数论习题

数论作业

习题一

1.证明:任意奇数一定可以表为两个平方数之差.

2.证明:对任意的整数n,

1)n3−n能被3整除,2)n5−n能被5整除,3)n7−n能被7整除.又,n9−n是否一定被9整除?

3.证明:如果p和p+2都是大于3的素数,则6是p+1的因数.

4.证明:√

2和

√

6都不是有理数.

5.证明:对任意正整数k,必存在连续k个正整数都是合数.

6.试确定所有正整数n,使2n−1能被7整除.

7.设n是奇数,求n表为两个整数平方差的表法个数.

8.设a,b,c是正整数,(a,c)=1,且1

a

+

1

b

=

1

c

.证明:a+b是平方数.

9.证明:形如4n+3形的素数有无穷多个.

10.证明:不存在两个连续的奇数,每一个都是两个非零的平方数之和.

1

习题二

1.证明:任给5个整数n,必能从中选出3个,使得它们的和能被3整除.

2.证明:任给n个整数,必能从中选出若干个,使得它们的和能被n整除.

3.一个正整数若倒过来写也是同一个数,则被称为回文数,比如3,11,242等等.证明:每个4位数的回文数都被11整除,试推广之.

4.设x为实数,n为正整数,证明:[x]+[x+1

n

]+···+[x+

n−1

n

]=[nx].

5.设x为实数,n为正整数,证明:[[x]

n

]=[

x

n

].

6.n为正整数,证明:

(2n)!

n!(n+1)!

是整数.

7.证明:ϕ(n)或为1,或为偶数.

8.证明:任意连续n个正整数中,与n互素的个数是ϕ(n).

9.证明:对任意正整数n,ϕ(n2)=nϕ(n);求出所有正整数n,使ϕ(n)|n.

10.若(m,n)=1,证明:mϕ(n)+nϕ(m)≡1(mod mn)

2

习题三

1.求最小的n>2,使得2|n,3|n+1,4|n+2,5|n+3,6|n+4.

2.证明:

(1)对任意n个互异的素数p1,···,p n存在n个连续的整数使第k个能被p k整除.

(2)存在n个连续的整数,每个都有平方因子.

3.证明:F n−1F n+1−F2n=(−1)n.

4.证明:{

x≡a(mod m)

x≡b(mod n)

有解的充要条件是a≡b(mod(m,n)).

5.证明:对任意奇素数p.

(1)12·32···(p−2)2≡(−1)p+12(mod p)

(2)22·42···(p−1)2≡(−1)p+12(mod p)

6.证明:对任意正整数m和素数p>5,不定方程(p−1)!+1=p m无整数解.

7.设p是奇素数,证明:((

p−1

2

)

!

)2

+(−1)

p−1

2≡0(mod p).

8.设p是素数,n=1+2+···+p−1,证明:(p−1)!≡p−1(mod n).

9.令x1=3,y1=4,z1=5,构造递推数列

x n+1=3x n+2z n+1

y n+1=3x n+2z n+2

z n+1=4x n+3z n+2

证明:x2

n +y2

n

=z2

n

.

10.设p是素数,0

有解x≡b(−1)a−1(p−1)···(p−a+1)

a!

(mod p)

3

习题四

1.设p是奇素数,证明模p所有二次剩余的乘积模p同余于(−1)p+1

2.

2.设p是奇素数,证明方程x2≡a(mod p)的解数是1+(

a

p

)

;

又若(p,a)=1,则方程ax2+bx+c≡0(mod p)的解数是1+(

b2−4ac

p

)

.

3.设p=4n+3(n>1)和q=2p+1都是素数,

证明梅森数M p=2p−1不是素数.

4.设n是任意正整数,证明形如4n+1的素数和形如8n+3的素数各有无穷多个.

5.已知563是素数,判断同余方程x2≡429(mod563)是否有解.

6.设(x,y)=1,试求x2−3y2的奇素数因数的一般形式.

7.已知1013是素数,判断同余方程x2≡503(mod1013)是否有解.

8.设p,q是两个不同的奇素数,且p=q+4a,证明(

a

p

)

=

(

a

q

)

.

9.解同余方程x2≡59(mod125).

10.设p是任意奇素数,证明:

同余式1+x2+y2≡0(mod p)有满足0⩽x,y

2

的解.

4

习题五

1.设p,q=2p+1均为素数,证明:

若p≡1(mod4),则2是模q的原根;而若p>3,p≡3(mod4),

则至少有三个相邻的整数都是模q的原根,请举一个实例.

2.证明:模m的原根一定是非二次剩余.反之,不一定成立.

对一个素数p,当且仅当它是费尔马素数时,模p的原根才等价于模p的非二次剩余.

3.证明:每一个正有理数均可表为不同的单位分数之和,即是下列调和级数

1+1

2

+···+

1

n

+···的有限多个互异项之和.

4.试求一个g,使得它是模5的原根,但不是模25的原根.

5.设p是素数,则对任何正整数k,

1k+2k+···+(p−1)k≡−1(mod p),若p−1|k;否则,这个和同余于0.

6.设p为奇素数,则

(1)1p+2p+···+(p−1)p≡0(mod p)

(2)又若m是正整数,2m≡1(mod p),则

1m+2m+···+(p−1)m≡0(mod p).

7.构造模23的以5为原根的指标表.

8.试用指标表解同余式x15≡14(mod41).

9.设p是素数,证明:同余方程x8≡16(mod p)一定有解.

10.确定同余式x4≡61(mod117)的解的个数.

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