二次函数根系数关系

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二次函数与根与系数的关系

二次函数与根与系数的关系

二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念,也是数学中常见的一类函数。

在学习二次函数时,我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。

一、二次函数概述二次函数的标准形式为:f(x) = ax^2 + bx + c其中,a、b、c为实数,且a≠0。

二次函数的图像一般为抛物线,开口方向由a的正负决定。

当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点,也叫作根、解或x的值,表示函数在x轴上的交点。

即,当f(x)=0时,x的值就是二次函数的根。

2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,我们定义判别式Δ为:Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况,根据Δ的取值可以分为以下三种情况:- 当Δ>0时,方程有两个不相等的实根;- 当Δ=0时,方程有两个相等的实根;- 当Δ<0时,方程没有实根,即无解。

3. 系数与二次函数根的关系(1)二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出:x_v = -b / (2a)(2)二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出:y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))(3)二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质,我们可以得到以下结论:- 当Δ>0时,方程有两个不相等的实根。

此时,根与系数的关系如下:- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a(x_1 + x_2 = - b / a);- 两个根x_1和x_2的积等于c / a(x_1 * x_2 = c / a)。

- 当Δ=0时,方程有两个相等的实根。

此时,根与系数的关系如下:- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)(x_1 = x_2 = - b / (2a));- 两个相等的根的和等于 - b / a(x_1 + x_2 = - b / a);- 两个相等的根的积等于c / a(x_1 * x_2 = c / a)。

《二次函数》知识点总结(修改版)

《二次函数》知识点总结(修改版)

《二次函数》主要知识点归纳(修改版)(何老师归纳)一、概念:形如2y ax bx c=++(a b c,,是常数,0a≠)的函数,叫做二次函数。

1:条件:① a不为零②最高项次数为2(整理后)③整式2:特殊:若a=0 则y=bx+c 是一次函数3:若y=0,则函数图象交于x轴,化为一元二次方程a x2+bx + c =04:特殊解析式:形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数,图像必过定点.(令y=0, 则kx²-2kx-3k=0,化掉参数k得:x²-2x-3=0)二、二次函数的几种基本形式1:2y ax=的性质:a越大,抛物线的开口越小,越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质:平移规律:上加下减y。

3.()2y a x h=-的性质:平移规律:左加右减x。

y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+(顶点式)的性质:平移规律:左加右减x 。

上加下减y,5.2y ax bx c =++(一般式)的性质: 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再对比顶点式,()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=,.故两者性质相同。

三、二次函数2y ax bx c =++(或()2y a x h k =-+)图象及性质再归纳: 1:开口方向.①:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下; ②:a 相等,几条抛物线的开口大小、形状相同. ③:a 越大,抛物线的开口越小,越靠近y 轴 2:对称轴,直线abx 2-=(或直线x =h ) 3:顶点坐标:),(ab ac a b 4422-- 或(h,k )4:增减性 ①:若0>a ,当x<a b 2-时,y 减;当x>a b2-时,y 增,简记:左减右增; ②:若0<a ,当x<a b 2-时,y 增;当x>ab2-时,y 减,简记:左增右减;5:最值 ⑴:若定义域是全体实数,则在顶点处取得最大值(或最小值),即:当a b x 2-=时,ab ac y 442-=最值,(或当x =h 时,最值是y =k )2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤, 则:①:若a b 2-在21x x x ≤≤内,则当x=a b 2-时,ab ac y 442-=最值;②:若ab2-不在21x x x ≤≤内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性, A: 若y 为增,则当2x x =时,c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小; B: 若y 为减,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=222最小。

二次函数的根与系数的关系

二次函数的根与系数的关系

二次函数的根与系数的关系二次函数是一种常见的数学函数形式,通常表示为 f(x) = ax^2 + bx + c,其中 a、b、c 是实数常数,且a ≠ 0。

在二次函数中,根是函数图像与 x 轴相交的点,也就是函数的零点或解。

本文将探讨二次函数的根与系数之间的关系。

1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c,其中 a、b、c 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

这里的 a 是最重要的系数,它决定了二次函数的开口方向和开口的大小。

2. 二次函数的根为了确定二次函数的根,需要解方程 f(x) = 0。

根据求根公式(也称作二次公式),根可以通过以下公式计算:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 根与系数的关系根与系数之间有着密切的关系,可以通过系数的值推断根的性质。

3.1 开口方向当 a > 0 时,二次函数开口向上,拥有最小值,也就是抛物线的顶点。

当 a < 0 时,二次函数开口向下,拥有最大值,同样是顶点。

3.2 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算:x = -b / (2a)y = f(x) = f(-b / (2a))3.3 根的个数根的个数与判别式有关,判别式(也称为二次方程的判别式)可以通过以下公式计算:Δ = b^2 - 4ac若Δ > 0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ = 0,则方程有两个相等的实数根;若Δ < 0,则方程没有实数根。

3.4 根之间的关系对于有两个实数根的二次函数:设 x1 和 x2 分别为两个根,且 x1 < x2,则 x1 + x2 = -b / a,x1 * x2 = c / a。

4. 根与二次函数图像根与二次函数的图像之间有着密切的联系。

当根为实数时,二次函数图像与 x 轴相交;当根为负数或复数时,二次函数图像则不与 x 轴相交。

5. 例题分析假设有二次函数 f(x) = x^2 + 3x - 4,我们可以根据函数的系数计算根的性质和其他相关信息。

二次函数图像与系数的关系

二次函数图像与系数的关系

二次函数图像与系数间的关系一 知识梳理1,二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 :注 ①a 的正否决定抛物线的开口方向和大小 ②a,b 决定对称轴的位置,左同右异。

③c 决定抛物线与Y 轴的交点的位置。

④取特值:如当x=1,y=a+b+c ,当x=2是,y=4a+2b+c 等。

2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):(1) 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 题型一、二次函数、一次函数及反比例函数图像确定例1、在同一坐标系内,一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图像可能是( )A.B.C.D.例2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是()A.B.C.D.例3、一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象位置大致是( )课堂练习:1、二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,那么一次函数y=ax+b的图像大致是()A.B.C.D.2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则函数y=ax与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图像是()A.B.C.D.3、在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()A.B.C。D.题型二、二次函数图像与系数之间的关系基础题型例1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则下列结论正确的是()A.a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0 B.a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0C.a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0 D.a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0例2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示,下列说法错误的是( )A .图像关于直线x=1对称B .函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是﹣4C .﹣1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根D .当x <1时,y 随x 的增大而增大例3、如图所示,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b 2-4ac >0;(2)c >1;(3)2a ﹣b <0;(4)a+b+c <0,其中错误的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个课堂练习:1、(2011•重庆)已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )A 、a >0B 、b <0C 、c <0D 、a+b+c >02、二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,则点P (b 2﹣4ac ,a+b+c )所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、(2011•雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是()A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤题型三、二次函数图像与系数之间的关系能力题型例1、已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;②b <a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确结论的番号有.例2、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:①abc<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随x的增大而增大;⑤9a﹣3b>16a+4b正确的说法有.(把正确的答案的序号都填在横线上)例3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,与y轴相交一点C,与x轴负半轴相交一点A,且OA=OC,有下列5个结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤c+=﹣2,其中正确的结论有 .(请填序号)课堂练习1、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示,给出以下结论:①24b ac >;②0abc >;③20a b -=;④80a c +<;⑤930a b c ++<,其中结论正确的是 .(填正确结论的序号)2、.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,以下结论:①a+b+c=0;②4a+b=0;③abc <0;④4ac-b 2<0;⑤当x≠2时,总有4a+2b >ax 2+bx 其中正确的有 (填写正确结论的序号).3、已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是 个.课堂测试:1、如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为( 12,1),下列结论:①ac <0;②a+b=0;③4ac-b 2=4a ;④a+b+c <0.其中正确结论的个数是( )2y ax bx c =++x (20)-,1(0)x ,112x <<y (02),420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>A、1B、2C、3D、42、(2011•山西)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是()A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3C、2a-b=0D、当x>0时,y随x的增大而减小3、(2011•泸州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是()A、1B、2C、3D、44、(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有()A、2个B、3个C、4个D、1个5、.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确序号是(只填序号).①abc>0,②c=-3a,③b2-4ac>0,④a+b<m(am+b)(m≠1的实数).6、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(x 1,0),-3<x1<-2,对称轴为x=-1.给出四个结论:①abc>0;②2a+b=0;③b2>4ac;④a-b>m(ma+b)(m≠-1的实数);⑤3b+2c>0.其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个课后作业:1、已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是()A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B、a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0C、a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D、a<0,b>0,c>0,b2-4ac>03、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断不正确的是()A、ac<0B、a-b+c>0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a,b,c满足()A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B、a<0,b<0,c<0,b2-4ac>0C、a<0,b>0,c>0,b2-4ac<0D、a>0,b<0,c>0,b2-4ac>05、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是()A、abc>0B、b>a+cC、2a-b=0D、b2-4ac<06、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①ac>0;②a-b+c<0;③当x<0时,y<0;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于-1的实数根.其中错误的结论有()A、②③B、②④C、①③D、①④7、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,在下列选项中错误的是()A、ac<0B、x>1时,y随x的增大而增大C、a+b+c>0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=38、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是()A、ab<0B、ac<0C、当x<2时,函数值随x增大而增大;当x>2时,函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根9、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()A、a>0B、c<0C、b2-4ac<0D、a+b+c>010、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a,b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=4时,x的取值只能为0,结论正确的个数有()个.A、1B、2C、3D、411.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则下列结论中正确的是()A.a>0 B.当﹣1<x<3时,y>0C.c<0 D.当x≥1时,y随x的增大而增大12.函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为()A .1B .2C .3D .413.如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为x=1,点B 坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论: ①2a+b=0;②4a﹣2b+c <0;③ac>0;④当y <0时,x <﹣1或x >2. 其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .414、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,3OA =,2AB =.抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)经过点A 和点B ,与x 轴分别交于点D 、E (点D 在点E 左侧),且1OE =,则下列结论:①0>a ;②3c >;③20a b -=;④423a b c -+=;⑤连接AE 、BD ,则=9ABDE S 梯形,其中正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个15、如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)图象的顶点为D ,其图象与x 轴的交点为A 、B ,对称轴为直线x=1,与y 轴负半轴交于点C ,且OB=OC>2,下面五个结论:①bc<0;②4a+2b+c>0;③2a+b=0;④一元二次方程ax 2+bx+c=﹣2必有两个不相等的实数根;⑤1c 2a+=-. 那么,其中正确的结论是_____。

第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)

第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
(1)二次函数的一般形式:y=ax^2+bx+c(a≠0),以及系数a、b、c对函数图象的影响。
- a决表图象与y轴的交点。
(2)二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向。
-顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),是图象的最高点或最低点。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了二次函数的图象与系数的关系,包括开口方向、对称轴、顶点坐标和实数根等基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
-对称轴x=-b/2a,是图象的对称中心。
-开口方向由a的正负决定。
(3)二次函数实数根的判定:通过判别式Δ=b^2-4ac来判断实数根的个数。
- Δ>0,有两个实数根;
- Δ=0,有一个实数根;
- Δ<0,无实数根。
2.教学难点
(1)理解系数a、b、c对二次函数图象的综合影响。
-难点举例:当a、b、c同时变化时,如何判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标的变化。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
一、教学内容
本节课选自教材第二章“二次函数”中的“二次函数的图象与系数的关系”。教学内容主要包括以下三个方面:
1.二次函数的一般形式:y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,a≠0。
2.二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与系数的关系:
- a>0时,图象开口向上;a<0时,图象开口向下。

一元二次方程根与系数的关系——初中数学第四册教案

一元二次方程根与系数的关系——初中数学第四册教案

一元二次方程根与系数的关系——初中数学第四册教案一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。

教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系,以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。

然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

例如,求方程中的特定系数,求含有方程根的一些代数式的值等问题,由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)。

韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习,把一元二次方程的研究推向了高级阶段,运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题,如二次三项式的因式分解,解二元二次方程组;韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出:韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。

出现的题型有选择题、填空题和解答题,有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来,形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学,可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力,也为学生今后学习方程理论打下基础。

(二)重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点,让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述,以及由一个已知方程求作新方程,使新方程的根与已知的方程的根有某种关系,比较抽象,学生真正掌握有一定的难度,是教学的难点。

(三)教学目标1、知识目标:要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数,两根之差。

2、能力目标:通过韦达定理的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。

二次函数的图象、方程与图形的位置关系

二次函数的图象、方程与图形的位置关系
二次函数图象与x轴的交点是二次方程的根
二次函数图象与x轴的交点个数与判别式的关系
二次函数图象与y轴数的零点
二次函数图象与y轴的交点位置可以确定抛物线的对称轴
二次函数图象与y轴的交点位置可以确定抛物线的开口方向
二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,c),其中c是常数项
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二次函数的图象、方程与图形的位置关系
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二次函数的图象
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二次函数的方程
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二次函数的图象与图形位置关系
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二次函数的图象
二次函数的标准形式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c
开口方向与顶点位置的关系:顶点位于x轴下方时,开口向上;顶点位于x轴上方时,开口向下。
开口方向与函数值的变化趋势:开口向上的函数值随着x的增大而增大;开口向下的函数值随着x的增大而减小。
二次函数的顶点
顶点的坐标公式为(-b/2a, f(-b/2a))
顶点的位置与开口方向有关,开口向上时顶点为最低点,开口向下时顶点为最高点
当二次函数的图象与x轴平行时,一次函数图象与y轴平行
当二次函数的图象与y轴垂直时,一次函数图象与x轴垂直
当二次函数的图象与x轴垂直时,一次函数图象与y轴垂直
当二次函数的图象与y轴平行时,一次函数图象与x轴平行
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定义:二次方程的判别式是用于判断二次方程实数根的数量的公式,记作Δ。
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判别情况:当Δ>0时,二次方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,二次方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,二次方程没有实数根。

二次函数根和系数关系

二次函数根和系数关系

一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理,其逆定理也成立,它是由16世纪的法国数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系,它形式简单但内涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用.【知识要点】1.如果方程(a≠O)的两根为,,那么,,这就是一元二次方程的根与系数的关系.2.如果两个数的和为m,积为n,则以这两个数为根的一元二次方程为.3.若已知一元二次方程的一个根,可不直接解原方程,利用根与系数关系,求出另一根.4.求一元二次方程根的对称式的值,关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.5.当一元二次方程(a≠O)有两根,时:(1)若,则方程有一正一负根;(2)若,,则方程有两个正根;(3)若,,则方程有两个负根.【趋势预测】利用根与系数关系,可以解决许多有关方程的问题,有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程,然后用一元二次方程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面:①求方程中字母系数的值或取值范围;②求代数式的值;③结合根的判别式,判断根的符号特征;④构造一元二次方程解题;⑤证明代数等式,不等式;⑥与一元二次方程的整数根有关的问题.【范例解读】题1(1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n,且m<n,那么,二次方程的根的情况是( )(A)有两个负根(B)有两个正根(C)两根异号(D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号.如果由判别式符号确定方程有实根,还要通过根与系数关系来确定两根的正负号.解∵ m,n异号且m<n,∴m<0,n>0,从而,.方程的判别式:,故方程必有两实根.设这两个实根为,,则由根与系数关系得,,可知,均为负数,故选(A).题2(1997·上海) 若a和b是方程的两个实根,c和d是方程的两个实根,e和f是方程的两个实根,则的值为_____________.分析由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开,把上列数值代入,可得所求值.但若全部展开,结果很繁,因此考虑局部展开,分步代入.解由方程根与系数关系得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,则题3(1996·祖冲之杯) 已知α,β是方程的两根,α>β,不解方程,求的值.分析待求式中α,β是不对称的,但根与系数的关系具有对称性,应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题.解由根与系数的关系得α+β=7,αβ=8,∴,.因α>β,故,.记,令,从而,∴.题4(2000·江苏) 已知,,其中m,n为实数,则__________.分析根据两个方程系数的特点,可作恰当的变形,使两个方程具有相同的结构.把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程,然后用根与系数关系来求值.解由已知等式可变形成与,由于m,的关系没有给定,故应分两种情况:①当时,;②当时,可知m,是方程的两个根,则由根与系数关系得,.∴.综合①,②得或.题5(1996·江苏) 设的两个实根为α,β,(1)求以,为根的一元二次方程;(2)若以,为根的一元二次方程仍是,求所有这样的一元二次方程.分析根据方程根与系数关系求和的值,由此即可作出新方程;根据新方程的一次项系数等于-p,常数项等于q,可求得p,q的值.解(1)由根与系数关系得α+β=p,αβ=q,∴,.所求方程是;(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程:,,,,,,.其中仅无实数根,舍去.故所有这样的一元二次方程有六个,分别为:,,,,,.题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.分析根据方程系数的特点,可先用十字相乘法求出方程两根,然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后,再求出是的值.解原方程可化为.∵(k-4)(k-2)≠0,∴解得方程两根为,∴,,消去k,得,∴.由于,都是整数,故对应的k的值分别为6,3,.【方法指引】1.构造对偶式法.对一个已知代数式或一个已知命题,我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题,然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除),从而使问题获得巧解.这种方法称为构造对偶式法.常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等.2.解一元二次方程的整数根问题的基本方法有:(1)直接求解法.若根可用有理式表示,则先求出根,再结合整除性求解.(2)利用判别式法.在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围,运用枚举法讨论,不等式分析求解.(3)运用根与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,再通过因式分解和整数性质求解.(4)巧换主元法.若运用相关方法直接求解困难时,可选择换主元的方法,结合整除知识求解.【综合能力训练】1.△ABC的一边长为5,另两边长恰好是方程的两根,那么m的取值范围是________________.2.设,是方程的两实根,且,则k 的值是( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3.若方程的两根为α,β,它也是方程的两个根,则p=_____________.4.若ab≠1,且有,及,则的值是( ) (A)(B)(C)(D)5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA和sinB是方程的两根,求∠A和∠B的度数及k的值.6.求满足如下条件的所有k值,使关于x的方程的根都是整数。

微专题11 二次函数根的分布问题(原卷版)

微专题11 二次函数根的分布问题(原卷版)

微专题11 二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系 (1)方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩(2)方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩(3)方程有一正根和一负根,设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑: (1)开口方向;(2)判别式;(3)对称轴2bx a=-与区间端点的关系;(4)区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根,则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内 没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一:正负根问题题型二:根在区间的分布问题题型三:整数根问题题型四:范围问题【典型例题】题型一:正负根问题例1.(2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习)已知m为实数,命题甲:关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R;命题乙:关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根.若甲、乙至少有一个为真命题,求实数m的取值范围为_______.例2.(2022·全国·高一单元测试)关于x的方程2210ax x++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.OnmyxOnmyxOnmyx例3.(2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习)若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数,求k 的取值范围为___________.例4.(2022·全国·高一专题练习)已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根,则实数m 的取值范围是_____.例5.(2022·河南·高一阶段练习)(1)若不等式210ax bx +-<的解集是113xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣,求,a b 的值; (2)若31b a =--,且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根,求a 的取值范围.例6.(2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习)已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)若1x 、2x 均为正根,求实数k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使得()()12123222x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值;若不能存在,请说明理由.题型二:根在区间的分布问题例7.(2022·全国·高一专题练习)已知一元二次方程x 2+ax +1=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则实数a 的取值范围为________.例8.(2022·全国·高一课时练习)已知关于x 的方程220x x a -+=. (1)当a 为何值时,方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)当a 为何值时,方程的一个根大于1-且小于1,另一个根大于2且小于3? (3)当a 为何值时,方程的两个根都大于0?例9.(2022·全国·高一专题练习)已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=,当a 为何值时,该方程:有不同的两根且两根在(1,3)内.例10.(2022·江苏·高一专题练习)已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式22210x tx t -+-≥;(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.例11.(2022·全国·高一单元测试)求实数m 的范围,使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小; (2)有两个实根 αβ,,且满足014αβ<<<<; (3)至少有一个正根.例12.(2022·上海市七宝中学高一阶段练习)方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上,另一个根在区间()1,2上,则实数a 的取值范围为___________.例13.(2022·全国·高一专题练习)关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根,则实数a 的取值范围是_____.例14.(2022·全国·高一单元测试)方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2,则实数a 的取值范围是_____.例15.(2022·全国·高一专题练习)已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数a 的取值范围是_____.例16.(2022·全国·高一专题练习)已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1,()1,3之内,则实数a 的取值范围为______.例17.(2022·上海·高一专题练习)方程2240x ax -+=的两根均大于1,则实数a 的取值范围是_______例18.(2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试)关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ,且121x x ,那么a 的取值范围是( ) A .2275a -<<B .25a > C .27a <-D .2011a -<<例19.(2022·全国·高一课时练习)关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内,则实数m 的取值范围是( ) A .13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C .1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦题型三:整数根问题例20.(2022·上海市实验学校高一开学考试)已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使得()()12123222x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由;(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.例21.(2022·上海·高三专题练习)已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a 的值之和是( ) A .13 B .18 C .21 D .26例22.(多选题)(2022·全国·高一课时练习)已知a ∈Z ,关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值可以是( ) A .5 B .6 C .7 D .9例23.(2022·全国·高一专题练习)若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根,则k 可取的最大整数值是______.题型四:范围问题例24.(2022·上海·高一专题练习)已知t 是实数,若a ,b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根,则()()2211a b --的最小值是___________.例25.(2022·吉林省实验中学高一阶段练习)设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x . (1)当1m =时,求1211+x x 的值;(2)若120,0x x >>,求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.例26.(2022·北京海淀·高一期末)已知函数()22f x x bx c =++(b ,c 为实数),()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ,2x ,则1211+x x 的最小值是( ) A .4 B .2C .1D .12例27.(2022·江苏·高一)已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根,那么两个根的倒数和最小值是( ) A .-2 B .23C .89D .1例28.(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知实数a b <,关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ,则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是( ) A .12a x x b <<< B .12x a b x <<< C .12a x b x <<< D .12x a x b <<<例29.(2022·福建厦门·高一期末)已知函数()()11f x x x a =-⋅--,a R ∈. (1)若0a =,解不等式()1f x <;(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ,2x ,3x ,求123111x x x ++的取值范围. 【过关测试】一、单选题 1.(2022·江苏·高一专题练习)已知p :a m <(其中R a ∈,m ∈Z ),q :关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件,则m 的最大值为( ) A .1B .0C .1-D .22.(2022·江苏·高一专题练习)已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m 的取值范围是( ) A .(5,4)(4,)--+∞ B .(5,)-+∞ C .(5,4)--D .(4,2)(4,)--+∞3.(2021·北京·北师大实验中学高一期中)设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ,则12||x x -=( ) A .3B .6C .22D .424.(2021·江苏·高一课时练习)设a 为实数,若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( ). A .(,0)(1,)-∞⋃+∞ B .(1,0)-C .1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D .1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5.(2022·全国·高一课时练习)一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A .0a <B .0a >C .1a <-D .2a <6.(2021·四川·树德中学高一阶段练习)设集合{}2320A x x x =-+<,集合{}2210B x ax x =--=,若A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是( ) A .34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .(1,)+∞7.(2022·全国·高一课时练习)要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小,则实数a 的取值范围是( ) A .{}12a a -<< B .{}21a a -<< C .{}2a a <-D .{}1a a >8.(2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习)已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ,2x ,且12013x x <<<<,则m 的值为( )A .4-B .5-C .6-D .7-二、多选题9.(2022·江苏南通·高一开学考试)已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠,则下列四个结论中正确的是( ). A .24a b =B .若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-,则7a b c ++=C .若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ,则120x x >D .若不等式2x ax b c 的解集为12(,)x x ,且12||4x x -=,则4c =10.(2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习)一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是( ) A .4m =B .5m =C .1m =D .12=-m11.(2022·湖南湖南·高一期末)若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根,则实数λ的取值可以是( ) A .3-B .18C .14D .112.(2021·全国·高一专题练习)已知关于x 的方程()230x m x m +-+=,则下列结论中正确的是( ) A .方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈< B .方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤C .方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈> D .当m =3时,方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0 13.(2021·江苏·高一专题练习)已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ,且12013x x <<<<,则m 的值为( )A .-2B .-3C .-4D .-5三、填空题14.(2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1,一根小于1,则a 的取值范围是:__________________.15.(2021·北京师大附中高一期中)若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a 的取值范围是________.16.(2021·上海·复旦附中高一期中)若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k 的取值范围为______.17.(2020·上海·高一专题练习)已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈,{}2|120,B x x ax x R =--≤∈,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是______________. 四、解答题18.(2022·全国·高一期中)命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根;命题():0,q x ∃∈+∞,2390x mx -+<.(1)若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题,求实数m 的取值范围.19.(2022·湖南·高一课时练习)若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内,另一个根在区间()1,2内,求实数a 的取值范围.20.(2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中)已知()()2213f x x a x =+-+.(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根,求实数a 的取值范围; (2)如果[]1,2x ∃∈,()0f x >成立,求实数a 的取值范围.21.(2021·上海市七宝中学高一阶段练习)设二次函数()2f x ax bx c =++,其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+,且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ,求a 的取值范围; (2)若Z a b c ∈、、,且()()01f f 、均为奇数,求证:方程()0f x =无整数根; (3)若21,21,a b k c k ==-=,当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.。

二次函数根与系数关系

二次函数根与系数关系

一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理,其逆定理也成立,它是由16世纪的法国数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系,它形式简单但内涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用.【知识要点】1.如果方程(a≠O)的两根为,,那么,,这就是一元二次方程的根与系数的关系.2.如果两个数的和为m,积为n,则以这两个数为根的一元二次方程为.3.若已知一元二次方程的一个根,可不直接解原方程,利用根与系数关系,求出另一根.4.求一元二次方程根的对称式的值,关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.5.当一元二次方程(a≠O)有两根,时:(1)若,则方程有一正一负根;(2)若,,则方程有两个正根;(3)若,,则方程有两个负根.【趋势预测】利用根与系数关系,可以解决许多有关方程的问题,有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程,然后用一元二次方程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面:①求方程中字母系数的值或取值范围;②求代数式的值;③结合根的判别式,判断根的符号特征;④构造一元二次方程解题;⑤证明代数等式,不等式;⑥与一元二次方程的整数根有关的问题.【范例解读】题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n,且m<n,那么,二次方程的根的情况是 ( )(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号.如果由判别式符号确定方程有实根,还要通过根与系数关系来确定两根的正负号.解∵m,n异号且m<n,∴ m<0,n>0,从而,.方程的判别式:,故方程必有两实根.设这两个实根为,,则由根与系数关系得,,可知,均为负数,故选(A).题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根,c和d是方程的两个实根,e和f是方程的两个实根,则的值为_____________.分析由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开,把上列数值代入,可得所求值.但若全部展开,结果很繁,因此考虑局部展开,分步代入.解由方程根与系数关系得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,则题3 (1996·祖冲之杯) 已知α,β是方程的两根,α>β,不解方程,求的值.分析待求式中α,β是不对称的,但根与系数的关系具有对称性,应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题.解由根与系数的关系得α+β=7,αβ=8,∴,.因α>β,故,.记,令,从而,∴.题4 (2000·江苏) 已知,,其中m,n为实数,则__________.分析根据两个方程系数的特点,可作恰当的变形,使两个方程具有相同的结构.把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程,然后用根与系数关系来求值.解由已知等式可变形成与,由于m,的关系没有给定,故应分两种情况:①当时,;②当时,可知m,是方程的两个根,则由根与系数关系得,.∴.综合①,②得或.题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α,β,(1)求以,为根的一元二次方程;(2)若以,为根的一元二次方程仍是,求所有这样的一元二次方程.分析根据方程根与系数关系求和的值,由此即可作出新方程;根据新方程的一次项系数等于-p,常数项等于q,可求得p,q的值.解 (1)由根与系数关系得α+β=p,αβ=q,∴,.所求方程是;(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程:,,,,,,.其中仅无实数根,舍去.故所有这样的一元二次方程有六个,分别为:,,,,,.题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.分析根据方程系数的特点,可先用十字相乘法求出方程两根,然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后,再求出是的值.解原方程可化为.∵(k-4)(k-2)≠0,∴解得方程两根为,∴,,消去k,得,∴.由于,都是整数,故对应的k的值分别为6,3,.【方法指引】1.构造对偶式法.对一个已知代数式或一个已知命题,我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题,然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除),从而使问题获得巧解.这种方法称为构造对偶式法.常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等.2.解一元二次方程的整数根问题的基本方法有:(1)直接求解法.若根可用有理式表示,则先求出根,再结合整除性求解.(2)利用判别式法.在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围,运用枚举法讨论,不等式分析求解.(3)运用根与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,再通过因式分解和整数性质求解.(4)巧换主元法.若运用相关方法直接求解困难时,可选择换主元的方法,结合整除知识求解.【综合能力训练】1.△ABC的一边长为5,另两边长恰好是方程的两根,那么m的取值范围是________________.2.设,是方程的两实根,且,则k 的值是 ( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3.若方程的两根为α,β,它也是方程的两个根,则 p=_____________.4.若ab≠1,且有,及,则的值是( )(A) (B) (C) (D)5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA和sinB是方程的两根,求∠A 和∠B的度数及k的值.6.求满足如下条件的所有k值,使关于x的方程的根都是整数。

二次函数图象与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教版)

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二次函数图象与系数的关系数形结合思想:所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

一、二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a 与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置.【典例1】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C.若点B (4,0),则下列结论中:①abc>0②4a+b>0;③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,若0<x1<x2,则y1>y2;④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数,则a(m―3)(m+3)<b(3―m);⑤AB≥3,则4b+3c>0,正确的个数是()A.5B.4C.3D.2本题考查了二次函数的图象和性质.根据图象可知,a<0,c<0,b>0,即可判断①结论;根据图象可得对称轴在直线x=2右侧,即―b2a>2,即可判断②结论;根据二次函数的增减性,即可判断③结论;根据对称轴,得出b=―6a,再利用作差法,即可判断④结论;根据抛物线与x轴的交点B(4,0),整理得出a =―4b+c 16,再根据AB ≥3,得到y =a +b +c ≥0,进而得出4b +5c ≥0,再结合c <0,即可判断⑤结论.根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键.解:∵抛物线开口线下,与y 轴交于负半轴,∴a <0,c <0,∵对称轴在x 轴正半轴,∴a 、b 异号,∴b >0,∴abc >0,①结论正确;∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点,且点B (4,0),∴对称轴在直线x =2右侧,即―b 2a >2,∴2―<0,∴4a+b2a <0,∵a <0,∴4a +b >0,②结论正确;M (x 1,y 1)与N (x 2,y 2)是抛物线上两点,且0<x 1<x 2,∵0<x <―b 2a 时,y 随x 的增大而增大;x >―b2a 时,y 随x 的增大而减小;∴无法判断y 1和y 2的大小,③结论错误;∵抛物线的对称轴是直线x =3,∴―b 2a =3,即b =―6a ,∴ a (m ―3)(m +3)―b (3―m )=a (m ―3)(m +3)+6a (3―m )=a (m ―3)(m +3―6)=a (m ―3)2,∵a <0,(m ―3)≥0,∴a (m ―3)2≤0,∴ a (m ―3)(m +3)≤b (3―m ),④结论正确;∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点,且点B (4,0),∴当x =4时,y =16a +4b +c =0,∴a =―4b+c 16,∵AB ≥3,∴点A 的横坐标0<x A ≤1,∴当x =1时,y =a +b +c ≥0;∴―4b+c 16+b +c ≥0,整理得:4b +5c ≥0,∴4b +3c ≥―2c ,∵c <0,∴2c >0,∴4b +3c >0,⑤结论正确;∴正确的结论有①②④⑤,共4个,故选:B .1.(2024·湖北宜昌·模拟预测)如图,已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象关于直线x =―1对称,与x 轴的一个交点在原点和(1,0)之间,下列结论错误的是( )A .abc <0B .b =2aC .4a ―2b +c >0D .a ―b ≤m (am +b )(m 为任意实数)【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质,数形结合是解题的关键.根据抛物线开口向上,对称轴,与y 轴交点位置,即可判断选项A ;根据抛物线对称轴即可判断选项B ;根据“对称轴为直线x =―1,0<x 1<1”可判断选项C ; 当x =―1时,y =ax 2+bx +c =a ―b +c 为最小值,据此可判断选项D.【解题过程】解:A.∵抛物线开口向上,∴a>0,∵对称轴为直线x=―1,=―1,∴―b2a∴b=2a>0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc<0,原题结论正确,故此选项不符合题意;B.∵对称轴为直线x=―1,=―1,∴―b2a∴b=2a,故选项正确,不符合题意;C.∵对称轴为直线x=―1,0<x2<1,∴―3<x1<―2,∴当x=―2时,y=4a―2b+c<0原题结论错误,故此选项符合题意;D.当x=―1时,y=ax2+bx+c=a―b+c为最小值,∴a―b+c≤am2+bm+c,∴a―b≤am2+bm,∴a―b≤m(am+b),原题结论正确,故此选项不符合题意.故选:C.2.(2024·黑龙江绥化·中考真题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=―1,则下列结论中:>0②am2+bm≤a―b(m为任意实数)③3a+c<1①bc④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤―3.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质,根据抛物线的开口方向,对称轴可得a<0,b=2a<0即可判断①,x=―1时,函数值最大,即可判断②,根据x=1时,y<0,即可判断③,根据对称性可得x1+x2=―2即可判段④,即可求解.【解题过程】解:∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=―1,=―1∴x=―b2a∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴,则c>0<0,故①错误,∴bc∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=―1,∴当x=―1时,y取得最大值,最大值为a―b+c∴am2+bm+c≤a―b+c(m为任意实数)即am2+bm≤a―b,故②正确;∵x=1时,y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1,故③正确;∵M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,∴M,N关于x=―1对称,∴x1+x22=―1即x1+x2=―2故④不正确正确的有②③故选:B3.(2024·四川眉山·中考真题)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论:①bc<0;②3a+2c<0;③ax2+bx≥a+b;④若―2<c<―1,则―83<a+b+c<―43,其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质,数形结合是解题的关键,利用开口方向和对称轴的位置即可判断①,利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②,利用二次函数的最值即可判断③,求出c=―3a,进一步得到1 3<a<23,又根据b=―2a得到a+b+c=a―2a―3a=―4a,即可判断④.【解题过程】解:①∵函数图象开口方向向上,∴a>0;∵对称轴在y轴右侧,∴a、b异号,∴b<0,∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴bc>0,故①错误;②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,∴―b2a=1,∵b=―2a,∴x=―1时,y=0,∴a―b+c=0,∴3a+c=0,∴3a+2c<0,故②正确;③∵对称轴为直线x=1,a>0,∴y=a+b+c最小值,ax2+bx+c≥a+b+c,∴ax2+bx≥a+b,故③正确;④∵―2<c<―1,∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=(―1)×3=―3=ca,∴c=―3a,∴―2<―3a<―1,∴13<a<23,∵b=―2a,∴a+b+c=a―2a―3a=―4a,∴―83<a+b+c<―43,故④正确;综上所述,正确的有②③④,故选:C4.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点1,1,m,0,3,0,若c<0,则下列结论中错误的是()A.ab<0B.4ac―b2<4aC.3a+b<0D.点2+m,1必在该抛物线上【思路点拨】根据抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右边,可得a<0,c<0,b>0,即可判断A;将抛物线化为顶点式,由顶点在第一象限得到4ac―b24a>1,结合a<0即可判断B;由点3,0在抛物线上得到3a+b=―c3,再由c<0即可判断C;由抛物线的对称性即可判断D.【解题过程】解:∵抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右边,∴a<0,c<0,―b2a>0,∴b>0,∴ab<0,故A正确,不符合题意;∵y=ax2+bx+c=a x++4ac―b24a ,抛物线的顶点在第一象限,经过点1,1,对称轴为直线x=m+32>1,∴4ac―b24a>1,∵a<0,∴4ac―b2<4a,故B正确,不符合题意;∵抛物线y=ax2+bx+c经过点3,0,∴9a+3b+c=0,∴3a+b=―c3,∵c<0,∴―c3>0,∴3a+b=―c3>0,故C错误,符合题意;∵抛物线y=ax2+bx+c经过点1,1,m,0,3,0,∴对称轴为直线x=m+32,∵1+2+m2=m+32,∴1,1和2+m,1关于对称轴对称,∴点2+m,1必在该抛物线上,故D正确,不符合题意;故选:C.5.(23-24九年级上·河南周口·期末)抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a―2b+c=0;④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根;⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am²+bm+c≤a+b+c.其中正确的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个【思路点拨】由开口方向及与y轴的交点可判断,a<0,c>0,再根据“左同右异”的方法可判断b的符号,从而可判断可判断②;由图象得x2=4和对称轴可求x1=―2,可得抛物线与x的另一个交点为①;由对称轴x=―b2a(―2,0),代入即可判断③;设y1=2,则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线,并且与抛物线有两个交点,=a+b+c,即可判断⑤.可判断④;当x=1时,y最大【解题过程】解:由图得:a<0,c>0,∵对称轴在y轴右侧,∴b>0,∴abc<0,故①错误;∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴―b=1,2a∴2a+b=0,故②正确;由图象得x 2=4,∴1―x 1=4―1解得:x 1=―2,∴抛物线与x 的另一个交点为(―2,0),∴a ×(―2)2+(―2)b +c =0,即:4a ―2b +c =0,故③正确;设y 1=2,则图象为过(0,2)且垂直于y 轴的一条直线,与抛物线有两个交点,∴方程ax²+bx +c =2有两个不相等的实数根;故④正确;∵抛物线的对称轴是直线x =1,且a <0,∴当x =1时,y 最大=a +b +c ,∴ am²+bm +c ≤a +b +c ,故⑤正确;综上所述:正确的有②③④⑤,共4个;故选:C .6.(23-24九年级上·山东菏泽·期末)如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分,对称轴为x =12,且经过点(2,0).下列说法:①abc <0;②―2b +c =0;③4a +2b +c <0;④若―52,y 1y 2是抛物线上的两点,则y 1<y 2;⑤14b >m (am +b )(其中m ≠12),其中说法正确的是( )A .①②③B .①②④C .①②④⑤D .②③④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质,图象与系数的关系,掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.利用抛物线的开口方向、对称轴和与y轴的交点位置来判定①,利用抛物线与x轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②,把点(2,0)代入二次函数的解析式来判定③,观察图象可得:距离对称轴越近的点的纵坐标越大,据此判定④,根据二次函数的最大值判定⑤.【解题过程】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,抛物线对称轴为x=―b2a =12,∴b=―a>0,抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①正确;对称轴为x=12,且经过点(2,0),抛物线与x轴的另一个交点为(―1,0),∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为2和―1,∴2×(―1)=ca,整理,得c=―2a,∴―2b+c=2a+(―2a)=0,所以②正确;抛物线经过(2,0),∴当x=2时,y=0,∴4a+2b+c=0,所以③错误;∵a<0,∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大,∵1 2―(―52)>52―12,∴y1<y2所以④正确;∵对称轴为x =12,∴当x =12时,y 有最大值,y 的最大值=14a +12b +c ,∴当x =m ≠12时,14a +12b +c >am 2+bm +c ,整理,得14a +12b >am 2+bm =m(am +b),∵b =―a ,即a =―b ,∴14a +12b =―14b +12b =14b ,即14b >m (am +b ),所以⑤正确.其中说法正确的是①②④⑤.故选:C .7.(23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0),其中0<x 1<1.下列四个结论:①abc <0;②a +b +c >0;③2a ―c >0;④点(―2,y 1),(4,y 2)都在抛物线上,则有y 1>y 2;⑤不等式ax 2+bx +c <―c x 1x +c 的解集为0<x <x 1.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【思路点拨】本题考查了抛物线图像综合,根据抛物线开口向上,a >0;对称轴在原点的右边,―b 2a >0,得到b <0,c >0,判断abc <0;结合图像,a +b +c <0;根据对称轴,增减性,数形结合思想计算判断即可.【解题过程】解:∵抛物线开口向上,∴a >0;∵对称轴在原点的右边,―b 2a >0,∴b <0,∵抛物线与y 轴交点位于坐标轴上,∴c >0,∴abc <0;故①正确;结合图像,a +b +c <0;故②错误;∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0),其中0<x 1<1.∴1<x 1+22<32,4a +2b +c =0,∴1<―b 2a <32,2b =―c ―4a ,∴―3a <b <―2a ,2b =―c ―4a ,∴2b >―6a ,b +2a <0,∴―4a ―c >―6a ,∴2a ―c >0,故③正确;∵点(―2,y 1),(4,y 2)∴y 1=4a ―2b +c,y 2=16a +4b +c ,∴y 1―y 2=4a ―2b +c ―(16a +4b +c )=―6(2a +b ),∵b +2a <0,∴―6(2a +b )>0∴y 1>y 2;故④正确;设直线y =―cx 1x +c ,根据题意,直线经过点(x 1,0)和(0,c ),故直线y =―c x 1x +c 与y =ax 2+bx +c 的交点为点(x 1,0)和(0,c ),画草图如下,x+c的解集为0<x<x1.故不等式ax2+bx+c<―c x1故⑤正确;故选D.8.(23-24九年级上·江苏扬州·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分如图所示,该函数图像经过点(5,0),对称轴为直线x=2.对于下列结论:①b>0;②a+c<b;③多项式ax2+bx+c 可因式分解为(x+1)(x―5);④无论m为何值时,代数式am2+bm―4a―2b的值一定不大于0.其中正确个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】=2可得抛物线与x轴的另一个交先根据图像的开口方向和对称轴可判断①;由抛物线的对称轴为x=x1+x22点为(―1,0),由此可判断②;根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③;根据函数的对称轴为x=2可知x=2时y有最大值,由此可判断④.本题主要考查了二次函数的图像和性质,解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系.【解题过程】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,>0,∵对称轴为直线x=―b2a∴b>0,∴结论①正确;∵抛物线与x轴的一个交点为(5,0),且对称轴为直线x=2,由5+x 22=2,得x 2=―1,∴抛物线与x 轴的另一个交点为(―1,0),即当x =―1时,y =0,∴a ―b +c =0,∴a +c =b ,∴结论②错误;∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为(―1,0),(5,0),∴多项式ax 2+bx +c 可因式分解为a(x +1)(x ―5),∴结论③错误;∵对称轴为直线x =2,且函数开口向下,∴当x =2时,y 有最大值,由y =ax 2+bx +c 得,x =2时,y =4a +2b +c ,x =m 时,y =am 2+bm +c ,∴无论m 为何值时,am 2+bm +c ≤4a +2b +c ,∴am 2+bm ―4a ―2b ≤0∴结论④正确;综上:正确的有①④.故选:B9.(23-24九年级上·四川德阳·阶段练习)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (―1,0),顶点坐标为(1,n ),与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点).正确结论的个数是( )①当x >3时,y <0;②3a +b >0;③―1≤a ≤―23;④83≤n ≤4.A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数的图象与系数的关系;二次函数与一元二次方程的关系;熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键.①根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=1,得到另一个交点坐标,结合函数图象即可对于①作出判断;②根据抛物线开口方向得出a<0,由对称轴x=―b求得b与a的关系,代入3a+b,即可判定3a+b的符2a,号;③根据二次函数与x轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解,结合一元二次方程两根之积x1⋅x2=ca 得到c与a的关系,然后根据c的取值范围,利用不等式的性质来求a的取值范围;④把顶点坐标代入函数解c,根据c的取值范围,利用不等式的性质来求得n的取值范围.析式得到n=a+b+c=43【解题过程】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n),∴对称轴直线是x=1,∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0),∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),∴根据图象可得,当x>3时,y<0;故①正确;②a<0;=1,∵对称轴x=―b2a∴b=―2a;∴3a+b=3a―2a=a<0,即3a+b<0;故②错误;③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(―1,0),(3,0),即方程ax2+bx+c=0的解是x1=―1和x2=3,∴x1⋅x2=―1×3=―3,=―3,即ca;则a=―c3∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),∴2≤c≤3,∴―1≤―c3≤―23;即―1≤a≤―23;故③正确;④∵a=―c3;b=―2a∴b=―2a=23c,∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n),即n=a+b+c=43c∵2≤c≤3,∴8 3≤43c≤4,即83≤n≤4;故④正确;综上所述,正确的说法有①③④.故选:C.10.(23-24九年级下·广东广州·阶段练习)如图,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于―12,0,对称轴为直线x=1.有以下结论∶①abc<0;②3a+c>0;③若点(―3,y1),(3,y2),(0,y3)均在函数图象上,则y1>y3>y2;④若方程a(2x+1)(2x―5)=1的两根为x1、x2,且x1<x2则x1<―1 2<52<x2;⑤点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得,则a的范围为a≥23.其中结论正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质,由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据抛物线对称性进行推理,进而对所得结论进行判断,熟练掌握二次函数的图象及性质,能从图象中获取信息是解题的关键.【解题过程】解:∵对称轴为直线x =1,函数图象与x 轴负半轴交于 ―12,0,∴x =―b 2a =1,∴b =―2a ,由图象可知 a >0,c <0,∴b =―2a <0,∴abc >0,故①错误;由图可知,当x =―1时,y =a ―b +c >0 ,∴a +2a +c >0,即3a +c >0,故②正确;∵点(―3,y 1),(3,y 2),(0,y 3)均在函数图象上,对称轴为直线x =1,开口向上,∴|―3―1|>|3―1|>|0―1|,则 y 1>y 2>y 3,故③错误;由抛物线对称性可知,抛物线与x ,0,∴抛物线解析式为:y =a x令a x ―=14,则a (2x +1)(2x ―5)=1,如图,作y =14,由图形可知x 1<―12<52<x 2 ,故④正确;由题意可知:M ,N 到对称轴的距离为32,当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于 32时,在x 轴下方的抛物线上存在点P ,使得PM ⊥PN ,即4ac―b 24a ≤―32,∵y =a x =ax 2―2ax ―54a ,∴c =―54a ,b =―2a ,≤―32,解得:a ≥23,故⑤正确,综上可知②④⑤正确,共3个,故选:C .11.(23-24九年级下·山东烟台·期中)已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0),图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(―2,0),顶点坐标为―12,m .对于下列结论:①abc <0;②a +b +c =0;③若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根,则m <3;④am 2+bm <14(a ―2b ))(其中m ≠―12)﹔⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上,且x 1>x 2>1,则y 1>y 2.其中正确结论有( )A .②③④B .②③⑤C .②③D .④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题,掌握二次函数图象与系数关系,二次根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴,求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0),利用待定系数法求函数解析式,再根据抛物线开口朝下,可得a <0,进而可得b <0,c >0,再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可.【解题过程】解:∵抛物线开口方向向下,∴a <0,∵抛物线的对称轴为直线x =―12,∴―b 2a =―12∴b =a <0∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上,∴c >0,∴abc >0,故①错误;∵抛物线的对称轴为直线x =―12,且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0),∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0),把(1,0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0),可得:a +b +c =0,故②正确;∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根,∴二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象与直线y =3无交点,∵抛物线的顶点坐标为―12,m ,抛物线开口方向向下,∴m <3,故③正确;∵am 2+bm =am 2+am =a m +―14a ,14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ,∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2,又∵a <0,m ≠―12,∴a m <0,即am 2+bm <14(a ―2b)(其中m ≠―12),故④正确;∵抛物线的对称轴为直线x =―12,且抛物线开口朝下,∴可知二次函数,在x >―12时,y 随x 的增大而减小,∵x 1>x 2>1>―12,∴y 1<y 2,故⑤错误,正确的有②③④,故选:A .12.(2024·四川达州·三模)如图,函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0),请思考下列判断:①abc <0;②4a +c <2b ;③b c +1m =1;④am 2+(2a +b )m +b +c <0;⑤|am +a |=确的结论有( )个.A .2B .3C .4D .5【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断;②根据x =―2时,y <0即可判断;③根据m 是方程ax 2+bx +c =0的根,结合两根之积―m = c a ,即可判断;④根据两根之和―1+m =― b a ,可得ma =a ―b ,可得am 2+(2a +b)m +b +c =2a ―b <0;⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离,列出关系式即可判断.【解题过程】解:∵抛物线开口向下,∴a <0,∵抛物线交y 轴于正半轴,∴c >0,∵― b 2a >0,∴b >0,∴abc <0,故①正确,∵x =―2时,y <0,∴4a ―2b +c <0,即4a +c <2b ,故②正确,∵ y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0),∴―1×m = c a ,am 2+bm +c =0,则am c =―1,∴ b c =0,∴ b c +1m =1,故③正确,∵―1+m =― ba ,∴―a +am =―b ,∵am2+(2a+b)m+b+c=am2+bm+c+2am+b=2a―2b+b=2a―b∵a<0,b>0∴2a―b<0,故④正确,对于ax2+bx+c=0,可得:x=由函数图象交点可知x=m或x=―1,∴m+1=,∴m+1=,∴|am+a|=⑤正确,故选:D.13.(23-24八年级下·云南·期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(―1,0)下列结论:①b2>4ac;②4a+b=0;③4a+c>2b;④―3b+c=0;⑤若顶点坐标为(2,4),则方程ax2 +bx+c=5没有实数根.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个【思路点拨】本题主要考查二次函数与系数a,b,c相关代数式的判断问题,会利用对称轴求b与a的关系,以及二次函数与方程之间的转换,掌握根的判别式的熟练运用,是解题的关键.由抛物线的开口方向判断a<0,将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0),得a―b+c=0,由图象可得对称轴为x=2,可得b=―4a,代入上式可得c=―5a,再将五个结论分别分析即可由得到答案.【解题过程】解:将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0),∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2,开口向下,=2,a<0,∴―b2a即b=―4a>0,将b=―4a代入a―b+c=0,可得c=―5a>0.①∵b=―4a、c=―5a,∴b2=(―4a)2=16a2,4ac=4a×(―5a)=―20a2,∴16a2>―20a2,∴b2>4ac,故①正确.②∵b=―4a,∴4a+b=4a―4a=0,故②正确.③∵b=―4a、c=―5a,∴4a+c=4a―5a=―a,2b=―8a,∵a<0,∴―a<―8a,∴4a+c<2b,故③错误.④∵b=―4a、c=―5a,故―3b+c=―3×(―4a)―5a=12a―5a=7a,∵a<0,∴7a≠0,∴―3b+c≠0,故④错误.⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0),即4a+2b+c=4,再将b=―4a、c=―5a代入上式,化简可得a=―2,∴b=―4a=8,c=―5a=10,将a=―2,b=8,c=10,代入则方程ax2+bx+c=5中,即―2x2+8x+5=0,根据根的判别式Δ=82―4×(―2)×5=104>0,可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根,故⑤错误.综上作述,正确的结论有两个,故选A.14.(23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习)抛物线y=ax2+bx+c经过点(―1,0),与y轴的交点在(0,―2)与(0,―3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2.下列结论:①a+b+c<0;②若点M(0.5,y1)、N(2.5,y2)在图象上,则y1<y2;③若m为任意实数,则a(m2―4)+b(m―2)≥0;④―24≤5 (a+b+c)<―16.其中正确结论的序号为.【思路点拨】本题考查二次函数的图象与系数的关系,根据二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质.【解题过程】解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(―1,0),对称轴为直线x=2,∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)x轴相交于点A(―1,0),(5,0),∵二次函数与y轴的交点B(0,―2)与(0,―3)之间(不包括这两点),大致图象如图:当x=1时,y=a+b+c<0,故结论①正确;∵二次函数的对称轴为直线x=2,且a>0,2―0.5=1.5,2.5―2=0.5,∴y1>y2,故结论②不正确;∵x=2时,函数有最小值,∴am2+bm+c≥4a+2b+c(m为任意实数),∴a(m2―4)+b(m―2)≥0,故结论③正确;∵―b2a=2,∴b=―4a,∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为―1和5,∴―1×5=ca,∴c=―5a,∵―3<c<―2,∴2 5<a<35,∴当x=1时,y=a+b+c=―8a,―245<―8a<―165,∴―24<5(a+b+c)<―16,故结论④正确;故答案为:①③④.15.(23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(―2023,n),B(2024,n),M(―1,0),且交y轴的正半轴于点N,下列结论:①abc<0;②4a+2b+c=0;③若直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T),则x T=1;④抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),P在Q的左边,若x1+x2>2,则y1<y2;⑤b2―4ac<―4a,请将所有正确的序号填在横线上.【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质,抛物线与x轴的交点,抛物线的对称性等知识点,根据二次函数的图象进行逐项分析即可,灵活运用有关知识来分析是解题的关键.【解题过程】解:∵图象过点A(―2023,n),B(2024,n),M(―1,0),∴抛物线对称轴为直线x=12,a―b+c=0,∴与x轴交于点(2,0),即有4a+2b+c=0,故②正确;∵交y轴的正半轴于点N,∴抛物线开口向下,∴a<0,c>0,b>0,则abc<0,故①正确;由抛物线对称轴为直线x=12,∴―b2a =12,则b=―a,∴代入a―b+c=0得:c=―2a,∴抛物线y=ax2―ax―2a,直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T),∴ax2―ax―2a=ax+d,整理得:ax2―2ax―2a―d=0∴(―2a)2―4a(―2a―d)=0,解得:d=―3a,∴直线y=ax―3a,代入得:x=1,∴x T=1,故③正确;∵抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),∴y1=ax12―ax1―2a,y2=ax22―ax2―2a,∴y1―y2=a(x1+x2)(x1―x2)―a(x1―x2)=a(x1―x2)(x1+x2―1),∵x1<x2,a<0,x1+x2>2,即y1―y2>0,∴y1>y2,故④错误;∵b2―4ac=(―a)2―4a×(―2a)=a2+8a2=9a2>0,∴b2―4ac<―4a错误,∴①②③正确;故答案为:①②③.16.(23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点,与y轴的交点在y轴正半轴,它的对称轴为直线x=1.有以下结论:①abc<0,②a+c>0,③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,则y1>y2,④设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,若am2+bm+c=p,则p(m―x1)(m―x2)≤0.其中正确的结论是(填入正确结论的序号).【思路点拨】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴判断b与0的关系,可判断①;通过取特殊值可判断②;根据抛物线的增减性可判断③;根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论,可判断④.【解题过程】解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与y轴的交点在y轴正半轴,∴c>0,∵对称轴为直线x=1,=1,即b=―2a,∴―b2a∵a<0,∴b>0,∴abc<0,故结论①正确;当x=1+y=a(12―2a(1++c=a+c,即当x=1(a+c)与0的大小关系,故结论②错误;∵a<0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小,∵点P(x1,y1)和Q(x2,y2)在抛物线上,且x1<1<x2,x1+x2>2,∴x2―1>1―x1,即x2到1的距离大于x1到1的距离,∴y1>y2,故结论③正确;∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点,设左边交点的横坐标为x1,右边交点的横坐标为x2,即x1<x2,如图所示,若m<x1,则p<0,m―x1<0,m―x2<0,∴p(m―x1)(m―x2)<0,若x1≤m<x2,则p≥0,m―x1≥0,m―x2<0,∴p(m―x1)(m―x2)≤0,若m≥x2,则p≤0,m―x1>0,m―x2≥0,∴p(m―x1)(m―x2)≤0,综上所述,p(m―x1)(m―x2)≤0,故结论④正确,∴正确的结论是①③④.故答案为:①③④.17.(23-24九年级上·山东威海·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②9a+6b+c=0,③(4a+c)2<4b2;④方程cx2+bx+a=0的解为x1=1,x2=―1;3⑤a+b>m(am+b)(m≠1).其中正确的结论有(填序号).【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质,各项系数的符号与解析式的关系,根据图象先判断a<0,c>0,b>0,再结合函数的对称轴,最值,与坐标轴的交点,逐一分析判断即可.【解题过程】解:由图象可知:a<0,c>0,>0,∵―b2a∴b>0,∴abc<0,故①错误;=1,∵对称轴为x=―b2a∴b=―2a,∵a<0,c>0,∴9a+6b+c=9a―12a+c=c―3a>0,故②错误,∵抛物线与x轴的交点在―1与0之间,对称轴为x=1,另一个交点在2与3之间,∴当x=―2时,y=4a―2b+c<0,当x=2时,y=4a+2b+c>0,∴(4a―2b+c)(4a+2b+c)<0,∴(4a+c)2―4b2<0,∴(4a +c )2<4b 2,故③符合题意;∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当x =1时,有最大值,∴a +b +c >0,若方程cx 2+bx +a =0的解为x 1=1,则a +b +c =0,∴④错误;当x =1时,y 的值最大.此时,y =a +b +c ,而当x =m (m ≠1)时,y =am 2+bm +c ,∴a +b +c >am 2+bm +c ,∴a +b >am 2+bm ,即a +b >m (am +b ),故⑤正确;综上:正确的有③⑤,故答案为:③⑤.18.(23-24九年级上·山东烟台·期中)已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0),图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(―2,0),对称轴为直线x =―12.对于下列结论:①abc <0;②b 2―4ac >0;③a +b +c =0;④am 2+bm <14(a ―2b)(其中m ≠―12);⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上,且x 1>x 2>1,则y 1>y 2.其中正确结论有 .(填写序号)【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质.根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴,求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0),利用待定系数法得到b =a,c =―2a ,再根据抛物线开口朝下,可得a <0,进而可得b <0,c >0,即可得到③正确,①错误,根据抛物线与与x 轴两个交点可以判断出②正确,根据am 2+bm =a (m +12)2―14a ,14(a ―2b)=―14a ,a <0,m ≠―12,可以得到a(m +12)2<0,从而得到④正确;根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误,问题得解.【解题过程】解:∵抛物线的对称轴为直线x =―12,且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0),∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0),把(―2,0),(1,0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0),可得:4a ―2b +c =0a +b +c =0 ,解得b =a c =―2a ,∴a +b +c =a +a ―2a =0,故③正确;∵抛物线开口方向向下,∴a <0,∴b =a <0,c =―2a >0,∴abc >0,故①错误;∵抛物线与x 轴两个交点,∴当y =0时,方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根,∴b 2―4ac >0,故②正确;∵am 2+bm =am 2+am =a(m +12)2―14a ,14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ,∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2,又∵a <0,m ≠―12,∴a(m +12)2<0,即am 2+bm <14(a ―2b)(其中m ≠―12),故④正确;∵抛物线的对称轴为直线x =―12,且抛物线开口朝下,∴可知二次函数,在x >―12时,y 随x 的增大而减小,∵x 1>x 2>1>―12,∴y 1<y 2,故⑤错误,正确的有②③④,共3个,故答案为:②③④.19.(2024·四川德阳·中考真题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 的坐标为―13,n ,与x 轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点(―6,y1),(5,y2),则y1> y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根,则n<4.其中正确结论是(请填写序号).【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根的判别式,二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是掌握二次函数的图象与性质.①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断;②利用抛物线的对称轴求出a=32b,根据图象可得当x=1时,y=a+b+c<0,即可判断;③利用抛物线的对称轴,设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1,d2,求出距离,根据图象可得,距离对称轴越近的点的函数值越大,即可判断;④根据图象即可判断.【解题过程】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为―13,n,∴―b2a =―13,∴b 2a =13>0,即ab>0,由图可知,抛物线开口方向向下,即a<0,∴b<0,当x=0时,y=c>0,∴abc>0,故①正确,符合题意;②∵直线x=―13是抛物线的对称轴,∴―b2a =―13,∴b 2a =13>0,∴a=32b由图象可得:当x=1时,y=a+b+c<0,b+c<0,即5b+2c<0,故②正确,符合题意;∴52是抛物线的对称轴,③∵直线x=―13设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1,d2,则d1=|―6―=173,d2=|5――=163,∴d2<d1,根据图象可得,距离对称轴越近的点的函数值越大,∴y1<y2,故③错误,不符合题意;④如图,∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根,∴n<4,故④正确,符合题意.故答案为:①②④20.(23-24九年级上·湖北武汉·期中)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,c<0)经过(1,1),(m,0),>1;③当n=3时,若点(2,t)在该抛物线上,则(n,0)三点,且n≥3.下列四个结论:①b<0;②4ac―b24at>1;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,则0<m≤1,其中正确的是3(填序号即可).【思路点拨】①根据图象经过1,1,c<0,且抛物线与x轴的一个交点一定在3,0或3,0的右侧,判断出抛物线的开口向下,即a<0,再把1,1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1,即可判断①错误;>1,根②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧,得出抛物线的顶点在点1,1的右侧,得出4ac―b24a据4a<0,利用不等式的性质即可得出4ac―b2<4a,即可判断②正确;③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧,得出1,1到对称轴的距离大于2,t到对称轴的距离,根据a<0,抛物线开口向下,距离抛物线的对称轴越近的函数值越大,即可得出③正确;④根据方程有两个相等的实数解,得出Δ=(b―1)2―4ac=0,把1,1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1,即1―b=a+c,求出a=c,根据根与系数的关系得出mn=ca =1,即n=1m,根据n≥3,得出1m≥3,求出m的取值范围,即可判断④正确.【解题过程】解:①图象经过1,1,c<0,即抛物线与y轴的负半轴有交点,如果抛物线的开口向上,则抛物线与x 轴的交点都在1,0的左侧,∵(n,0)中n≥3,∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧,∴抛物线的开口一定向下,即a<0,把1,1代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=1,即b=1―a―c=1―(a+c),∵a<0,c<0,∴a+c<0,∴b>0,故①错误;②∵a<0,b>0,c<0,ca>0,∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0,即mn>0,∵n≥3,∴m>0,∴m+n2>1.5,即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧,∴抛物线的顶点在点1,1的上方或者右上方,。

二次函数根的分布和最值

二次函数根的分布和最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=,方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)表二:(两根与k的大小比较)表三:(根在区间上的分布)根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧12,x m x n <>,(图形分别如下)需满足的条件是(1)0a >时,()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩; (2)0a <时,()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况:1︒ 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n <不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间()n m ,内,从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根,因为()10f =,所以()()()22212mx m x x mx -++=--,另一根为2m,由213m <<得223m <<即为所求;2︒ 方程有且只有一根,且这个根在区间()n m ,内,即0∆=,此时由0∆=可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内,求m 的取值范围。

分析:①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-;②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =,当1m =-时,根()23,0x =-∈-,即1m =-满足题意;当32m =时,根()33,0x =∉-,故32m =不满足题意;综上分析,得出15314m -<<-或1m =- 根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根,求实数m 的取值范围。

中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点:①判定一元二次方程根的情况,会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。

②掌握根与系数的关系及应用难点:由判别式,根与系数的关系求字母的取值范围,或与根有关的代数式的值。

考点:中考命题的重点和热点,既可单独成题,又可与二次函数综合运用,是初中代数的重要内容之一。

【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m -2)2x 2+(2m +1)x +1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( )A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2(20XX 年山西省中考试题)【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时,学生虽然能运用判别式定理,但往往忽略“方程ax 2+bx +c =0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理:对方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意:学生在运用时,可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型:①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解,②证明一元二次方程有无实根,③求待定系数的值或取值范围,④根与系数的关系综合运用。

例2 先阅读下列第(1)题的解答过程(1)已知αβ是方程x2+2x-7=0的两个实数根。

求α2+3β2+4β的值。

解法1 ∵α、β是方程x2+2x-7=0的两实数根∴α2+2α-7=0 β2+2β-7=0 且α+β=-2∴α2=7-2αβ2=7-2β∴α2+3β2+4β=7-2α+3(7-2β)+4β=28-2(α+β)=28-2×(-2)=32解法2 由求根公式得α=-1+22β=-1-22∴α2+3β2+4β=(-1+22)2+3(-1-22)2+4(-1-22)=9-42+3(9+42-4-82)=32解法3 由已知得:α+β=-2 αβ=-7∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=18 令α2+3β2+4β=A β2+3α2+4α=B∴A+B=4(α2+β2)+4(α+β)=4×18+4×(-2)=64 ①A-B=2(β2-α2)+4(β-α)=2(β+α) (β-α)+4(β-α)=0 ②①+②得:2A=64 ∴A=32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题(2)已知x1、x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,求代数式。

二次函数与一元二次方程及不等式

二次函数与一元二次方程及不等式

二次函数与一元二次方程及不等式一,二次方程基础概念当2()f x ax bx c =++中,()0f x =时,即得到二次方程 20ax bx c ++=其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标. 1.根的判别式24b ac ∆=-∆>0时,方程有两个不相等的实数根; ∆=0时,方程有两个相等的实数根;∆<0时,方程无实数根,但有两个共轭的虚数根.2. 根与系数的关系(韦达定理)12b x x a+=-12c x x a=二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件20ax bx c ++=(0a >)三、一元二次不等式一元二次不等式20ax bx c ++>(或<0)的解集,即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围,使其函数值()0f x >(或<0)的自变量的取值范围.0∆> 0∆=0∆<1,例题: 选择题① 2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-,那么( A ) A .(2)(1)(4)f f f <<B .(1)(2)(4)f f f <<C .(2)(4)(1)f f f <<D .(4)(2)(1)f f f <<② 已知22log (2)a y x x =-在区间(-∞,0)上单调递增,则a 的取值范围是( B ) A .1a >B .11a -<<C .R a ∈且0a ≠D .1a <-或1a >③ 已知函数y =log 21(x 2-6x +7),则y ( D )A .有最大值没有最小值B .有最小值没有最大值C .有最大值也有最小值 D填空题①方程22||(x x a a -=∈a 的取值范围是_______.解:令212||y x x =-,2y a =则2122(0)2(0)x x x y x x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥,其函数图象如下:②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ,,则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________. 解:方程有实数根,故24490a ∆=-⨯≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==, ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵3a -≤或3a ≥∴ 8y ≥(a =3时取等号)∴ min 8y =应用题:1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点,求关于x 的方程3x a +|1|1a =-+的根的范围.解:∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点,所以2(4)4(230)0a a ∆=--+< 解得:-2.5<a <3(1)当a ∈(-2.5,1]时,方程化为 x =(a +3)(2-a ) =-a 2-a +6∈(425,49](2)当a ∈(1,3)时,方程化为x =(a +3)a =a 2+3a ∈(4,18)综上所述:x ∈(49,18)2. 设a ,b 为实常数,k 取任意实数时,函数y =(k 2+k +1)x 2-2(a +k )2x +(k 2+3ak +b )的图象与x 轴都交于点A (1,0). (1)求a 、b 的值;(2) 若函数与x 轴的另一个交点为B ,当k 变化时,求|AB |的最大值.解:⑴a =1,b =1y =(k 2+k +1)x 2-2(k +1)2x +(k 2+3k +1)⑵|AB |的最大值为2.3. 设实数a 、b 、c 满足a 2-bc -8a +7=0 …………①b 2+c 2+bc -6a +6=0 …………②求a 的取值范围.解:1≤a ≤94. 设二次函数2()f x ax bx c =++(a >0),方程()0f x x -=的两个根12x x ,满足1210x x a<<<.(1).当x ∈(0,1x )时,证明x <()f x <1x ;(2).设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称,证明:102x x <.解(2).依题意知x 0=-2b a.因为x 1,x 2是方程f (x )-x =0的根,即x 1,x 2是方程ax 2+(b -1)x +c =0的根,所以 x 1+x 2=-1b a-x 0=-1212()11222a x x ax ax b a a a+-+-==因为21ax <,所以0x <1122ax x a =. 5. 若关于x 的二次方程7x 2-(p +13)x +p 2-p -2=0的两根αβ,满足 0<α<1<β<2求实数p 的取值范围.解:设f (x )=7x 2-(p +13)x +p 2-p -2根据题意得:(0)0(1)0(2)0fff>⎧⎪<⎨⎪>⎩即2222028030p pp pp p⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩解得:p∈(-2,-1)∪(3,4).6.已知二次函数y=x2-(2m+4)x+m2-4(x为自变量)的图像与y轴的交点在原点下方,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,且A,B两点到原点的距离AO,OB•满足3(•OB-AO)=2AO·OB,直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P,且锐角∠POB•的正切值4.(1)求m的取值范围;(2)求这个二次函数的解析式;(3)确定直线y=kx+k的解析式.解(1)m2-4<0,-2<m<2.(2)二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(3)由y=x2-2x-3,得A(-1,0),B(3,0).强化训练一、填空题1.与抛物线y=2x2-2x-4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是__y=-2x2+2x+4_.2.已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图像最低点在x轴上,那么a=__2__,此时函数的解析式为__y=x2+4x+4 __.3.某涵洞的截面是抛物线型,如图1所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为y=-14x2,当涵洞水面宽AB为12m时,水面到桥拱顶点O•的距离为___9__m.图1 图24.甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离s(m)与其距地面高度h(m)之间的关系式为h=-112s2+23s+32.如图2,已知球网AB距原点5m,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为94m,•设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m的取值范围是__7__.5.若抛物线y=12x2与直线y=x+m只有一个公共点,则m的值为__-12__.6.设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+54的图像与x•轴只有一个交点,•则a18+•323a-6•的值为__5796__.7.已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB•的面积等于___6___.8.(2008,安徽)图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像,在下列说法中:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随着x•的增大而增大.正确的说法有___①②④____.(请写出所有正确说法的序号)图3 图4 图5二、选择题9.小敏在某次投篮球中,球的运动路线是抛物线y=-15x2+3.5的一部分(图4),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离是(B )A.3.5m B.4m C.4.5m D.4.6m10.当m22742m m-+ B )A.0 B.5 C.3D.911.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示,则下列结论:①a>0,②c>0,•③b2-4ac>0,其中正确的个数是(C )A.0个B.1个C.2个D.3个12.抛物线y=x2+(2m-1)x+m2与x轴有两个交点,则m的取值范围是(C )A.m>14B.m>-14C.m<14D.m<-1413.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,•判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是(C )x 6.17 6.18 6. 6.A .6<x<6.17B .6.17<x<6.18C .6.18<x<6.19D .6.19<x<6.20 14.若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像的顶点在第一象限且经过点(0,1)和(•-1,0),则S=a+b+c 的值的变化范围是(A ) A .0<S<2 B .0<S<1 C .1<S<2 D .-1<S<115.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的最大值是零,那么代数式│a │+244ac b a的化简结果是( B )A .aB .-aC .D .016.(2006,甘肃兰州)已知y=2x 2的图像是抛物线,若抛物线不动,把x 轴,y•轴分别向上,向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是( B ) A .y=2(x -2)2+2 B .y=2(x+2)2-2 C .y=2(x -2)2-2 D .y=2(x+2)2+2 三、解答题17.(2006,吉林省)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,•两小孔形状,大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20m ,顶点M 距水面6m (即MO=6m ),•小孔顶点N 距水面4.5m (即NC=4.5m ).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF .设抛物线解析式为y=ax2+6,依题意得,B(10,0).∴a×102+6=0,解得a=-0.06.即y=-0.06x2+6,当y=4.5时,-0.06x2+6=4.5,解得x=±5,∴DF=5,EF=10,即水面宽度为10m.18.(2008,安徽)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-35x2+3x+1的一部分,如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4m,问这次表演是否成功?请说明理由.(1)y=-35x2+3x+1=-35(x-52)2+194.∵-35<0,∴函数的最大值是194.答:演员弹跳离地面的最大高度是194m.(2)当x=4时,y=-35×42+3×4+1=3.4=BC,所以这次表演成功.19.(2006,沈阳市)某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)•之间存在正比例函数关系:y A=kx,并且当投资5万元时,可获利润2万元;信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润y B(万元)与投资金额x(万元)•之间存在二次函数关系:y B=ax2+bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,•可获得3.2万元.(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;(2)如果企业同时对A ,B 两种产品共投资10万元.•请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.解 (1)当x=5时,y A =2,2=5k ,k=0.4.∴y A =0.4x ,当x=2时,y B =2.4;当x=4时,y B =3.2.∴ 2.442,3.2164.a b a b =+⎧⎨=+⎩ 解得0.2,1.6.a b =-⎧⎨=⎩∴y B =-0.2x 2+1.6x .(2)设投资B 种商品x 万元,则投资A 种商品(10-x )万元,获得利润W 万元,根据题意可得W=-0.2x 2+1.6x+0.4(10-x )=-0.2x 2+1.2x+4. ∴W=-0.2(x -3)2+5.8.当投资B 种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元.所以投资A 种商品7万元,B 种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元.20.(2008,烟台)如图所示,抛物线L 1:y=-x 2-2x+3交x 轴于A ,B 两点,交y•轴于M 点.抛物线L 1向右平移2个单位后得到抛物线L 2,L 2交x 轴于C ,D 两点. (1)求抛物线L 2对应的函数表达式;(2)抛物线L 1或L 2在x 轴上方的部分是否存在点N ,使以A ,C ,M ,N•为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是抛物线L 1上的一个动点(P 不与点A ,B 重合),那么点P•关于原点的对称点Q 是否在抛物线L 2上,请说明理由.(1)令y=0时,得-x2-2x+3=0,∴x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0).∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2,∴C(-1,0),D(3,0).∴抛物线L2为y=-(x+1)(x-3).即y=-x2+2x+3.(2)存在.如图所示.令x=0,得y=3,∴M(0,3).∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的,∴点N(2,3)在L2上,且MN=2,MN∥AC.又∵AC=2,∴MN=AC.∴四边形ACNM为平行四边形.同理,L1上的点N′(-2,3)满足N′M∥AC,N′M=AC,∴四边形ACMN′是平行四边形.∴N(2,3),N′(-2,3)即为所求.(3)设P(x1,y1)是L1上任意一点(y1≠0),则点P关于原点的对称点Q(-x1,-y1),且y1=-x12-2x1+3,将点Q的横坐标代入L2,得y Q=-x12-2x1+3=y1≠-y1.∴点Q不在抛物线L2上.21.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,4),顶点在x轴上,•且对称轴在y轴的右侧.设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,•且OP:PQ=1:3.(1)求二次函数的解析式;(2)求△PAQ的面积;(3)在线段PQ上是否存在一点D,使△APD≌△QPA,若存在,求出点D坐标,•若不存在,说明理由.(1)抛物线过(0,4)点.∴c=4,∴y=ax 2+bx+4又OP :PQ=1:3, ∴x 1:x 2=1:4由24y x y ax bx =⎧⎨=++⎩得ax 2+(b -1)x+4=0, ∵x 1,x 2是该方程的两个根, ∴x 1+x 2=-1b a -,x 1·x 2=4a . 消去x 1得25a=(b -1)2.∵抛物线的对称轴在y 轴右侧 ∴-2ba>0,∴b a <0,又抛物线的顶点在x 轴上,∴b 2=16a 得a=1,b=-4(b=49舍去). ∴y=x 2-4x+4.(2)如图所示 S △PAQ =S △AQO -S △APO=12×4×x 2-12×4×x 1=2(x 2-x 1)22112()4x x x x +-2116()b a a---9. (3)存在点D ,设D (m ,n )易得P (1,1),Q (4,4),由△APD ∽△QPA 得PA 2=PQ ·PD ,运用勾股定理得│m -1│=53,得m=83或-23. ∵1<m<4, ∴D (83,83).22.(2005,武汉市)已知二次函数y=ax 2-ax+m 的图像交x 轴于A (x 1,0),B (x 2,0)两点,x 1<x 2,交y 轴的负半轴于C 点,且AB=3,tan ∠BAC -tan ∠ABC=1. (1)求此二次函数的解析式;(2)在第一象限,抛物线上是否存在点P ,使S △PAC =6?若存在,请你求出点P 的坐标;• 若不存在,请你说明理由.解 (1)∵AB=3,x 1<x 2,∵x 2-x 1=3.由根与系数的关系有x 1+x 2=1, ∴x 1=-1,x 2=2.∴OA=1,OB=2,x 1·x 2=ma=-2.∵tan ∠BAC -tan ∠ABC=1, ∴OC :OA -OC :OB =1, ∴OC=2 ∴m=-2,a=1. ∴此二次函数的解析式为y=x 2-x -2.(2)在第一象限,抛物线上存在一点P 使S △APC =6.解法一:过点P 作直线MN ∥AC 交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,连接PA ,PC ,MC ,NA ,如图所示. ∵MN ∥AC ,∴S △MAC =S △NAC =S △PAC =6. 由(1)有OA=1,OC=2 ∴12×AM ×2=12×CN ×1=6, ∴AM=6,CN=12.∴M (5,0),N (0,10). ∴直线MN 的解析式为y=-2x+10.由2210,2.y x y x x =-+⎧⎨=--⎩ 得12123,4,4.18.x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩(舍去). ∴在第一象限,抛物线上存在点P (3,4),使S △PAC =6. 解法二:设AP 与y 轴交于D (0,n )(n>0).∴直线AP 的解析式为y=nx+n .22,.y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩ ∴x 2-(n+1)x -n -2=0, ∴x A +x P =n+1,∴x P =n+2. 又S △PAC =S △ADC +S △PDC =12CD ·AO+12CD ·x p =12CD (AO+x p ).∴12(n+2)(1+n+2)=6,n 2+5n -6=0. ∴n=-6(舍去)或n=1.∴在第一象限,抛物线上存在点P (3,4),使S △PAC =6.。

二次函数和根与系数的关系

二次函数和根与系数的关系

例1:已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.(平面内两点间的距离公式).解:(1)当k=1,m=0时,如图.由得x2﹣x﹣1=0,∴x1+x2=1,x1?x2=﹣1,过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C.∵直线AB的解析式为y=x+1,∴∠BAC=45°,△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=|x2﹣x1|==;同理,当k=1,m=1时,AB=;(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=.理由如下:由,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,∴x1+x2=2m+1,x1?x2=m2+m﹣1,∴AB=AC=|x2﹣x1|==;(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由如下:①当k=0时,则函数的图象为直线y=1,由,得A(﹣1,1),B(1,1),显然△AOB为直角三角形;②当k=1时,则一次函数为直线y=x+1,由,得x2﹣x﹣1=0,∴x1+x2=1,x1?x2=﹣1,∴AB=AC=|x2﹣x1|==,∴AB2=10,∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(x1+1)2+(x2+1)2=x12+x22+(x12+2x1+1)+(x22+2x2+1)=2(x12+x22)+2(x1+x2)+2=2(1+2)+2×1+2=10,∴AB2=OA2+OB2,∴△AOB是直角三角形;③当k为任意实数,△AOB仍为直角三角形.由,得x2﹣kx﹣1=0,∴x1+x2=k,x1?x2=﹣1,∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=(x1﹣x2)2+(kx1﹣kx2)2=(1+k2)(x1﹣x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1?x2]=(1+k2)(4+k2)=k4+5k2+4,∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2=x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)=(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2=(1+k2)(k2+2)+2k?k+2=k4+5k2+4,∴AB2=OA2+OB2,∴△AOB为直角三角形.5)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于点E,且点M、N与X 如图,已知抛物线y=x2-4x+3,过点D(0,-2轴交于E点,且M、N关于点E对称,求直线MN的解析式。

二次函数根与系数关系(供参考)

二次函数根与系数关系(供参考)

一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理,其逆定理也成立,它是由16世纪的法国数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系,它形式简单但内涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用.【知识要点】1.如果方程(a≠O)的两根为,,那么,,这就是一元二次方程的根与系数的关系.2.如果两个数的和为m,积为n,则以这两个数为根的一元二次方程为.3.若已知一元二次方程的一个根,可不直接解原方程,利用根与系数关系,求出另一根.4.求一元二次方程根的对称式的值,关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.5.当一元二次方程(a≠O)有两根,时:(1)若,则方程有一正一负根;(2)若,,则方程有两个正根;(3)若,,则方程有两个负根.【趋势预测】利用根与系数关系,可以解决许多有关方程的问题,有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程,然后用一元二次方程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面:①求方程中字母系数的值或取值范围;②求代数式的值;③结合根的判别式,判断根的符号特征;④构造一元二次方程解题;⑤证明代数等式,不等式;⑥与一元二次方程的整数根有关的问题.【范例解读】题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n,且m<n,那么,二次方程的根的情况是 ( )(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号.如果由判别式符号确定方程有实根,还要通过根与系数关系来确定两根的正负号.解∵m,n异号且m<n,∴ m<0,n>0,从而,.方程的判别式:,故方程必有两实根.设这两个实根为,,则由根与系数关系得,,可知,均为负数,故选(A).题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根,c和d是方程的两个实根,e和f是方程的两个实根,则的值为_____________.分析由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开,把上列数值代入,可得所求值.但若全部展开,结果很繁,因此考虑局部展开,分步代入.解由方程根与系数关系得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,则题3 (1996·祖冲之杯) 已知α,β是方程的两根,α>β,不解方程,求的值.分析待求式中α,β是不对称的,但根与系数的关系具有对称性,应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题.解由根与系数的关系得α+β=7,αβ=8,∴,.因α>β,故,.记,令,从而,∴.题4 (2000·江苏) 已知,,其中m,n为实数,则__________.分析根据两个方程系数的特点,可作恰当的变形,使两个方程具有相同的结构.把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程,然后用根与系数关系来求值.解由已知等式可变形成与,由于m,的关系没有给定,故应分两种情况:①当时,;②当时,可知m,是方程的两个根,则由根与系数关系得,.∴.综合①,②得或.题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α,β,(1)求以,为根的一元二次方程;(2)若以,为根的一元二次方程仍是,求所有这样的一元二次方程.分析根据方程根与系数关系求和的值,由此即可作出新方程;根据新方程的一次项系数等于-p,常数项等于q,可求得p,q的值.解 (1)由根与系数关系得α+β=p,αβ=q,∴,.所求方程是;(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程:,,,,,,.其中仅无实数根,舍去.故所有这样的一元二次方程有六个,分别为:,,,,,.题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.分析根据方程系数的特点,可先用十字相乘法求出方程两根,然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后,再求出是的值.解原方程可化为.∵(k-4)(k-2)≠0,∴解得方程两根为,∴,,消去k,得,∴.由于,都是整数,故对应的k的值分别为6,3,.【方法指引】1.构造对偶式法.对一个已知代数式或一个已知命题,我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题,然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除),从而使问题获得巧解.这种方法称为构造对偶式法.常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等.2.解一元二次方程的整数根问题的基本方法有:(1)直接求解法.若根可用有理式表示,则先求出根,再结合整除性求解.(2)利用判别式法.在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围,运用枚举法讨论,不等式分析求解.(3)运用根与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,再通过因式分解和整数性质求解.(4)巧换主元法.若运用相关方法直接求解困难时,可选择换主元的方法,结合整除知识求解.【综合能力训练】1.△ABC的一边长为5,另两边长恰好是方程的两根,那么m的取值范围是________________.2.设,是方程的两实根,且,则k 的值是 ( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3.若方程的两根为α,β,它也是方程的两个根,则 p=_____________.4.若ab≠1,且有,及,则的值是( )(A) (B) (C) (D)5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA和sinB是方程的两根,求∠A 和∠B的度数及k的值.6.求满足如下条件的所有k值,使关于x的方程的根都是整数。

2021年 中考一轮复习数学专题突破训练:二次函数根与系数的关系(二)(附答案)

2021年 中考一轮复习数学专题突破训练:二次函数根与系数的关系(二)(附答案)

2021年中考一轮复习数学专题突破训练:二次函数根与系数的关系(二)1.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.a>0B.b>0C.a﹣b+c>0D.a+b+c<02.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a﹣b<0;③a﹣b+c>0;④点(﹣3,y1),(1,y2)都在抛物线上,则有y1>y2.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1,下列结论中:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点坐标是(2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,其中说法正确的有()A.5个B.4个C.3个D.2个4.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:①无论x取何值,y2的值总是正数;②2a=1;③当x=0时,y2﹣y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是()A.①②B.②③C.③④D.①④5.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①a<0;②b<0;③c>0;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC.则下列结论,其中正确结论的个数是()①abc<0②>0③ac﹣b+1=0④方程为ax2+bx+c=0(a≠0)的解为点A、点B的横坐标的值.A.4B.3C.2D.17.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则()A.a>0,c>0,b2﹣4ac<0B.a>0,c<0,b2﹣4ac>0C.a<0,c>0,b2﹣4ac<0D.a<0,c<0,b2﹣4ac>08.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a﹣b<0;③b2>(a+c)2;④点(﹣3,y1),(1,y2)都在抛物线上,则有y1>y2.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个9.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(包括这两点)下列结论:①3a+b >0;②当﹣1<x<3时,y<0;③b>c;④≤a≤,其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是()①abc<0;②a+c>0;③2a+b=0;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1,x2=3⑤b2<4acA.②③④B.①②③④C.①③④D.③④⑤11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0④若点A(﹣3,y1),点B(﹣2,y2),点C(8,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2⑤若方程a(x﹣1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2,其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个12.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),与x轴的交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:①b2﹣4ac=0;②a+b+c>0;③2a﹣b=0;④c﹣a=3;⑤(a+c)2>b2其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①a<0;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac>0;④2a+b>0,其中正确的是()A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②④14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论错误的是()A.4a+b=0B.a+b>0C.a:c=﹣1:5D.当﹣1≤x≤5时,y>015.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),与x轴的交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:①b2﹣4ac=0②a+b+c=0③2a﹣b=0④c﹣a=3,其中正确的有()个.A.1B.2C.3D.416.二次函数的图象如图,给出下列四个结论:①abc>0②4ac﹣b2<0;③3b+2c<0;④m (am+b)≤a﹣b,其中正确的是()A.1个B.2个C.3个D.4个17.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点(﹣1,0)和(4,0),那么下列说法正确的是()A.ac>0B.b2﹣4ac<0C.对称轴是直线x=2.5D.b>018.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式:①=﹣1;②ac+b+1=0;③abc>0;④a﹣b+c>0.其中正确的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个19.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是()A.①③B.②③C.②④D.③④20.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则b2﹣4ac、a﹣bc﹣c、3a+c,t2﹣5t+6这几个式子中,值为负数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个参考答案1.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴的右侧,∴﹣>0,∴b>0,∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,∵x=1时,y>0,∴a+b+c>0,∴B正确,A,C,D错误,故选:B.2.解:由图象可得,a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①正确,∵,a>0,b>0,∴b>2a,∴2a﹣b<0,故②正确,当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故③错误,点(﹣3,y1),(1,y2)都在抛物线上,则有y1<y2,故④错误,故选:C.3.解:∵抛物线开口向下,交y轴于正半轴,∴a<0,c>0,∵﹣=1,∴b=﹣2a>0,∴abc<0,故①错误,∵b=﹣2a,∴2a+b=0,故②正确,观察图象可知,抛物线与直线y=3有两个交点,∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根,故③正确,∵抛物线的对称轴x=1,与x轴交于(4,0),∴另一个交点坐标(﹣2,0),故④错误,∵x=1时,函数有最大值,∴点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,故⑤正确,故选:C.4.解:∵y2=(x﹣3)2+1,∴y2的最小值为1,所以①正确;把A(1,3)代入y1=a(x+2)2﹣3得a(1+2)2﹣3=3,∴3a=2,所以②错误;当x=0时,y1=(x+2)2﹣3=﹣,y2=(x﹣3)2+1=,∴y2﹣y1=+=,所以③错误;抛物线y1=a(x+2)2﹣3的对称轴为直线x=﹣2,抛物线y2=(x﹣3)2+1的对称轴为直线x=3,∴AB=2×3=6,AC=2×2=4,∴2AB=3AC,所以④正确.故选:D.5.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,所以①正确;∴抛物线的对称轴在y轴的右侧,a、b异号,∴b>0,所以②错误;∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,所以③正确;∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2﹣4ac>0,所以④正确.故选:C.6.解:①∵抛物线对称轴是y轴的右侧,∴ab<0,∵与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc<0,故①正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∵a<0,∴<0,故②不正确;③当x=0时,y=c,∴OC=c,∵OA=OC.∴A(﹣c,0),把A(﹣c,0)代入二次函数y=ax2+bx+c中得:ac2﹣bc+c=0,∵c≠0,∴ac﹣b+1=0,故③正确;④∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,∴方程为ax2+bx+c=0(a≠0)的解为点A、点B的横坐标的值,故④正确;本题①③④正确;故选:B.7.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴a、b异号,即b>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2﹣4ac>0,故选:D.8.解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵﹣<0,∴b>0,∵抛物线交y轴于负半轴,∴c<0,∴abc<0,故①正确,∵﹣>﹣1,a>0,∴b<2a,∴2a﹣b>0,故②错误,∵x=1时,y>0,∴a+b+c>0,∴a+c>﹣b,∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,∴(a+c)2﹣b2=(a+b+c)(a﹣b+c)<0,∴b2>(a+c)2,故③正确,∵点(﹣3,y1),(1,y2)都在抛物线上,观察图象可知y1>y2,故④正确.故选:B.9.解:①、∵对称轴x=﹣=1,∴b=﹣2a,即2a+b=0,∵a>0,∴a+2a+b>0,即3a+b>0,此结论正确;②、∵抛物线与x轴的交点A(﹣1,0)且对称轴为x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),由函数图象知当﹣1<x<3时,函数图象位于x轴下方,即当﹣1<x<3时,y<0,此结论正确;③、当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,则a=b﹣c,由a>0知b﹣c>0,即b>c,此结论正确;④、∵与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(包括这两点),∴﹣2≤c≤﹣1,又a﹣b+c=0,即c=b﹣a,且b=﹣2a,∴c=﹣3a,则﹣2≤﹣3a≤﹣1,解得:≤a,此结论正确;故选:D.10.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①正确;∵x=﹣1时,y=0,∴a﹣b+c=0,∴a+c=b>0,所以②正确;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以③正确;∵抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)和(3,0),∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1,x2=3,所以④正确;∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2﹣4ac>0,所以⑤错误.故选:B.11.解:①由对称轴可知:x==2,∴4a+b=0,故①正确;②由图可知:x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b,故②错误;③令x=﹣1,y=0,∴a﹣b+c=0,∵b=﹣4a,∴c=﹣5a,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a由开口可知:a<0,∴8a+7b+2c=﹣30a>0,故③正确;④由抛物线的对称性可知:点C关于直线x=2的对称点为(﹣4,y3),∵﹣4<﹣3<﹣2,∴y3<y1<y2故④错误;⑤由题意可知:(﹣1,0)关于直线x=2的对称点为(5,0),∴二次函数y=ax2+bx+c=a(x+1)(x﹣5),令y=﹣3,∴直线y=﹣3与抛物线y=a(x+1)(x﹣5)的交点的横坐标分别为x1,x2,∴x1<﹣1<5<x2故⑤正确;故选:B.12.解:①由图象可知:△>0,∴b2﹣4ac>0,故①错误;②∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),∴抛物线的对称轴为x=﹣1∴(﹣3,0)关于直线x=﹣1的对称点坐标为(1,0),(﹣2,0)关于直线x=﹣1的对称点坐标为(0,0)由图象可知,令x=1代入y=ax2+bx+c,∴y=a+b+c<0,故②错误;③由对称轴可知:x==﹣1,∴2a﹣b=0,故③正确;④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),∴3=a﹣b+c,∵b=2a,∴c﹣a=3,故④正确;⑤令x=1,y=a+b+c<0,令x=﹣1,y=a﹣b+c>0,∴(a+c)2﹣b2=(a﹣b+c)(a+b+c)<0,∴(a+c)2<b2,故⑤错误故选:B.13.解:∵抛物线的开口向下,∴a<0,故①正确;把x=﹣1代入得:y=ax2+bx+c=a﹣b+c<0,故②正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,故③正确;∵根据图象知:1>﹣>0,又∵a<0,∴2a<﹣b,∴2a+b<0,故④错误;故选:C.14.解:(A)由对称轴x=2可知,=2,∴4a+b=0,故A正确;(B)令x=0,y=c,令x=1,y=a+b+c,∴a+b+c>c,即a+b>0,故B正确;(C)由A选项可知:b=﹣4a令x=﹣1,所以a﹣b+c=0,∴a+4a+c=0,∴c=﹣5a,故C正确;(D)由图可知:抛物线过(﹣1,0),对称轴为x=2,故抛物线过(5,0)∴当﹣1≤x≤5时,y≥0,故D错误故选:D.15.解:①由图象可知:抛物线与x轴有两个交点,故△=b2﹣4ac>0,故①错误;②(﹣2,0)关于直线x=﹣1的对称点为(0,0),(﹣3,0)关于直线x=﹣1的对称点为(1,0),∴令x=1,y=a+b+c<0,故②错误;③由对称轴可知:=﹣1,∴2a﹣b=0,故③正确;④令x=﹣1,y=a﹣b+c=3,∴a﹣2a+c=3,即c﹣a=3,故④正确;故选:B.16.解:①由图象可知:a<0,c>0,<0,∴abc>0,故①正确;②由抛物线可知:△>0,∴b2﹣4ac>0,∴4ac﹣b2<0,故②正确;③由于=﹣1∴b=2a,令x=1,y=a+b+c<0,∴+b+c<0,∴3b+2c<0,故③正确;④由图象可知:x=﹣1时,y的最大值为a﹣b+c,令x=m,y=am2+bm+c,∴am2+bm+c≤a﹣b+c恒成立,即m(am+b)≤a﹣b,故④正确;故选:D.17.解:A、∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴交在正半轴上,∴c>0,∴ac<0,故此选项错误;B、∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,故此选项错误;C、∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点(﹣1,0)和(4,0),∴对称轴是直线x=1.5,故此选项错误;D、∵a<0,抛物线对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴b>0,故此选项正确.故选:D.18.解:①=﹣1,抛物线顶点纵坐标为﹣1,正确;②ac+b+1=0,设C(0,c),则OC=|c|,∵OA=OC=|c|,∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0,又c≠0,∴ac+b+1=0,故正确;③abc>0,从图象中易知a>0,b<0,c<0,故正确;④a﹣b+c>0,当x=﹣1时y=a﹣b+c,由图象知(﹣1,a﹣b+c)在第二象限,∴a﹣b+c>0,故正确.故选:A.19.解:①图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),∴二次函数的图象的对称轴为x==1∴=1∴2a+b=0,故①错误;②令x=﹣1,∴y=a﹣b+c=0,∴a+c=b,∴(a+c)2=b2,故②错误;③由图可知:当﹣1<x<3时,y<0,故③正确;④当a=1时,∴y=(x+1)(x﹣3)=(x﹣1)2﹣4将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x﹣1﹣1)2﹣4+2=(x﹣2)2﹣2,故④正确;故选:D.20.解:由图可知:△=b2﹣4ac>0,开口向下,a<0,对称轴x=﹣>0,得出b>0,由二次函数得出c>0,∴﹣c<0∴a﹣bc﹣c<0,对称轴为:x==1,∴﹣2a=b,令x=﹣1,∴y=a﹣b+c=3a+c<0,∵(0,0)关于直线x=1的对称点为(2,0)(﹣1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0)∵2<t<3,∴t2﹣5t+6=(t﹣)2﹣<0故选:B.。

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一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理,其逆定理也成立,它是由16世纪的法国数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系,它形式简单但内涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用.
【知识要点】
1.如果方程(a≠O)的两根为,,那么,,这就是一元二次方程的根与系数的关系.
2.如果两个数的和为m,积为n,则以这两个数为根的一元二次方程为.
3.若已知一元二次方程的一个根,可不直接解原方程,利用根与系数关系,求出另一根.4.求一元二次方程根的对称式的值,关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.
5.当一元二次方程(a≠O)有两根,时:(1)若,则方程有一正一负根;(2)若,,则方程有两个正根;(3)若,,则方程有两个负根.
【趋势预测】
利用根与系数关系,可以解决许多有关方程的问题,有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程,然后用一元二次方程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面:
①求方程中字母系数的值或取值范围;
②求代数式的值;
③结合根的判别式,判断根的符号特征;
④构造一元二次方程解题;
⑤证明代数等式,不等式;
⑥与一元二次方程的整数根有关的问题.
【范例解读】
题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n,且m<n,那
么,二次方程的根的情况是()
(A)有两个负根(B)有两个正根
(C)两根异号(D)无实数根
分析首先考虑方程的判别式的符号.如果由判别式符号确定方程有实根,还要通过根与系数关系来确定两根的正负号.
解∵m,n异号且m<n,
∴m<0,n>0,从而,.
方程的判别式:
,故方程
必有两实根.
设这两个实根为,,则由根与系数关系得
,,可知,均为负数,故选(A).
题2(1997·上海)若a和b是方程的两个实根,c和d是方程的两个实根,e和f是方程的两个实根,则
的值为_____________.
分析由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开,把上列数值代入,可得所求值.但若全部展开,结果很繁,因此考虑局部展开,分步代入.
解由方程根与系数关系得
ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,,则
题3(1996·祖冲之杯)已知α,β是方程的两根,α>β,不解方程,求
的值.
分析待求式中α,β是不对称的,但根与系数的关系具有对称性,应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题.
解由根与系数的关系得α+β=7,αβ=8,
∴,

因α>β,故,.
记,令,从而

∴.
题4(2000·江苏)已知,,其中m,n为实数,则
__________.
分析根据两个方程系数的特点,可作恰当的变形,使两个方程具有相同的结构.把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程,然后用根与系数关系来求值.
解由已知等式可变形成
与,
由于m,的关系没有给定,故应分两种情况:
①当时,;
②当时,可知m,是方程的两个根,则由根与系数关系
得,.
∴.
综合①,②得或.
题5(1996·江苏)设的两个实根为α,β,
(1)求以,为根的一元二次方程;
(2)若以,为根的一元二次方程仍是,求所有这样的一元二次方程.
分析根据方程根与系数关系求和的值,由此即可作出新方程;根据新方程的一次项系数等于-p,常数项等于q,可求得p,q的值.
解(1)由根与系数关系得α+β=p,αβ=q,∴,.所求方程是

(2)由题意得

根据七种情况的值依次得以下七个方程:
,,,,,,.
其中仅无实数根,舍去.
故所有这样的一元二次方程有六个,分别为:
,,,,,.
题6(2000·全国)设关于x的二次方程
的两根都是整数.求满足条件的所有实数k
的值.
分析根据方程系数的特点,可先用十字相乘法求出方程两根,然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后,再求出是的值.
解原方程可化为

∵(k-4)(k-2)≠0,∴解得方程两根为

∴,,
消去k,得,∴.
由于,都是整数,故
对应的k的值分别为6,3,.
【方法指引】
1.构造对偶式法.对一个已知代数式或一个已知命题,我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题,然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除),从而使问题获得巧解.这种方法称为构造对偶式法.常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等.
2.解一元二次方程的整数根问题的基本方法有:
(1)直接求解法.若根可用有理式表示,则先求出根,再结合整除性求解.
(2)利用判别式法.在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围,运用枚举法讨论,不等式分析求解.
(3)运用根与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,再通过因式分解和整数性质求解.
(4)巧换主元法.若运用相关方法直接求解困难时,可选择换主元的方法,结合整除知识求解.
【综合能力训练】
1.△ABC的一边长为5,另两边长恰好是方程的两根,那么m的取值
范围是________________.
2.设,是方程的两实根,且,则k 的值是()
(A)-3或1(B)-3
(C)1(D)不小于的一切实数
3.若方程的两根为α,β,它也是方程的两个根,则p=_____________.
4.若ab≠1,且有,及,则的值是() (A)(B)(C)(D)
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA和sinB是方程的两根,求∠A和∠B的度数及k的值.
6.求满足如下条件的所有k值,使关于x的方程的根都是整数。

参考答案
【综合能力训练】
1.设另外两边长为a、b,则,,因为a,b是实数,所以,即
,∴.
由三角形两边之差小于第三边,有


∴,故m的取值范围为。

2.由根与系数关系得,,而
由题意得,解得,。

而当时,,无实数根,舍去;当时,方程的两个实数根为1和3。

故选(C)。

3.由是方程的两根得
,,
∴.
由是方程的两根,得
,。

两式相减,得。

4.原式可变形为,
,又即,
∴a,是方程的两根。

∴,即.
故选(A)。

5.由根与系数关系,得
∵∠A+∠B=90°,∴。

于是有
由①式两边平方,得。


由②、③式知.
又由①、③式可得,是方程的两根,则有,即,故∠A=∠B=45°。

6.(1)若k=0,则方程为,解得符合题意;
(2)若,设方程的两个整数根为,(),则有
①-②得,。


∴或,
∴,,
或,k=1。

又当或k=1时,判别式均可得到,∴或k=1。

综上所述,满足条件的所有k的值有三个,分别为k=0,或1。

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