第3讲 有限元梁单元.
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移分量，单元共有4个位移分量——4个自由度；
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元wk.baidu.com
单元节点位移：
e
e
fi
i
fj
j T
称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。
结构中一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分 对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节 点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对 应）。
按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下： 挠度：
s1l 3 s2l 2 u1 1 3EJ 2 EJ
再由梁单元的静力平衡条件得：
12 EJ a31 3 l 6 EJ s4 s1l s2 2 a41 l s3 s1
s1l 2 sl u2 0 2 转角： 2 EJ EJ 12 EJ s1 a11 3 l 联立解出： 6 EJ s2 a21 l2
fi i f i i
i T
i 称为节点i的节点位移。
• 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：
横向力 Z i 和弯矩 M i ，称为广义力。
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
结构上一个节点的载荷用列阵表示为：
Zi T Qi Zi M i M i
§2.3
简单梁单元
一、离散化，节点位移与节点载荷
• 对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段 为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的 物理模型是“焊接”。 •
i 。 梁上任一节点i处有2个位移分量： 挠度 f i 及转角
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
一个节点位移用列阵表示为：
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
• 2、单元特性的建立 与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一 个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系， 这个关系就是单元的特性（刚度特性）。
下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。
在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之 间有线性关系： qi a11 a12 a13 a14 f i m i a 21 a 22 a 23 a 24 i q f a a a a 31 32 33 34 j j m a a a a 42 43 44 j j 41 简记为：
第二章
pe k e e
杆单元与梁单元
§2.3
常数。
简单梁单元
上式就是梁单元的刚度方程。 k e 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是
方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 u1 u a24 2 a34 u3 a44 u 4
第二章 杆单元与梁单元
至此已求出刚度矩阵的第1列元素。
§2.3
再设：
0 1 0 0
简单梁单元
梁单元变形
e
s1 a12 s a 2 22 s3 a32 s4 a42
由刚度方程可得：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
Qi 称为节点i的节点载荷。
• 梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
二、单元特性分析——建立简单梁单元的单元刚度方程
• 1、单元的描述
分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元 e。单
元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。
单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位
第 2 章 杆单元与梁单元
2.3 2.4 2.5
简单梁单元 （弯曲变形）
平面内一般 梁单元
三维空间梁 单元简介
梁单元的单元特性
梁单元的单元刚度矩阵 离散结构的整体分析
单元与节点 局部坐标系下的平面梁单元 单元刚度矩阵的坐标变换 平面刚架的整体分析
三维空间梁单元刚度矩阵
结构总刚度矩阵及其性质
第二章
杆单元与梁单元
第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有
节点力分量。
第二章 杆单元与梁单元
§2.3 简单梁单元
按上述物理意义求刚度矩阵元素：
e
1 0 梁单元位移 0 0
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s4 a41
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
单元节点力：
简单梁单元
p
p
e
qi mi q j m j
T
e
称为单元e的单元节点力列阵（向量）。
注意：
1) 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向 一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！
2) 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。
（这里1，2，3，4是单元自 由度序号）
为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：
u1 1 u 0 2 u 3 0 0 u 4
刚度方程
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a 41
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
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单元节点位移：
e
e
fi
i
fj
j T
称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。
结构中一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分 对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节 点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对 应）。
按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下： 挠度：
s1l 3 s2l 2 u1 1 3EJ 2 EJ
再由梁单元的静力平衡条件得：
12 EJ a31 3 l 6 EJ s4 s1l s2 2 a41 l s3 s1
s1l 2 sl u2 0 2 转角： 2 EJ EJ 12 EJ s1 a11 3 l 联立解出： 6 EJ s2 a21 l2
fi i f i i
i T
i 称为节点i的节点位移。
• 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：
横向力 Z i 和弯矩 M i ，称为广义力。
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
结构上一个节点的载荷用列阵表示为：
Zi T Qi Zi M i M i
§2.3
简单梁单元
一、离散化，节点位移与节点载荷
• 对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段 为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的 物理模型是“焊接”。 •
i 。 梁上任一节点i处有2个位移分量： 挠度 f i 及转角
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
一个节点位移用列阵表示为：
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
• 2、单元特性的建立 与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一 个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系， 这个关系就是单元的特性（刚度特性）。
下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。
在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之 间有线性关系： qi a11 a12 a13 a14 f i m i a 21 a 22 a 23 a 24 i q f a a a a 31 32 33 34 j j m a a a a 42 43 44 j j 41 简记为：
第二章
pe k e e
杆单元与梁单元
§2.3
常数。
简单梁单元
上式就是梁单元的刚度方程。 k e 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是
方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 u1 u a24 2 a34 u3 a44 u 4
第二章 杆单元与梁单元
至此已求出刚度矩阵的第1列元素。
§2.3
再设：
0 1 0 0
简单梁单元
梁单元变形
e
s1 a12 s a 2 22 s3 a32 s4 a42
由刚度方程可得：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
Qi 称为节点i的节点载荷。
• 梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
二、单元特性分析——建立简单梁单元的单元刚度方程
• 1、单元的描述
分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元 e。单
元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。
单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位
第 2 章 杆单元与梁单元
2.3 2.4 2.5
简单梁单元 （弯曲变形）
平面内一般 梁单元
三维空间梁 单元简介
梁单元的单元特性
梁单元的单元刚度矩阵 离散结构的整体分析
单元与节点 局部坐标系下的平面梁单元 单元刚度矩阵的坐标变换 平面刚架的整体分析
三维空间梁单元刚度矩阵
结构总刚度矩阵及其性质
第二章
杆单元与梁单元
第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有
节点力分量。
第二章 杆单元与梁单元
§2.3 简单梁单元
按上述物理意义求刚度矩阵元素：
e
1 0 梁单元位移 0 0
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s4 a41
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
单元节点力：
简单梁单元
p
p
e
qi mi q j m j
T
e
称为单元e的单元节点力列阵（向量）。
注意：
1) 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向 一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！
2) 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。
（这里1，2，3，4是单元自 由度序号）
为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：
u1 1 u 0 2 u 3 0 0 u 4
刚度方程
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a 41