北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

北大计算机考研 高等数学真题解答

2008年（5题60分）

1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)

(1

)()(1lim

a f a f a x f a

x '---→。

2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。

3 （12分）求不定积分⎰

--dx x x x

2

)

ln (ln 1。 4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf x

x ⎰

-→0

4

220)

(lim 。 5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1

(n

f 发散，无穷级

数)1

()1(n

f n -收敛。

2007年（5题60分）

1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。

解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22

+⎰x d e x tan 2-x e x tan 2=⎰

x d e x tan 2C x e x +tan 2。

2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1

0=+=⎰f x x x f dt tx f 。

解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；

⎰

=1

)(dt tx f ⎰=x

du u f x 0

)(1⇒

+x x x f sin )(⎰

=x

du u f 0

)(⇒+x x x xf sin )(2

⇒++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2⇒--='x x x x f cos sin 2)(

⇒+-=C x x x x f sin cos )(⇒=+=01)0(C f ⇒-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。

3 （12分）设),2,1(,2

,01111 =+==<<++n y x y y x x y x n

n n n n n ，。 证明：n n x ∞

→lim 和n n y lim ∞

→都存在并相等。

解：⇒>>011x y ⇒≠>>n n n n y x y x ，0,0⇒>+n n n n y x y x 2

⇒=>++),1,0(11 n x y n n ),2,1( =>n x y n n ； ⇒=>),2,1( n x y n n ⇒<-=

-+02

1n

n n n y x y y ⇒<+n n y y 1}{n y 单调递减； ⇒=>),2,1( n x y n n ⇒=>=+n n n n n n x x x y x x 1}{n x 单调递增；

由以上两结论可知：

⇒>>>1x x y n n }{n y 有下界，于是n n y lim ∞

→存在；

⇒<<<1y y x n n }{n x 有上界，于是n n x ∞

→lim 存在。

令B y A x n x n x ==∞

→∞

→lim ,lim ，由2

11n

n n n n n y x y y x x +=

=++，有： 2

B

A B AB A +=

=，解得1==B A ，所以1lim lim ==∞→∞→n x n x y x 。

4 （12分）求和n x n x x x S 23222n 32++++= 。

解：（1） 若1=x ，=n S =++++222321n 6/)12)(1(++n n n ； （2） 若1≠x ，=x S n ⇒++++-1

2

2

2

2

321n x

n x x ==⎰x

dx x S T 0

n n )(

⇒++++n nx x x x 3232=x T n ⇒++++-12321n nx x x

=⎰

dx x T x

n )(=++++n x x x x 32⇒--x x x n 1)1(=n T ='⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--x x x x n

1)

1( ⇒-++-+21)1(]

)1(1[x nx x n x n n =n S ='

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++-+21)1(])1(1[x nx x n x x n n 3

3

222122)1()122()1(x x n x n n x n x x n n n ---+++-++++。

5 （12分）求极限n

n n n n n

)12()1(1lim

-+∞→ 。 =-+∞→n n n n n n )12()1(1lim

=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-+∞→n n n n n n )12()1(1lim ln ex p =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

-++∞→)]11()11(ln[1lim ex p n n n n n n n

=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

-++++++∞→)]11ln()11ln()01[ln(1lim ex p n n n n n

=+⎰})1ln(ex p{10

dx x []=-++⎰})1ln()1(ex p{1

1

0dx x x =-12ln 2e e /4。

2006年（5题60分）

1 （12分）计算积分dx e x x ⎰-2

32

。

解：=⎰

-dx e x x

2

32

=⎰-2202221dx e x x =-⎰-202221x de x =+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-⎰--2202

2222121x d e e x x x

[]

=

-

---20

22

2

1x e e )31(2

1

2--e 。

2 （12分）求)

)(sin (tan )

1cos(1lim 302

x x e x x --→。

解：0→x 时，x x x x ~sin ~tan ，；0→x 时，02→x ，2~12

x e x -；

0→x 时，012

→-x e ，2)1(2

1~)1cos(12

2

---x x e e ；所以：

=--→))(sin (tan )1cos(1lim 302

x x e x

x =⋅-→x x e x x 320)1(21lim 22

1)(21lim 4220=→x x x 。

3 （12分）设10<

x

211-<+-。 证：10<

⇔<+--x e x

x

211⇔->+-x e x x 1)1(20122>-++--x e xe x x 令1)(22-++=--x e xe x f x x ，有0)0(=f ；则12)(22+--='--x x e xe x f ，有0)0(='f ；