河北省石家庄市高中毕业班教学质量检测二文数

河北省石家庄市2018届高中毕业班教学质量检测（二）

数学（文科）

本试卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题。写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．设集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B =

A ．{}1x x <-

B ．{}2x x ≤

C ．{}10x x -<<

D ．{}02x x <≤ 2．已知复数z 满足()zi i m m R =+∈，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．在等比数列{}n a 中，2a =2，516a =，则6a =

A ．14

B ．28

C ．32

D ．64

4．设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >1>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5． 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提

出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他 创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆 周率精确到小数点后两位的近似值3.14，如图 就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图， 则输出的n 值为 (参考数据：sin150.2588=°， sin7.50.1305=°，sin3.750.0654=°) A ．12 B ．24

C ．36

D ．48 6．若两个非零向量b a ,满足b b a b a 2=-=+，

则向量b a +与a 的夹角为 A ．

6

π

B ．

3

π

C ．

23

π D ．

56

π 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()5f x f x +=，且当

)2

5

,0(∈x 时，()33f x x x =-，则()2018f =

A ．2

B ．18-

C ．18

D ．2-

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出

的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A ．53

B ．83

C ．3

D ．8

9．某学校A 、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过

茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差

①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于B 班的平均成绩 ②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于A 班的平均成绩 ③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于B 班成绩的标准差 ④B 班数学兴趣小组成绩的标准差小于A 班成绩的标准差 其中正确结论的编号为 A ．①③ B ．①④ C ．②③

D ．②④

10．已知函数()()()2sin 0,f x x ω?ω?π=+><的部分图

象如图所示，已知点()

0,3A ，,06B π??

???

，若将它的

图象向右平移

6

π

个单位长度，得到函数()g x 的图象， 则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为

A ．12

x π=

B ．4

x π

=

C ．3x π=

D ．23

x π

=

11．已知1F ，2F 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的两个焦点，点A 是双曲线的右顶点，

()()0000,0,0M x y x y >>是双曲线的渐近线上一点，满足12MF MF ⊥，如果以点A 为焦

点的抛物线()220y px p =>经过点M ，则此双曲线的离心率为 A ．2

B ．3

C ．2

D ．5

12．已知函数()()ln 1x f x x e =++图象上三个不同点,,A B C 的横坐标成公差为1的等差数

列，则ABC △面积的最大值为 A ．1ln

2e e

+ B ．()

2

1ln

4e e

+ C ．2

1ln 1e e

++

D ．()

()

22

21ln

1e e ++

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中一次随

机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为_____________. 14．设变量,x y 满足约束条件30

320

x x y y -≤??

+≥??-≤?

，则1y x +的最大值为_____________.

15．已知数列{}n a 的前n 项和12n

n S ??

=- ???

，如果存在正整数n ，使得()()10

n n m a m a +--<成立，则实数m 的取值范围是_____________.

16．正四面体ABCD 的棱长为6，其中AB ?平面α，,M N 分别是线段,AD BC 的中点，

以AB 为轴旋转正四面体，且正四面体始终在平面α的同侧，则线段MN 在平面α上的射影长的取值范围是_____________.

三、解答题 :共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必

考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）

已知ABC △的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且

3tan tan cos c

A B a B

=+.

(1)求角A 的大小；

(2)设D 为AC 边上一点，且5,3BD DC ==，7a =，求c .

18．（本小题满分12分）

随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5

(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数r 加以说明；(系数精确到0.01)；

(2)建立y 关于x 的回归方程y bx a =+(系数精确到0.01)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01). 参考数据：()()1

11374.5n

i i i x y =--=∑，()2

1

11340n

i i x =-=∑，()2

1

316.5n

i i y =-=∑，

34018.44≈，16.5 4.06≈，其中i x ，i y 分别为第i 个月的促销费用和产品销量，1,2,3,...8i =.

参考公式：

(1)样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数()()

()()

1

2

2

1

1

n

i

i i n

n

i

i

i i x

x y y

r x

x

y y ===--=

--∑∑∑.

(2)对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()

()

1

2

1

n

i

i i n

i

i x

x y y

b x

x

==--=

-∑∑，a y bx =-.

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长 为2且160CBB =∠°的菱形，1AB AC =.

(1)证明：平面1AB C ⊥平面11BB C C .

(2)若1AB B C ⊥，AB BC =，求点B 到平面111A B C 的距离..

20．（本小题满分12分）

已知圆()()2

2

9

:4

C x a y b -+-=

的圆心C 在抛物线()220x py p =>上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切.

(1)求该抛物线的方程；

(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别在点,A B 处作抛物线的两条切线交于P 点，求三角形PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程. 21．（本小题满分12分）

已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ?

?=-+--+ ???.其中()a ∈R

(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；

(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分，请考生从22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡

上所选题目对应的题号涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ?

?=+??=?(其中?为参数)，曲线

22

2:184

x y C +=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线1C 、2C 的极坐标方程；

(2)射线():0l θαρ=≥与曲线1C 、2C 分别交于点,A B (且,A B 均异于原点O )当

02

π

α<<

时，求22

OB OA -的最小值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数()221f x x a x =-++.

(1)当1a =时，求()2f x ≤的解集；

(2)若()243g x x ax =+-，当1a >-，且1,22a x ??

∈-????时，()()f x g x ≥，求实数a 的取

值范围.

数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5BACBD 6-10ADBBA 11-12DA

二、填空题

13.2

5 14．3

1513(,)24-

16．[23,32]

三解答题 17、

解：（1）在△ABC 中

33sin sin sin tan tan 2cos sin cos cos cos c C A B

A B a B A B A B

=+∴=+

分

3sin sin cos +sin cos sin cos cos cos C A B B A

A B A B

=即：

…………………4分 31tan =36sin cos 3

A A A A π∴

=∴则：＝分

（2）由BD=5，DC=3，7a =,得259491

cos 2352BDC +-∠=

=-

??…………………8分

2103

BDC π

∴∠=分

5

123

A ABD c π

∴?∴=又

＝为等边三角形分

18、

答案：（1）由题可知11,3x y ==， ………… 1分

将数据代入1

2

2

1

1

()()

()()

n

i

i

i n n

i

i

i i x x y y r x x y y ===--=

--∑∑∑得74.574.5

0.99518.44 4.0674.8664

r =

=≈?

………………3分

因为y 与x 的相关系数近似为0.995，说明y 与x 的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合y 与x 的的关系.（需要突出“很强”， “一般”或“较弱”不给分）……………5分

（2）将数据代入1

2

1

()()

?()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--=-∑∑得74.5

?0.219340

b

=≈

……… 7分

??30.219110.59a

y bx =-=-?≈ ……………… 9分 所以y 关于x 的回归方程?0.220.59y

x =+ …………… 10分 由题?0.220.596y

x =+>解得24.59x >，即至少需要投入促销费用24.59万元. ……………… 12分

（说明：如果?0.22,b

≈ ?0.58a

≈ ，?0.220.58y x =+，导致结果不一致，第二问整体得分扣1分）

19.证明：（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO 侧面11BB C C 为菱形，∴ 11B C BC ⊥

1AB AC =， O 为1BC 的中点，∴1AO BC ⊥ …………2分

又1B C AO O ?=，∴1BC ⊥平面1AB C ，…………4分

1BC ?平面11BB C C ∴平面1AB C ⊥平面11BB C C .………5分

（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，AB BO B ?=， ∴1B C ⊥平面ABO ，AO ?平面

ABO

∴1AO B C ⊥，又1AO BC ⊥，11BC B C O ?=，∴AO ⊥平面11BB C C

.…………7分

菱形11BB C C 的边长为2且0

160CBB ∠=，∴3,BO =

2AB BC ==1AO ∴=又1CO = ，2AC =，

1117

2

ABC A B C S S ??==

, …………9分 设点B 到平面111A B C 的距离为h 由11111111B A B C A BB C A BB C V V V ---==得1711322132322

h ?

?=?????.…………11分 2217h ?=

∴点B 到平面111A B C 的距离为221

7

. .…………12分 20

解：（1）由已知可得圆心),(:b a C ，半径23=

r ，焦点)2

,0(p F ，准线2p

y -=

因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所以2

23p

b -=，…………………2分 且圆C 过焦点F ，

又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即4p

b =

……………4分

所以4

223p

p b =-=

，即2=p ，抛物线F 的方程为y x 42= ………………………5分 （2）易得焦点)1,0(F ，直线L 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为1+=kx y 设),(),,(2211y x B y x A

???=+=y

x kx y 41

2

得0442=--kx x ，0>?，4,42121-==+x x k x x …………… 6分 对42x y =求导得2

'x y =，即21x k AP =

直线AP 的方程为)(2111x x x y y -=

-，即2

114

12x x x y -=， 同理直线BP 方程为2224

12x x x y -=

设),(00y x P ，联立AP 与BP 直线方程解得???

????

-===+=1422210210x x y k x x x ，即)1,2(-k P ………8分

所以

)1(412212k x x k AB +=-+=，点

P 到直线AB 的距离

22

212122k k k d +=++=

…………10分

所以三角形PAB 面积4)1(412)1(42

123

2

22≥+=+?+?=k k k S ，当仅当0=k 时取等

号

综上：三角形PAB 面积最小值为4，此时直线L 的方程为1=y 。 …………… 12分

21解：（1）)11(ln 2)('x x x f -+=，令其为)(x g ，则0)1

1(2)('2

>+

=x x x g 所以可得)(x g 即)('x f 单调递增，………………………2分

而0)1('=f ，则在区间)1,0(上，0)('

0)('>x f ，函数)(x f 单调递增 . ………………4分

（2）)1ln 2)(1()(2x x a x x x f -+-=，另x

x a x x h 1

ln 2)(2-+=，可知0)1(=h ， 22

2'()ax x a h x x

++=，令2()2g x ax x a =++， . ………………6分 ① 当1-≤a 时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以

函数()h x 单调递减，

(1)0h =，(0,1)x ∴∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，

()0h x <，

可知此时()0f x ≤满足条件. ………………8分

② 当0≥a 时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，可知0)('>x h ，)(x h 单调递

增，(1)0h =，(0,1)x ∴∈时，()0h x <，(1,)x ∈+∞时，()0h x >，，可知此时()0f x ≤不成立. …………10分

③ 当01<<-a 时，研究函数2()2g x ax x a =++，可知0)1(>g ，对称轴

11

>-

=a

x ， 那么)(x g 在区间)1,1(a -大于0，即)('x h 在区间)1

,1(a

-大于0，)(x h 在区间

)1

,1(a

-单调递增，0)1()(=>h x h ，可知此时0)(>x f ，所以不满足条件.

综上所述：1-≤a . …………12分 22.

解：（1）曲线1C 的普通方程为

1)12

2=+-y x （，1C 的极坐标方程为,cos 2θρ=….3分 2C 的极坐标方程为αρ22

sin 18

+=………5分

（2）联立)0(≥=ραθ与1C 的极坐标方程得α22

cos 4=OA ， 联立)0(≥=ραθ与2C 的极坐标方程得2

2

8

1sin OB α

=

+，……7分 则2

2

OA OB -= αα224cos -sin 18+=)sin -14-sin 182

2αα（+ =8-)sin 14sin 182

2αα+++（…………………9分

.8288)sin 1(4)sin 18

(

222

-=-+?+≥αα

（当且仅当12sin -=α时取等号）.

所以2

2

OA OB -的最小值为.828-…….10分 23.

解：)1(当1=a 时，???

?

?????

>≤≤--<-=.21,4,2121

,2,21,4)(x x x x x x f …………………2分

当21

-

121≤≤-x ；

当2

1

->x 时，2)(≤x f 无解；

综上所述，2)(≤x f 的解集为?

??

?

??≤≤-

212

1

x x ………….5分 )2(当??

?

???-∈2,21a x 时，1)12()2()(+=++-=a x x a x f

所以)()(x g x f ≥可化为)(1x g a ≥+………….7分

又34)(2

-+=ax x x g 的最大值必为)21-(g 、)2

a (g 之一

??

??

?

≥+-≥+∴)

2(1)21(1a

g a g a ……………………9分 即?????≤≤--≥23

4

2a a 即.234≤≤-a

又,1->a 所以.21≤<-a

所以a 取值范围为(]2,1-………10分