得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0000
f
m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩
或()()()()
0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）
需满足的条件是:
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨
<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
总结：两根在同一区间，需考虑：
两根在相异区间，需考虑：
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1︒ 若()0f m =或()0f n =，
则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
例1：:方程()2
220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，求m 的取值范围。
因为()10f =，所以()()()2
2212mx m x x mx -++=--，另一根为
2
m
，由213m <<得223m <<即为所求；
例2:方程2
4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314
m -<<-；②由0∆=即()2
164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当3
2
m =时，根()33,0x =∉-，
故3
2
m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由
()()0102200m f ∆>⎧⎪
-+⎪->⎨⎪>⎪⎩
⇒ ()2
1
8010
m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 3
30m m m ⎧<->+⎪
⎨>⎪⎩⇒ 03m <<-3m >+
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实
数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1
22
m -<<即为所求的范围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 1
3
m <-即为所求范围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，
计算量稍大）
2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()002
>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
b n m 2-
<< n a b m <-
<2即[]n m a
b ,2∈- n m a
b
<<-
2 图
象
最大、最小值
()()
()()
n f x f m f x f ==min max
()()(){}
()⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,max min max
()()
()()
m f x f n f x f ==min max
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若[]n m a b
,2∈-
，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b
,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数()()2
220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。
（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min
32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 32522a b b ++=⎧⎨+=⎩ ⇒ 10a b =⎧⎨=⎩； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min
23f x f f x f ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ ⇒ 25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒ 13a b =-⎧⎨
=⎩
