【方法指导】《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导1
概率与统计中的条件概率与独立事件
概率与统计中的条件概率与独立事件概率与统计是数学的一个重要分支，探究了随机事件的规律与规定。
条件概率与独立事件是概率与统计中两个基本概念，它们在实际问题的解决中具有重要的应用价值。
一、条件概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
用数学符号表示为P(B|A)，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，而P(A)表示A发生的概率。
条件概率的计算方法可以通过实际问题进行理解。
例如，假设有一批产品，其中20%是次品。
现在从中随机挑出一个产品，如果已知该产品是次品，那么该产品是A事件，次品的概率是B事件，我们想要计算条件概率P(B|A)，即在已知产品是次品的条件下，该产品为次品的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = （次品的产品数）/ （总产品数）通过计算，我们可以得到具体的条件概率值。
二、独立事件独立事件是指两个事件A和B相互之间没有影响的事件。
即事件A 的发生与否不会影响事件B的发生概率，事件B的发生与否也不会影响事件A的发生概率。
用数学符号表示为P(A) = P(A|B)，P(B) =P(B|A)。
对于独立事件来说，它们的联合概率等于各自的概率的乘积。
即：P(A∩B) = P(A) * P(B)例如，假设有一批产品，其中80%是合格品。
现从中随机取一件产品，不放回地取，再取一件产品。
如果两次取出的产品都是合格品，那么第一次取出的产品为事件A，第二次取出的产品为事件B。
我们希望计算P(A∩B)，即两次取出的产品都为合格品的概率。
由于两次取出产品的过程是不放回的，所以第一次取出产品是合格品的概率是80%，第二次取出产品是合格品的概率也是80%。
根据独立事件的概念，我们可以得到：P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.8 * 0.8 = 0.64通过计算，我们得到两次取出产品都是合格品的概率为0.64。
【优化方案】2012高考数学总复习 第10章§10.7条件概率与独立事件、二项分布精品课件 理 北师大版
(1)求p； 求 ； (2)求电流能在 与N之间通过的概率． 求电流能在M与 之间通过的概率 之间通过的概率． 求电流能在 【思路点拨】 思路点拨】 利用事件的相互独立性求解． 利用事件的相互独立性求解．
【解】 记 Ai 表示事件： 表示事件： 电流能通过 Ti，＝1,2,3,4. i＝ A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电 表示事件： 流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． 表示事件： 之间通过． 相互独立， (1)由题知 A ＝ A 1 A 2 A 3，A1，A2，A3 相互独立， 由题知 又 P( A )＝P( A 1 A 2 A 3)＝P( A 1)P( A 2)P( A 3) ＝ ＝ ＝(1－p)3， －
条件概率与独立事件、 §10.7 立事 件、 二项 分布
双基研习• 双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考 考点探究•
考向瞭望• 考向瞭望•把脉高考
双基研习• 双基研习•面对高考
基础梳理 1．条件概率及其性质 ． (1)条件概率的定义 条件概率的定义 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝______ 、 为两个事件， ， ＝ 为两个事件 为在事件A发生的条件下，事件 发生的条件概率 发生的条件概率． 为在事件 发生的条件下，事件B发生的条件概率． 发生的条件下 (2)条件概率的求法 条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式， 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助 古典概型概率公式， 古典概型概率公式，即P(B|A)＝_______. ＝
A、B 有怎样的关系，选取怎样的表达符号和计算 、 有怎样的关系， 公式． 公式．A 发生的条件下 B 发生的概率公式 P(B|A) P(AB) n(AB) ( ) ( ) ＝ ＝ 是实际应用中一种重要的求条件 P(A) n(A) ( ) ( ) 概率的方法依据． 概率的方法依据．
概率与统计中的条件概率与独立事件
概率与统计中的条件概率与独立事件概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，例如生物学、物理学、经济学等。
其中条件概率与独立事件是概率与统计中的两个重要概念。
本文将就条件概率与独立事件进行深入探讨。
一、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
假设有两个事件A和B，那么在事件B发生的前提下，事件A发生的概率即为条件概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“A在B条件下发生的概率”。
在计算条件概率时，我们可以使用以下公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
举个例子来说明条件概率的计算方法。
假设有一批产品，其中有10个产品属于A型，90个产品属于B型。
现从中随机抽取一个产品，请问该产品是A型的概率是多少？首先，我们可以计算出产品是A型的概率，即 P(A) = 10 / (10 + 90) = 1/10 = 0.1。
接着，假设我们已知该产品是B型的条件下，它也是A型的概率记作 P(A|B)。
根据上述的条件概率公式，我们可以计算出P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
由于在已知产品是B型的前提下，它也是A型的概率为0，所以P(A∩B) = 0。
因此，P(A|B) = 0 / P(B) = 0。
可见，在已知产品是B型的情况下，该产品是A型的概率为0。
二、独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生不会改变另一个事件的发生概率。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的联合概率等于两个事件发生概率的乘积。
数学上，我们用P(A∩B) = P(A) * P(B)来表达事件A和事件B是独立事件。
在日常生活中，我们可以通过一个例子来理解独立事件的概念。
假设有一批骰子，我们分别投掷两次，A表示第一次投掷结果为1的事件，B表示第二次投掷结果为2的事件。
如果A和B是独立事件，那么它们的发生概率应为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
高中数学 第二章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.3 独立重复试验与二项分布预习导学案
2.2.3 独立重复试验与二项分布
预习导航
一、独立重复试验
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．
如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)．
思考1在独立重复试验中，某事件每次发生的概率是否相同？
提示：在每次试验中，某事件发生的概率是相同的．
思考2独立重复试验满足什么条件？
提示：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
点拨n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义
二、二项分布
如果随机变量X的分布列为
其中
由于表中第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
思考3二点分布与二项分布有何关系？
提示：在二项分布中，n次独立重复试验中各次试验的条件相同，对每次试验来说，只考虑两个可能的结果发生与不发生，或者说每次试验服从相同的二点分布．。
第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)
高考将二项分布同相互独立事件、互斥事件和对立事件
概率的求解以及分布列等相结合考查，是一个新的考查 方向．
[考题印证]
(2009· 辽宁高考)(12分)某人向一目标射击4次，每次击
中目标的概率为 .该目标分为3个不同的部分，第一、二、 三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分 的概率与其面积成正比． (1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
的分布列．
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员，设“该人参加过财会
培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题 设知，事件A与B互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. 法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P1＝P( )＝P( )· P( )＝0.4×0.25＝0.1.
( )
解析：所求概率P＝ 3× 答案：A
)1· (1－
)3－1＝
.
3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响， 则其中至少有一人被录取的概率为 ( )
A．0.12
C．0.46
B．0.42
D．0.88
解析：至少有一人被录取的概率P＝1－(1－0.6)(1－0.7) ＝1－0.4×0.3＝1－0.12＝0.88. 答案：D
＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A
＝A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2，┄┄┄┄┄┄(10分)
故所求的概率为
P(A)＝P(A1
＝P(A1)P(
)＋P(
)＋P(
B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)
)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)
126条件概率与独立事件、二项分布
P(X=k)= Pk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n,p的二项分布，简记X~B(n,p).
主要方法：
(1)对照互斥事件、对立事件的定义进行判断，哪些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的关键.“正难则反”，一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公式P（A）=1-P（A）计算.
例题分析：
例1：三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局甲队对乙队，第二局是第一局中的胜者对丙队；第三局是第二局中的胜者对第一局中的败者；第四局为第三局中的胜者对第二局中的败者，则乙队连胜四局的概率是________________.
例2：某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).
(1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
巩固练习：教师用书【399】即时巩固：4,5
课后作业：对应课后提升：填空题
教
后
反
思
备课组长签字：年月日
富县高级中学集体备课教案
年级：高三科目：数学授课人：
课题
条件概率与独立事件、二项分布
第126课时
教学
目标
了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念;理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
重点
审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”中心发言人 Nhomakorabea难点
复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解
条件概率、二项分布及正态分布(讲解部分)
考法二 正态分布问题的解题方法
例2 (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方 过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某 种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表);
∴E(X)=4×1 =2.
2
方法总结 1.对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5; (2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (3)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质 求解.
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),
利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数 学期望. 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ= 142.75 ≈11.95; 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4. 解题导引
条件概率与独立事件、二项分布、正态分布 2019高考绝密资料
条件概率与独立事件、二项分布、正态分布主标题：条件概率与独立事件、二项分布、正态分布副标题：为学生详细的分析条件概率与独立事件、二项分布、正态分布的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：条件概率，独立事件，二项分布，正态分布 难度：3 重要程度：4考点剖析：1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题.命题方向：1．独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目．2．高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．规律总结：1个难点——对正态曲线的理解正态曲线指的是一个函数的图象，其函数解析式是φμ，σ(x)＝12πσ·e －(x －μ)22σ2.正态曲线的性质告诉我们：(1)该函数的值域为正实数集的子集；(2)该函数图象关于直线x ＝μ对称，且以x 轴为渐近线；(3)解析式中前面有一个系数12πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x －μ)22σ2，其中σ这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性．2个注意点——掌握离散型随机变量分布列的注意点(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为“事件”发生的概率；(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误． 3种方法——求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列．知 识 梳 理1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率(1)0≤P (B |A )≤1(2)若B ，C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )2.事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x＝μ处达到峰值1σ2π.(2)正态总体三个基本概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6.②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4.③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
条件概率与独立事件
条件概率与独立事件【要点梳理】要点一：条件概率1.概念设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。
要点诠释：我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A中所占的比例。
2.公式.要点诠释：（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即()()card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B =的测度的测度. （2）公式()(|)()P AB P A B P B =揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式．（3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()()|=P AB P B A P A .3. 性质（1）非负性：()|0P A B ≥；（2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）；（3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =.4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()()|=P A B P A B P B .联系：事件A ，B 都发生了。
区别：①在()|P A B 中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件B 先发生，事件A 后发生；在()P AB 中，事件A ，B 同时发生；②基本事件空间不同在()|P A B 中，事件B 成为基本事件空间，即()()card (|)card AB P ABB =；在()P AB 中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即()()card ()card AB P AB =Ω。
高考一轮数学(理)教案：第10章 第8节 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布 含解析
第八节条件概率与独立事件、二项分布、正态分布[考纲传真] 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．条件概率(1)条件概率的定义设A，B是两个事件，当P(B)>0时，称P(A|B)为B发生时A发生的条件概率．当P(A)>0时，称P(B|A)为A发生时B发生的条件概率．(2)条件概率的运算公式P(A|B)＝P(AB)P(B)，P(B|A)＝P(AB)P(A).2．事件的相互独立性(1)定义对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．(2)性质①如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立；②如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．3．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”．(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.(3)各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )． 若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为X ～B (n ，p )．4．正态分布密度函数满足的性质 (1)函数图像关于直线x ＝μ对称．(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． (3)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.3%； ②P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.4%； ③P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝99.7%.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )(2)P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(4)二项分布是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49B.29C.427D.227 A [所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.]3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A.310B ．1389B[设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝210＝15，P(AB)＝2×310×9＝115.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.]4．(·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312A[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]5．(·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.0．6[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称．则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]条件概率2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18 B.1452(2)如图10-8-1，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.图10-8-1(1)B(2)14[(1)法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n(A)＝4，事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝n(AB)n(A)＝14.法二：P(A)＝C23＋C22C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.][规律方法]条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝P(AB)P(A)求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). [变式训练1] 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127 B ．1124 C.827D ．924C [设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827， 所以两次都取到红球的概率为827.]相互独立事件同时发生的概率概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列.【导学号：57962475】[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.2分(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215.故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.5分(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.8分故所求X 的分布列为12分 [规律方法] 1.求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[变式训练2] 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率．[解] (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.2分∵事件A 与B 相互独立，A 与B －相互独立，则A B －表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415. 5分(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35.7分 依题意，A ，B ，C 相互独立，A －，B －，C －相互独立， 且AB C －，A B －C ，A －BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，10分 P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.12分 独立重复试验与二项分布10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数nN ，N 表示投篮次数，n 表示命中次数)，假设各场比赛相互独立. 场次 球员1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 513 412 1430 59 1419 1016 1223 48 613 1019 乙1326918914816615101472191610221220 (1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率； (3)在接下来的3场比赛中，用X 表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．[解] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是12.4分(2)在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是25. 6分设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B 1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B 2，则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝12×35＋12×25＝12. 8分(3)X 的可能取值为0,1,2,3，依题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25.P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125， 10分X 的分布列如下表：EX ＝np ＝3×25＝65.12分[规律方法] 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(2)牢记公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义． [变式训练3] 某架飞机载有5位空降兵依次空降到A ，B ，C 三个地点，每位空降兵都要空降到A ，B ，C 中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用ξ表示地点C 空降人数，求：(1)地点A 空降1人，地点B ，C 各空降2人的概率； (2)随机变量ξ的分布列与数学期望．[解] (1)设“地点A 空降1人，地点B ，C 各空降2人”为事件M ，易知基本事件的总数n ＝35＝243个，事件M 发生包含的基本事件M ＝C 15C 24＝30个．故所求事件M 的概率P (M )＝m n ＝30243＝1081.5分(2)依题意，5位空降兵空降到地点C 相当于5次独立重复试验． ∴ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，且ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5.则P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝⎛⎭⎪⎫1－135－k∴P (ξ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135＝32243，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243，P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243，P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243， P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝10243，P (ξ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1243. 10分∴随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 5 P32243802438024340243102431243根据二项分布得数学期望Eξ＝5×13＝53.12分正态分布及应用N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ＝99.74%.)A．4.56%B．13.59%C．27.18% D．31.74%B[由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.][规律方法] 1.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．2．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．[变式训练4](·河南名校联考)在如图10-8-2所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4.)图10-8-2A．1 193 B．1 359C．2 718 D．3 413B[对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.] [思想与方法]1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(AB) P(A)＝n(AB) n(A)，其中，在实际应用中P(B|A)＝n(AB)n(A)是一种重要的求条件概率的方法．2．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.4．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.[易错与防范]1．易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．2．易混淆P(B|A)与P(A|B)前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．第11页共11页。
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
§11.3 条件概率、二项分布及正态分布(讲解部分)
b a
φμ,σ(x)dx,则称X的
分布为正态分布,记作⑤ X~N(μ,σ2) .
(2)正态分布的三个常用数据
(i)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7;
(ii)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(iii)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.
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知能拓展
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
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(3)若A与B相互独立,则A与 B , A与B, A与 B 也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
3.独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
定义 一般地,在相同条件下重复做的n次 试验称为n次独立重复试验
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X, 在每次试验中事件A发生的概率为p,此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p)
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(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w定为 多少?(精确到小数点后2位) (3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量 不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及均值. 解题导引
(2)利用频率分布直方图估计w.
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解析 (1)∵前四组频数成等差数列,
求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.
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考法二 正态分布问题的解题方法
例2 (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方 过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某 种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
【方法指导】《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导
《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导一．重、难点释疑及实例剖1．重、难点释疑（1）了解条件概率，并掌握条件概率的公式P（A|B）＝，并理解条件概率的性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P（A|B）≤1；（2）了解两个事件相互独立的概念，区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念；掌握公式P（AB）=P（A）P（B）使用的前提条件：事件A、B为相互独立事件；理解1－P（A）P（B）表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率．（3）理解二项分布：X～B（n，p），掌握二项分布的概率计算公式：P（X=k）=（1－p）n－k p k，以及对应的概率分布列，掌握二项分布的常见实例：反复抛掷一枚均匀硬币、已知次品率的抽样、有放回的抽样、射手射击目标命中率已知的若干次射击等，并能解决一些简单的实际问题；（4）独立事件的概率、二项分布是高考考查的重点内容，对这部分知识的考查通常与其他知识结合在一起有一定的综合性．2．实例剖析（1）条件概率问题例1．在10个各不相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（）A．B．C．D．分析：从题设可知，这是一个条件概率问题，可设出要求的事件A、B，由条件概率公式进行求解．解析：方法一：设事件A＝“第二次摸到红球”，事件B＝“第一次摸到红球”，则事件A|B表示“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”，由题意知，B发生后，袋中还有9个球，其中5个红球4个白球，A发生的概率为，即P（A|B）＝．方法二：设事件A＝“第二次摸到红球”，事件B＝“第一次摸到红球”，则有P（B）＝＝，P（AB）＝=，那么有P（A|B）＝＝＝．点评：此题为一典型的求解条件概率问题，解决中用了不同的思路，既可以根据条件概率的含义解决，也可以由条件概率公式求解，无论哪种方法，必须准确地找对事件A、B、A|B、AB，并熟练地求出其概率．（2）独立事件问题例2．某集团公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）分析：三门课程考试是否及格是相互独立事件，根据事件的独立性加以分析解答．注意两种不同方案中条件的要求与比较．解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c，（1）应聘者用方案一考试通过的概率：p1＝P（AB）＋P（BC）＋P（AC）＋P（ABC）＝ab（1－c）+bc（1－a）+ca（1－b）+abc=ab+bc+ca－2abc；应聘者用方案二考试通过的概率：p2=P（AB）+P（BC）+P（AC）＝（ab+bc+ca）；（2）因为a，b，c∈[0，1]，所以p1－p2=（ab+bc+ca）－2abc=[ab（1－c）+bc（1－a）+ca（1－b）]≥0，故p1≥p2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大．点评：明确相互独立事件的条件是：（1）对两个事件而言的；（2）其中一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．（3）二项分布问题例3．“幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设有“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的．选手每答对一题，获得一个商标．假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题．求：（1）甲获得2个商标的概率；（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标的概率．分析：甲获得2个商标恰为二项分布问题，直接利用相应的概率公式计算．而对于乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，要注意其前3次获得商标，则第4、5次必须不获得商标，步骤需要加以完善．解析：由题意，甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，即他们每道题答对的概率均为，则回答5道题相当于做了5次二项分布问题，每次试验成功的概率为，（1）甲获得2个商标的概率为P（X=2）=×（）2×（）3=；（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，相当于“第1，2，3次对，第4，5次错”，或“第2，3，4次对，第1，5次错”，或“第3，4，5次对，第1，2次错”，故概率为（）3×（）2+（）3×（）2+（）3×（）2=．点评：对于二项分布中的确定次数的事件的成功与失败的问题，与总的事件的成功与失败的问题是不一样的，要加以分清，思维要明确．二．特别提示1．独立性的注意点（1）事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．已知事件A发生，在此条件下事件B发生，相当于事件AB发生，要求P（B|A）相当于把事件A看作新的基本事件空间来计算事件AB发生的概率．（2）如果事件A与B相互独立，那么A与、与B、与也都是相互独立的．两两独立的n个随机事件总起来不一定是独立的．（3）两个事件独立与互斥的区别是：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．学习时要注意区别分开，“独立性”是指两个试验中，一个事件的发生不影响另一个事件的概率大小；“互斥”是指两个事件之间有很强的依赖关系：在一次随机试验中，一个事件发生，另一个就不发生．如果事件B与C是互斥事件，则有P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）．（4）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件．也就是说，只有两个相互独立事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．（5）1－P（A）P（B）表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率．2．二项分布的注意点（1）二项分布问题是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．即二项分布问题需要符合三个条件：①任意两次试验之间是相互独立的；②每一次试验都有两个事件，且这两个事件是相互对立的；③每次试验中的每个事件发生的概率是相同的．二项分布问题是相互独立事件的特例．只要有“恰好”、“恰有”字样的用二项分布的概率公式计算更简单．但要弄清n，p，k的意义．（2）二项式[（1－p）+p]n的展开式中，第k+1项为T k+1=（1－p）n－k p k，可见P（X=k）就是二项式[（1－p）+p]n的展开式中的第k+1项，故此公式称为二项分布公式．三．学法指导1．条件概率的性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P（B|A）≤1．2．正确理解“相互独立事件”的定义，是判断两事件是否相互独立的关键．3．对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及概率的转化，熟悉“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等语句含义．注意运用逆向思维方法、集合的观点，以及利用事物间的内在联系将复杂事件的概率问题转化成简单事件的概率问题．4．二项分布问题常见实例有：（1）反复抛掷一枚均匀硬币；（2）已知次品率的抽样；（3）有放回的抽样；（4）射手射击目标命中率已知的若干次射击．。
复习课件：条件概率、事件的独立性及独立重复试验、二项分布共77页
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
条件概率与独立性及二项分布和超几何分布
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号____________________一、条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，0)(>A P ，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率. )(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率．)(A B P 定义为)()()(A P AB P A B P =。
由这个定义可知，对任意两个事件B A 、，若0)(>B P ，则有)()()(A P A B P AB P ⋅=.并称上式为概率的乘法公式. 2．(|)P B A 的性质：（1）非负性：对任意的Ω∈A . 1)(0≤≤A B P ； （2）规范性：1)(=ΩB P ；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则)()()(A C P A B P A C B P +=⋃. 更一般地,对任意的一列两两部相容的事件),,2,1( =i A i ，有[])(11B A P B A U P i i i i ∑=∞=∞=3、例题例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．例2、一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．4、练习1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为{}6,5,4,3,2,1=S ，令事件{}5,3,2=A ，{}6,5,4,2,1=B ，求)(),(),(),(B A P AB P B P A P 。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求)(),(B A P AB P 。
高中数学二项分布与正态分布突破点（一）事件相互独立性及条件概率
高中数学二项分布与正态分布突破点（一）事件相互独立性及
条件概率
基础回顾
考点一：求条件概率
[易错提醒]
要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
实战演练
考点二：事件的相互独立性
1．求相互独立事件的步骤
第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；
第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．
此外，也可以从对立事件入手计算概率．
实战演练。
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《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导
一．重、难点释疑及实例剖 1．重、难点释疑
（1）了解条件概率，并掌握条件概率的公式P （A|B ）＝
)
()(B P AB P ，并理解条件概率的
性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P （A|B ）≤1；
（2）了解两个事件相互独立的概念，区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念；掌握公式P （AB ）=P （A ）P （B ）使用的前提条件：事件A 、B 为相互独立事件；理解1－P （A ）P （B ）表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率．
（3）理解二项分布：X ～B （n ，p ），掌握二项分布的概率计算公式：P （X=k ）=k n C （1－p ）n －k p k ，以及对应的概率分布列，掌握二项分布的常见实例：反复抛掷一枚均匀硬币、已知次品率的抽样、有放回的抽样、射手射击目标命中率已知的若干次射击等，并能解决一些简单的实际问题；
（4）独立事件的概率、二项分布是高考考查的重点内容，对这部分知识的考查通常与其他知识结合在一起有一定的综合性．
2．实例剖析
（1）条件概率问题
例1．在10个各不相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（ ）
A ．
5
3 B ．5
2 C ．10
1 D ．9
5
分析：从题设可知，这是一个条件概率问题，可设出要求的事件A 、B ，由条件概率公式进行求解．
解析：方法一：设事件A ＝“第二次摸到红球”，事件B ＝“第一次摸到红球”，
则事件A|B 表示“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”，
由题意知，B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球4个白球，A 发生的概率为9
5，
即P （A|B ）＝
9
5．
方法二：设事件A ＝“第二次摸到红球”，事件B ＝“第一次摸到红球”，
则有P （B ）＝106
＝53
，P （AB ）＝
210
26A A
=
31
，那么有P （A|B ）＝
)
()
(B P AB P ＝5
331
＝95
． 点评：此题为一典型的求解条件概率问题，解决中用了不同的思路，既可以根据条件概率的含义解决，也可以由条件概率公式求解，无论哪种方法，必须准确地找对事件A 、B 、
A|B 、AB ，并熟练地求出其概率．
（2）独立事件问题
例2．某集团公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
分析：三门课程考试是否及格是相互独立事件，根据事件的独立性加以分析解答．注意两种不同方案中条件的要求与比较．
解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，
则P （A ）=a ，P （B ）=b ，P （C ）=c ， （1）应聘者用方案一考试通过的概率：
p 1＝P （AB C ）＋P （A BC ）＋P （A B C ）＋P （ABC ） ＝ab （1－c ）+bc （1－a ）+ca （1－b ）+abc=ab+bc+ca －2abc ； 应聘者用方案二考试通过的概率： p 2=
3
1P （AB ）+3
1P （BC ）+3
1P （AC ）＝3
1（ab+bc+ca ）；
（2）因为a ，b ，c ∈[0，1]， 所以p 1－p 2=
3
2（ab+bc+ca ）－2abc=
3
2[ab （1－c ）+bc （1－a ）+ca （1－b ）]≥0，
故p 1≥p 2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大．
点评：明确相互独立事件的条件是：（1）对两个事件而言的；（2）其中一个事件的发生
与否对另一事件发生的概率没有影响．
（3）二项分布问题 例3．“幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设有“Y es”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的．选手每答对一题，获得一个商标．假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题．求：
（1）甲获得2个商标的概率；（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标的概率． 分析：甲获得2个商标恰为二项分布问题，直接利用相应的概率公式计算．而对于乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，要注意其前3次获得商标，则第4、5次必须不获得商标，步骤需要加以完善．
解析：由题意，甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，即他们每道题答对的概率均为2
1，
则回答5道题相当于做了5次二项分布问题，每次试验成功的概率为
2
1，
（1）甲获得2个商标的概率为P （X=2）=2
5C ×（
2
1）2
×（
2
1）3
=
16
5；
（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，相当于“第1，2，3次对，第4，5次错”，或“第2，3，4次对，第1，5次错”，或“第3，4，5次对，第1，2次错”，
故概率为（
2
1）3×（2
1）2+（2
1）3×（2
1）2+（2
1）3×（2
1）2=
32
3．
点评：对于二项分布中的确定次数的事件的成功与失败的问题，与总的事件的成功与失败的问题是不一样的，要加以分清，思维要明确．
二．特别提示
1．独立性的注意点 （1）事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不
同的．已知事件A发生，在此条件下事件B发生，相当于事件AB发生，要求P（B|A）相当于把事件A看作新的基本事件空间来计算事件AB发生的概率．
（2）如果事件A与B相互独立，那么A与B、A与B、A与B也都是相互独立的．两两独立的n个随机事件总起来不一定是独立的．
（3）两个事件独立与互斥的区别是：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．学习时要注意区别分开，“独立性”是指两个试验中，一个事件的发生不影响另一个事件的概率大小；“互斥”是指两个事件之间有很强的依赖关系：在一次随机试验中，一个事件发生，另一个就不发生．如果事件B与C是互斥事件，则有P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）．
（4）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件．也就是说，只有两个相互独立事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．
（5）1－P（A）P（B）表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率．
2．二项分布的注意点
（1）二项分布问题是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．即二项分布问题需要符合三个条件：①任意两次试验之间是相互独立的；②每一次试验都有两个事件，且这两个事件是相互对立的；③每次试验中的每个事件发生的概率是相同的．
二项分布问题是相互独立事件的特例．只要有“恰好”、“恰有”字样的用二项分布的概率公式计算更简单．但要弄清n，p，k的意义．
（2）二项式[（1－p）+p]n的展开式中，第k+1项为T k+1=k
C（1－p）n－k p k，可见P（X=k）
n
就是二项式[（1－p）+p]n的展开式中的第k+1项，故此公式称为二项分布公式．三．学法指导
1．条件概率的性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P（B|A）≤1．
2．正确理解“相互独立事件”的定义，是判断两事件是否相互独立的关键．
3．对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及概率的转化，熟悉“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等语句含义．注意运用逆向思维方法、集合的观点，以及利用事物间的内在联系将复杂事件的概率问题转化成简单事件的概率问题．4．二项分布问题常见实例有：（1）反复抛掷一枚均匀硬币；（2）已知次品率的抽样；（3）有放回的抽样；（4）射手射击目标命中率已知的若干次射击．。