数理方程习题集综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得

v y =¢（y ）+1/2 x 2

Y,

其中¢（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为

v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2

=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2

其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2

即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),

其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长

dx u x

x x

x ⎰

∆++=∆2

1s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间

t 无关。

因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即

T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.

由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个

与位置x 和时间t 无关的常数，仍记为T.

作用于小弧段'MM 的力沿u 轴方向的分量为 Tsin α’-Tsin α≈T(u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)).

设作用在该段弧上的外力密度函数为F （x,t ）那么弧段'MM 在时刻t 所受沿u 轴方向的外力近似的等于F(x,t)x ∆.由牛顿第二定律得

T （u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)+F(x,t)x ∆=ρx ∆tt u ,

其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常数。这里tt u 是加速度tt u 在弧段'MM 上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得

Tu zz （x+θx ∆，t)x ∆+F(x,t)x ∆=ρtt u x ∆, 0<θ<1. 消去x ∆，并取极限x ∆→0得 Tu xx （x,t ）+F(x,t)=ρu tt , 即

u tt =ɑ2

u xx +ƒ(x,t), 00,

其中常数ɑ2

=T/ρ，函数ƒ（x,t ）=F(x,t)/ρ表示在x 处单位质量上所受的外力。 上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时，即ƒ=0时，方程称为弦的自由横振动方程。

类似地，有二维波动方程

u tt =ɑ2

（u xx +u y y ）+ƒ（x.y.t ）, (x,y)Ω∈,t>0, 电场E 和磁场H 满足三维波动方程

E c E 2

22

2t ∇=∂∂和H c H 2222t

∇=∂∂, 其中c 是光速和

22

22222

x z

y ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇⋅∇=∇。

例1.2.2设物体Ω在无热源。在Ω中任取一闭曲面S （图1.2）。以函数u(x,y,z,t)表

示物体在t 时刻，M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier 热传导定律，在无穷小时段dt 流过物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间dt ，曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比，即

,

其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。我们规定外法线n 方向所指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故

当

0n

u

>∂∂时，热量实际上是向-n 方向流去。

对于Ω任一封闭曲面S ，设其所包围的空间区域为V ，那从时刻

t 1

到时刻t

2

经曲面流出

的热量为

1Q =dSdt n

u

k

S

⎰⎰⎰∂∂2

1t t - 设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V ，温度由u(x,y,z,1t )到u(x,y,z)所需的热量为

[]

dvdt t

u

c dv t z y x u t z y x u c t t V

V

∂∂=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2

1),,,(),,,(Q 122ρ

ρ. 根据热量守恒定律，有

12Q Q -=

即

[]dSst n

u

k

dv t z y x u t z y x t t S

⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=-2

1),,,(),,,u c 12V

（ρ 假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得

0][2

1t =⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰dvdt z u k z y u k y y u k x t u c t V

ρ

. 由于时间间隔[]21t ,t 及区域V 是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t ，在Ω任意一点都有

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z u k z y u k y y u k y x u ρ

c

(1.2.6)

方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c 及ρ均为常