反比例函数一对一辅导讲义

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反比例函数讲义

反比例函数一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于0的常数． 2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．例1、下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？（1）被除数为100，变量分别是除数r 和商q ；（2）三角形面积S 一定时，三角形一边上的长a 和这条边上的高h ；（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完全程所用时间t （秒）；（4）完成工作量Q 一定时，完成工作量所需的时间t 与工人人数n （假设每个工人的工作效率相同）例2、一个长方体的体积是20cm 3，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm .写出长y 与高x 之间的函数关系式.例3、下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？（1）23y x = (2)1y x -= (3)3xy =（4）3y x=（5）27y x =+（6）y =8x+7例4、已知y 是x 的反比例函数，且3x =-时，2y =，那么y 关于x 的函数解析式是________．例5、已知y 4x =时，2y =-，求y 与x 的函数解析式．例6、若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________．例7、如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是________．例8、已知y 是x 的反比例函数，且当2x =时，2y ，那么当1y =时，x 的值是________．例9、如果变量1x 和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系．例10、已知反比例函数22++=k xk y ，求k 的值，并求当x =2时的函数值例11、已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．例12、已知12y y y =+，若1y 与1x -正比例，2y 与1x +成反比例，且当0x =时5y =-，当2x =时1y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当3y =-时，x 的值．例13、已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点-，求反比例函数的解析式．一、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．二、反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．例1、已知反比例函数3y x=-，那么当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．例2、反比例函数25(2)my m x -=+在它的图像所在的每个象限内，y 随x 的增大而________．例3、若反比例函数的图像经过点(25)-，，那么函数图像在________象限．例4、已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是________．例5、函数135k y x --=的图像在一、三象限，那么k 的取值范围是________ 例6、已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第________象限．例7、如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？例8、若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________．例9、已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．1y 与2y 的大小关系无法确定例10、反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________．例11、已知反比例函数21k y x+=（1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．例12、直线y kx =(k ＞0)与双曲线xy 4=交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，求122127x y x y -的值．例13、反比例函数2y x=的图像上一点A ，过A 点分别作x 轴、y 轴垂线，垂足为B 、C ；（1）求矩形ABOC 的面积；（2）当点A 沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？例14、若P （a ，b ）是反比例函数图像上的一点，且a 是b 是的小数部分，求反比例函数的解析式．例15、已知：点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，求△ABC 的面积．例16、反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为3，求k 和m 的值．例17、已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ，B 两点，若点A 在第二象限，且点A 的横坐标为-3，且AD ⊥x 轴，垂足为D ，△AOD 的面积是4．（1）写出反比例函数的解析式；（2）求出点B 的坐标；（3）若点C 的坐标为（6，0），求△ABC 的面积．练习11、下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？（1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长a （厘米）和这条边上的高h （厘米）；（2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度v （米）和跑完全程所用时间t （秒）.2、下列函数是不是反比例函数？为什么？（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x =-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y x π= ；（6）21y x= ．3、若函数223()kk y k k x --=+是反比例函数，则k 的值是________．4、在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像．（1）4y x=；（2）4y x=-．求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？（3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？5、已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________．6、已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________．7、若点(34)，是反比例函数221m m y x ++=图像上一点，则此函数图像必经过点（）A.(34)-，B.(26)-，C.(43)-，D. (26)，8、已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若4AOMS =，则这个反比例函数的解析式是（） A ．8y x =； B ．8y x =-； C ．8y x =或8y x =-； D ．4y x =或4y x=-. 9、已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．10、已知第三象限内的点B （3m ，m ）在反比例函数的图像上，且10OB =A （1，y ）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB 的面积．11、11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点P 1、P 2在4y x=（x ＞0）的图像上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，求点A 2的坐标．12、两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示，点P 在ky x =的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．练习21、反比例函数ay x=的图像在第二、四象限，则a ________． 2、当n =________时，函数224(3)n n y n x --=-是反比例函数．3、函数21(1)my m x -=-是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则m =________．4、已知反比例函数13ky x-=，当k ________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，y 随x 的增大而________．5、已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y （厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域．6、反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限．7、在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式．8、（1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值；（2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值．9、已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =与3x =时，19y =，求y 关于x 的函数解析式．10、点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点，AB ⊥y 轴于点B ，求△AOB 的面积．11、已知n 是正整数，111()P x y ，，222()P x y ，，…()n n n P x y ，，…是反比例函数图像上的一列点，其中11x =， 22x =，…，n x n =，…．记112A x y =，223A x y =，…，1n n n A x y +=，…，若1A a =(a 是非零常数)，求12n A A A ⋅⋅⋅的值(用含a 和n 的代数式表示)．。

反比例函数一对一辅导资料

一般地，形如kyx= (k为常数，k不等于零)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数或叫因变量，kyx=也可以写成:,.要点诠释：1、y=kx中分母x的指数为1，如，2kyx=就不是反比例函数；2、y=kx()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=kx()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

典例分析1．下列哪个等式中的y是x的反比例函数？23yx=（）12y x-=（）1yx=（）31y x=-（）6xy=（）kyx=（）32yx=（）4xy=（）12y x-=（）11yx=-（）11yx=-（）2.下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )A.()12x y-= B.12yx=-C.21yx= D.17yx=-3.若函数()221ny n x-=-是反比例函数，则n的值是 ( )A. 〒1B. -1C. 1D. 24.已知函数2211k ky k x--=-（）是反比例函数,你知道k的值是多少吗？5.已知函数()211my m x-=-.请你探求当m取何值时:杨老师数学辅导讲义反比例函数(1)该函数是正比例函数? (2)该函数是反比例函数?6.已知y 是x 的反比例函数，当x=3时,y=4求：当x=1时，y 的值.7、y 是x-2 的反比例函数,当x=3时,y=4. （1）求y 与x 的函数关系式. （2）当x=-2时,求y 的值. 练习1、下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗？如果是，比例系数k 是多少？2411111221x y y y x xy y y y xx x x==-=-====-（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2、若函数28m(3)y m x -=+是反比例函数，则m 的取值是3、已知函数4(3)a y a x-=+是反比例函数，则a =4.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。

反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。

如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。

ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置ｋ>0，一、三象限；ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

完整九年级数学《二次函数与反比例函数》复习一对一讲义

课题期末复习之二次函数与反比率函数讲课时间： 2016-01-02 08 ：00—— 10:00备课时间： 2015-12-26教课目的复习二次函数与反比率函数要点、难点考点及考试要求二次函数及反比率函数的应用1、二次函数及反比率函数的性质2、二次函数及反比率函数的应用教学内容第一课时知识梳理1、二次函数的观点定义：一般地，假如 y ax 2 bx c(a,b,c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数注意点：（ 1）二次函数是对于自变量 x 的二次式，二次项系数 a 一定为非零实数，即a ≠ 0，而b 、c 为随意实数。

（2）当 b=c=0 时，二次函数 yax 2 是最简单的二次函数。

（ 3 ）二次函数 y ax 2 bx c(a, b, c 是常数， a 0) 自变量的取值为全体实数（ ax 2 bx c 为整式）2、三种函数分析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线 x=b极点坐标： (b 4acb 22a ，)2a4a（2）极点式： y a xh 2k （ a ≠ 0），对称轴：直线 x= h 极点坐标为（ h , k ）（3）交点式： y=a （ x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）,对称轴 : 直线 x=x1x22( 此中 x 1、 x 2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标 ).3、用待定系数法求二次函数的分析式（1）一般式： y ax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，往常选择一般式 .（2）极点式： ya x h 2k . 已知图像的极点或对称轴或最值，往常选择极点式 .（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标x1、 x2，往常采用交点式：y a x x1x x2.4、二次函数的图象（1）二次函数y ax 2bx c 的图像是对称轴平行于（包含重合）y 轴的抛物线 .（2）二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：①y ax 2；② y ax 2k ；③y a x h 2；④ y a x h 2k ；⑤y ax2bx c .注：二次函数的图象能够经过抛物线的平移获得（3）二次函数y ax 2bx c 的图像的画法由于二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，因此作图时步骤是：(1)先找出极点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上对于对称轴的四个点 ( 如与坐标轴的交点等 ) ；(3)把上述五个点按从左到右的次序用光滑曲线连接起来.5、二次函数的性质函数分析式y ax 2 y ax 2k张口方向当 a0 时对称轴极点坐标x0 （ y 轴）（0,0 ）x0 （ y 轴）(0, k )y a x h2张口向上当 a0 时x h( h ,0)y a x h 2k y ax2bx c 张口向下x h( h , k )b b4ac b2x(，)2a2a4a注：常用性质：（1）张口方向：当 a>0 时，函数张口方向向上；当 a<0 时，函数张口方向向下；（2）增减性：当 a>0 时，在对称轴左边， y 跟着 x 的增大而减少；在对称轴右边，y 跟着 x 的增大而增大；当 a<0 时，在对称轴左边， y 跟着 x 的增大而增大；在对称轴右边，y 跟着 x 的增大而减少；（ 3）最大或最小值：当 a>0 时，函数有最小值，而且当x=b， y 最小＝4acb 22a4a当 a<0 时，函数有最大值，而且当x=b， y 最大＝4ac b 2 2a4a6、抛物线的三因素：张口方向、对称轴、极点坐标。

反比例函数经典讲义绝对经典--

PART 01
反比例函数基本概念与性质
定义及表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
表达式解析
在反比例函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$k$ 是比例系数。当 $k > 0$ 时，函数图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图像位于第二、四象限。
在经济学中，价格和数量之间的关系往往呈现反比例关系。当价格上涨时，需求量减少；反之，当价格下跌时，需求量增加。通过对这种数据的分析，可以揭示市场供需平衡的规律。
社会学中的人口分布
在社会学中，人口分布与资源分配之间也存在反比例关系。当某个地区资源匮乏时，人口会向其他地区迁移；反之，当某个地区资源丰富时，会吸引更多人口聚集。通过对人口分布数据的解读，可以了解资源分配对社会结构的影响。
跨学科应用举例
环境科学中的污染物扩散
在环境科学中，污染物扩散与距离之间呈现反比例关系。随着距离的增加，污染物的浓度逐渐降低。这种关系可以用反比例函数来描述，并为环境治理提供科学依据。
工程学中的结构设计
在工程学中，结构设计与材料强度之间也存在反比例关系。为了确保结构的安全性，需要在保证材料强度的前提下进行结构设计。通过运用反比例函数，可以实现结构设计的优化和安全性评估。
在电路中，电阻、电流和电压之间满足反比例关系。当电阻增大时，电流减小，电压保持不变。这种关系可以用反比例函数来描述。
速度、时间和距离之间的关系
在物理学中，速度、时间和距离之间也有反比例关系。当速度增大时，所需时间减少，而距离保持不变。这种关系同样可以用反比例函数来表示。
数据分析与解读

《反比例函数》复习讲义.docx

反比例函数知识整理1、反比例函数的概念一般地，函数y = - (k是常数，kHO)叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成y = kx~x的形式。

自变量x的取值范围是xHO的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量xHO,函数yHO,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y随x的增大而减小。

当k〈0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定k确定及淚是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数y =-中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的儿何意义如下图，过反比例函数y =—伙乂0)图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM, PN,则所得x的矩形PMON的面积S二PM・PN=|M・|彳=H。

••• y - xy = k.S = \k\ o考点一、反比例函数的性质【例1】已知反比例函数y =巴，当1<X<2时，y的取值范围是( )x(A) 0<y<5 (B) l<y<2 (C) 5<y<10 (D) y>10【举一反三】1、已知y是x的反比例函数，当x>0吋，y随x的增大而减小•请写出一个满足以上条件的函数表达式2、已知一次函数y }=kx+b (k<0)与反比例函数y.= —(m^O)的图象相交于A 、B 两点，其 x 横坐标分别是一1和3,当力>『2时，实数兀的取值范围是( )A ・ xv —/或 0<x<3 B. 一 lvxvO 或 0<x<3 C. 一 lvxvO 或兀>3 D ・ 0<x<3n3、函数尸mx+n 与y = ----- ,其屮/〃H0, z?H0,那么它们在同一坐标系屮的图象可能是()nvcA BC D考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征【例2] (2015自贡)若点(西，必)，(x 2, y 2 ) , ( x 3, % ),都是反比例函数y = -丄X图象上的点，并K>\<o<y 2<y 3,则下列各式中正确的是()【举一反三】1、若点A (1, yi)和点B (2, y 2)在反比例函数y =丄图象上,Xyi ______ y 2 (填“>”、或“二”)・2、如图，过点C(l,2)分别作兀轴、y 轴的平行线，交直线尸一兀+6于A 、B 两点,若反比例函数)，=丄(x>0)的图像与△ABC 有公共点，则R 的取值范围是( XA. 2<k<9 3.2*8 C. 2<k<5 D 5*83、如图，P 是函数y = _L(0O)的图彖上的一点，直线尸-兀+ 1分别交/轴、y ’ 2x轴于点/、B,过点戶分别作PMVx 轴于点必交AB 于点E,作PNLy 轴于点河交M 于点F,则朋的值为 _______________ o考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系阴已知函数y 节的图象在第-象限的-支曲线上有-点A 0 0),点B (b, c+1)在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的两根 X 】，X2判断正确的是【】A. Xi + X2 >1, Xi • X2 > 0B. Xi + X2 < 0, Xi • X2 > 0C. 0 < Xi + x 2 < 1, Xi ・X2 > 0D. Xi + X2与Xi ・X2的符号都不确定【举一反三】1、(2015 •湖南常德)已知A (1, >/3 )是反比例函数图象上的一点，直线AC 经过点A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C,求C 的坐标及反比例函数的解析式。

反比例函数(意义与解析汇报式)个性化辅导讲义

∴k=100
∴y与x的函数关系式是y=．
（2）∵0.4m＜x＜0.5m
∴200＜y＜250
答：（1）y与x的函数关系式是y=；
（2）小华眼镜镜片焦距的大小围是200～250度之间．
点评：
此题是考查反比例函数在物理方面的应用，会利用待定系数求函数解析式是基本的计算能力．
例题11某地2007年电价为0.8元/度，全年用电1亿度．现供电部门计划2008年把电价降至0.55元﹣0.75元/度．经测算电价下调至每度x元，本年度新增用电是y（亿度）与x﹣0.4成反比例关系．并且，当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度．
解答：
解：（1）设
∵当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培．
∴U=10
∴I与R之间的函数关系式为；
（2）当I=0.5安培时，
解得R=20（欧姆）．
点评：
此题主要考查反比例函数在物理方面的应用，利用待定系数法求函数解析式是需要掌握的基本数学能力．
规律总结：
在物理学科中，我们可以根据物理学公式建立函数关系：
解答：
解：设压强为y，受力面积为x下底面积为s，则上底面积s，依题意得
xy=100s，即y=，
当x=s时，y=400Pa，故此时的压强是400Pa．
点评：
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用这个函数关系式解答实际问题．
课外拓展练习
●A组基础练习
1.当路程一定时，速度v与时间t之间的函数关系是( )
A．正比例函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．不能确定
2.下列函数式中，属于反比例函数的是（ )

九年级数学反比例函数辅导讲义

第讲反比例函数1．掌握反比例函数的概念、图象及性质；2．利用相关知识解决实际问题．模块一反比例函数的图形与性质问题11.我们知道，导体的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR当U=220V时(1)你能用含有R的代数式表示I吗?(2)利用写出的关系式完成下表：R/Ω20 40 60 80 100I/A(4)变量I是R的函数吗?为什么?亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现。

因为当电流I较小时，灯光较暗；反之，当电流较大时，灯光较亮。

问题2京沪高速铁路全长约1300km ，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t 是v 的函数吗?为什么?1、定义：一般地，形如 y =xk （k 是常数，k ≠0 ）的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）在y = xk 中，自变量x 是分式xk 的分母，当x ＝０时，分式xk 无意义，所以x 的取值范围是x ≠ 0的一切实数；（3）解析式有三种常见的表达形式：①y =xk （k ≠ 0）；②xy = k （k ≠0）；③y =k 1x （k ≠0）；（4）反比例函数一定存在反比例关系，但存在反比例关系的函数不一定是反比例函数。

1、反比例函数的图象y=2x列表建立直角坐标系描点2、反比例函数的图象反比例函数)0,(≠=k k xk y 是常数的图象是（）线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象。

2、反比例函数的性质如下图：3、k 的符号作用：4、K 值的几何意义：从反比例函数)0,(≠=k k xk y 是常数的图象上任选一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积：S =||21xy =12k 。

5、对称性：①关于原点对称，②关于直线x y ±=对称。

九年级数学《二次函数与反比例函数》复习一对一讲义.doc

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标E、兀2，通常选用交点式：y = a(x-x} X x_%2)-4、二次函数的图象(1)二次函数y = 加+ c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.(2)二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：®y = ax2；②朴；③y = a(x-h)2；④ y = a[x -/?)2 +k；⑤ y = ax2 + 加 + c ・注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到(3)二次函数y =血2+以+ 0的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是:(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.5、二次函数的性质注：常用性质：(1)开口方向：当a〉0时，函数开口方向向上; 当a〈0时，函数开口方向向下；(2)增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大; 当a〈0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少;(3)最大或最小值:当a>0时，函数有最小值，并且当沪埒,心七当灯时，函数有最大值，并且当『炸’〃大=吟6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

①Q的符号决定抛物线的开口方向② 对称轴平行于y 轴（或重合）的直线记作x = h.特别地，y 轴记作直线x = 0. ③ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, 只是顶点的位置不同.7、抛物线+ c 中冬b 、c 的作用（1）a 决定抛物线的开口方向和开口大小Q 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；当a 〈0时，函数开口方向向下；问的大小决定抛物线的开口大小：当问越大吋，开口越小；当问越小时，开口越大；询相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2小和b 共同决定抛物线的对称轴位置。

九年级培训讲义：第1讲反比例函数

第一讲反比例函数知识要点1、反比例函数的图象和性质：反比例函数(0)ky k x=≠ k 的符号 0k > 0k <图象性质①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2函数正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k >时，在一、三象限；当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限；当0k <时，在二、四象限．性质当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小；当0k <时，y 随x 的增大而增大．xyOxyO一、定义1、下列函数中，y 是x 的反比例函数是（）（A ） 1)1(=-y x （B ） 11+=x y （C ） 21xy = （D ） x y 31=2、已知22)1(--=a xa y 是反比例函数，则a=____ ．3、若反比例函数y = (2m -1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m = ，该反比例函数的解析式为；4. 已知y 与x -1成反比例，当x = 12 时，y = - 13，那么，当x = 2时，y 的值为；二、增减性1.如果点A (7，y 1)，B (5，y 2)在反比例函数y = x1的图象上，那么，y 1与y 2的大小关系是； 2、若M(12-,1y )、N(14-,2y )、P(12,3y )三点都在函数xy 4=的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）（A ）132y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >>3.点A (a ，b )，B (a -1，c )均在反比例函数y = 1x 的图象上，若a < 0, 则b c (填“>”、“<”或“=”)；4、在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是．三、函数图像1、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（）2、如图，A 为反比例函数ky x=图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若AOB S ∆＝5，则k 的值为（）（A ） 10 （B ） 10- （C ） 5- （D ）25-3、某村的粮食总产量为a （a 为常数）吨，设该村的人均粮食产量为y 吨，人口数为x ，则y 与x 之间的函数关系式的大致图像应为（）4、已知：甲、乙两地相距100千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间y （小时）表示为汽车行驶的平均速度x （千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（）；四、综合题：1.已知y 与12-x 成反比例，且当1=x 时，2-=y 。

反比例函数复习讲义

初三反比例函数复习一、知识点一：反比例函数概念：一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数）练习：☆1、若函数1322)(+--=m m xm m y 是反比例函数，则m 的值是______。

二、知识点二：反比例函数图象的画法与性质：注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。

练习： ☆1．反比例函数y=xk图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。

☆2、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y - 的值是（）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、不能确定三、知识点三：反比例函数y=xk比例系数k 的意义： 1.过双曲线上任一点p （x 、y ）作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|，即反比例函数y=xk（k ≠0）中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作X 轴，Y 轴的垂线所得的矩形的面积。

2.过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线，垂足是A ，则S △AOQ =k 21 练习：☆1、反比例函数xky =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4☆☆2.如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y =和y=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①=； ②阴影部分面积是（k 1+k 2）；③当∠AOC =90°时，|k 1|=|k 2|；④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称.其中正确的结论是．四、知识点四：待定系数法☆1．已知：y=y 1+y 2，其中y 1与x 成反比例，y 2与x-2成正比例，当x=1时， y=-1，当x=3时，y=3，求函数y 的解析式。

初二数学一对一教案--反比例函数

知识要点（1）反比例函数y=kx中，k>0时，图象的两支分布在一、三象限，在每一象限内yk<0时，图象的两支分布在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．（2）反比例函数y=kx中，k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0四象限，y随x的增大而减小．（3）双曲线y=k上任一点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，则S=1│k│，S【例题2】如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=－8x的图象相交于的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．1，0），B（0，1）的直线交于？若存在这样的点，则请写出点C的坐标；若不存在，请说（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点C，求│AO│：│【分析】（1）由A点横坐标可知线段OB的长，再由△AOB的面积易得出AB的长，时可知点A的坐标由点A在反比例函数y=kx上可求得k的值．（2）由直线y=ax+1过点A易求出a值．进而可知点C的坐标，由勾股定理可求得1．已知y=（m－2）x1m m--．（1）当m=_____时，y是x的正比例函数，且y随x的增大而减小．（2）当m=_____时，y是x的反比例函数，且在每个象限内y随x的增大而减小．2．如图，过点O的直线与双曲线y=2kx相交于A、C两点，CD⊥x轴于点D，S四边形ABCD=6，则k=_____．．下列命题中：①函数y=2x（1≤x≤3）的图象是一条直线；②若y与z成反比例，z与x成正比例，则y与x成反比例；③如果一个双曲线的图象经过点（－a，b），那么它一定同时经过点（－2其中正确的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案: 中考演练一、1．（1）－1 （2）1 2．－323．－8二、1．D 2．C 3．C三、1．y=－2x+4 y=2 x2．①y=1x2－5②－4－52。

《反比例函数》讲义

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

需要注意的是，这里的x 不能为0，因为在分数中，分母不能为0。

例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为 s ＝ vt。

如果路程一定，为常数 s₀，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝ s₀/v，此时 t 是 v 的反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0）这是最基本的形式，也是我们最常见的形式。

2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0）将 y ＝ k/x 两边同乘 x 就可以得到 xy ＝ k。

3、 y ＝ kx⁻¹（k 为常数，k≠0）因为 x⁻¹＝ 1/x，所以这种形式与 y ＝ k/x 是等价的。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以它的图象在第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会减小。

而函数 y ＝－3/x，因为 k ＝－3 ＜ 0，所以它的图象在第二、四象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会增大。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

其对称中心是坐标原点（0，0）。

2、渐近线当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

也就是说，x 轴和 y 轴是反比例函数图象的渐近线。

3、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

反比例函数(教案讲义).doc

学鹏辅导教学讲义形如y=k/x（k为常数且k*0）的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

|反比例函数图像性质：-反比例函数的图像为双曲线。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任•取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩i形面积是定值，为丨k丨。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数（即y随x的增大而减小）当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数（即y随x的增大而增大）由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0,所以图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点:m2 + m —1 = 1;m2 + 2m 丰解得：vm ——2,或加=1 m 0,且加H —2所以m =l.m2 + m — 1 = —1;m2 +2m 丰解加=0,或加=—1m 0,且加丰—2所以m = -l.1 •过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |o2.对于双曲线y= k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/x (x±m) m为常数), 就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。

(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)【典型例题】例 1 已知：y = ^m2 + 2m^x"^+m~1⑴如果y是x的正比例函数，求加的值；⑵如果y是x的反比例函数，求加的值.分析：根据正比例函数和反比例函数的概念，正比例函数要满足y = kx中x的指数为1,又要满足系数2 0,而反比例函数v = kx~'须满足x的指数为-1,且系数k工0.解：⑴若y是x的正比例函数，由题意知:故若y是兀的正比例函数，则m-\.⑵若y是兀的反比例函数，由题意知:故若y是兀的反比例函数，则m = -l.例2•的反比例函数，下表给出了兀与y的一些值:⑴写出这个反比例函数的表达式；⑵根据函数表达式完成上表.分析：已知y是兀的反比例函数，根据图表中给出的信息求出反比例函数*£(20).此问题的关X解：⑴设反比例函数为y = — (k 0),当x = -1时，y = 2,得比=xy = (-1)x2 = -2.x一2 所以反比例函数为y =.x⑵利用函数表达式把已知的X或y的值代入表达式，即可解出未知X或y的值.从左到右依次填:例3如图19-1-1,已知一次函数y = Ax + b,(kH0)的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数丫 = —的图x象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D,若⑴求点A,B,C的坐标；⑵求一次函数和反比例函数的解析式.分析：⑴由04 = 02 = 0£> = 1及点所在的坐标轴的特征，直接写出A,B,D三点坐标.先由点坐标确定一次函数的解析式，然后求出C点坐标，最后确定反比例函数的解析式.解：(l)T04 = 0B = 0D = l, 4(—l,0),B(0,l),C(l,0).⑵ V A (-1,0), 5(0,1)在一次函数y = kx + b(b^Q)的图象上，-k + b-0 [k -1■■[ b=i解得:U=1・・・一次函数解析式为：y = x + l.・・.C点在一次函数y = x +1的图象上，且CD丄兀轴.・••点C的坐标为(1, 2).又TC点在反比例函数；y = —(m^O)的图象上，.••将C (1, 2)点代入y二一,得m = 2.x xA. v = —+ 13xB. y =D. y = l--x 2- 2 A.减少20% B.兀增加20% C.减少80%D.约减少16.7%2.•.反比例函数的解析式为v = -.x练习题：一、选择题1.在下列函数中，反比例函数是（）2.已知y 与兀成反比例，当兀增加20%时，y 将（3.点4为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5,到x 轴的距离为3,若点4在第二象限内，则这个反比例函数的解析式为（）A12 a12 厂 1 门 1 A. y =—y = ----- C. y = ------------- 29. y = --------------x x 12x 12x4.反比例函数y 的图象的两个分支在第二、四象限，则点在（）xA 第一象限B.第二象限C.第三象限 D 第四象限二、填空题5.己知函数y = __________________________________________ 的图象经过点（2,-6）,则函数v =-的解析式为.6. 已知丁与成反比例，并且当x = 2时，y = -l,则当y = |时，乂的值为2/7-17. ------------------------------- 已知反比例函数y = _________________________________ ，当Q时，其图象在一、三象限内，当a ----------- 时，其图象在第二、四象限X内，y 随兀增大而增大. 三、解答题£ 18. 已知反比例函数y = —,（£ H 0）与一次函数y = mx + n^m^ 0）的图象都经过点（-3,1）,并且在兀=—时，这两个函x 2数的函数值相等，求出这两个函数的解析式.29.如图，己知4,B两点是反比例函数y = - (x>0)的图象上任意两点，过两点分别作y轴的垂线，垂足分别是xC,D,连结AB,AO,BO.求梯形ABDC的面积与AAOB的面积是多少？。

反比例函数讲义经典推荐(一)

第六章反比例函数讲义6.1反比例函数教材精华知识点1 反比例函数的概念定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝xk(k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数．拓展 (1)等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k )，分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成y ＝kx －1．则x 的指数是－1． (2)比例系数k ≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分． (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数． (4)函数y 的取值范围也是一切非零实数．知识点2 用待定系数法求反比例函数的表达式由于在反比例函数y ＝xk中，只有一个待定系数．因此只需要一组对应值，即可求出k 的值，从而确定其表达式．知识点3 反比例关系与反比例函数的区别和联系我们学过反比例关系．如果xy ＝k (k 是常数，k ≠0)．那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x ，y 既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式，例如若y ＋3与x －1成反比例，则y ＋3＝1x k，若y 与x 2成反比例，则y ＝2x k ．成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数y ＝xk 中的两个变量必成反比例关系．拓展反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数一定是反比例关系．规律方法小结类比思想：在学习反比例函数的概念时，注意与成反比例的量进行类比，与正比例函数的概念对比，这样便于我们对反比例函数的概念的理解与掌握．课堂检测基本概念题1、下列各式中，y 是x 的反比例函数吗?为什么? (1)xy ＝2； (2)y ＝10－x ； (3)y ＝x 31； (4)y ＝xb 3 (b 为常数，b ≠0)．基础知识应用题2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系，若成比例关系，指出是正比例关系，还是反比例关系． (1)三角形底边长为定值，它的面积S 与这条边上的高h ； (2)三角形面积为定值，它的底边长a 与这条边上的高h ； (3)正方形的面积S 与它的一边长a ； (4)周长为定值的长方形的长和宽； (5)面积为定值的长方形的长和宽； (6)儿童的身高与年龄；(7)圆的周长与它的半径．3、若函数y ＝(m ＋1)132++m m x 是反比例函数，求m 的值．综合应用题4、一定质量的二氧化碳，它的体积V 与它的密度ρ成反比例，当V ＝5m 3时，ρ=1.98kg ／m 3，求ρ与V 的函数关系式．5、一水池内蓄水40 m 3.设放完满池水的时间为T 小时，每小时的放水量为W m 3，规定放水时间不得超过20小时，求T 与W 之间的函数关系式，指出函数T 和自变量W 的取值范围.探索创新题6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为0．8m 2的矩形框工件，设工件的长与宽分别为y m 与x m ．(不计厚度)(1)请写出y 与x 之间的函数表达式；(2)如果想使工件的长比宽多1．6 m ，已知加工费为每米6元，求加工这个工件所需的费用．体验中考若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的31，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系式是．(不考虑x 的取值范围)6.2反比例函数的图像与性质新课导引【生活链接】爱思考的小明想在坐标系中描出横、纵坐标的积等于6的点，并列表如下：然后他将x ，y 的对应值分别作为点的横、纵坐标在直角坐标系中描了出来(如下图所示)．【问题探究】如果用光滑曲线顺次连接图中各点，能得到怎样的图象?你能描述它的形状和性质吗? 【点拨】由xy =6可得xy 6=，是反比例函数．反比例函数的图象叫做双曲线．教材精华知识点1 反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，也称双曲线xky =(k ≠0)，其图象如图5－1所示．拓展反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以它们的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴．知识点2 反比例函数图象的画法(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两边取三对(或三对以上)相反数，如1和－1，2和－2，3和－3等等，填y 值时，只需计算原点一侧的函数值，如分别计算出当x ＝1，2，3时的函数值，那么当x ＝－1，－2，－3时的函数值应是与之对应的相反数．(2)描点：先画出反比例函数的图象的一侧，另一侧可根据图象关于原点对称的性质来画．(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．拓展画反比例函数的图象时，应注意以下几点：(1)两条曲线是平滑的，不要只画一个分支，而忘了画另一个分支． (2)两条曲线无限靠近坐标轴，但与坐标轴无交点．探究交流反比例函数xky = (k ≠0)的图象是轴对称图形吗? 点拨反比例函数xky =(k ≠0)的图象是轴对称图形，它的对称轴有两条，分别是直线y ＝x 和直线y ＝－x ．知识点3 反比例函数的性质反比例函数xky =(k ≠0)的性质如下：当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．拓展 (1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”．若说成“当k ＞0(或k ＜0)时，y 随x 的增大而减小(或增大)”，就会出现与事实不符的矛盾．(2)反比例函数的图象的位置、函数的增减性都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线的位置、反比例函数的增减性也可以推断出k 的符号，即双曲线在第一、三象限时，k ＞0；双曲线在第二、四象限时，k ＜0．探究交流反比例函数的表达式中k 的几何意义．点拨反比例函数xky =的本质特征是两个变量y 与x 的乘积是一个常数k ，由此可以推得反比例函数的一个重要性质．若A 是反比例函数xky =图象上任意一点，且A B 垂直x 轴，垂足为B ，AC 垂直y 轴，垂足为C ，则S 矩形ABOC ＝k ，如图5－2所示．由反比例函数图象与矩形面积的关系可以得出反比例函数图象与三角形面积的关系：S △AOB＝S △AOC ＝S 矩形ABOC ＝k 21．规律方法小结数形结合思想：学习反比例函数与学习其他函数一样，要善于数形结合，由表达式联想图象的位置及性质，由图象和性质联想比例系数k 的符号．课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系内画出反比例函数x y 4=与xy 4-=的图象．2、已知反比例函数的表达式为xky -=4，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围．(1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．综合应用题3、如图5－5所示，A ，B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 的对称点，AD 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则下列各式正确的是 ( )A ．S ＝1B ．S ＝2C ．S ＞2D ．1＜S ＜24、已知反比例函数x k y =的图象经过点(4，21)，若一次函数y ＝x ＋1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B (2，m )，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标．探索创新题5、如图5－7所示，已知双曲线xky = (k ＞0)与直线y ＝k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，试解答下列问题．(1)若点A 的坐标为(4，2)，则点B 的坐标为，若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为．(2)如图5－8所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线xky = (k ＞0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限． ①试说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．体验中考1、已知图5－10(1)中的曲线是反比例函数xm y 5-=(m 为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数m 的取值范围是什么?(2)若该函数的图象与正比例函数y =2x 的图象在第一象限内的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．2、如图5－11所示，已知A(－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数xmy =的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求方程0=-+x mb kx 的解(请直接写出答案)； (4)求不等式xmb kx -+＜0的解集(请直接写出答案)．6.3反比例函数的应用【生活链接】一段时期市场上使用杆称，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使砣较轻，从而欺骗客户．【问题探究】(1)如右图所示，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个图用的是较轻的秤砣?(2)在称同一物体时，所称得的物体质量y (千克)与所用秤砣质量x (千克)之间满足什么关系?(3)当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质?【点拨】(1)设物体重为W ，阻力臂为L 1，秤砣重F ，动力臂为L 2，则由于W ·L 1＝F ·L 2，且W ·L 1一定，∴F 越小，L 2越大，显示物体质量越多，故(2)用的是标准秤砣，(1)用的是较轻的秤砣． (2)由(1)的分析可知，y 与x 之间满足反比例关系． (3)设这个反比例函数为xky =(k ＞0)，则当x 变小时，y 增大，所以当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合反比例函数xky =中，当k ＞0，x ＞0时，函数的图象在第一象限内，y 随x 的减小而增大的性质(即y 随x 的增大而减小)．教材精华知识点利用反比例函数解决实际问题反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型．它在现实生活中有着广泛的应用．利用反比例函数的图象与性质，能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题．在生活中有许许多多成反比例关系的实例．如：当路程s 一定时，时间t 与速度v 成反比例关系，写成vs t =(s 是常数)；当矩形面积S 一定时，长a 与宽b 成反比例关系，写成bSa = (S 是常数)；当面积是常数S 时，三角形的底边长y 与高x 成反比例关系，写成xSy 2=(S 是常数)；当功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的位移s 成反比例关系，写成s WF = (W 是常数)；当压力F 一定时，压强p 与受力面积S 之间成反比例关系，写成SF p =(F 是常数)；在某一电路中，保持电压U 不变，电流I 与电阻R 成反比例关系，写成RUI = (U 是常数)等等．在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意xky = (k 为常数，k ≠0)这一条件．结合图象说出性质，根据性质大致画出图象，求函数的表达式是必须掌握的．拓展实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时，需注意实际问题对数学答案的要求与限制．如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数，人数是正整数等)，在解答过程中要时刻注意问题中的要求．规律方法小结数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法．在许多实际问题中，需抽象出数学模型(如建立坐标系，设出函数关系式，列出方程等)，即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的关系，从而运用数学方法求出问题的答案，使问题得以解决．课堂检测基础知识应用题1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图5－19所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )A ．不小于45m 3 B ．小于45m 3 C ．不小于54 m 3 D ．小于54m 32、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地． (1)甲、乙两地相距多少千米?(2)如果汽车把速度提高到v 千米／时，那么从甲地到乙地所用时间t 小时将怎样变化? (3)写出t 与v 之间的函数关系式；(4)因某种原因，这辆汽车需要在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?综合应用题33(1)猜想p与V之间的关系，并求出函数关系式；(2)当气体的体积是12 cm3时，压强是多少?4、某地区去年电价为0．8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y亿度与(x－0．4)元成反比例，当x＝0．65元时，y＝0．8．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年的增加20％?(收益＝用电量×实际电价－用电量×成本价)探索创新题5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)(千帕是一种压强单位)是气体体积V(米3)的反比例函数，其图象如图5－20所示．(1)写出这个函数的表达式；(2)当气球的体积为0．8立方米时，气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?体验中考1、一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图5－23所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么此用电器的可变电阻应 ( )A ．不小于4．8 ΩB ．不大于4．8 ΩC ．不小于14 ΩD ．不大于14 Ω2、为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为tay (a 为常数)，如图5－24所示，根据图5－24中提供的信息，解答下列问题．(1)写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数复习一对一辅导讲义

教学目标1、复习反比例函数的概念。

2、学生再次理解反比例函数的图像及相关性质。

重点、难点反比例函数的图像和性质：掌握反比例函数的定义、图像和性质的应用。

考点及考试要求考点1：反比例函数的有关概念考点2：反比例函数与一次函数的联系`考点3：反比例函数的图像及性质考点3：反比例函数在生活中的运用教学内容第一课时反比例函数知识梳理1.下列函数中,是反比例函数的是( )@=-3x =-31x -1 =-32x =-32x -2.若点A(-2,1y ),B(-1,2y ),C(1,3y )在反比例函数y=1x的图象上, 则下列结论正确的是( ) A.1y >2y >3y B.3y >1y >2y C.2y >1y >3y D.3y >2y >1y3.已知正比例函数y=kx(k ≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y=kx,当x< 0时,y 随x 的增大而_______.4.若反比例函数y=(2m-1)22m x - 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为______.5.已知函数y=221(1)k k k x ---,当k=____时,它的图象是双曲线.(课前检测知识梳理【例1】如果函数222-+=kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么函数的解析式为【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky=，（0≠k）即kxy=1-（0≠k）又在第二，四象限内，则0<k可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：(⎩⎨⎧<-=-+1222kkk解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=211kkk或1-=∴k1-=∴k时函数222-+=kkkxy为xy1-=变1、若反比例函数y=(2m-1)22mx-的图象在第一、三象限,则函数的解析式为 .【例2】在反比例函数xy1-=的图像上有三点(1x，)1y，(2x，)2y，(3x，)3y。

反比例函数讲义

反比例函数的图象是由两支曲线组成的.当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
小注：
（1）这两支曲线通常称为双曲线.
（2）这两支曲线关于原点对称.
（3）反比例函数的图象与轴、轴没有公共点.
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图象
（双曲线）
x、y
取值范围
x的取值范围x≠0
【作5】设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________.
【作6】反比例函数在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，
MP垂直轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么的值是.
【作7】是关于的反比例函数，且图象在
第二、四象限，则的值为.
【作8】正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（）
A． B. C. 2 D. —2
【例4】已知 = ，与成正比例，与成反比例，并且当 =2时， =—4；当 =—1时， =5，求与的函数关系式.
知识点：反比例函数的图象与性质
【例5】已知是反比例函数，则函数的图象在（）
A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限
【例6】函数与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）
第2讲反比例函数
第一节知识要点
一：反比例函数的定义
一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成为常数，的形式，那么称是的反比例函数.
反比例函数的自变量不能为零.
小注：
（1）也可以写成或的形式；
（2）若是反比例函数，则、、均不为零；
二：反比例函数的图象与性质

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