D 、(2,1)--18、将2本不同语文书、2本不同外语书、2本不同数学书排成一排放到书架上，则2本数学书不排在相邻位置的概率等于………………………………………………………………（ ） A 、424566P C PB 、424566P P PC 、424466P C PD 、424466P P P三、解答题（本大题共5小题，满分74分。
2018年高三第一次高考模拟考试数学(理科)试卷 (2)
上海市崇明县2015年第一次高考模拟考试试卷数 学（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（每题4分，共56分） 1、设复数11z i=+，22()zxi x R =+∈，若12zz R⋅∈，则x 的值等于 ．2、函数2()f x =+的定义域是 ．3、已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为 ．4、在二项式252x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答） 5、已知双曲线2221kx y-=(0)k >的一条渐近线的法向量是(1,2)，那么k =．6、圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ．7、设无穷等比数列{}na (*)n N ∈的公比12q =-,11a =，则2462li m ()nn a a a a→∞++++= ．8、为了估计某鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时间，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为 ． 9、已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K F=，则A F K ∆的面积为 ．10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ． 11、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，0111()201x x a x f x b x x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，， 其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ．12、在A B C ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知sin cos a c B b C =+．b =，则A B C ∆面积的最大值等于 ．13、定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21C :y x a =+到直线:l y x=的距离等于222:(4)2C xy ++=到直线:l y x=的距离，则实数a =.14、若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ： ①{},{},{},{,,}a c a b c τ=∅； ②{},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③{},{},{,},{,}a a b a c τ=∅； ④{},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．（写出所有集合X 上的拓扑的集合τ的序号）二、选择题（每题5分，共20分） 15、若0a <，0b <，则22bap ab=+与q a b=+的大小关系为（ ）A.p q<B.p q≤C.p q> D.p q≥ 16、已知圆221x y+=及以下三个函数：①3()f x x =；②()co s f x x x=；③()tan f x x=．其中图像能等分圆的面积的函数个为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．017、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x=，则53f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C．2-D218、如图，正A B C ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿A B C ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)A G Px x π∠=≤≤，向量O P 在(1,0)a=方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()yf x =的图像是（ ）三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤） 19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分） 如图，在四棱锥P A B C D-的底面梯形A B C D 中，A D B C ∥，A BB C⊥，1AB=，3A D =，45A D C∠=︒．又已知PA ⊥平面A B C D ，1P A =．求：（1）异面直线P B 与C D 所成角的大小. （2）四棱锥P A B C D-的体积．20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）已知函数21()s sin 22f x x x=+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．A ．B ．C ．D ．PDCA21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x xx =-≥，220()(4)(1)3g x x x =-≥，2()30lo g 2(1)h x x x =-≥，其中x表示月数，{}na 分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60． 22、（本题16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k =+∈R ，使得22O A O B O A O B+=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.23、（本题18分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题8分） 已知等差数列{}na 满足37a=，5726aa +=．（1）求{}na 的通项公式；（2）若222na n m+=，数列{}nb 满足关系式11,1,,2,nn n bb m n -=⎧=⎨+⎩≥，求数列{}nb 的通项公式；（3）设（2）中的数列{}n b 的前n项和nS ，对任意的正整数n，1(1)(2)()22n n n S n n p +-⋅++++<恒成立，求实数p 的取值范围．上海市崇明县2014学年高三一模参考答案及评分标准 一、填空题：1、2-；2、[)1,0；3、36x y =⎧⎨=-⎩；4、80-；5、12； 6、π103；7、23-； 8、30000；9、8； 10、71011、10-； 12、212+ ；13、49；14、②④二、选择题：15、B; 16、A ； 17、D ； 18、C 三、解答题：19、解：（1）在梯形ABCD 中，过B 作CDBE //，交AD 于E ，则PBE ∠就是异面直线PB 与CD 所成角。
精品解析：【全国市级联考】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题
A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数A. 5603C.5803D. 2403．若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()k k k z ππππ-+∈8．sin30cos15cos150sin15︒︒-︒︒=__________．9．已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为______，此时四边形PAOB外接圆的方程为______．10．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质11．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线12．方程组26x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿3②若2b ac=，则ABC∆为等边三角形③若2a c=，则ABC∆锐角三角形④若2•••AB AB AC BA BC CA CB=++，则3a c=⑤若tan tan 0A C ++>，则ABC ∆为锐角三角形三、解答题.（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)。
在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以，(,1)b x =（的夹角为锐角，求32(4,)a b y -=时，求x y +的值本小题满分12x x f cos 2)(+=某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度。
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
上海市崇明县2018年中考数学一模试卷(解析版)
2018年上海市崇明县中考数学一模试卷一、选择题1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【答案】A【解析】由勾股定理，得AC =224AB BC -=，由正切函数的定义，得tanA=34BC AC =， 故选A ．2. 抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A. （3，4）B. （3，﹣4）C. （﹣3，4）D. （﹣3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式为：y=a （x-h ）²+k （a≠0），其中顶点坐标为（h ，k ）.【详解】∵y =2（x +3）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），故选D ． 3. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，已知AE=6，AD 3DB 4=，则EC 的长是 A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴AE ADEC DB=．又∵AE=6，AD3DB4=，∴63EC8EC4=⇒=．故选B．4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选B．5. 已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】【详解】∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，又∵5﹣2=3，∴两圆的位置关系是内切．故选D．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E 作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A. 52B.83C.103D.154【答案】C【解析】【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=163，据此得出EF=DF-DE=103.【详解】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵DAE HAE AE AEADE AHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD=AH，同理△CGE ≌△CHE ，∴CG=CH ，设BD=BG=x ，则AD=AH=6-x 、CG=CH=8-x ，∵AC=22226810AB BC ，∴6-x+8-x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴AD DF AB BC =，即468DF =， 解得：DF=163， 则EF=DF-DE=163-2=103， 故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题7. 已知 ()2x 3y y 0=≠，那么x y y+=________． 【答案】52【解析】【分析】由已知得出比例式，表示出x ，y ，代入解答即可．【详解】由2x=3y （y≠0），可得：x y ＝32， 所以x y y +＝232+＝52， 故答案52【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键． 8. 计算：13()(2)22a b a b --- =_____．【答案】a b -+【解析】13222a b a b ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13222a b a b --+ =a b -+故答案为: a b -+.9. 如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3km 的两地在地图上的图距是_________cm ．【答案】6【解析】【分析】设两地在地图上的图距是xcm ，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm ，根据题意得：1:,30000050000=x ∴x=6cm故答案为：6．【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．10. 如果抛物线y=（a+1）x 2﹣4有最高点，那么a 的取值范围是_____．【答案】1a <-【解析】试题解析：∵抛物线()214y a x =+-有最高点， ∴a+1＜0，即a ＜-1．故答案为a ＜-1．11. 抛物线y ＝2x 2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．【答案】y=2（x+2）2+4【解析】试题解析：∵二次函数解析式为y=2x 2+4，∴顶点坐标（0，4）向左平移2个单位得到的点是（-2，4），可设新函数的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入顶点坐标得y=2（x+2）2+4，故答案为y=2（x+2）2+4．点睛：函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 12. 已知点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是抛物线y=2（x ﹣3）2+5上的两点，如果x 1＞x 2＞4，那么y 1_____y 2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】【分析】【详解】∵y =2（x ﹣3）2+5，∴a =2＞0，有最小值为5，∴抛物线开口向上，∵抛物线y =2（x ﹣3）2+5对称轴为直线x =3，∵x 1＞x 2＞4，∴y 1＞y 2．故答案为＞【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．【答案】4.8【解析】【分析】【详解】∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=22AB AC+=10，∵AD⊥BC，∴6×8=AD×10，解得：AD=4.8．故答案为4.8．14. 已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为_____．3【解析】【分析】【详解】延长AG交BC于D，∵G是三角形的重心，∴AD⊥BC，BD=DC=12BC=32，由勾股定理得，AD2233AB BD=-，∴GA=23AD33．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，等边三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解答本题的关键.15. 正八边形的中心角为______度．【答案】45°【解析】【分析】运用正n 边形的中心角的计算公式360n︒计算即可. 【详解】解：由正n 边形的中心角的计算公式可得其中心角为360458︒=︒， 故答案为45°. 【点睛】本题考查了正n 边形中心角的计算.16. 如图，一个斜坡长 130 m ，坡顶离水平地面的距离为 50 m ，那么这个斜坡的坡度为________．【答案】1：2.4【解析】试题解析：如图，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=130m ，BC=50m ， ∴2222=13050AB BC --，∴tan∠BAC=50512012 BCAC==．17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.【答案】(-1,1)【解析】试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（-1，1），18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF.若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__【答案】23 8【解析】分析：由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE=∠ECF=∠B，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．详解：由对称性可知CF⊥DE，又∵∠DCE=90°，∴∠CDE=∠ECF=∠B，∴CF=BF，同理可得CF=AF ，∴F 是AB 的中点， ∴CF=12AB=5， 又∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF 2=CD×CA，即52=CD×8， ∴CD=258. 故答案是：258. 点睛：考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F 是AB 的中点．三、解答题19. 计算：000tan 45cot 302sin 45-﹣3sin60°+2cos45°．【答案】【解析】【分析】同类二次根式化简. 【详解】解：000tan45cot302sin45-﹣3sin60°+2cos45°32-+= 20. 如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ，已知5AD =，4BD =． （1）求BC 的长度；（2）如果AD a =，AE b =，那么请用a 、b 表示向量CB ．【答案】（1）365；（2）9955CB a b =- 【解析】 试题分析：（1）由BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED ∥BC ，可证得BD=DE ，DE AD BC AB =，从而可求出结论；（2）由ED BC ，得5=9DE AD BC AB =.故95BC DE = 又ED 与CB 同向，所以95CB ED =，由AD a =，AE b =得ED a b =-，因此9955CB a b =- 试题解析：（1）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠.∵ED BC ，∴DEB CBE ∠=∠.∴ABE DEB ∠=∠.∴4BD DE ==.∵ED BC ，∴DE AD BC AB=. 又∵5AD =，4BD =，∴9AB =，∴459BC =，∴365BC =. （2）∵ED BC ， ∴5=9DE AD BC AB =. ∴95BC DE = 又∵ED 与CB 同向∴95 CB ED=∵AD a=，AE b=∴ED a b=-∴9955 CB a b=-21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【答案】（1）AB=4；（2）⊙O433【解析】试题分析：（1）由CD AB⊥，AO BC⊥得AFO CEO∠=∠，AOF COE∠=∠，结合AO CO=可证AOF COE≌.从而AF=CE，故可求得AB的长；（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=12AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO的值.试题解析：（1）∵CD AB⊥，AO BC⊥∴90AFO CEO∠=∠=︒在AOF COE和中AFO CEOAOF COEAO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOF COE≌∴CE AF=∵2CE=,∴2AF=∵CD是O的直径，CD AB⊥∴12AF BF AB==∴4AB =.（2） ∵AO 是O 的半径，AO BC ⊥, ∴2CE BE ==,∵4AB =, ∴12BE AB =. ∵90AEB ∠=︒，∴30A ∠=︒.又∵90AFO ∠=︒∴23AF CosA AO AO === ∴433AO = 即O 的半径是433. 22. 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处．一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】35km【解析】【分析】过点C 作CH ⊥AD 于H ．.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥AD 于H ．.设CH xkm =.Rt ACH ∆中，37A ︒∠=， ∵tan 37CH AH︒=， ∴tan 37tan 37CH x AH ︒︒==. 在Rt CEH ∆中，45CEH ︒∠=， ∵tan 45CH EH︒=， ∴tan 45CH EH x ︒==. ∵,CH AD BD AD ⊥⊥，∴90AHC ADB ︒∠=∠=.∴//HC DB . ∴AH AC HD CB=. 又C 为AB 的中点，∴AC CB =.∴AH HD =. ∴5tan 37x x ︒=+. ∴5tan 3750.75151tan 3710.75x ︒︒⨯⨯=≈=--. ∴151535(km)tan 37AE AH HE ︒=+=+≈. 因此，E 处距离港口A 大约为35km.点睛：本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．23. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，BF 交边DC于点G．（1）求证：GD•AB=DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明△BGC∽△DGF，然后根据相似三角形的性质列比例式整理即可；（2）连接BD、CF，由△BGC∽△DGF，可得BG CGDG FG=,变形得BG DGCG FG=，可证△BGD∽△CGF，从而∠BDG=∠CFG，再根据正方形的性质求出∠BDG即可.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD，∵∠BGC=∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴BG BC DG DF=，∴DG•BC=DF•BG，∵AB=BC，∴DG•AB=DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC ∽△DGF ， ∴BG CG DG FG =， ∴BG DG CG FG =， 又∵∠BGD=∠CGF ， ∴△BGD ∽△CGF ，∴∠BDG=∠CFG ，∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线， ∴1BDG ADC 452︒∠=∠=， ∴∠CFG=45°． 24. 如图，抛物线y=–43x 2+bx+c 过点A （3，0），B （0，2）．M （m ，0）为线段OA 上一个动点（点M 与点A 不重合），过点M 作垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P 是MN 的中点，那么求此时点N 的坐标； （3）如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x =-+ ，2410233y x x =-++；（2）110(,)23N ；（3）5(,0)2M 【解析】【分析】 （1）运用待定系数法求解即可；（2）设2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得2443NP m m =-+223PM m =-+ ,再由点坐标公式得出方程，求解即可；（3）分两种情况进行讨论即可得解.【详解】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+（0k ≠）∵()3,0A ，()0,2B∴302k b b +=⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为223y x =-+ ∵抛物线243y x bx c =-++经过点()3,0A ，()0,2B ∴493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴2410233y x x =-++ （2）∵MN x ⊥轴， (),0M m ∴设2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴2443NP m m =-+， 223PM m =-+ ∵P 点是MN 的中点∴NP PM = ∴2424233m m m -+=-+ 解得112m =，23m =（不合题意，舍去） ∴110,23N ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）∵()3,0A ，()0,2B ， 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴AB =BP =∴AP = ∵BPN APM ∠=∠∴当BPN △与APM △相似时，存在以下两种情况： ①BP PM PN PA=∴213223341341333m m m m m -+=-+- 解得118m = ∴11,08M ⎛⎫⎪⎝⎭ ② BP PA PN PM= ∴213131333424233m m m m m -=-+-+ ,解得52m = ∴点M 的坐标为5,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭25. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，cos A ＝45，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE ⊥AC 时，求EF 的长； （2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，∠DFE 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE 的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当△CQF 是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．【答案】（1）5；（2）不变；（3）4111或3或527117. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G ，由（1）可得DH=3，DG=4；再证EDH FDG ∽，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）∵90ACB ∠=︒，45cosA =∴45AC AB = ∵8AC =∴10AB =∵D 是AB 边的中点∴152AD AB == ∵DE AC ⊥∴90DEA DEC ∠=∠=︒∴45AE cosA AD == ∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ⊥∴90FDE ∠=︒又∵90ACB ∠=︒∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ∠=∠=︒又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵90FDE ∠=︒∴HDG HDF EDF HDF ∠-∠=∠-∠ 即EDH FDG ∠=∠ 又∵90DHE DGF ∠=∠=︒∴EDH FDG ∽ ∴34DE DH DF DG == ∵90FDE ∠=︒ ∴34DE tan DFE DF ∠== （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC ∠+∠=︒，即90DFC ∠=︒ 又∵90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点 ∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === 2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中，34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k =∴75FQ FC k == ∵FQC DCB ∽∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= 3° 在BC 边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出DK = 当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK ∽∽ ∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k =∴2FQ k =∵EDQ BDK ∽∴DE BD DQ DK ==∴DQ =∴5CQ FC == ∵CQF BDK ∽∴CQ BD FQ DK ==∴552k =解得k = ∴2511FC = ∴254161111BF =-=。
2018年度上海崇明区高三二模数学卷(含内容答案)
崇明区2018届第二次高考模拟考试试卷数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1―6题每题4分，7—12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1.已知集合^/={ —1, 0, 1, 2, 3}, A = {-1, 0, 2},则（：% =.,1 -1 12.已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵是> 则x+y =.1.i是虚数单位，若复数（l-2i）（a + i）是纯虚数，则实数〃的值为.5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）.6.己知圆锥的母线长为5,侧而积为15乃，则此圆锥的体积为（结果保留；r）.7.若二项式（2天+色|的展开式中一次项的系数是一70,则lim（" + "+"+…+ /）= _____________\ X）"F28.已知椭圆二+y2=l（a>0）的焦点巴、F、,抛物线=2x的焦点为尸，若"=3房\则a二.9.设是定义在R上以2为周期的偶函数，当工近0,1］时，./•a）=iog2a+i）,则函数f（x）在［1,2］上的解析式是.10.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放,恰有两辆车停放在相邻车位的概率是.+ y W 4y/311.已知且满足〈亦（_,，2（）.若存在使得xcosd + ysin夕+ 1 = 0成立，则点），20P（x9y）构成的区域面积为.12 .在平面四边形A5c 。
2018届上海市崇明县高三第二次高考模拟考试文科数学试卷及答案 精品
上海市崇明县2018年高考模拟考试试卷高三数学（文科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、若集合{}{}22,30M x x N x x x ==-=≤，则M N =∩ ．2、若12za i=+，234zi=-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值等于 ．3、2246......2lim (1)n n n →∞++++=+ ．4、函数y =的定义域为 ． 5、在ABC∆中，90C ∠=︒，(,1)AB k =，(2,3)AC =，则k 的值等于 ． 6、设直线0132=++y x 和圆22230xy x +--=相交于点A 、B ，则弦AB的垂直平分线方程 是 ． 7、在73x ⎛ ⎝的展开式中，含31x 项的系数等于 ．(用数字作答） 8、在ABC ∆中，已知8BC =,5AC =，三角形面积为12，则cos 2C =．9、在等比数列{}na 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则nS 等于．10、一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率等于 ．（用 分数作答）11、设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤目标函数65z x y =+的最大值等于 ．12、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为．13、已知函数[]11,2,0()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()f x x a =+在区间[]2,4-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．14、若数列{}na 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T．已知数列{}na 满足1(0)a m m =>，111101n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤有以下结论： ①若45m =，则53a =；②若32a =，则m 可以取3个不同的值；③若m =，则{}n a 是周期为3的数列；④存在m Q ∈且2m ≥，数列{}na 是周期数列．其中正确结论的序号是 （写出所有正确命题的序号）． 二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2018学年上海高三数学一模分类汇编——解析几何,推荐文档
2 （2018崇明一模）.抛物线y2 4x的焦点坐标是_________________2 23 （2018静安一模）•与双曲线——1有公共的渐近线，且经过点A（ 3,2. 3）的双曲线方9 16程是__________5（2018闵行一模）•已知直线l的一个法向量是n （.一3, 1），则I的倾斜角的大小是 _________________ 5（2018青浦一模）.在平面直角坐标系xOy中，以直线y 2x为渐近线，且经过椭圆2X2 y 1右顶点的双曲线的标准方程是42 25（2018金山一模）.已知F1、F2是椭圆——1的两个焦点，P是椭圆上一个动点，则25 9| PF1 | | PF2 |的最大值是_____________6（2018黄浦一模）.过点P（ 2,1）作圆x2 y2 5的切线，则该切线的点法向式方程是___________________2 26（2018徐汇一模）.已知圆O:x y 1与圆0关于直线x y 5对称，则圆0的方程是一7（2018静安一模）.已知点A（2,3）到直线ax （a 1）y 3 0的距离不小于3，则实数a的取值范围是________8（2018金山一模）已知点A（2,3），点B（ 2,3），直线I过点P（ 1,0），若直线I与线段AB 相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 _____________2 28（2018松江一模）.若直线ax y 3 0与圆（x 1）（y 2）4相交于A、B两点，且AB 2 . 3，则a __________一X22 28（2018虹口一模）.在平面直角坐标系中，双曲线 p y 1的一个顶点与抛物线y 12x的a焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为_______________2 29（2018宝山一模）•已知抛物线C的顶点为坐标原点，双曲线 - y 1的右焦点是C的焦25 144点F，若斜率为1，且过F的直线与C交于A、B两点，贝U | AB| _______________2 29（2018普陀一模）.若直线l :x y 5与曲线C :x y 16交于两点A（X1,yJ、B（X2,y2）,则为y2 x y1的值为____________9 （2018奉贤一模）•已知A（2,0）, B（4,0），动点P满足PA 2 PB，则P到原点的距离为_______2 210 （2018奉贤一模）.设焦点为F1、F2的椭圆令占1 （a 0）上的一点P也在抛物线a 39 25y2一x上，抛物线焦点为F3，若PF3—，则△ PF1F2的面积为------------4 162 210 （2018虹口一模）.设椭圆乡£ 1的左、右焦点分别为F i、F2，过焦点F i的直线交椭4 3圆于M、N两点，若MNF2的内切圆的面积为，则S MNF2______________210（2018杨浦一模）.抛物线y28x的焦点与双曲线笃 y21的左焦点重合，则这条双曲a线的两条渐近线的夹角为____________2 211 （2018闵行一模）.已知F1、F2分别是双曲线— 2 1 （a 0，b 0 ）的左右焦点，a b过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2 F1F2，则该双曲线的渐近线方程是_________2X 212（2018杨浦一模）.已知点C、D是椭圆y 1上的两个动点，且点M（0,2），若4umu UULUMD MC，则实数的取值范围为___________2X 212（2018普陀一模）.双曲线y 1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数 f （X）的图3像，关于此函数f （x）有如下四个命题：① f （x）是奇函数；② f （X）的图像过点（乜,3）或（-1, 3）；2 2 2 23 3③ f （x）的值域是（,步屮寺）；④函数y f （x） x有两个零点；则其中所有真命题的序号为___________2 2x y12（2018浦东一模）.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线1上2 4UUU UUUU UULT的两个动点，动点P满足OP 2OM ON，直线OM与直线ON斜率之积为2,已知平面内存在两定点F1、F2，使得|| PF1 | | PF2 ||为定值，则该定值为—2 216（2018松江一模）.已知曲线C1 :| y | x 2与曲线C2 ： x y 4恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. （, 1]U[0,1）B. （ 1,1]C. [ 1,1）D. [ 1,0]U（1,）2 2 2 216（2018青浦一模）.在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1： x y 12和C? : x y 14，又点A坐标为（3, 1），M、N是C1 上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）2 216（ 2018 静安一模）. 若曲线| y | x2_ c x2 与 C:42- 1恰有两个不同交点，则实数 4取值范围为（ ）A. (, 1]U(1,) B. (,1]C. (1,)D.[1,0)U(1,)218 （ 2018青浦一模）.已知抛物线C: y交于不同两点（1 ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程; （2）求证：A 为线段BM 的中点•、、卄x y、 、、19（ 2018黄浦一模）.已知椭圆E : —221 （ a b 0 ）的右焦点为F （1,0），点B （0,b ）满a b足|FB | 2.（1） 求实数a 、b 的值；（2） 过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若 BFM 与 BFN 的面积之比为2,求直线I 的 方程.16（ 2018 崇明一模）. 直线x2与双曲线2x 2 C: y 1的渐近线交于 A 、B 两点，设P 为双4uuu uuu uuu 曲线上任一点，若0P aOA bOB ( a,b R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是 （A. a b 1B.|ab| 1C. |a b| 1D. |a b| 2A. 0个B. 2个C. 4个D.无数个2px 过点P （1,1），过点D （0,-）作直线I 与抛物线C2 N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线 OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点x 20（ 2018松江一模）.已知椭圆aF （ 3,0），过F 点的直线I 交椭圆于（1）求椭圆E 的方程；（2） 过点F 且与I 垂直的直线交椭圆于4若四边形ACBD 的面积为4，求直线I 的方程；3umr uuir uuur uur（3） 设 MA 1 AF ，MB ?BF ，求证：12 为定值.20 （ 2018虹口一模）.已知平面内的定点 F 到定直线I 的距离等于p （ p 0 ），动圆M 过点F 且与直线I 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C ，在曲线C 上任取一点 A ，过A 作I 的垂线，垂足 为E . （1） 求曲线C 的轨迹方程；（2） 记点A 到直线I 的距离为d ，且坐 d 红，求 EAF 的取值范围；4 3（3） 判断 EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由220（ 2018杨浦一模）.设直线I 与抛物线：y 4x 相交于不同两点 A 、B ， O 为坐标原点.（1 ）求抛物线的焦点到准线的距离；（2） 若直线I 又与圆C :（x 5）2 y 2 16相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线I 的 方程；uuu uuu（3） 若OA OB 0 ,点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ，求点Q 的轨迹方程•20（ 2018金山一模）.给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线 ：y 2 2px （ p 0 ）的一条 弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为 D ，若A 、B 两点纵坐标右 1（ a b 0）经过点（1,，其左焦点为C 、D 两点,点M .A 、B 两点，交y 轴的正2 2a 3ADB的面积S ADB 面，试运用上述定理求解以“弓形”的面积，并求出相应面积F i 、F 2与短轴的一个端点 Q 构成一个等腰直角三角形,互相垂直且与x 轴不重合的两直线 AB 、CD 分别交椭圆 别是弦AB 、CD 的中点• （1） 求椭圆 的标准方程；2（2） 求证：直线 MB 过定点R （—,0）；3（3） 求MNF 2面积的最大值.20 （2018浦东一模）.已知椭圆:x 2 -y 2 1 （ a b 0）的左、右焦点分别为 F l 、F 2，设之差的绝对值|y A y B | a （ a 0 ），则 下各题:（1 ）若p 2 , AB 所在直线的方程为2x 4 , C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，求S ADB（2）已知AB 是抛物线 ：y 2 2px （0）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于X轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过 E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线 ：y 2 2px （ p 0）分别交于点 M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值1 y A y B 1 a( a 0 )，求 S AMD 和 S BND ；（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线:2y 2px（p 0 ）与弦AB 围成的2x 20（ 2018普陀一模）.设点F 1、F 2分别是椭圆C:—三 2t圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为 2 22，点M 、 uumr uuur且向量F 1M 与向量F 2N 平行•（1）0 ）的左、右焦点，且椭N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,(2) (3) 求椭圆C 的方程； uuuu uuuu当F i N F 2N 0时，求 F i MN 的面积; luiuir uuuur 当| F ?N | | F i M |.6时，求直线F 2 N 的方程.20（ 2018徐汇一模）.已知椭圆2 X 2a0 ）的左、右焦点分别为 F i 、F 2，且在椭圆上，过点F 2作C 、D ，且 M 、N 分a b2点A（0,b），在AF1F2中，F1AF2 ，周长为4 2 3 .3（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线I与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为1，求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆上的一个动点，试根据AEP面积S的不同取值范围，讨论AEP存在的个数，并说明理由•2 2x V 220 （2018闵行一模）•已知椭圆1的右焦点是抛物线：V 2px的焦点，直线I与10 9相交于不同的两点A（x!,y1）、B（x2,y2）.（1 ）求的方程；（2）若直线I经过点P（2,0），求OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1,2），直线I经过点Q（5, 2），D为线段AB的中点，求证：| AB | 2 |CD |.2x 220（2018崇明一模）.在平面直角坐标系中，已知椭圆C:-^ y 1（a 0，a 1）的两个a焦点分别是F1、F2，直线I: y kx m （k,m R）与椭圆交于A、B两点•（1 ）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且MFF2是直角三角形，求a的值；（2）若k 1，且OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；1（3）若a 2，且k oA k oB ，求证：OAB的面积为定值.42 2 2 220（2018 奉贤一模）•设M ｛（ x, y） ||x y | 1｝，N ｛（ x, y） | x y 1｝，设任意一点2 2P （X o ,y 。
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2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=2．【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。