结构力学第二章汇总
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《结构力学》_第2章
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
二、平面体系的计算自由度 W
1、平面刚片体系公式 —— 将体系中刚片为被约束对象，铰、刚结和链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m — 刚片数； g — 简单刚结数（固定支座）；
h — 简单铰数； b — 简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。 2、平面杆件体系公式 —— 将体系中结点为被约束对象，链杆为约束。则 计算自由度公式为：
W 2 j b
j—结点数； b—简单链杆数。 3. 混合公式 —— 将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆为 约束，则计算自由度公式为：
4 6
5
5
4
5 (1,2) 6
(2,3)
(2,3)
.
几何瞬变体系
分析 2AB NhomakorabeaC E F
D
A
1,3
A 2,3 2,3
B
1,2
C E F
D
1,3 B
1,2
D C
F E
几何不变体系
几何瞬变体系
分析 3
F G H F (1,2) G H
A
C
B D
E
A J
C B K D
(2,3) E
(1,3)
F
G
H
F
G
(2,3) A J B C K D E A
A
A
A
A CC
2m
C
C
C
A
(7) (7) (7) (8)
(8) (8) 2m
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
结构力学第二章
3-2=1
1根单链杆=减少1个约束 链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起 到两铰连线方向约束作用即可
6-4=2
1个单铰=减少2个约束 =2根单链杆 9
6-3=3
1个刚节点=3个约束
b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束 复铰：连结两个以上刚片的 铰称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相当于 (n－1)个单铰。
14
Ⅰ C A
Ⅰ C A [Ⅰ, Ⅱ] B B Ⅱ (b) 有限远虚铰情形2 D B
Ⅰ A
D Ⅱ
Ⅱ (c) 无穷远虚铰
(a) 有限远虚铰情形1
图2.10 虚铰的常见情形
[Ⅰ, Ⅱ ] ∞
C D
15
[Ⅰ, Ⅱ]
3.平面体系自由度计算
3.1铰结钢片体系
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系 的几何组成性质。
2
1 体系几何组成的定义
a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。
b.几何不变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置保持不变的体系。
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
Ⅰ 1 Ⅰ Ⅰ 1
Ⅰ A Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
虚铰 O
O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
12
Ⅰ
Ⅰ
结构力学第2章共17页
(3) 判断多余约束的个数时，内部多余约束也应考虑
在内。
上一页
例：图示体系为具有三个多余
下一页 约束的几何不变体系。因为矩形刚片
本身有三个多余约束。
(4) 瞬变体系必有多余约束。
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
五、体系的计算自由度与自由度
返回
1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束）
个基本刚片开始。
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第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
返回
1. 二元体
自测
E C
A
DB
帮助
注意：上图的AE与EB(AC与CD)不是二元体，它
们之间多了一根链杆CD(EB)。
开篇
例如，在分析下图所示体系的几何构造时不可以将
退出
DFE视为二元体。因为点F除与杆DF、EF相连外， 还
O2
(b)
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
四、应注意的问题
返回
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。
自测
例如，不能把图a中的 (a) F
帮助
EFGD取作刚片（图b），
因为它是几何可变的。
E
G D
(b)
F
ED G
开篇
(2) 在得出结论时, 应写明体系的几何构造特性, 还
应写明有几个多余约束.
退出
帮助
2. 自由度与几何体系的关系
开篇
几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的体
系都是几何可变体系。
退出
3. 几何性质与静定、超静定的关系
开篇
线，则组成几何不变体系，且无多余约束。
结构力学 第二章
第二章平面体系的机动分析主要讨论平面杆件结构的组成规律和合理形式§2-1 几何构造分析的几个概念一、平面杆件结构和平面杆件体系[结构（从几何）：一维杆件（平面+空间）、二维平面（板壳、薄壁）、三维空间（实体）。
狭义研究： ]平面杆件结构：两个特点（构筑物、建筑物）简支梁（桥）1）所有杆件的轴线在一个平面内2）承担荷载（作用在该平面内）、骨架作用：位置、几何形状不随时间变（不考虑材料应变）平面杆件体系几种形式：结合例子1）几何不变体系：有斜撑的桁架（水平、竖向、力矩）体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，而能保持其几何形状不变，位置不变。
静定+超静定：多余联系+全部反力及内力的确定2）几何可变体系：四连杆机构（筛子）体系受到任意荷载作用后，即使不考虑材料的应变，其几何形状、位置可变。
又有两种形式：几何常变体系：原为几何可变体系，经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系，为。
几何瞬变体系：原为几何可变体系，经微小位移即转化为几何不变体系，称为，它是可变体系的特殊情况。
如图：施加任意荷载P，变形任意小的θ角，由结点2的平衡条件：2Nsinθ=P N=P/2sinθ→∞、支座反力→∞几何体系划分：几何不变体系几何可变体系：几何常变体系瞬变体系（从不能平衡到平衡的过程中，会产生巨大的内力或支座反力，使结构破坏，绝对不能应用于工程中）引出本章三个主要目的：（要解决问题）1）给定一个体系：不变、可变、瞬变，判定，只有2）杆件如何拼接成为结构，创造新的合理的结构形式3）最合理的组成方式，最优几何组成分析：结构应当承受外荷载，起骨架作用，要求结构的几何组成应当合理，受载后应保持其几何形状和位置不变（排除材料应变引起的变形）。
杆件结构是由许多杆件组成，而许多杆件组成的体系并不一定是结构。
杆件组成结构应该满足一定的规则。
目的：1）杆件体系能否作为结构2）组成结构的规则，杆件如何组合才能成为结构。
于玲玲结构力学第二章__静定结构的受力分析
第二节 静定平面桁架一、桁架的内力计算中采用的假定（1）桁架的结点都是光滑的铰结点；（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上。
二、桁架的分类（1）简单桁架：由基础或一基本三角形开始，依次增加二元体形成。
（2）联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系的组成规则形成。
（3）复杂桁架：不属于前两类的桁架。
三、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。
该法最适用于计算简单桁架。
根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。
（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。
（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。
推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。
F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。
例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。
1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。
如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。
结构力学第二章
几何组成分析
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 二. 两刚片规则 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 常变体系 瞬变体系 构成无多余约束的几何不变体系. 构成无多余约束的几何不变体系.
两刚片以不相互平行, 两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系. 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系.
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 该体系为瞬变体系. 方法3: 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆. 刚片看成链杆.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
有2个多余 约束 3、复链杆 联结n个结点的复链杆个数： 联结n个结点的复链杆个数： b
有3个多余 约束
= 2n − 3
几何组成分析
讨论: 讨论: 1、试计算图示体系的计算自由度 、
解:
或:
W = 8×3−11×2 −3 = −1 W =1×3+ 5×2 − 2×2 −10= −1
由结果不能判定其是否能作为结构
几何组成分析
§2-1 基本概念 §2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则 §2-3 几何组成分析举例 例1: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 三刚片三铰相连,三铰不共线, 的几何不变体系. 的几何不变体系.
结构力学基础教程第二章
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
27
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。 若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
29
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
W2j b
j—结点数；
b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W ( 32 m j )( 32 gh b )
m、j、g、h、b意义同前。
1
A
I
2
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一 根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余 约束。 II 被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰A及链杆1 1 I
12
A
II 铰A也可以是瞬铰，如右图示。 A I B
II A I
13
1
3. 规律3—— 三个刚片之间的连接
大刚片 I 与结点D用链杆3、4相连，符合规 律1。故体系几何不变且无多余约束。
20
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。 1 I 3
2
解： II（基础）
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。
故该体系几何不变且无多余约束。
21
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
3 B I 1 A 6 III 2 C
02-2结构力学第二章 平面体系的几何组成分析-作业答案汇总
38 3 2 29 3 3
3个单铰结点, 3个折算为2个单铰结点的复铰结点
支杆
b3
11/73
(II III) 刚片II
(I II)
刚片III
几何不变且无多余约束
j9 单链杆：12根 复链杆：2根 折算为6根单链杆
W 2 j b 29 12 6 0
5/73
【作业1】分析图示体系的几何构造
图3
【作业1】分析图示体系的几何构造
图4
先考察如图所示结构
∞(II III)
9/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 1 单刚结点 g 4 铰结点 h 0 支杆 b 3
内部无多余约束刚片
W 3m 3g 2h b
31 3 4 3 12
10/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 8
单刚结点 g 2
W 3m 3g 2h b
铰结点 h 9
刚片 m 14 单铰链结点 h 18
刚片II
刚片III
(I II)
(I III) 刚片I
瞬变体系
其中折算为2个单铰结点的 复铰结点有6个
∞(II III)
其中折算为3个单铰结点的 复铰结点有2个 单刚结点 2个 g 2 和基础相连的支杆 0个 b 0
W 3m 3g 2h b
314 3 2 218 0
∞(II III)
刚片II (I II) (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
(I II) 刚片II (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
7/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
图1 并进行几何构造分析
结构力学第2章
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
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第2章 平面体系的几何构造分析 四、应注意的问题
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自测
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
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A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
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自测
E C A D B
1. 二元体
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第2章 平面体系的几何构造分析
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自测
例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
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第2章 平面体系的几何构造分析 四、应注意的问题
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(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
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A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
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第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
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第2章 平面体系的几何构造分析
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例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
结构力学第二章[44页]
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2.1 概述 2.2 平面体系的计算自由度 2.3 几何不变体系的简单组成规则 2.4 瞬变体系 2.5 机动分析举例 2.6 几何构造与静定性的关系
1.了解自由度及计算自由度 2.了解不变体系的组成规则 3.掌握瞬变体系含义及内容 4.机动分析的步骤 5.了解构系的几何组成分析
• （2）铰 两个刚片用一个铰连接可减少两 个自由度，那么连接两个刚片的铰称为单铰， 相当于两个联系，如图２.３(b)所示。连接 两个以上刚片的铰称为复铰( n＞２)，相当 于( n-１)个单铰，或２ ×( n -１)个联系，如 图２.３(c)所示。
图 2.3
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
• 在平面体系中又将刚体称为刚片。 • 工程中的结构必须是几何不变体系,才能承受荷载、传递荷载。
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节 第五节 第六节
第 2 节 平面体系的计算自由度
本节目录
2.2 平面体系的计算自由度 2.2.1 自由度 2.2.2 联系 2.2.3 体系的计算自由度 2.2.4 平面体系的计算自由度结果分析
• 如图２.５所示这种完全由两端铰结的杆件 所组成的体系，称为铰结链杆体系。
图 2.5
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节 第五节 第六节
第 2 节 平面体系的计算自由度
2.2.3 体系的计算自由度
• 其自由度除可用式(2.1)计算外，还可用下
结构力学课件
第二章平面体系的几何组成分析
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节 第五节 第六节
第 2 节 平面体系的计算自由度
结构力学第二章
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
结构力学二(第二章)
A a
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
郑州大学土木工程学院
5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
郑州大学土木工程学院
2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
郑州大学土木工程学院
8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
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5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
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2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
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8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
结构力学第二章
④ 若W＜0，无论体系是否几何不变，体系均有多余约束。
§2-4 体系的几何组成与静定性的关系
结构: 必须几何不变
A C 无多余约束
有多余约束
D D E
B
C
A
F
B
一. 无多余约束的几何不变体系是静定结构 静定结构: 由静力平衡方程可求出所 有内力和支座反力的体系。
q
二. 有多余约束的几何不变体系是超静定结构
(1,3) 1
Ⅱ
O
2
B
Ⅰ
I
Ⅰ
O
A1
(1,2)
2
Ⅱ
Ⅲ
C
(2,3)
瞬变体 系能否 作为结 定义：原为几何可变，发生微小位移后又成为几何不变 构
二. 瞬变体系
的体系。
瞬变体系有：三铰共线、三链杆共点、不等长链杆平行
O
B
几何 可变
A C
B
A
C
FAB
A
FAC
B
A
C
P
P
FAC ＝ FAB ＝ P/(2sin )
A
1
3
2
六、
B
B
A C C A′
常变体系
七、瞬铰（虚铰）
O
.
C D
相交∞远
︷
C
A
A
B
B
D
§2-2 平面几何不变体系的组成规则
讨论无多余约束的几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片（基础）之间的连接方式
一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直
线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
A 1 2 A
1
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
结构力学第2章
p M EI x l/2 y l/2 q
解：梁的挠曲线方程为：
2q l (ξ − )(x −ξ )3 x M0 2 N0 3 p l 3 2 v = v0 +θ0 x + x + x + l (x − ) + l ∫ l dξ l /2 2EI 6EI 2 6EI 2 6EI 2
边界条件： x = 0,
将以上导数代入边界条件式，得
注意到
sh 0 = 0 , ch 0 = 1
l l M 0 ⇒ θ0 = M0 2 EI 2 EI
v ′ = θ 0 = Aα EIv ′′(0) = Aα M 0 =
N0 shkl = M k kM 0shkl + N 0 chkl = kM 0shkl + N 0 (chkl − 1) ⇒ N 0 = 0 EIkθ 0shkl + M 0 chkl +
2
ql 2 N0 x ql ( x − l / 2) q 3 3lx2 3l 2 x l3 v′′(x) = + + + + − x − 6EI EI EI 3EIl 2 4 8
由 x=l 边界条件可得
联立求解上式，得
N 0l 2 67 ql 3 θ0 + =− 6 EI 640 EI N 0l 2 19 ql 3 =− θ0 + 2 EI 64 EI
x = l,
v = 0, v = 0,
M 0 = M = ql 2 / 6 v′ = 0
5
积分扰曲线最后一项
x
x5 lx4 l 2 x3 l 3x2 l 4 x l 5 (x − l / 2) (ξ −l / 2)(x −ξ )3dξ = − + − + − = ∫l / 2 20 8 8 16 64 640 20
解：梁的挠曲线方程为：
2q l (ξ − )(x −ξ )3 x M0 2 N0 3 p l 3 2 v = v0 +θ0 x + x + x + l (x − ) + l ∫ l dξ l /2 2EI 6EI 2 6EI 2 6EI 2
边界条件： x = 0,
将以上导数代入边界条件式，得
注意到
sh 0 = 0 , ch 0 = 1
l l M 0 ⇒ θ0 = M0 2 EI 2 EI
v ′ = θ 0 = Aα EIv ′′(0) = Aα M 0 =
N0 shkl = M k kM 0shkl + N 0 chkl = kM 0shkl + N 0 (chkl − 1) ⇒ N 0 = 0 EIkθ 0shkl + M 0 chkl +
2
ql 2 N0 x ql ( x − l / 2) q 3 3lx2 3l 2 x l3 v′′(x) = + + + + − x − 6EI EI EI 3EIl 2 4 8
由 x=l 边界条件可得
联立求解上式，得
N 0l 2 67 ql 3 θ0 + =− 6 EI 640 EI N 0l 2 19 ql 3 =− θ0 + 2 EI 64 EI
x = l,
v = 0, v = 0,
M 0 = M = ql 2 / 6 v′ = 0
5
积分扰曲线最后一项
x
x5 lx4 l 2 x3 l 3x2 l 4 x l 5 (x − l / 2) (ξ −l / 2)(x −ξ )3dξ = − + − + − = ∫l / 2 20 8 8 16 64 640 20
结构力学第二章
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都 用解析法；解析法求解时应恰当选取分离体。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数，尽量避免解联立方程。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
注：力矩与力偶矩的比较
例:如图所示，设AB=L求A点上四个力对B点的矩。
解：
2 mB (F1)=F1 l gsin 45 2 Fl
对B铰有ΣX=0，-F2cos450-FBA=0
FBA= F2cos300
又FAB=FBA可得 F2=
F1
=1.64F1
cos450cos300
所得结果与几何法相同。
例2.3 已知如图P、Q， 求平衡时α =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
ΣX=0 ΣY=0
T2cosα-T1=0 T2sinα+ND-Q=0
RY=Y1+Y2+Y3=ΣY
y D
Y3 RY
R θ
F3 C
Y2
Y1
O
A F1 B
a
b
F2 d cx
X1
X2 X3
RX
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
合力的大小：
合力的方向： tg Ry
Rx
力的作用点： 该力系的汇交点
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都 用解析法；解析法求解时应恰当选取分离体。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数，尽量避免解联立方程。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
注：力矩与力偶矩的比较
例:如图所示，设AB=L求A点上四个力对B点的矩。
解：
2 mB (F1)=F1 l gsin 45 2 Fl
对B铰有ΣX=0，-F2cos450-FBA=0
FBA= F2cos300
又FAB=FBA可得 F2=
F1
=1.64F1
cos450cos300
所得结果与几何法相同。
例2.3 已知如图P、Q， 求平衡时α =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
ΣX=0 ΣY=0
T2cosα-T1=0 T2sinα+ND-Q=0
RY=Y1+Y2+Y3=ΣY
y D
Y3 RY
R θ
F3 C
Y2
Y1
O
A F1 B
a
b
F2 d cx
X1
X2 X3
RX
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
合力的大小：
合力的方向： tg Ry
Rx
力的作用点： 该力系的汇交点
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17
Ⅰ C A
Ⅰ C A [Ⅰ, Ⅱ] B B Ⅱ (b) 有限远虚铰情形2 D B
Ⅰ A
D Ⅱ
Ⅱ (c) 无穷远虚铰
(a) 有限远虚铰情形1
图2.10 虚铰的常见情形
[Ⅰ, Ⅱ ] ∞
C D
18
[Ⅰ, Ⅱ]
Байду номын сангаас
3.平面体系自由度计算
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
图2.2 内部构造不健全造成几何可变
FP A B A A1 (a) 原几何不变体系 FP C C1 B B1
(b) 外部约束布置不当
图2.3 外部约束布置不当造成几何可变
6
2. 几个基本概念
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
2.1 刚片： 将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
【解】在图2.13中，用j1~j8表 示体系中的各个全铰，因此 j=8。在链杆和支杆旁，分别 用数字与b或r的组合来表示 链杆和支杆的个数，因此 b=13、r=3。最终该体系的计 算自由度为
1b j3 1b j7 2r
1b
1b j4 1b
W 2 8 (13 3) 0
21
【例2】：计算图示体系的自由度
19
常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称 为铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度也可采用 以下更为简捷的公式计算
W 2 j (b r )
j---结点个数 b---单链杆数 r---支座链杆
20
【例1】试求图示铰结链杆体系的计算自由度。
j1 1b 1b 1b j2 1b j5 1b 1b 1b j6 1b 1r j8
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称
作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。 平面内一刚片 平面内一点
n=2
n=3
x y
8
2.3 约束
体系中能够减少自由度的装置称为约束。 a.单约束：紧连接两个钢片的约束
14
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ 1 Ⅰ Ⅰ 1
Ⅰ A Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
虚铰 O
O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
Ⅰ
A Ⅱ (a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
A Ⅱ (b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
y
x 1 Ⅰ
A
Ⅲ 3 2
10
yⅡ
思考
11
c.多余约束：在一个体系中增加或减少一个约束，使得其自由 度保持不变，则此约束称为多余约束。
必要约束
多余约束
d.必要约束：在一个体系中增加或减少一个约束，将改变体 系的自由度，则此约束称为必要约束。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响
12
内容扩展内容
1
AC CDB CE EF CF DF DG FG
3
1
3
有几个刚片？
2
有几个单铰？ 有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
22
【例3】：计算图示体系的自由度
1
2
3 2 1
3
按刚片计算 9根杆, 9个刚片 有几个单铰？ 3根支座链杆 按铰结链杆计算 W=2 ×6-(9+3)=0
23
例4：计算图示体系的自由度
学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系 的几何组成性质。
2
1 体系几何组成的定义
a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。
b.几何不变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置保持不变的体系。
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
★★体系几何组成分析的目的：
5
造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者 是外部约束不恰当
FP A B FP A A1 C D C D B B1
(a) 原几何不变体系
(b) 内部构造不健全
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。 学习重点:平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静 定结构与超静定结构的概念。
3-2=1
1根单链杆=1个约束 链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起 到两铰连线方向约束作用即可
6-4=2
1个单铰=2个约束 =2根单链杆
9
6-3=3
1个刚节点=3个约束
b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束 复铰：连结两个以上刚片的 铰称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相当于 (n－1)个单铰。
支杆、 固定铰支座、 定向支座、 固定支座的约束效果
Ⅱ Ⅰ(地基) (a) 支杆 （活动铰支座） (b) 固定铰支座 (c) 定向支座 (d) 固定支座
视 作
13
（1）支杆（活动铰支座） 将支杆所连接的地基和刚片分别视作前述分析链杆 约束效果时的刚片Ⅰ和Ⅱ，则容易类比得到一根支 杆相当于一个约束。 （2）固定铰支座 固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当 于两个约束。 （3）定向支座 定向支座由两根不共线的平行支杆构成，因此相当 于两个约束。 （4）固定支座 固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支 承方向不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。
1 ①
解:
2
②
3
m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r ) 3 3 (2 2 4) 1
24
例5：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
W 2j br 2 9 15 3 0
Ⅰ C A
Ⅰ C A [Ⅰ, Ⅱ] B B Ⅱ (b) 有限远虚铰情形2 D B
Ⅰ A
D Ⅱ
Ⅱ (c) 无穷远虚铰
(a) 有限远虚铰情形1
图2.10 虚铰的常见情形
[Ⅰ, Ⅱ ] ∞
C D
18
[Ⅰ, Ⅱ]
Байду номын сангаас
3.平面体系自由度计算
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
图2.2 内部构造不健全造成几何可变
FP A B A A1 (a) 原几何不变体系 FP C C1 B B1
(b) 外部约束布置不当
图2.3 外部约束布置不当造成几何可变
6
2. 几个基本概念
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
2.1 刚片： 将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
【解】在图2.13中，用j1~j8表 示体系中的各个全铰，因此 j=8。在链杆和支杆旁，分别 用数字与b或r的组合来表示 链杆和支杆的个数，因此 b=13、r=3。最终该体系的计 算自由度为
1b j3 1b j7 2r
1b
1b j4 1b
W 2 8 (13 3) 0
21
【例2】：计算图示体系的自由度
19
常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称 为铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度也可采用 以下更为简捷的公式计算
W 2 j (b r )
j---结点个数 b---单链杆数 r---支座链杆
20
【例1】试求图示铰结链杆体系的计算自由度。
j1 1b 1b 1b j2 1b j5 1b 1b 1b j6 1b 1r j8
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称
作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。 平面内一刚片 平面内一点
n=2
n=3
x y
8
2.3 约束
体系中能够减少自由度的装置称为约束。 a.单约束：紧连接两个钢片的约束
14
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ 1 Ⅰ Ⅰ 1
Ⅰ A Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
虚铰 O
O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
Ⅰ
A Ⅱ (a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
A Ⅱ (b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
y
x 1 Ⅰ
A
Ⅲ 3 2
10
yⅡ
思考
11
c.多余约束：在一个体系中增加或减少一个约束，使得其自由 度保持不变，则此约束称为多余约束。
必要约束
多余约束
d.必要约束：在一个体系中增加或减少一个约束，将改变体 系的自由度，则此约束称为必要约束。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响
12
内容扩展内容
1
AC CDB CE EF CF DF DG FG
3
1
3
有几个刚片？
2
有几个单铰？ 有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
22
【例3】：计算图示体系的自由度
1
2
3 2 1
3
按刚片计算 9根杆, 9个刚片 有几个单铰？ 3根支座链杆 按铰结链杆计算 W=2 ×6-(9+3)=0
23
例4：计算图示体系的自由度
学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系 的几何组成性质。
2
1 体系几何组成的定义
a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。
b.几何不变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置保持不变的体系。
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
★★体系几何组成分析的目的：
5
造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者 是外部约束不恰当
FP A B FP A A1 C D C D B B1
(a) 原几何不变体系
(b) 内部构造不健全
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。 学习重点:平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静 定结构与超静定结构的概念。
3-2=1
1根单链杆=1个约束 链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起 到两铰连线方向约束作用即可
6-4=2
1个单铰=2个约束 =2根单链杆
9
6-3=3
1个刚节点=3个约束
b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束 复铰：连结两个以上刚片的 铰称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相当于 (n－1)个单铰。
支杆、 固定铰支座、 定向支座、 固定支座的约束效果
Ⅱ Ⅰ(地基) (a) 支杆 （活动铰支座） (b) 固定铰支座 (c) 定向支座 (d) 固定支座
视 作
13
（1）支杆（活动铰支座） 将支杆所连接的地基和刚片分别视作前述分析链杆 约束效果时的刚片Ⅰ和Ⅱ，则容易类比得到一根支 杆相当于一个约束。 （2）固定铰支座 固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当 于两个约束。 （3）定向支座 定向支座由两根不共线的平行支杆构成，因此相当 于两个约束。 （4）固定支座 固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支 承方向不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。
1 ①
解:
2
②
3
m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r ) 3 3 (2 2 4) 1
24
例5：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
W 2j br 2 9 15 3 0