倾斜角与斜率概念的探究知识讲解
高二数学直线的倾斜角与斜率难题讲解
高二数学直线的倾斜角与斜率难题讲解好嘞，今天咱们聊聊高二数学中一个既简单又有点儿“拗口”的话题——直线的倾斜角和斜率。
听起来是不是有点儿复杂？但咱们可以轻松搞定这个问题，顺便加点儿乐趣，绝对让你听得津津有味。
先来个简单的概念吧，斜率就是直线倾斜的程度。
想象一下，你在爬山，坡度越陡，爬起来就越费劲。
斜率其实就是表示这个坡度的一个数值，斜率越大，直线越陡，咱们爬起来就越累。
而倾斜角，就是直线和水平线之间的夹角，这个角度越大，说明直线越“干脆利落”，走起来就像在飞一样。
这俩东西是密切相关的，斜率和倾斜角之间有个小关系，挺简单的，咱们后面再聊。
有没有想过，生活中处处有直线？比如说，站在高楼大厦的阳台上，俯瞰街道，那些道路就像一条条直线，直直的，真的很让人开心。
再比如，骑自行车的时候，路面越平坦，你骑得就越快，那条直线的斜率简直就是你的速度。
没错，数学其实和生活息息相关，真的是一门活的学科！来，咱们先谈谈斜率。
它的计算方法很简单，就是直线上的两个点之间的纵坐标差和横坐标差的比值。
就像你在运动会上，跑了100米，用时10秒，咱们就可以算出你的“速度”。
假如你从点A到点B，A的坐标是（x1, y1），B的坐标是（x2, y2），那么斜率就是 (y2 y1) / (x2 x1)。
听起来是不是挺简单？就像在厨房里做菜，先准备好食材，然后一步一步来，最后就能做出美味的佳肴。
再说说倾斜角。
倾斜角用符号θ表示，跟三角函数有关系。
大家还记得三角函数吗？咱们的好朋友正弦、余弦和正切，正切就是斜率的另一种表现形式。
我们可以用tan(θ) = 斜率这个公式来联系它们。
也就是说，如果你知道了斜率，想求倾斜角，没问题！只需用反正切函数，算出来的角度就能告诉你这条线到底有多“拼”。
这样一来，不仅能找到直线的斜率，还能找到直线的倾斜角，简直就像一举两得！说到这里，大家肯定会问，这些数学公式有什么用呢？在咱们的日常生活中，倾斜角和斜率真的是无处不在。
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
一、倾斜角：
重点：取值范围：0≤a＜180°
二、斜率k：
1、当a≠90°时，斜率k=tana；
2、当a=90°时，斜率k不存在；（联系正切函数的定义域去理解）
3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：
理解：
①两点间斜率要求x1≠x2，因为当x1=x2时，直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率k不存在；
②当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴，倾斜角为0°，斜率k=0
三、各表达式之间的区别与联系：
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：
1、k对直线位置的影响：
①当k＞0时，直线向右上方倾斜；
②当k＜0时，直线向右下方倾斜；
③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；
④当k不存在时，此时倾斜角为90°，直线与y轴平行。
2、b对直线位置的影响：
①当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
②当b＜0时，直线与y轴负半轴相交；
③当b=0时，直线过原点。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握计算方法，并能应用于解决实际问题。
通过本教案的学习，学生应能理解直线的倾斜角与斜率之间的关系，并能运用斜率计算直线的倾斜角，反之亦然。
教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念。
2. 掌握计算直线的斜率的方法。
3. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系。
4. 能运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题。
教学内容：一、直线的倾斜角1. 直线的倾斜角的定义。
2. 直线的倾斜角的计算方法。
二、直线的斜率1. 直线的斜率的定义。
2. 直线的斜率的计算方法。
三、直线的斜率与倾斜角之间的关系1. 斜率与倾斜角的定义及关系。
2. 斜率与倾斜角的计算方法。
四、运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题1. 运用斜率和倾斜角计算直线的长度。
2. 运用斜率和倾斜角计算直线的交点。
五、巩固练习1. 计算给定直线的斜率和倾斜角。
2. 解决实际问题，运用直线的斜率和倾斜角。
教学方法：1. 采用直观演示法，通过图形和实例引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题解决来运用直线的斜率和倾斜角。
教学评估：1. 课堂练习：学生在课堂上完成给定的练习题，检验对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的掌握。
3. 考试：设置有关直线的倾斜角和斜率的考试题目，全面评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：提供直观的图形和实例，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，供学生课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：提供实际问题，供学生解决，运用直线的斜率和倾斜角。
教学步骤：一、直线的倾斜角1. 引入直线的倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角的意义。
2. 讲解直线的倾斜角的计算方法，引导学生掌握计算直线的倾斜角的方法。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。
一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。
它通常用角度或弧度来度量。
倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。
倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。
要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。
假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。
二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。
斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。
通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。
对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。
斜率也可以是整数、小数或无穷大。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。
三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。
斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。
通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。
通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角：定义、求法。
2. 斜率与倾斜角的关系：正切函数的应用。
3. 直线的斜率：定义、求法。
4. 实际问题中的应用：求直线的倾斜角和斜率。
三、教学重点与难点：1. 重点：直线的倾斜角的概念、斜率与倾斜角的关系。
2. 难点：直线的斜率的求法、实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线的倾斜角和斜率的定义及求法。
2. 利用例题，演示直线的倾斜角和斜率的计算过程。
3. 引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾直线的倾斜角和斜率的概念，引导学生思考两者之间的关系。
2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解求法，举例说明。
3. 讲解斜率与倾斜角的关系：引入正切函数，讲解斜率与倾斜角的关系，举例说明。
4. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率的定义，讲解求法，举例说明。
6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度，观察学生能否正确求解直线的倾斜角和斜率。
2. 课堂练习：评估学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的能力，观察学生是否能够正确计算和应用。
3. 课后作业：评估学生对直线的倾斜角和斜率知识的掌握程度，检查学生是否能够独立完成相关练习。
七、教学反思：1. 反思教学内容：根据学生的学习情况，调整直线的倾斜角和斜率的教学内容，确保学生能够理解和掌握。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。
八、教学拓展：1. 直线的倾斜角和斜率在实际应用中的例子：如工程测量、物理学中的运动分析等。
高二数学倾斜角与斜率知识点
高二数学倾斜角与斜率知识点数学是一门抽象而精确的科学，其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。
在高二数学学习中，倾斜角与斜率是重要的概念之一。
本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。
一、倾斜角的定义与性质倾斜角，也称为斜率角，是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。
在直角坐标系中，可以通过斜率来计算倾斜角。
具体来说，若直线的斜率为k，则其倾斜角θ满足tanθ=k。
倾斜角具有以下性质：1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度；水平线的倾斜角为0度或0弧度。
2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。
3. 平行的直线具有相同的倾斜角。
4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。
二、斜率的计算与性质斜率描述了直线上各点间的变化率，可以理解为直线的倾斜程度。
在直角坐标系中，设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
斜率具有以下性质：1. 垂直线的斜率不存在；水平线的斜率为0。
2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。
3. 平行的直线具有相同的斜率。
4. 若直线的斜率为k，则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。
三、倾斜角与斜率的应用倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何图形和物理学中。
1. 图形的倾斜角：通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率，从而求得直线相对于水平线的倾斜角。
这对于理解图形的形状和方向非常重要。
2. 道路的坡度：道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。
通过计算两个位置的高度差和水平距离，可以求得坡度，从而了解道路的陡峭程度，对工程设计和施工有着重要意义。
3. 物体的运动：对于物体在直角坐标系中的运动，可以通过斜率来描述速度的变化。
倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。
总结：倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念，其应用广泛。
倾斜角可以通过斜率来计算，用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率则是描述直线各点间变化率的指标。
直线的倾斜角与斜率 知识点总结及典例
直线的倾斜角与斜率基础知识梳理1.倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 范围：)180,0[0.2.斜率（1）斜率计算：倾斜角为α，)90(tan 0≠=ααk ；经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠的直线的斜率为1212x x y y k --=. α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°k ＝0 k ＞0 斜率不存在 k ＜0 一、选择题1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°D ．两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等2．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α3．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°≤α＜180°4．已知直线l 的倾斜角为150°，则直线l 的斜率为( )A ．33B ． 3C ．－33D ．－3 5．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．已知直线的斜率为－3，则它的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．150°7．若直线l 经过点M (2,3)，N (4,3)，则直线l 的倾斜角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°8．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b )三点，则a ，b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝39．经过两点A (2,1)，B (1，m )的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－110、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在11．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A．-B．0 C D．二、填空题12．如果直线l1与l2关于x轴对称，且与x轴相交，它们的倾斜角分别为α1，α2，则α1与α2的关系是________．13．过点(0,1)与(2,3)的直线的斜率为_________，倾斜角为__________．14．若过点(a，－2)和(4，a)的直线斜率不存在，则a＝__________．15．已知点A(－m,5)，B(1,3m)，且直线AB的倾斜角为135°，则实数m＝__________．16．已知点A(1,2)，点P在x轴上，且直线P A的倾斜角为135°，则点P的坐标为__________．17．已知点A(3,4)，点B在坐标轴上，且直线BA的斜率为2，则点B的坐标为__________．18.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则11a b+的值等于________．三、解答题19.已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角.20.(1)已知：A(2,2)，B(4,0)，C(0,4)，求证：A，B，C三点共线；(2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，m)在同一条直线上，求m的值．21.(1)经过两点A(－m,6)，B(m＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值；(2)一束光线从点A(－2,3)射入，经过x轴上点P反射后，通过点B(5,7)，求点P的坐标．。
最全面的直线知识点总结
直线的知识点总结一、 直线的倾斜角与斜率：1. 直线的倾斜角：1) 定义：当直线与x 轴相交时，沿x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转所得的最小正角；规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 2) 范围：直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<； 2. 直线的斜率：1) 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
2) 公式： tan k α=a.当[)οο90,0∈α时，0≥k ，当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当()οο180,90∈α时，0<k ，随着α的增大，斜率k 也增大； 当ο90=α 时，k 不存在,即直线与y 轴平行或者重合.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.b. 如果知道直线上两点()11,A x y ，()22,B x y2112122112()AB y y y y k x x x x x x --==≠-- 注意：(1)特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. (2)k 与A 、B 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
c ．设直线():00l Ax By C B ++=≠ 则A k B=-注：三点A ，B ，C 共线，则AB BC k k =二、直线的方程：①点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.注意：当直线的倾斜角为0°时，k=0，直线的方程是y =y 0。
当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 0，所以它的方程是x =x 0。
专题04 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题04直线的倾斜角与斜率、直线方程问题【知识梳理】1、倾斜角和斜率（1）直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定0a =°．（2）倾斜角α的取值范围： 0180a 埃＜．当直线l 与x 轴垂直时， 90a =°．（3）直线的斜率：一条直线的倾斜角9(0)a a 拱的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，也就是k tan a=①当直线l 与x 轴平行或重合时，0a =°，00k tan =°=；②当直线l 与x 轴垂直时， 90a =°，k 不存在．由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在．（4）直线的斜率公式：给定两点()()11122212,,,,P x y P x y x x ¹，用两点的坐标来表示直线12P P 的斜率：21122112=y y y y k x x x x --=--2、两条直线的平行与垂直（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1212//l l k k Û=注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果12k k =，那么一定有12//l l （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即1212=1l l k k Û×^-3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11y y k x x -=-11(,)x y 是直线上一定点，k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y kx b =+k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点112121y y x x y y x x --=--11(,)x y ，22(,)x y 是直线上两定不垂直于x 轴和y考点2：直线与线段的相交问题考点3：两直线平行问题考点4：两直线垂直问题考点5：五种直线方程考点6：直线与坐标轴围成三角形问题考点7：直线过定点问题【典型例题】考点1：倾斜角与斜率1．（2021·福建宁德·高二期中）已知点()20A ，，(3B ，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】由题得直线AB 的斜率k =设直线的倾斜角为tan [0,180)ααα∴=∈，，所以=60α.故选：B2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线1234,,,l l l l 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则（）A ．4321k k k k <<<B ．3421k k k k <<<C ．4312k k k k <<<D ．3412k k k k <<<【解析】由斜率的定义知，21430k k k k >>>>.故选：D.3．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为k，且1k -≤≤α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为1k -≤≤，即1tan α-≤≤结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．4．（2021·湖北宜昌·高二期中）若倾斜角为3π的直线过(A ，()2,B a 两点，则实数=a （）A 32BC．D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为3π，所以直线的斜率为tan3π=12a=-a =；故选：C5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m =（）A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】A【解析】由于()2,3A -、()3,2B -、1(,)2C m 三点共线，则ABAC k k =，即32312322m +-=--+，解得12m =.6．（多选题）（2021·湖南·怀化五中高二期中）在下列四个命题中，错误的有（）A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα【答案】ABD 【解析】对于A ，倾斜角为90的直线斜率不存在所以A 错误对于B直线的倾斜角的取值范围为[)0,p 所以B 错误对于C因为tan 1α=且[)0,απ∈，所以4πα=所以C 正确对于D倾斜角为90的直线斜率不存在所以D 错误故选：ABD7．（多选题）（2021·江苏南通·高二期中）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】据题意可知110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-．故选：BCD ．8．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知直线l 0y -=，则直线l 的倾斜角为_________．【答案】60°0y -=60°．故答案为：60°．9．（2022·上海市大同中学高二期中）已知直线l 经过原点，且与直线y ＝x ＋1的夹角为45°，则直线l 的方程为______．【答案】0x =或0y =【解析】直线1y x =+的斜率为1，倾斜角为45︒，直线l 与直线1y x =+的夹角为45︒，所以直线l 的倾斜角为0︒或90︒，所以直线l 的方程为0x =或0y =.故答案为：0x =或0y =10．（2022·上海市控江中学高二期中）设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.【答案】1【解析】因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：111．（2021·新疆·八一中学高二期中）已知点A （2，-1），B （3，m ），若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为__________．【答案】50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】设直线AB 的倾斜角为α，∵点A （2，-1），B （3，m ），∴直线AB 的斜率1132m k m +==+-，又∵13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴13m ⎡+∈-⎢⎣，即k 的取值范围为⎡⎢⎣，即t an α⎡∈⎢⎣，又∵α∈[0，π），∴50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故答案为：50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．考点2：直线与线段的相交问题12．（2021·福建三明·高二期中）已知A (3，－1)，B (1，2)，P (x ，y )是线段AB 上的动点，则yx的取值范围是_______.【答案】[13-，2]【解析】因为A (3，－1)，B (1，2)，P (x ，y )是线段AB 上的动点，所以yx表示直线OP 的斜率.如下图.因为直线OA 的斜率为101303--=--，直线OB 的斜率为20210-=-.所以y x 的取值范围是1[,2]3-.故答案为：1[,2]3-13．（2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C14．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎭，故选：D15．（2021·山东济宁·高二期中）设点()4,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或4k ≤-B ．1k ³或43k ≤-C ．41k -≤≤D ．413k -≤≤-【答案】B【解析】如图所示：因为1(3)41(2),11431(2)PA PB k k ----==-==---，所以当直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交时，l 的斜率k 的取值范围是1k ³或43k ≤-，故选：B16．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知两点(2,3)M -，(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k ≤-B ．344k -≤≤C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤【答案】A【解析】如图，要使直线l 与线段MN 相交，则应满足PM k k ≤或PN k k ≥，因为13412PM k +==--，123134PN k +==+，所以4k ≤-或34k ≥.故选：A.17．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）经过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．(][),11,-∞-⋃+∞C ．[)1,1-D ．()[),11,∞∞--⋃+【答案】A【解析】根据题意画图如下：2(1)1(1)1,11020PA PB k k -----==-==--,在射线PA 逆时针旋转至射线PB 时斜率逐渐变大,直线l 与线段AB 总有公共点，所以11k -≤≤.故选:A.18．（2021·北京·景山学校高二期中）已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A ．3243a -≤≤B ．34a ≤-或23a ≥C ．4332a -≤≤D ．43a ≤-或32a ≥【答案】D【解析】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.19．（2021·陕西安康·高二期中（理））已知点2)A ，(4,3)B -，直线l 过点(0,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦【答案】A【解析】如图，斜率33PA k ==，1(3)104PB k --==--，结合图象可知当直线l 与线段AB 相交时，其倾斜角的取值范围是π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭.故选：A20．（2021·广东·广州六中高二期中）已知点(1,1)A -，(3,1)B ，直线l 过点(1,3)C ，且,A B 两点在直线l 的同侧，则直线l 斜率的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(1,0)(1,)-È+¥【答案】A【解析】由题意，点(1,1)A -，(3,1)B ，(1,3)C ，根据斜率公式，可得1AC k =，1EC k =-，如图所示，要使得直线l 过点(1,3)C ，且,A B 两点在直线l 的同侧，则直线l 斜率的取值范围是(1,1)-.故选：A.考点3：两直线平行问题21．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，则 m 的值为__________.【答案】23-【解析】因为直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，所以当0m =时，两条直线不平行，不符合题意；当0m ≠时，23m -=，解得23m =-.故答案为：23-.22．（2020·四川巴中·高二期中（文））若直线1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行，则实数a 的值为______.【答案】3【解析】因为1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行，所以()13201330a a a ⎧⨯--=⎨-⨯-≠⎩，解得3a =，故答案为：3.23．（2022·上海市宝山中学高二期中）“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直线1l 与2l 平行，但是1l 和2l 都没有斜率，即当1l 和2l 都垂直于x 轴时，1l 与2l 仍然平行，但是，此时不满足直线1l 与2l 的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线1l 与2l 的斜率相等，则直线1l 与2l 平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D24．（2021·浙江台州·高二期中）直线()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，则“2a =”是“12l l //”的（）条件A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】①充分性：当2a =时，1:10l x y ++=，2:4410l x y +-=，所以1l 与2l 斜率相等，且截距不相等，故12l l //，所以充分；②必要性：()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，当12l l //时，则()()1240a a -+-=，解得：2a =或3a =-，当3a =-时，两直线重合，所以3a =-舍去，当2a =时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.所以“2a =”是“12l l //”的充要条件故选：C.25．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二期中）下列说法正确的是（）A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两条直线的斜率之积为1-D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【答案】B【解析】因为两条直线倾斜角为90︒时，两条直线平行，但是没有斜率，故A 不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B 正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为1-；当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时两直线也垂直，故C 不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D 不正确；故选：B ．26．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知A (－1，2)，B (1，3)，C (0，－2)，点D 使AD ⊥BC ，AB ∥CD ，则点D 的坐标为（）A ．94(,)77-B ．5413(,)77C ．3813(,)33D ．385(,)77【答案】D【解析】设D (x ，y )，∵AD ⊥BC ，∴21y x -+·3(2)10---＝－1，∴x ＋5y －9＝0，∵AB ∥CD ，∴2y x +＝321(1)---，∴x －2y －4＝0，由得590240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，38757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D.考点4：两直线垂直问题27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是()A ．210ax y +-=与220x ay ++=B ．6430x y --=与10150x y c ++=C ．2370x y +-=与4650x y -+=D ．340x y b -+=与340x y +=【答案】B【解析】A ：a ＝0时，两直线分别为：1,12y x ==-，此时它们垂直；当a ≠0时，它们斜率之积为212a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；B ：两直线斜率之积为：6101415⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故两直线垂直；C ：两直线斜率之积为：2441369-⨯=-≠-，故两直线不垂直；D ：两直线斜率之积为：33914416⎛⎫⨯-=-≠- ⎪⎝⎭，故两条直线不垂直；故选：B.28．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））已知直线1l ：10mx y -+=，2l ：()210mx m y ++-=，若12l l ⊥，则m =_________．【答案】2或1-【解析】由题意2(2)0m m -+=，解得1m =-或2m =．故答案为：2或1-．29．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______.【答案】2-【解析】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，所以()()1210a a ⨯+-⨯+=，解得2a =-，故答案为：2-.30．（2022·全国·高二期中）已知直线1:20l ax y +=，直线()2:10l a x y --=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．【答案】2a =或1a =-【解析】因为12l l ⊥，所以(1)2(1)0a a -+⨯-=，解得2a =或1a =-，故答案为：2a =或1a =-31．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）已知直线150l y --=，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角大小为_____________．【答案】56π【解析】直线方程150l y --=1l k ∴=21l l ⊥121l l k k ∴=-233l k ∴=-∴直线2l 的倾斜角大小为56π故答案为：56π32．（多选题）（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，2l 经过点M ，(2,0)N ，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定【答案】BC【解析】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以直线1l 的斜率130tan k =︒又2l 经过点M ，(2,0)N ，所以直线2l 的斜率212k ==-，故(1213k k ==-，所以1l ⊥2l 故选：BC考点5：五种直线方程33．（2018·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线l 过点()1,2-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的一般式方程为___________.【答案】10x y +-=，20x y +=【解析】显然直线l 的斜率存在且不为0，设l ：()21y k x -=+令0x =，则2y k =+；令0y =，则2kx k+=-依题意，22kk k+-=+解之得1k =-或2k =-当1k =-时，l ：10x y +-=当2k =-时，l ：20x y +=故答案为：10x y +-=，20x y +=34．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）过点(1,2)P 且与直线20x y --=平行的直线方程为___________________.【答案】10x y -+=【解析】因为过点(1,2)P 的直线与直线20x y --=平行，所以设直线方程为：0x y m -+=，因为直线过点(1,2)P ，120m ∴-+=所以1m =，故直线方程为：10x y -+=，故答案为：10x y -+=35．（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）经过点(3,2)A -，且在x 轴上的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________.【答案】230x y +=或210x y +-=.【解析】若直线在x 轴上的截距为0，设直线方程为y kx =，因为直线经过点(3,2)A -，所以23k =-，即23k =-，所以直线方程为23y x =-，即230x y +=；若直线在x 轴上的截距不为0，设直线方程为12x yb b+=，因为直线经过点(3,2)A -，所以3212b b -+=，解得12b =，所以直线方程为210x y +-=.所以所求直线方程方程为230x y +=或210x y +-=.故答案为：230x y +=或210x y +-=.36．（2021·湖南·怀化五中高二期中）求符合下列条件的直线l 的方程：(1)过点A (﹣1，﹣3)，且斜率为14-；(2)A (1，3)，B (2，1))求直线AB 的方程；(3)经过点P (3，2)且在两坐标轴上的截距相等.【解析】(1)所求直线过点()1,3A --，且斜率为14-，()1314y x ∴+=-+，即4130x y ++=.(2)所求直线过()()1,32,1A B ，，31212AB k -∴==--，()321y x ∴-=--，即250x y +-=.(3)当直线过原点时，设直线方程为y kx =，直线过P 点()3,2，23k ∴=，直线方程为23y x =，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，将点()3,2P 代入上式得，321a a+=，解得5a =，故直线的方程为50x y +-=，综上，直线方程为230x y -=或50x y +-=.37．（2021·福建·福州三中高二期中）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0(1)求直线AC 的方程，(2)求直线BC 的方程【解析】(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，知2AC k =-，又()5,1A ，AC ∴边所在直线方程为()125,y x -=--即2110x y +-=(2)设点B 的坐标为()00,x y ，则线段AB 的中点为0051(,22x y M ++在直线250x y --=上，.即001(5)50,2y x ++--=整理得00210,x y --=又点B 在直线BH 上，00250,x y ∴--=两者联立可解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,3B --3(3)64(1)5BC k --==--∴∴直线BC 的方程63(4),5y x -=-即6590x y --=38．（2021·河北·唐山市第十一中学高二期中）求满足下列条件的直线方程：(1)过点()4,2P -，倾斜角为45°；(2)过两点()()1,3,2,5A B ．【解析】(1)所求直线方程为()2tan 454y x +=︒⨯-，即6y x =-.(2)所求直线方程为315321y x --=--，即21y x =+.39．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高二期中）经过点()1,2，且倾斜角为45°的直线方程是（）A ．3y x =-B ．21y x -=-C ．(3)y x =--D ．(3)y x =-+【答案】B【解析】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率tan 451k =︒=，所以直线方程为21y x -=-．故A ，C ，D 错误.故选：B.40．（2022·全国·高二期中）已知直线l 过()2,1A -，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l 的方程是（）．A ．10x y --=或30x y +-=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y ++=或30x y -+=D ．10x y ++=或30x y +-=【答案】C【解析】由题意可知，所求直线的倾斜角为45︒或135︒，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为12y x -=+或1(2)y x -=-+，即30x y -+=或10x y ++=.故选：C.41．（2022·江苏南通·高二期中）已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y +-=C ．280x y --=D ．280x y -+=【答案】A【解析】直线250x y --=的斜率为2，直线l 与之垂直，则12l k =-，又l 过点(2,3)P -，所以直线方程为13(2)2y x +=--，即240x y ++=．故选：A ．42．（2021·江苏苏州·高二期中）已知三角形的顶点()4,1A ，()6,3B -，()3,0C .(1)求AC 边上的高BH 所在的直线方程；(2)求AB 边上的中线CD 所在的直线方程.【解析】(1)由于()4,1A ，()3,0C ，所以01134AC k -==-，因为BH 为AC 边上的高，有1AC BH k k ⋅=-，所以1BH k =-，又BH 过点()6,3B -，所以有()316y x ⎡⎤-=-⨯--⎣⎦，所以BH 所在直线的方程为30x y ++=.(2)由于()4,1A ，()6,3B -，所以AB 的中点()4613,22⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，即()1,2-，又()3,0C ，所以201132CD k -==---，又因为过点()3,0C ，所以有()1032y x -=-⨯-，所以CD 所在直线的方程为230x y +-=.考点6：直线与坐标轴围成三角形问题43．（2020·上海·格致中学高二期中）过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.【答案】360x y +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-.在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=.所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -.由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <.OAB 的面积为()1311111369626222k S k k k k⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎝⎭⎢⎣.当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=.故答案为：360x y +-=.44．（2021·江苏扬州·高二期中）已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为___________.【答案】660x y -+=或660x y --=【解析】设直线l 的方程为1x y a b +=，则132ab =，且16b a -=，解得61a b =⎧⎨=-⎩或者61a b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 的方程为161x y+=-或161x y +=-，即660x y -+=或660x y --=.故答案为：660x y -+=或660x y --=.45．（2021·湖北荆州·高二期中）（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解析】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为xa ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1，解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.（2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +，∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2，当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.46．（2021·福建福州·高二期中）已知直线l 过点()3,2M ．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值．【解析】(1)当直线经过原点时，直线的斜率为23k =，所以直线的方程为23y x=，即230x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点()3,2M 可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=．综上可得，所求直线方程为：230x y -=或50x y +-=．(2)依题意，设点(),0A a ，()0,B b （0a >，0b >），直线AB 的方程为1x ya b+=，又点()3,2M 在直线AB 上，于是有321a b+=，利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥，当且仅当6a =，4b =时等号成立，1122AOB S ab ∴=≥V ，即AOB 的面积的最小值为12．47．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -.（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为A B 、，求AOB 面积最小值.【解析】（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+，所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +，所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k =所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=.（2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立，所以AOB 面积最小值448．（2020·安徽·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l 经过点()1,2A ，（1）直线l 与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.（2）直线l 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【解析】设直线方程为1x y a b +=，由直线l 经过点()1,2A 可得121a b+=，（1）由题可得121142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，24a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩24a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩则直线方程为1,124x y +=；（2）()10,02S ab a b =>>，121+=≥a b 8ab ≥，4S ≥当且仅当2a =，4b =时面积取最小值，则直线方程为124x y +=.考点7：直线过定点问题49．（2021·广东·揭阳华侨高中高二期中）直线10mx y m +--=恒过定点__________．【答案】(1,1)【解析】将直线方程10mx y m +--=等价于()()110m x y -+-=，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线10mx y m +--=恒过定点(1,1).故答案为：(1,1).50．（2021·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））直线(1)y k x =-过定点_________________.【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0.51．（2021·福建泉州·高二期中）已知点()10P -，在直线l ()20ax y a a R +-+=∈：上的射影为M ，点N （0，3），则线段MN 长度的最小值为______________【答案】4【解析】直线l ()20ax y a a R +-+=∈：，即(1)20x a y -++=，令10x -=，且20y +=，得出x 1,y 2==-，所以直线l 恒过定点(1,2)Q -，由于点()10P -，在直线l 上的射影为M ，即90PMQ ∠=，所以点M 在以PQ 为直径的圆上，该圆的圆心为PQ 的中点()0,1C -，且半径N 到圆心C 的距离为4NC ==，所以线段MN 的最小值为4NC r -=故答案为：452．（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【解析】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +=，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.53．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=交于点P ，则·PM PN 的最大值为()A ．1B ．3C ．4D ．2【答案】C 【解析】由题意可知，动直线20ax y +-=经过定点()0,2M ，动直线420x ay a -+-=即()240x y a -+-+=，经过定点()2,4N ，∵过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=始终垂直，P 又是两条直线的交点，∴PM PN ⊥，∴2228PM PN MN +==．故2242PM PN PM PN +⋅≤=(当且仅当2PM PN ==时取“=”)．故选：C ．。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
一、教案内容1.1 直线的倾斜角【教学目标】理解直线的倾斜角的概念,掌握求直线倾斜角的方法,能运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学重点】直线的倾斜角的概念,求直线倾斜角的方法。
【教学难点】如何运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习直线的斜率概念,引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
(2)讲解:介绍直线的倾斜角的概念,讲解求直线倾斜角的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线倾斜角的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的倾斜角解决实际问题,如求直线的倾斜角和斜率,判断直线的方向等。
1.2 直线的斜率【教学目标】理解直线的斜率的概念,掌握求直线斜率的方法,能运用直线的斜率解决相关问题。
【教学重点】直线的斜率的概念,求直线斜率的方法。
【教学难点】如何运用直线的斜率解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习倾斜角的概念,引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
(2)讲解:介绍直线的斜率的概念,讲解求直线斜率的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线斜率的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的斜率解决实际问题,如判断两直线是否平行或重合,求直线的倾斜角等。
二、教案说明本教案分为两个课时,第一课时讲解直线的倾斜角,第二课时讲解直线的斜率。
在教学过程中,注重让学生通过实例来理解和掌握概念和方法,并在应用环节中引导学生将所学知识运用到实际问题中。
,教案中还提供了丰富的练习题,以便学生巩固所学知识。
六、直线的斜率计算【教学目标】掌握直线斜率的计算方法，能够运用直线的斜率解决实际问题。
【教学重点】直线斜率的计算方法。
【教学难点】如何运用直线斜率解决实际问题。
【教学准备】直角坐标系，多媒体设备。
【教学过程】（1）引入：复习上节课的内容，引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念：直线与x轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。
2. 直线的斜率与倾斜角的关系：直线的斜率k等于tan(倾斜角)。
3. 直线的斜率的计算：给定直线的倾斜角，可以计算出直线的斜率。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
2. 采用例题解析法，通过例题讲解如何计算直线的斜率。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾初中阶段学习的直线倾斜角的概念。
2. 讲解直线的倾斜角的概念，解释斜率与倾斜角的关系。
3. 讲解直线的斜率的计算方法，并通过例题进行讲解。
4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对直线倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用直线的倾斜角和斜率解决问题的能力。
说明：本教案分为五个部分，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤和教学评价。
在教学过程中，要注意引导学生理解直线的倾斜角的概念，掌握斜率与倾斜角的关系，并通过练习题让学生巩固所学知识。
教案中的教学内容可以根据实际情况进行调整。
六、教学拓展1. 讨论斜率的正负性：解释当倾斜角大于45度时，斜率为正；小于45度时，斜率为负。
2. 探究斜率与倾斜角的关系：引导学生通过绘制不同倾斜角的直线，观察斜率的变化。
七、实际应用1. 生活实例：举例说明直线的倾斜角和斜率在生活中的应用，如建筑物的屋顶斜率、道路的坡度等。
2. 数学应用：引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决数学问题，如计算直线与坐标轴的交点、直线的方程等。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，强调直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
倾斜角和斜率教案解析
倾斜角和斜率教案解析一、教学目标1. 让学生理解倾斜角的概念，能够运用直角三角形的知识求解直线的倾斜角。
2. 让学生掌握斜率的定义，能够计算直线、函数图像的斜率。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 倾斜角的概念：倾斜角是指直线与x轴正方向所成的角。
2. 斜率的定义：斜率是直线上任意两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
3. 直线的斜率计算：通过直线上两点的坐标求解斜率。
4. 函数图像的斜率计算：通过函数图像上两点的坐标求解斜率。
5. 实际问题中的应用：利用斜率解决实际问题，如计算物体的下滑速度等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：倾斜角的概念，斜率的定义及计算方法。
2. 教学难点：斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，掌握倾斜角和斜率的概念及应用。
2. 利用数形结合法，让学生通过观察函数图像，加深对斜率的理解。
3. 采用案例分析法，让学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何计算物体的下滑速度，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角。
3. 知识讲解：讲解斜率的定义，让学生掌握斜率的计算方法。
4. 案例分析：利用实际问题，让学生运用斜率知识解决问题。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调倾斜角和斜率的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动1. 活动设计：通过小组讨论，让学生探讨斜率与倾斜角之间的关系。
2. 活动目的：培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。
3. 活动步骤：a. 教师提出讨论问题：斜率与倾斜角之间有什么关系？b. 学生分组讨论，并结合数学软件或画图工具进行验证。
c. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
七、课堂拓展1. 拓展内容：探讨斜率在实际生活中的应用。
第05讲 直线的倾斜角与斜率(解析版)高二数学讲义(人教A版2019
第5讲直线的倾斜角与斜率考点分析考点一：直线的倾斜角和斜率①直线的倾斜角若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用αβγ ，，，表示注意：1.规定：当直线与x 轴平行（或重合）时，倾斜角为02.倾斜角的取值范围[0)απ∈，②直线的斜率斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x 轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
当直线L 的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b （斜截式），k 即该函数图像(直线)的斜率。
设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α=注意：1.当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度4.k 越大，直线越陡峭③过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点11()A x y ，，22()B x y ，()21x x ≠则2121y y k x x -=-当12x x =，则直线AB 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°④利用斜率证三点共线．两直线AB AC ，的斜率相等→A B C 、、三点共线；反过来，A B C 、、三点共线，则直线AB AC ，的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。
考点二：两条直线平行垂直的判定①两条直线平行的判定：1.当斜率存在时，21k k =且不重合2.当两条不重合的直线斜率都不存在时，也平行。
②两条直线垂直的判定：1.当斜率都存在时，121-=⋅k k 2.一条斜率不存在，另一条斜率为0题型目录题型一：直线的倾斜角题型二：直线的斜率题型三：两直线平行的判定题型四：两直线垂直的判定题型五：平行垂直在几何中的运用典型例题题型一：直线的倾斜角【例1】（浙江）直线30x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】因为30x ++=，所以3y x =-，则直线的斜率33k =-，设倾斜角为α，则3tan 3α=-，因为[)0,απ∈，所以56πα=故选：D【例2】（2022·宁夏·10+=的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π【答案】C【解析】因为013=+，所以33-=x ，则直线的斜率不存在，所以倾斜角为︒90，故选：C【例3】（河南驻马店市）已知()2A ，)B ，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】设直线AB 的斜率为k ,则33k ==-，所以倾斜角为150︒，故选：D【例4】（全国）直线()sin 10R x αα+=∈的倾斜角的取值范围是（）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．5 0,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】将直线方程()sin 10R x αα+=∈化为斜截式:33sin 33y x α=-⋅-,故直线的斜率33k α=-,[]sin 1,1α∈- ，33[,33k ∴∈-，所以直线的倾斜角范围为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：D.【例5】（2021·全国·高二期末）直线l 20y -+=与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α=（）A ．BCD 【答案】C【解析】直线l 的斜率为3，所以倾斜角为︒60，把直线l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则︒=︒-︒=154560α，所以()4264560cos cos +=︒-︒=α.故选：C.【题型专练】1．（广西南宁市）已知直线:360l x ++=，则直线l 的倾斜角是（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】因为360x ++=，所以y =-设直线l 的倾斜角为α，则tan α=，因为0180α︒<︒ ，所以120α=︒．故选：C 2．（河南焦作市）过点()3,A y ，()2,2B -的直线的倾斜角为45°，则y 等于（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】B【解析】由题意可知2tan 45132y +=︒=-，所以1y =-.故选：B ．3．（河南）已知直线l 经过原点()0,0O 和(A 两点，则直线l 的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【解析】由()0,0O 和(A 两点，代入斜率公式得k =l 的倾斜角是60°.故选：C.4．（陕西省黄陵县中学）若经过(),3A m ，(1,2)B 两点的直线的倾斜角为45︒，则m 等于（）A ．2B ．1C ．-1D ．2-【答案】A【解析】因为经过(),3A m ，(1,2)B 两点的直线的倾斜角为45︒，所以32tan 4151m -=-︒=，解得2m =.故选：A.5．（全国课时练习）过点()()2,1,,3A B m 的直线的倾斜角α的范围是π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是A ．02m <≤B ．04m <<C ．24m ≤<D ．02m <<或24m <<【答案】B【解析】当2m =时，直线的倾斜角为π2，满足题意；当2m ≠时，直线AB 的斜率为31πtan 124m ->=-，或31ta 3n 12π4m -<=--，所以402m m ->-或02mm <-，解得24m <<或02m <<.综上，实数m 的取值范围是04m <<.故选：B.6．（广东）直线sin 20x y α⋅++=的倾斜角的取值范围是（）.A ．[0)π，B ．3[0][)44πππ⋃，C ．[0]4π，D ．[0[)42πππ⋃，，【答案】B【解析】∵直线斜率sin k α=-，又1sin 1α-≤≤，∴11k -≤≤，设直线倾斜角为θ，∴1tan 1θ-≤≤，而[0)θπ∈，，故倾斜角的取值范围是3[0][)44πππ⋃，，，故选：B ．7．（白银市第十中学）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<，求直线l 的倾斜角α的取值范围（）A ．π3π0,,π34⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．π3π,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．π3π0,,π34⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】D。
知识讲解_直线的倾斜角与斜率_提高
直线的倾斜角与斜率【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0o ，所以，倾斜角的范围是0180α≤<o o．要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②x 轴正向；③小于180o 的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<o o .当0α=o 时，直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 要点二、直线的斜率1．定义：倾斜角不是90o 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=．要点诠释：(1)当直线l 与x 轴平行或重合时，α=0°，k=tan0°=0；(2)直线l 与x 轴垂直时，α=90°，k 不存在.由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在.2．直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系 由斜率的定义可知，当α在(090)o o ，范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90180)o o ，范围内时，直线的斜率小于零；当0α=︒时，直线的斜率为零；当90α=︒时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90o 除外)为一一对应关系，且在)090⎡⎣o o ，和(90180)o o ，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在)090⎡⎣o o ，或(90180)o o，范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．要点三、斜率公式已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 与x 轴不垂直，过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-. 要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°，直线与x 轴垂直；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y 1=y 2时，斜率k=0，直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P 、2P 点的坐标求k 的值；(2)已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量；(3)已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ；(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=，可得21tan tan αα=，即21k k =.因此，若21//l l ，则21k k =.反之，若21k k =，则21//l l .要点诠释：1.公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ，；②21l l 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21l l 与的倾斜角都是90︒，则21//l l .要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥，则121-=⋅k k .要点诠释：1.公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则直线l 1的倾斜角为（ ）A ．α+45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜180°时，为α+45°，当135°≤α＜180°时，为α－135°【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当α+45°∈[0°，180°），即当0°≤α＜135°时，1l 的倾斜角才是α+45°，而当135°≤α＜180°时，1l 的倾斜角为α－135°．故应选D ．【总结升华】（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 举一反三：【变式1】 下列说法中，正确的是（ ）A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系．对于A ，当α=90°时，直线的斜率不存在，∴A 错；对于B ，虽然直线的斜率为tan θ，但只有当θ∈[0°，180°）时，θ才是此直线的倾斜角，∴B 错；对于C ，当直线平行于x 轴时，α=0°，而sin0°=0，∴C 错．∴应选D ．例2．如图所示，直线1l 的倾斜角130α=︒，直线1l 与2l 垂直，求1l ，2l 的斜率． 【答案】13k = k 2=3- 【解析】由图形可知，2190αα=+︒，则k 1，k 2可求．直线1l 的斜率113tan tan 30k α==︒=． ∵直线2l 的倾斜角2α=90°+30°=120°，∴直线2l 的斜率k 2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=3-．【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线1l 与2l 的倾斜角之间的关系是解题的关键．（2）公式tan(180°－α)=－tan α是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．举一反三：【变式1】 直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是A ．5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】由直线cos 320x y α++=，所以直线的斜率为3k =-． 设直线的倾斜角为β，则tan 3β=-． 又因为33333-≤-≤，即33tan β-≤≤，所以50,,66ππβπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ． 类型二：过两点的直线斜率公式的应用例3．已知A （a ，2），B （5，1），C （―4，2a ）三点在同一条直线上，求a 的值．【答案】2或 72【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB =k BC ，∴2121545a a --=---，解得a=2或72a =． 故所求的a 的值为2或72． 【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A ，B ，C 三点共线⇔A ，B ，C 中任意两点的斜率相等（如k AB =k AC ）．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．举一反三：【变式1】已知A （―3，―5），B （1，3），C （5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB 的斜率35213AB k +==+，直线BC 的斜率113251BC k -==-．因为k AB =k BC ，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B ，所以A ，B ，C 三点在同一直线上．例4．已知直线l 经过点P （1，1），且与线段MN 相交，又M （2，―3），N （―3，―2），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】3(,4],4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】 如图所示，直线l 相当于绕着点P 在直线PM 与PN 间旋转，'l 是过P 点且与x 轴垂直的直线． 当l 从PN 位置转到'l 位置时，倾斜角增大到90°，而34PN k =， ∴34k ≥． 又当l 从'l 位置转到PM 位置时，倾斜角大于90°， 由正切函数的性质知，k ≤k PM =―4，∴k ≤―4．综上所述，3(,4],4k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ．【总结升华】直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．一般地，若已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0），过P 点作垂直于x 轴的直线'l ，过P 点的任一直线l 的斜率为k ，则当'l 与线段AB 不相交时，k 夹在k PA 与k PB 之间；当'l 与线段AB 相交时，k 在k PA 与k PB 的两边．举一反三：【变式1】知直线l 过点(1,2)P -，且与以(2,3),(3,0)A B --为端点的线段AB 相交，求直线l 斜率的取值范围.【答案】[)1,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U例5．已知实数x ，y 满足2x+y=8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值． 【答案】2 23 【解析】 如图所示，由已知，点P （x ，y ）在线段AB 上运动，其中A （2，4），B （3，2），而00y y x x -=-，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而23OB k =，k OA =2． 故所求的y x 的最大值为2，最小值为23． 【总结升华】 利用斜率公式2121y y k x x -=-构造斜率，可以解决形如2121y y x x --之类的代数问题．利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写为2121y y x x --的形式，从而联想其几何意义（即直线的斜率），再利用几何图形的形象直观来分析解决问题．举一反三：【变式1】 已知函数()f x （0≤x ≤1）的图象如图，若0＜x 1＜x 2＜1，则（ ） A ．1212()()f x f x x x < B ．1212()()f x f x x x = C ．1212()()f x f x x x > D ．前三个判断都不正确 【答案】 A类型三：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ． 【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----， 直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---， ∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．举一反三：【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N （―1，―1）；（2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N （2，0）（4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）．【解析】 （1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行． （2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合．（3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知Y ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】 解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ， 所以013104130041n m n m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．举一反三：【变式1】若三条直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0能构成三角形，求a 的取值范围。
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l
yl
y
x
O
O
规定：与x轴平行或重
合的直线倾斜角为0.
ly
y
x
O
O
x
思考：与x轴平 行或重合的直线
倾斜角如何？
l
x
五、前情回顾
意大利中部的 比萨城内，因其 “斜而不倒”闻名 世界。那么你觉得 如何刻画比萨斜塔 的倾斜程度呢？
1.可以由直线 2.水平直线所成角来刻画。
六、优化概念
问题4：观察下列图形并结合定义思考：直线倾斜角是否
§3.1.1倾斜角与斜率
——概念的探究
人教版高中数学必修2第三章第一节第一课时
广西师范大学数学与统计学院 2013级数学与应用数学 秦乐
一、问题情境
意大利中部的 比萨城内，因其 “斜而不倒”闻名 世界。那么你觉得 如何刻画比萨斜塔 的倾斜程度呢？
一、问题情境
问题1：如果将比萨斜塔抽象成一条直线l并放在直角坐标 系中，它的位置由哪些条件确定呢？
请评委批评指正！
有范围，若有，在怎样的范围内变化？y y
l x
O
x O
倾斜角的范围：Biblioteka y l[0,180)
y l
x
O
x
七、小结反思
数形 结合
直线的
类比 思想
倾斜角与斜率
倾斜角的概念。
经历了观察、归纳、交流 、评价等数学活动
八、作业布置
布置作业:
必做题：P86 练习1、习题3.1 A组第1题
思考题：我们用坐标表示直线是运用一个已知点和 倾斜角的大小和来确定吗？
两点确定 一条直线
y ·
A（x,y）
0·
x
B
思考：一点能否确定一条直线？
二、初步感知
问题2：如图所示， 过点P的无数条直线 l1、l2、l3、l4、…… 组成了一束直线， 如何刻画它们的区 别呢？
y l3
l2
l4
l1
·P
o
x
确定直线的另一种方法： 直线上的一点以及直线的倾斜程度
四、实践反馈
判断以下直线的倾斜角是否正确