【方法指导】《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导1

《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导

一．重、难点释疑及实例剖 1．重、难点释疑

（1）了解条件概率，并掌握条件概率的公式P （A|B ）＝

)

()(B P AB P ，并理解条件概率的

性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P （A|B ）≤1；

（2）了解两个事件相互独立的概念，区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念；掌握公式P （AB ）=P （A ）P （B ）使用的前提条件：事件A 、B 为相互独立事件；理解1－P （A ）P （B ）表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率．

（3）理解二项分布：X ～B （n ，p ），掌握二项分布的概率计算公式：P （X=k ）=k n C （1－p ）n －k p k ，以及对应的概率分布列，掌握二项分布的常见实例：反复抛掷一枚均匀硬币、已知次品率的抽样、有放回的抽样、射手射击目标命中率已知的若干次射击等，并能解决一些简单的实际问题；

（4）独立事件的概率、二项分布是高考考查的重点内容，对这部分知识的考查通常与其他知识结合在一起有一定的综合性．

2．实例剖析

（1）条件概率问题

例1．在10个各不相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（ ）

A ．

5

3 B ．5

2 C ．10

1 D ．9

5

分析：从题设可知，这是一个条件概率问题，可设出要求的事件A 、B ，由条件概率公式进行求解．

解析：方法一：设事件A ＝“第二次摸到红球”，事件B ＝“第一次摸到红球”，

则事件A|B 表示“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”，

由题意知，B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球4个白球，A 发生的概率为9

5，

即P （A|B ）＝

9

5．

方法二：设事件A ＝“第二次摸到红球”，事件B ＝“第一次摸到红球”，

则有P （B ）＝106

＝53

，P （AB ）＝

210

26A A

=

31

，那么有P （A|B ）＝

)

()

(B P AB P ＝5

331

＝95

． 点评：此题为一典型的求解条件概率问题，解决中用了不同的思路，既可以根据条件概率的含义解决，也可以由条件概率公式求解，无论哪种方法，必须准确地找对事件A 、B 、

A|B 、AB ，并熟练地求出其概率．

（2）独立事件问题

例2．某集团公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）

分析：三门课程考试是否及格是相互独立事件，根据事件的独立性加以分析解答．注意两种不同方案中条件的要求与比较．

解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，

则P （A ）=a ，P （B ）=b ，P （C ）=c ， （1）应聘者用方案一考试通过的概率：

p 1＝P （AB C ）＋P （A BC ）＋P （A B C ）＋P （ABC ） ＝ab （1－c ）+bc （1－a ）+ca （1－b ）+abc=ab+bc+ca －2abc ； 应聘者用方案二考试通过的概率： p 2=

3

1P （AB ）+3

1P （BC ）+3

1P （AC ）＝3

1（ab+bc+ca ）；

（2）因为a ，b ，c ∈[0，1]， 所以p 1－p 2=

3

2（ab+bc+ca ）－2abc=

3

2[ab （1－c ）+bc （1－a ）+ca （1－b ）]≥0，

故p 1≥p 2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大．

点评：明确相互独立事件的条件是：（1）对两个事件而言的；（2）其中一个事件的发生

与否对另一事件发生的概率没有影响．

（3）二项分布问题 例3．“幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设有“Y es”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的．选手每答对一题，获得一个商标．假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题．求：

（1）甲获得2个商标的概率；（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标的概率． 分析：甲获得2个商标恰为二项分布问题，直接利用相应的概率公式计算．而对于乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，要注意其前3次获得商标，则第4、5次必须不获得商标，步骤需要加以完善．

解析：由题意，甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，即他们每道题答对的概率均为2

1，

则回答5道题相当于做了5次二项分布问题，每次试验成功的概率为

2

1，

（1）甲获得2个商标的概率为P （X=2）=2

5C ×（

2

1）2

×（

2

1）3

=

16

5；

（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，相当于“第1，2，3次对，第4，5次错”，或“第2，3，4次对，第1，5次错”，或“第3，4，5次对，第1，2次错”，

故概率为（

2

1）3×（2

1）2+（2

1）3×（2

1）2+（2

1）3×（2

1）2=

32

3．

点评：对于二项分布中的确定次数的事件的成功与失败的问题，与总的事件的成功与失败的问题是不一样的，要加以分清，思维要明确．

二．特别提示

1．独立性的注意点 （1）事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不