高中数学《任意角的三角函数——三角函数线》教案

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高考数学任意角的三角函数(2)—三角函数的定义教案苏教版教案

-+-++--+--++y xxy y xOO O任意角的三角函数（2）——三角函数的定义一、课前检测1.设集合M ＝{α|α＝kπ2－π3，k∈Z }，N ＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.解析：由－π<kπ2－π3<π得－43<k<83，∵k∈Z ，∴k＝－1,0,1,2，故M∩N＝{－56π，－π3，π6，23π}．答案：{－56π，－π3，π6，23π}2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A.π3B.2π3 C. 3 D ．2 解析：选C.二、知识梳理1.1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2)设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0sin =α，rx0cos =α，00tan x y =α.(解读：特殊与一般的关系)2.αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号（一全二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c ”）3.三角函数线（单位圆中）正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.4.三角函数的定义域三角函数定义域 x y sin =R x y cos = Rx y tan =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ5. 特殊角的三角函数值α的角度︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180 ︒270 ︒360α的弧度6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23π π2αsin0 21 22 23 1 23 22 21 0 1- 0 αcos123 22 2121- 22- 23- 1- 01TMA OPxy(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx(2)(1)|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx||cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|sinx>cosxcosx>sinx16. 几个重要结论:OOxyxyαtan33 1 3 — 3- 1-33- 0 — 06.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。

任意角的三角函数三角函数线

任意角的三角函数教学设计——三角函数线会宁县第二中学陈军霞教学背景：1.教材内容分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学。

借助三角函数线不但可以画出准确的三角函数图像，还可以讨论三角函数的性质。

2.学生情况分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备。

教学目标：1．知识目标；使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。

2．能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。

教学重点、难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用。

2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来。

教学方法与手段：1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学。

2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。

3．教学手段：多媒体教学教学过程前面我们学习了角的弧度制，角其中是以角任意角当角的终边在叫做角：用哪条有向线段表示角叫做角当角第一步：作出角课后作业课本P 17页第2,3题教学反思必修四中的三角函数线内容，在课本上占的篇幅不是很多，但是，从教学过程和应用来看，我认为，这部分内容得讲透，让学生彻底理解它。

在求解三角函数的很多问题中，它都能起到事半功倍的作用。

三角函数线使代数中的三角函数和几何中的有向线段联系在一起，它是三角函数“形”的重要体现形式,所以有些三角函数的问题利用三角函数线来解往往更简洁直观。

本节课的内容，对三角函数的定义，三角函数图像的理解，特别重要，三角函数图像的形成，就是从三角函数线出发的，这是根本。

【任意角的三角函数】教学教案

《任意角的三角函数》教学设计高一级王拴礼一、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。

因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。

学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

二、教学目标分析（一）知识与技能1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。

（二）过程与方法锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。

（三）情感、态度与价值观1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神．三、教学重点、难点分析（一）教学重点三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。

因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。

（二）教学难点本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。

具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。

人教课标版高中数学必修3《任意角的三角函数(第2课时)》教学设计

1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握有向线段以及三角函数线的概念，会利用三角函数线表示三角函数值，体会数形结合的数学思想方法.（二）学习目标1．掌握有向线段的概念.2．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念，并能利用三角函数线（几何形式）在单位圆中表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.3．三角函数线的运用，如利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.（三）学习重点1．三角函数线的概念及其运用.2．三角函数线的作法.3．理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性.（四）学习难点1．利用与单位圆有关的有向线段将任意角的三角函数值用几何形式表示.2．三角函数线的运用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页“练习”以下部分至第17页“阅读与思考”以上部分，并完成下列问题：①有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点，字母顺序不能任意调换)的线段，并规定：与坐标轴正方向同向时为正，与坐标轴正方向反向时为负.②如下图所示，单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.③当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.2．预习自测（1）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么α的终边（）A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上答案：D解析：【知识点】正切线的概念.【数学思想】数形结合、分类讨论思想.【解题过程】当角α的正切线是单位长度的有向线段时，此时角α的终边落在直线y=x或y=-x 上.点拨：明确正切线的位置.（2）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)①α一定时，单位圆的正弦线一定. （）②在单位圆中，有相同正弦线的角必相等. （）③α与α＋π有相同的正切线. （）答案：(1)√(2)×(3)√解析：【知识点】三角函数线概念辨析.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】①α一定时，sinα一定，正确；②当sinα一定时，角α不唯一，错误；③tanα=tan(α＋π)，正确.点拨：正确理解三角函数线的概念. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）单位圆的定义：以原点O 为圆心，单位长度为半径作的圆。

高中数学新苏教版精品学案《任意角的三角函数》

任意角的三角函数【学习目标】1．借助单位圆理解任意角的三角函数正弦、余弦、正切定义。

2．熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号。

【学习重难点】重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

【学习过程】【第一课时】知识梳理1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为，，它与原点的距离为r，则in α＝________，co α＝________，tan α＝________。

2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号【达标检测】一、填空题1．若角α的终边过点3a，n是α终边上一点，且O－n＝________。

二、解答题11．确定下列各式的符号：（1）tan 12021in 273°；（2）错误!；（3）in 错误!·co 错误!·tan 错误!π。

12．已知角α终边上一点3a，n位于＝3在第三象限的图象上，且m0，∴式子符号为正。

（2）∵108°是第二象限角，∴tan 108°0从而错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 15a8a17a17a”连接。

5．集合A＝[0，2π]，B＝{α|in α错误!，则角α的取值范围是________。

7．如果错误!错误!错误!0的解集是______________。

9．已知α，β均为第二象限角，若in αin 1．2>in 1解析∵1，1．2，1．5均在错误!内，正弦线在错误!内随α的增大而逐渐增大，∴in 1．5>in 1．2>in 1．5．错误!∪错误!6．错误!∪错误!7．co α<in α<tan α解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线M、正切线AT，很容易地观察出OM<MP＝错误!in α，＝错误!α，S△AOT＝错误!OA·AT＝错误!tan α，S扇形AOP＝错误!αOA2又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT，所以错误!in α<错误!α<错误!tan α，即in α<α<tan α。

高中数学任意角的三角函数教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

任意角的三角函数教案高一上学期数学人教版必修

任意角的三角函数（第一课时）教学设计一、内容和内容解析内容：任意角三角函数的定义；三角函数定义域和函数值；诱导公式一. 内容解析：学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的. 锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系. 任意角的三角函数是刻画周期性变化现象的数学模型. 它与“解三角形”已经没有什么关系了. 因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题. 由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质（特别是对称性）中得到启发. 在本节的学习中，了解一些三角函数产生的历史背景，可以帮助学生理解用单位圆来定义三角函数的原因. 本节以一个具体实例（见图）引入，通过观察青蛙在不同时刻与水面的距离，得到三角函数的单位圆定义，即角α的终边与单位圆交点的坐标为(),x y ，则sin ,cos ,tan yy x xααα===，该定义是本节的核心概念，也是三角函数整章节的核心，后几节课中诱导公式的推导，三角函数图象和性质都是由定义决定的. 用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点. 其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度制）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是使三角函数反映的数形结合关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础.三角函数的定义域就是角的取值范围，由于任意角的终边与单位圆都有交点，所以正弦、余弦函数的定义域均为实数集，而角的终边与y轴重合时，终边上所有点的横坐标为0，因此正切函数的定义域不包括终边与y轴重合的角.诱导公式一是定义的直接推导，利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0~2π内角的三角函数值，更重要的是，公式一从代数角度揭示了三角函数值的周期性变化规律.二、目标和目标解析目标：1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义2.从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号3.根据定义理解公式一4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题目标解析：1.桨轮与青蛙的实例与任意角三角函数定义十分契合，学生通过观察青蛙与水面的位置，充分理解单位圆中的正弦函数定义，由此类比得出余弦函数和正切函数的定义.2. 定义域、函数值的符号及诱导公式一完全由定义决定，推导并得出结论对学生来讲比较容易.3.通过例题向学生指明，对具体问题进行转化，得到与三角函数值有关的问题，该问题的实质是三角函数定义的应用.三、教学问题诊断分析1.学生已经利用弧度制对角推广到了实数集，这为理解三角函数的定义奠定了基础. 但是学生原有的直角三角形中锐角三角函数的定义，对任意角三角函数定义有一定的负迁移作用，所以教师可以先给出单位圆定义，再特殊化到锐角三角函数，给学生以历史背景的解释，指出这两种定义方式能解决问题的不同.2.用单位圆上点的坐标刻画三角函数是学生学习的难点. 学生熟悉的函数()=是实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的y f x坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这会给学生的理解造成一定困难.四、教学条件支持多媒体演示青蛙与桨轮的转动，观察青蛙与水面的距离；利用信息技术，可以很容易的建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观的体现出来.五、教学过程设计六、目标检测设计1.求下列三角函数值（1）0sin405 (2)()0cos120- (3)19 tan3π⎛⎫⎪⎝⎭2.设,,A B C 是三角形的三个内角，在()sin ,cos ,tan ,tan A A A A B +中，哪些有可能取负值？设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.。

三角函数线教案

三角函数线教案一、教学目标1、知识与技能目标理解三角函数线的定义和几何意义。

能够利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦和正切值。

掌握利用三角函数线比较角的大小和求解简单的三角不等式。

2、过程与方法目标通过几何画板等工具的演示，培养学生的观察能力和抽象思维能力。

引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程，体会数形结合的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在探究过程中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点三角函数线的定义和几何意义。

利用三角函数线表示三角函数值和求解三角不等式。

2、教学难点正确理解三角函数线的概念，特别是正切线的定义。

灵活运用三角函数线解决相关问题。

三、教学方法讲授法、演示法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课复习任意角三角函数的定义：设角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则sinα ＝ y，cosα ＝ x，tanα ＝ y ／ x（x ≠ 0）。

提出问题：如何用几何图形直观地表示三角函数值呢？从而引出三角函数线的概念。

2、讲解三角函数线的定义正弦线：在单位圆中，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则有向线段 MP 叫做角α的正弦线，sinα ＝ MP。

余弦线：有向线段 OM 叫做角α的余弦线，cosα ＝ OM。

正切线：过点 A(1, 0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点 T，则有向线段 AT 叫做角α的正切线，tanα ＝ AT。

3、利用几何画板演示三角函数线展示不同象限角的三角函数线的位置和长度变化，让学生直观感受三角函数值的大小与角的关系。

引导学生观察并总结规律：当角的终边在第一象限时，正弦线、余弦线和正切线均为正；在第二象限时，正弦线为正，余弦线和正切线为负；在第三象限时，正切线为正，正弦线和余弦线为负；在第四象限时，余弦线为正，正弦线和正切线为负。

任意角的三角函数教案

任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。

2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。

3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。

4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。

二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。

难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。

三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。

四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。

(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版

(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章（单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容：1.2.2任意角的三角函数（二）二、教学目标:知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2。

利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。

利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点：重点：正弦、余弦、正切线的概念.难点：正弦、余弦、正切线的利用。

四、教学程序：（目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测）五、教学过程：4．精讲点拨时量:8分钟左右例1．已知42ππα<<，试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5．演练反馈时量：8分钟左右练习19P第1,2,3，4题当堂练习，巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6．总结提高时量：4分钟左右学习小结（1)了解有向线段的概念。

（2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1）sin15︒、tan15︒（2）'cos15018︒、cos121︒（3）5π、tan5π2．练习三角函数线的作图。

再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展，体验收获,反思提高；课后预习与作业任务布置）六、提纲：风,没有衣裳；时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。

你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。

高中《三角函数》全部教案设计

三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒） 3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒ 390︒-330︒是第Ⅰ象限角 300︒-60︒是第Ⅳ象限角 585︒ 1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)k∈个周角的和(Zk390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒)0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和4．例一（P5 略）五、小结： 1︒ 角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2︒“象限角”与“终边相同的角”第二教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

34851_《任意角的三角函数》教案4

4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b===．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；（5）比值r x叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=；（6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r yα=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r xα=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r yα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、r y 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

2020学年高中数学 1.2.1任意角的三角函数(二)三角函数线教案新人教A版必修4

２．１（二）三角函数线一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解正弦线、余弦线、正切线的定义；利用三角函数线解三角方程；利用三角函数线解三角简单不等式；利用三角函数比较大小；利用三角函数线证明有关不等式。

教学目的：引导学生认识正弦线、余弦线、正切线的价值。

教学意义：培养学生三角函数中数形结合的思想二、教学过程１．有向线段：被看作带有方向的线段，叫做有向线段．数轴上或与数轴平行的有向线段是正向时，它的数量等于长度；有向线段是负向时，它的数量等于长度的相反数；有向线段长度是０，那么其数量为０．２．正弦线、余弦线、正切线的定义：如图，角α的终边与单位圆交于点Ｐ．过点Ｐ作x 轴的垂线，垂足为Ｍ．根据三角函数的定义，我们有MP y ==αsin ，OM x ==αcos ，AT OA AT OM MP x y ====αtan 举例：用正弦线、余弦线、正切线表示45tan ,45cos ,45sin πππ，并比较444sin ,cos ,tan 333πππ ３．利用三角函数线解三角方程４．利用三角函数线解三角简单不等式例在]2,0[π上满足21sin ≥x 的x 的取值范围（Ｂ）Ａ．]6,0[π Ｂ．]65,6[ππ Ｃ．]32,6[ππ Ｄ．],65[ππ ５．利用三角函数比较大小例已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（Ｃ）Ａ．若βα,是第一象限角，则βαcos cos >；Ｂ．若βα,是第二象限角，则tan tan αβ>；Ｃ．若βα,是第三象限角，则βαcos cos >Ｄ．若βα,是第四象限角，则tan tan αβ>６．利用三角函数线证明有关不等式：例已知：角α为锐角，试证：（１）αααtan sin <<；（２）sin cos 1αα+>。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．已知：40πα<<，试证：ααcos 22sin <<．２．已知21cos -≤α，求满足此不等式的角α的集合．Z k k k ∈++],342,322[ππππ ３．求下列函数的定义域：（１）32cos y x =-；（２）)sin 43lg(2x y -=；（１）7[2,2],66k k k Z ππππ++∈；（２）(,),33k k k Z ππππ-+∈五、课后作业同步练习１．已知ααsin cos ≤，那么角α的终边落在第一象限内的范围是（Ｃ）Ａ．]4,0(π Ｂ．)2,4[ππ Ｃ．Z k k k ∈++),22,42[ππππ Ｄ．Z k k k ∈+],42,2(πππ ２．若24πθπ<<，则下列不等式成立的是（Ｄ）Ａ．θθθtan cos sin >> Ｂ．θθθsin tan cos >>Ｃ．θθθcos tan sin >> Ｄ．θθθcos sin tan >> ３．如图，角α，角β的终边关于y 轴对称，则下面关系式：①βαsin sin =；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=；④βαcos cos -=．其中，正确关系式的序号是 ①④ ．４．已知点Ｐ的坐标为)3cos 3sin ,3cos 3(sin +-，则点Ｐ在第四象限．５．比较下列各组数的大小：（１）π56sin 与7sin()5π-；（２）6cos 5π与7cos()5π-；（３）6tan 5π与7tan()5π- （１）＜；（２）＜；（３）＞６．若02παβ<<<，试比较ββsin -与ααsin -的大小； ββsin -＞ααsin -提示：利用两条正弦线，两条弧长，观察作差的结果．７．已知α为锐角，求证：1sin cos 2παα<+<．提示：利用两个三角形面积和小于41圆面积．。

数学《三角函数-任意角的三角函数》人教版必修三第七章三角函授第二节教学设计

《任意角的三角函数》教学设计一、新课导入师：同学们在初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角a 的对边为a ，邻边为b,斜边c ,则有Sina=a c ,cosA=bc ,tanA = ？当a 是一个锐角时，上述正弦、余弦、正切，能否通过a 终边上的点的坐标来定义呢？这种定义能否推广到任意角上呢？三角王国的奥秘无穷无尽，让我们一起来一探究竟吧！二、讲授新知师：同学们当a 是锐角时，它的终边在第一象限内，如课件第十四页7-2-1所示，在a 终边上任取一个不同于坐标原点的点P （x ，y ），作PM 垂直Ox 于点M ，记r= y?+x?，则△OMP 是一个直角三角形，且OM=x ，PM=y,OP=r,由此可知sin a=OP PM =r y ，cos a=OP OM =r x ， tan a=OM PM =xy ，可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义，如图7-2-2所示，对于任意角a 来说，设P （x ，y)是a 终边上异于原点的任意一点，r=y?+x?，则三角形相似的知识可知r y 与rx ，跟P 在a 终边上的位置师：如图7-2-3所示，在65π的终边上取点P ，使得OP=2.，作PM ⊥Ox,则在RI △OMP 中，∠POM=π-65π=6π，因此MP=1,OM=3，从而可知P 的坐标为（-3，1），因此sin 65π=21，cos 65π=23- tan 65π=33-。

师：既然同学们学会了，那我们来看使锐角a 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ,PM ⊥ x 轴于M,设P(x,y),|OP|=r.如图，那我们可知角a 的正弦、余弦、正切分别等于什么？是不是等于sin a=yr, cos a=xr , tan a=yx 。

接下来对于确定的角a, sin a ，cos a ，tan a 是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？是不是不改变啊，由此我们得知了一个结论:设a 是一个任意大小的角，P （x ，y)是a 终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r=x2+y2>0)，如图，那么(1)称yr 为角a 的正弦，记作sin a ，即sin a=yr ；(2)称xr 为角a 的余弦，记作cos a ，即cos a=xr ；(3)称yx 为角a 的正切，记作tan a ，即tan a=yx.由上可知，对于每一个角a，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当a≠kπ+π2（k ）时，有唯一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正切，都称为a的三角函数。