华东师大版初中数学电子教材
华东师大版初中数学电子教材-第21章-数据的整理与初步处理
第21章数据的整理与初步处理 (2)§21.1算术平均数与加权平均数 (2)1．算术平均数的意义 (2)2．用计算器求算术平均数 (5)3．加权平均数 (6)4．扇形统计图的制作 (7)阅读材料“均贫富” (10)§21.2平均数、中位数和众数的选用 (11)1．中位数和众数 (11)2．平均数、中位数和众数的选用 (13)阅读材料计算机帮我们求平均数、中位数和众数 (16)§21.3级差、方差与标准差 (18)1．表示一组数据离散程度的指标 (18)2．用计算器求标准差 (21)阅读材料早穿皮袄午穿纱 (22)小结 (23)复习题 (24)课题学习心率与年龄 (26)第21章 数据的整理与初步处理从图上看一年中北京气温变化的幅度比新加坡气温变化的幅度大,但是你知道如何通过计算比较这两地气温变化幅度的大小吗?§21.1 算术平均数与加权平均数1． 算术平均数的意义解决一些与不确定现象有关的问题，常常离不开收集和分析数据，数据是我们思考的基础．那么，有了一组数据以后，怎样表达和概括这一组数据呢?能否找到某些指标作为这组数据的代表呢?我们在小学已经学过的算术平均数经常就被用来作为一组数据的代表．回 顾表21.1.1给出了某户居民2005年下半年的电话费用，请你帮这户居民算一算： 平均每月花费了多少元电话费?表21.1.1某户居民2005年7—１２月电话费用统计表这里四季分明。
这里一年四季温度差不大 你们更喜欢住在哪个城市？例1植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，图21.1.1反映的是植树量与人数之间的关系．请根据图中信息计算：（1） 总共植树多少棵?（2） 平均每人植树多少棵?图2.1.1植树人数统计图解（1） 3×８＋４×１＋５×１０＋６×８＋７×３＋８×１＝１５５， 所以，总共植树155棵．（2） 1558+1+10+8+3+1＝5， 所以，平均每人植树5棵．思 考你发现植树总量、植树量的平均数和人数这三者之间的数量关系了吗？例2丁丁所在的初二（1）班共有学生40人．图21.1.2是该校初二年级各班学生人数分布情况．（1） 请计算该校初二年级每班平均人数；（2） 请计算各班学生人数，并绘制条形统计图．解（1） 40÷20%＝200（人），200÷５＝40（人），所以，该校初二年级每班平均40人．（2） （2）班： 200×23%=46（人）；（3）班： 200×22%=44（人）；（4）班： 200×17%=34（人）；（5）班： 200×18%=36（人）．可以绘制如图21.1.3（a ）的条形统计图来表示该校初二年级各个班级的人数情况：图21.1.2 某校初二年级各班人数分布图图21.1.3（a）某校初二年级各班人数统计图思考如图21.1.3（b），在你所绘制的条形统计图中画出一条代表平均人数40的水平线．图中代表各班人数的五个条形，有的位于这条线的上方，有的位于它的下方．想一想，水平线上方超出部分之和与下方不足部分之和在数量上有什么关系?图21.1.3（b）某校初二年级各班人数统计图练习1 甲乙两所学校号召学生们向希望小学捐赠图书．已知甲校800名学生平均每人捐书4.5本；乙校学生比甲校少80人．如果要达到相同的捐书总量，那么乙校学生平均每人要捐书多少本?2 某省统计数据显示，2005年1—６月平均每月进出口总额为82.445亿美元．下图是根据该省2005年上半年每月的进出口总额情况绘制的．不计算出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置上吗?某省2005年上半年每月进出口总额统计图2．用计算器求算术平均数当数据个数很多时，用计算器计算算术平均数显得非常简便．我们只要按照指定的顺序按键，便可得到计算结果．以前面某户居民2005年7—１２月电话费这组数据为例，按键顺序如下：1 ON，打开计算器；2 MODE21，启动统计计算功能；3 75.8=45=……45.9=AC，输入所有数据；4 SHIFT1(STAT)52=，计算出这组数据的算术平均数．你还可以根据计算器使用说明书动手试一试，怎样修改已经输入的数据，怎样简便地输入多个相同数据．练习1 试用计算器算出以下各组数据的算术平均数：（1）5，5，6，6，6，7，8，8，8，8；（2）2 578，3 64，9 8，4 6523；（3）41，32，53，43，56，26，37，58，69，15．2 有一组数据的算术平均数等于7，参考上题计算算术平均数获得的经验，判断下列说法是否正确，错误的请举出一个反例：（1）如果这组数据共有三个，且其中一个大于7，那么必有一个小于7；（2）如果这组数据共有四个，且其中两个小于7，那么必有两个大于7．3． 加权平均数在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用．〖〗你知道为什么要这样计算吗?例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2，作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算（如图21.1.4），考试成绩更为重要．这样如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为 90 分，那么他的学期总评成绩就应该为70×４０％＋９０×６０％＝８２（分）．一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，上例中的40%与60%就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩82分就是上述两个成绩的加权平均数（weighted mean ）．小青在初一年级第二学期的数学成绩分别为： 测验一得8９分，测验二得78分，测验三得 85 分，期中考试得90分，期末考试得87分．如果按照图21.1.5所显示的平时、期中、期末成绩的权重，那么小青该学期的总评成绩应该为多少分?例3某公司对应聘者A 、B 、C 、D 进行面试，并按三个方面给应聘者打分，最后打分结果如表21.1．2所示．如果你是人事主管，会录用哪一位应聘者?分析 甲同学说： 看谁的总分高就录用谁．通过计算可以发现D 的总分最高，应被录用．这时乙同学说： 我有不同意见．三个方面满分都是20分，但按理这三个方面的重要性应该有所不同，比如专业知识就应该比仪表形象更重要．讨论 假设上述三个方面的重要性之比为６∶３∶１（如图211 6），那么应该录用谁呢?解 因为6∶３∶１＝60%∶30%∶10%，所以专业知识、工作经验与仪表形象这三个方面的权重分别是60%、30%与10%．这样A 的最后得分为14×６０％＋１8×３０％＋１２×１０％＝１5． 请你根据这样的权重要求，继续算出另三位应聘者的最后得分．从你的计算结果看，谁应被录用?图21.1.4图21.1.5图21.1.6思考如果这三方面的重要性之比为１０∶７∶３，此时哪个方面的权重最大？哪一位应被录用呢？练习一家小吃店原有三个品种的馄饨，其中菜馅馄饨售价为3元/碗，鸡蛋馅馄饨售价为4元/碗，肉馅馄饨售价为5元/碗．每碗有10个馄饨．该店新增了混合馄饨，每碗3个菜馅的、3个鸡蛋馅的、4个肉馅的．算一算，混合馄饨每碗的定价该是多少?如果混合馄饨的定价是3.8元，你觉得三个品种的馄饨可以如何合理搭配?思考商店里有两种苹果，一种单价为3.50元/千克，另一种单价为4元/千克．如果妈妈各买了2千克，那么妈妈所买苹果的平均价格为（3.50＋4）÷２＝3.75元/千克，这种算法对吗?为什么?如果妈妈买了单价为3.50元/千克的苹果1千克，单价为4元/千克的苹果3千克，那么这种算法对吗?为什么?例4一架电梯的最大载重是1000千克．现有13位“重量级”的乘客要搭乘电梯，已知其中11位先生的平均体重是80千克，2位女士的平均体重是70千克．请问他们能否一起安全地搭乘这架电梯?他们的平均体重是多少千克?解11位先生的总体重＝８０×１１＝８８０（千克）．2位女士的总体重＝７０×２＝１４０（千克）．13位乘客的总体重＝８８０＋１４０＝１０２０（千克）．因为总体重超过了电梯的最大载重，所以他们不能一起安全地搭乘．13位乘客的平均体重＝1020÷１３≈78.5（千克）．这是一个已知两个平均数再求总平均数的问题，解这类问题一般不能采取“相加除以2”的平均化策略，因为两个方面的权重常常不相等．练习某人在A商店买了2包饼干，单价是2.20元．走了没多远，看见B商店也有卖这种饼干的，每包1.80元，他又买了3包．请先估计一下他买5包饼干的平均价格是小于、等于还是大于2元，然后再算出5包饼干的平均价格，看看你的估计对不对．4．扇形统计图的制作在日常生活中我们会见到和用到各种各样的统计图，扇形统计图（sector diagram）就是其中的一种．问题1在某所医院的健康宣传栏里有一幅海报，如图21.1.7．显然，这样的统计图比文字更具有表现力.图21.1.7失去牙齿的原因（1985年卫生部全国调查）图中各个扇形分别代表了什么?人们失去牙齿最主要的原因是什么?对于不同年龄的人群，情况有没有不同?图21.1.7的每个圆中所有扇形表示的百分比之和为多少?量一量，每个扇形的圆心角度数是多少?同一个扇形图中各扇形圆心角的大小与图上所标的相应百分比之间有什么关系？因为扇形统计图可以清楚地告诉我们各部分数量占总数量的百分比，所以我们在表示各部分数量在总量中所占份额时常常使用扇形统计图．问题22002年12月3日22点16分，从摩纳哥蒙特卡洛举行的国际展览局大会上传来了振奋人心的消息——中国当选为2010年世博会的东道主!选举由国际展览局89个成员国的代表以无记名投票方式进行．在首轮投票中，中国以36票居第一，韩国28票，俄罗斯12票，墨西哥6票，波兰被淘汰；在第二轮投票中，中国获38票，韩国３4票，俄罗斯10票，墨西哥遭淘汰；在第三轮投票中，中国获44票，韩国32票，俄罗斯被淘汰；在最后一轮投票中，中国以54票胜出．（消息来源/epublish/gb/paper51/1/class005100020/hwz835111.htm）怎样用扇形统计图表示各国得票数占总票数的百分比?以首轮投票的结果为例：中国得票数占总票数的百分比为３６÷８９≈40.45%，如图21.1.8，反映在扇形统计图上，扇形圆心角的度数应为360°×４０.45%≈145.6°． 你能将韩国、俄罗斯、墨西哥的该轮得票率补充在上面的扇形统计图中吗? 如果条件允许，请借助计算机中的Excel 软件绘制这幅扇形统计图，看看是不是又快又好．练习1 某省2001年粮食总产量为2500.3万吨，其中，夏粮804.2万吨，早稻147.3万吨，秋粮1548.8万吨．如果用扇形统计图表示这组数据，各部分扇形的圆心角分别约为多少度?（精确到0.1°）2 根据下表，你能用扇形统计图把各大洲土地面积占全球土地总面积的百分比表示出来吗?有条件的话，请尝试用计算机中的Excel 软件帮你作图．（精确到0.1%）3 2002年10月12日《青年报》第2版刊载了下面的扇形统计图．（1） 从图上看，被调查者对目前的医疗服务价格是如何评价的?（2） 有人说这幅图有问题，你看出来了吗?（数据来源： 中国经济景气监测中心）习题21.11 在一批圆柱形机器零件中抽出20件．测得直径如下（单位： mm ）： 56.1， 55.9， 55.9， 56.0， 55.8，56.1， 55.7， 55.6， 56.3， 56.2， 56.2， 55.7， 56.3， 56.1， 56.2， 56.2， 55.9， 55.8， 56.0， 56.0． 计算这些零件的平均直径．想一想，有哪些不同的算法?2 2002年4月11日《文汇报》报道，据不完全统计，至今上海自愿报名去西部地区工作的专业技术人员和管理人员已达3600多人，其中硕士、博士占4%，本科学历占79%，大专学历占13%．根据上述数据绘制扇形统计图表示这些人员的学历分布情况．3 第一组数据： 10， 10；第二组数据： 20， 20， 20；第三组数据： 30， 30， 30， 30， 30．请问每组数据的算术平均数分别是多少?如果将这三组数据图21.1.8首轮投票情况合成一组新的数据，请问新数据的算术平均数是多少?4 不用计算，根据条形统计图你能判断哪个班级学生的平均成绩高吗?（第4题）5 某同学在这学期的前四次数学测验中得分依次为95、82、76和88，马上要进行第五次数学测验了，她希望五次成绩的算术平均数能够达到或超过85分，那么，这次测验她至少要考多少分?6 已知一组数据：0，1，3，3，3，5，6，7，9，10，在计算这组数据的算术平均数时，甲、乙、丙三位同学列出了不同的算式，请你帮他们判断对错，并说说理由．甲：（1＋3＋3＋3＋5＋6＋7＋9＋10）÷９；乙：（0＋1＋3＋5＋6＋7＋9＋10）÷８；丙：（0＋1＋3×３＋5＋6＋7＋9＋10）÷10．７ 中秋节到了，某班40名同学举行赏月联欢活动，有8位同学带来了月饼，数量如下：6，7，5，3，5，10，4，10．如果在全班同学中平分这些月饼，那么每人可以分得多少?阅读材料“均贫富”一组数据的平均数是什么含义?也许你会打个比方：有一组数据1，1，2，3，是我们每人手头现有的钱（单位：元），现在，我们四个人决定均贫富，大家将钱全都集中到一起，一共是7元，然后再将这些钱平分给每个人，那么，每人都分到1.75元，这1.75就是原来那组数据的平均数．不错，汇总然后平分这既是计算平均数的过程，也是从不平均到平均的过程．在这组数据中，凡是比平均数大的数与平均数的差都是正数，比平均数小的数与平均数的差都是负数，与平均数一样大的数（如果有的话）与平均数的差恰好为零．那么将所有的差相加答案会是什么呢?尝试一下，就以这组数据为例，所有的差之和是（1－1.75）＋（1－1.75）＋（2－1.75）＋（3－1.75）＝（－0.75）＋（－0.75）＋0.25＋1.25＝（－１.５）＋１.５＝0．经过均贫富，两个原来只有1元钱的人都额外得到了0.75元，他们得到的这1.5元正是另外两个人一起付出的1.5元，正负相抵，相加应该为零．从图上看，两条细线长度之和与两条粗线长度之和也恰好相等．一般地，假如这组数据是由a、b、c、d四个数组成的，它们的平均数是m，那么，所有的差相加是（a－m）＋（b－m）＋（c－m）＋（d－m）＝（a＋b＋c＋d）－4m＝4m－4m＝0．假如这组数据是由五个或更多数字组成的，我们也一样可以证明这组数据中每个数与平均数的差相加是零．§21.2平均数、中位数和众数的选用一组数据的代表，除了我们已经学习过的平均数（mean）以外，常用的还有中位数（median）和众数（mode）．1．中位数和众数例1 据中国气象局2001年8月23日8时预报，我国大陆各直辖市和省会城市当日的最高气温（℃）如表21.2.1所示，请分别用平均数（此为算术平均数）、中位数和众数代表这31个城市当日最高气温这组数据．解（1）平均数：32＋33＋36＋31＋27＋27＋26＋26＋34＋32＋32＋32＋36＋30＋33＋34＋31＋29＋35＋35＋36＋29＋27＋24＋23＋2１＋33＋28＋30＋26＋29＝937，937÷３１≈30.2．所以，这些城市当日预报最高气温的平均数约为30.2℃．（2）中位数：如图21.2.1，将31个城市的气温数据按由低到高的顺序重新排列，用去掉两端逐步接近正中心的办法可以找出处在正中间位置的那个值，即中位数．图21.2.1所以，这些城市当日预报最高气温的中位数是31℃．思考如果是偶数个城市，那么用去掉两端逐步接近正中心的办法，最后也只剩下惟一一个没被划去的数据吗?如果是偶数个城市，那么最后就将剩下两个处在正中间的数，这时，为了公正起见，我们取这两个数的算术平均数作为中位数．（3）众数：如表21.2.2，统计每一气温在31个城市预报最高气温数据中出现的频数，可以找出频数最多的那个气温值，它就是众数．由表21.2.2可知，这些城市当日预报最高气温的众数是32℃．思考若有两个气温（如29℃和32℃）的频数并列最多，那么怎样决定众数呢?如果这样，那么我们不是取29℃和32℃这两个数的平均数作为众数，而是说这两个气温值都是众数．我们可以把例1中的平均数、中位数和众数在统计图上表示出来，如图21.2.2．图21.2.2平均数是概括一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小．中位数是概括一组数据的另一种指标，如果将一组数据按由小到大的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据．众数告诉我们，这个值出现的次数最多．一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数．平均数、中位数和众数从不同的侧面概括了一组数据，正因为如此，这三个指标都可作为一组数据的代表．例2 一名警察在高速公路上随机观察了6辆过往车辆，它们的车速分别为（单位：千米/时）：66，57，71，54，69，58．那么，这6辆车车速的中位数和众数是什么呢?解将6辆车的速度按从小到大的顺序重新排列，得到54，57，58，66，69，71．位于正中间的数值不是一个而是两个，所以应取这两个数值的平均数作为中位数，即中位数是（58＋６６）÷２＝６２（千米/时）．因为每辆车的速度都不一样，没有哪个车速出现的次数比别的多，所以这6辆车的速度没有众数．练习1 判断题：（正确的打“√”，不正确的打“×”）（1）给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个．（）（2）给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个．（）（3）给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个．（）（4）给定一组数据，那么这组数据的平均数一定位于最大值和最小值之间．（）（5）给定一组数据，那么这组数据的中位数一定等于最小值和最大值的算术平均数．（）（6）给定一组数据，如果找不到众数，那么众数一定就是0．（）2 某商场进了一批苹果，每箱苹果质量约5千克．进入仓库前，从中随机抽出10箱检查，称得10箱苹果的质量如下（单位：千克）：4.8，5.0，5.1，4.8，4.9，4.8，5.1，4.9，4.7，4.7．请指出这10箱苹果质量的平均数、中位数和众数．2．平均数、中位数和众数的选用从前面的学习内容我们知道，平均数、中位数和众数都是用来代表一组数据的，而且，它们互相之间可以相等也可以不相等，没有固定的大小关系．当它们不全相等的时候，就产生如何选用才恰当的问题了．让我们先来讨论一个同学之间互相比较成绩的问题．例3八年级某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的5次数学成绩分别是：小华：62，94，95，98，98；小明：62，62，98，99，100；小丽：40，62，85，99，99．他们都认为自己的成绩比另两位同学好，你看呢?分析根据表21.2.3，小华说他的成绩平均数最高，所以他成绩最好；小明说应该比较中位数，他的成绩中位数最高；小丽则说应该比较众数，她是三人中成绩众数最高的人．从三人的测验分数对照图21.2.3来看，你认为哪一个同学的成绩最好呢?图21.2.3例4 随着汽车的日益普及，越来越多的城市发生了令人头痛的交通堵塞问题．你认为用过往车辆一天车速的平均数衡量某条交通主干道的路况合适吗? 分析人们上、下班的时候是一天中道路最繁忙的两个时段，其他时段车流量明显减少，因此，如果用一天车速的平均数来衡量道路的路况，那么上、下班交通堵塞的问题就给掩盖了．所以，较为合理的是按道路繁忙的不同程度，将一天分为几个时段分别计算平均车速．平均数、中位数和众数各有其长，也各有其短，下面的几个例子也许能让你对它们了解得更深．▲那边草地上有6个人正在玩游戏，他们年龄的平均数是15岁．请想象一下是怎样年龄的6个人在玩游戏．通常人们会想象是一群中学生在玩游戏，但是，如果是一个65岁的大娘领着5个5岁的孩子在玩游戏也是有可能的嘛!这是一个不适合用平均数而适合用众数或中位数代表一组数据的例子，大娘的年龄把平均年龄一下子给抬上去了．▲为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查．最终买什么水果，该由调查数据的平均数、中位数还是众数决定呢?当然由众数决定，因为各种水果喜好人数的平均数或中位数都没什么意义．▲八年级有4个班级，如果已知在一次测验中这4个班级每班的平均分，也知道各班级的学生人数，那么，我们可以计算出整个年级的平均分，但是，如果已知的是每个班级的中位数或者众数，那么我们是没有办法得出整个年级的中位数或者众数的．请老师准备一根绳子．面对所有学生，捏住绳子的两端，将绳子拉直，请全班同学目测几秒钟后估计这根绳子的长度．请全班同学设计和完成一张统计表和一张统计图，全面反映每个同学对这根绳子长度的估计值，计算出全班同学估计值的平均数、中位数和众数．在全班同学估计值的基础上，请给出一个最后的估计值，作为全班集体对这根绳子长度的估计值．最后，教师重新出示这根绳子，请学生代表当众用尺量出这根绳子的长度．这个测量值与全班同学目测的估计值接近吗?全班讨论一下比较的结果，为什么测量值与估计值相差不大或者相差较大．练习检验某厂生产的手表质量时，检查人员随机抽取了10只手表，在下表中记下了每只手表的走时误差（正数表示比标准时间快，负数表示比标准时间慢），你认习题21.22 老师想知道学生们每天在上学的路上要花多少时间，于是让大家将每天来校上课的单程时间写在纸上．下面是全班30名学生单程所花的时间（分钟）：20，20，30，15，20，25，5，15，20，10，15，35，45，10，20，25，30，20，15，20，20，10，20，5，15，20，20，20，5，15．（1）请画出学生上学单程所花时间（5分钟，10分钟，15分钟，……）出现频数的条形统计图；（2）求学生上学单程所花时间的平均数、中位数和众数；（3）假如老师随机地问一个同学，你认为老师最可能得到的回答是多少分钟?3 简答题，请说明理由：（1）河水的平均深度为2.5米，一个身高1.5米但不会游泳的人下水后肯定会淹死吗?（2）某校录取新生的平均成绩是535分，如果某人的考分是531分，他肯定没有被这个学校录取吗?（3）5位学生在一次考试中的得分分别是：18，73，78，90，100，考分为73的同学是在平均分之上还是之下?你认为他在5人中考分属“中上”水平吗? （4）9位学生的鞋号由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23．这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的?哪个指标是鞋厂最感兴趣的?4 判断下列说法是否正确，若认为不正确，请举出反例：（1）只要一组数据中新添入一个数据，那么平均数就一定会跟着变动；（2）只要一组数据中有一个数据变动，那么中位数就一定会跟着变动.5 今天是小学班主任张老师的生日，小华、小明、小丽和小芳都是张老师以前的学生，他们打算每人带一些桃子去看望张老师．根据以下两种情况，先分别画出条形统计图，表示每人所带桃子的数量，再回答两种情况中的哪一种用平均数代表学生们送的桃子数较为合理?为什么?（1）小华带来8个，小明带来20个，小丽带来10个，小芳带来12个；（2）小华带来8个，小明带来10个，小丽带来10个，小芳带来12个．阅读材料计算机帮我们求平均数、中位数和众数Microsoft Office中的Excel不仅可以用来画统计图，还可以用来求平均数、中位数和众数．不妨就以第140页例1中31个城市当日最高气温这组数据为例，用计算机来求这三个指标．操作步骤是这样的：（1）打开Excel，在空白的这张表中的第一列逐个输入所有的数据，一个数据占一格．选中一个空白格，作为计算机放答案的位置．如图1所示．图1（2）点击工具栏中的“＝”后，在“＝”这一行的最前面会出现一个可下拉的菜单，点击一下这个菜单，将显示如图2所示的屏幕．如果要计算平均数，就选择“A VERAGE”；要计算中位数，就选择“MEDIAN”；要计算众数，就选择“MODE”．（3）拖动鼠标，将我们刚才输入的这一列数据全部选中，于是，在Number 1这一格中就会显示这列数据所在的范围（从A1到A31），如图3所示．按一下确定，答案就出现在你刚才选定放答案的那个格子中了．图2图3试一试吧!要注意的是，利用Excel求众数时只能得到一个结果.如果一组数据有两个以上的众数，你获得的只是首先出现的那个众数.§21.3级差、方差与标准差1．表示一组数据离散程度的指标回顾我们已经知道，如果要概括一组数据，那么可以选用这些数据的代表：平均数、中位数或众数．问题1表21.3.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢?天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们可以由此认为2002年2月下旬的气温总体上比2001年同期高吗?比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢?图21.3.1是根据两段时间的气温情况绘成的折线图．图21.3.1不同时段的最高气温观察一下，你感觉它们有没有差异呢?把你通过观察得到的判断写在下面的横线上：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 通过观察，我们可以发现：图（a）中折线波动的范围比较大——从6℃到22℃，图（b）中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃．。
华东师大版初中数学电子教材 第24章2 图形的相似共14页
§24.3相似三角形 (2)1．相似三角形 (2)2．相似三角形的判定 (2)3．相似三角形的性质 (4)4．相似三角形的应用 (5)阅读材料 (6)§24.4 中位线 (8)§24.5 画相似图形 (9)阅读材料 (10)§24.6 图形与坐标 (11)1.用坐标确定位置 (11)小结 (12)复习题 (12)§24.3 相似三角形1.相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles ）．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24．3．1所示的两个三角形中， ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”． 如果记A C CA CB BC B A AB ''=''=''＝k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比． 做一做 如图24．3．2，△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，而∠A ＝∠A ．通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE ∽△ABC ．如果取点D 为边AB 的中点，那么上题中△ADE 和△ABC 的相似比就为k ＝21． 当k ＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形．全等三角形是相似三角形的特例．练习1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点O 为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．2．如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？3． 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．2．相似三角形的判定我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的．这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？探索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？ 试一试如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？我们可以发现，它们的对应边成比例，即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 思考如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，证明△ABC ∽△A ′B ′C ′．证明 ∵ ∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．例2如图24．3．5，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，证明： △ADE ∽△EFC ． 证明 ∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ ∠ADE ＝∠B ＝∠EFC ，∴ ∠AED ＝∠C ，∴ △ADE ∽△EFC （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．练习1．找出图中所有的相似三角形．2．图中DG ∥EH ∥FI ∥BC ，找出图中所有的相似三角形．观察图24．3．6，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31．将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE ＝________AC 时，△ADE 与△ABC 相似．此时ABAD =__________． 探 索 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？我们可以发现这两个三角形相似．这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．例3证明图24．3．7中△AEB 和△FEC 相似． 证明 ∵ 5.13654==FE AE ， ∵ ∠AEB ＝∠FEC ，∴ △AEB ∽△FEC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．探索如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了．做一做在图24．3．8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？我们可以发现这两个三角形相似．即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 例4 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知： AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm ．试证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似． 证明 ∵ 31186==''B A AB ， ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）．练习1．依据下列各组条件，证明△ABC 和△A ′B ′C ′相似．（1） AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，AC ＝16cm ，A ′B ′＝16cm ，B ′C ′＝12．8cm ，A ′C ′＝25．6cm ；（2） ∠A ＝∠80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°；（3） ∠A ＝40°，AB ＝8，AC ＝15，∠A ′＝40°，A ′B ′＝16，A ′C ′＝30．2．在第1题小题（3）中，若BC ＝a ，∠B ＝α，试求出B ′C ′的长与∠B ′、∠C ′的大小．3.相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图24．3．9中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，而∠B ＝∠B ′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝__________，（2）与（1）的面积比＝__________；（3）与（1）的相似比＝__________，（3）与（1）的面积比＝__________．从上面可以看出，当相似比＝k 时，面积比＝2k ．我们猜想： 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 例5 已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、 △A ′B ′C ′对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC ='''∆∆． 证明∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′，思考 图24．3．11中，△ABC 和△A ′B ′C ′相似，AD 、A ′D ′分别为对应边上的中线，BE 、B ′E ′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？可以得到的结论是____________________．想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？可以得到的结论是____________________．练习1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2．相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．3．如图，在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出111C B A ∆和222C B A ∆的面积比．4．相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图24．3．12所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ．如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB ．解 ∵ 太阳光是平行光线，∴ ∠OAB ＝∠O ′A ′B ′．∵ ∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴ △OAB ∽△O ′A ′B ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴ OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，∴ 13721274=⨯=''''⨯=B A B O AB OB （米）， 即该金字塔高为137米．例7 如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB ．解 ∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），解得 CDEC BD AB ⨯= 1006050120=⨯=（米）． 答： 两岸间的大致距离为100米．这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．例8 如图24．3．14，已知： D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C ．求证： AD ·AB ＝AE ·AC ．证明 ∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．∴ AD ·AB ＝AE ·AC ．练习1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BC ＝6，梯形DBCE 面积是△ADE 面积的3倍，求DE 的长．习题24．31． 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1） 如图，DE ∥BC ，△ABC 与△ADE ；（2） 如图，∠AED ＝∠C ，△ABC 与△ADE ．2． 已知： △ABC 的三边长分别为5、12、13，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．3． 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形．4． 依据下列各组条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．（1） ∠A ＝70°，∠B ＝46°，∠A ′＝70°，∠C ′＝64°；（2） AB ＝10厘米，BC ＝12厘米，AC ＝15厘米，A ′B ′＝150厘米，B ′C ′＝180厘米，A ′C ′＝225厘米；（3） ∠B=35°，BC=10，BC 上的高AD=7，∠B ′=35°，B ′C ′=5，B ′C ′上的高A ′D ′=3．5．5． 已知在等腰△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A 、∠A ′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1） ∠A ＝∠A ′．（2） ∠B ＝∠B ′（或∠C ＝∠C ′）．6． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h ．阅读材料线段的等分将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．如图2，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段1AA 、21A A 、32A A 、43A A 、54A A ，连结5BA ，再过1A 、2A 、3A 、4A 分别画5BA 的平行线，这些平行线就恰好将线段AB 平均分成五等分．你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分．相似三角形与全等三角形“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言．就三角形而言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就称其为全等．相似是全等的拓展，全等是相似的特例．人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊到一般，二是由一般到特殊．本套教材对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为基本事实（即公理），再研究相似．因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在内的基本事实逻辑推理得到．例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．即在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，可以推出△ABC ∽△A ′B ′C ′．证明: （1） 若AB ＝A ′B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，结论成立．（2） 若AB ≠A ′B ′．不妨设AB ＞A ′B ′．在△ABC 的边AB 、AC 上，分别截取AD ＝A ′B ′，AE ＝A ′C ′，又∵ ∠A ＝∠A ′，∴ △ADE ≌△A ′B ′C ′，于是∠B ′＝∠ADE ．∠B ＝∠B ′，∠B ＝∠ADE ，DE ∥BC ．BC 边上的高AG 交DE 于点F ，于是AF ⊥DE．∴ DBCE ADE ABC S S S 梯形+=∆∆，即化简得 DE ·AG ＝BC ·AF ，即 AFAG DE BC =． 因此 AF AG DE BC AF DE AG BC S S S S ADE ABCC B A ABC ⋅=⋅⋅==∆∆'''∆∆2121 同理可证22)()(C A AC B A AB S S C B A ABC ''=''='''∆∆．又∵ ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴ ∠C ＝∠C ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′．这里的证明，实际上就是将△A ′B ′C ′运动变换到△ABC 内的△ADE 处，得到DE ∥BC ，再研究△ADE 与△ABC 的关系．试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的奇妙！§24.4 中位线在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：如图24．4．1，△ABC 中，DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．由此可以进一步推知，当点D 是AB 的中点时，点E 也是AC 的中点．现在换一个角度考虑，如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点，那么是否可以推出DE ∥BC 呢？DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢？猜想从画出的图形看，可以猜想：DE ∥BC ，且DE ＝21BC ． 证明 如图24．4．2，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，∵ ∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴ ∠ADE ＝∠ABC ，21=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴ DE ∥BC 且BC DE 21=． 概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图24．4．3所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC ．求证： AE 、DF 互相平分．证明 连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC ，所以DE ∥AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF ∥AB ．所以四边形ADEF 是平行四边形．因此AE 、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例2如图24．4．4，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ． 求证： 31==AD GD CE GE ． 证明连结ED ，∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，∴ DE ∥AC ，21=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， ∴ △ACG ∽△DEG ，拓展如果在图24．4．4中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，如图24.4.5，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的． 于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31． 由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）． 分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF ，并延长AF 交BC 的延长线于G ，证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线．于是本题就转化为证明AF ＝GF ，AD ＝CG ，故只要证明△ADF ≌△GCF ．思考如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1． 如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 相交于点O ，AB ＝6，BC ＝10，AC ＝8．试求出线段DE 、OA 、OF 的长度与∠EDF 的大小．2． 如图所示的梯形梯子，AA ′∥EE ′，AB ＝BC ＝CD ＝DE ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′，AA ′＝0．5m ，EE ′＝0．8m ．求BB ′、CC ′、DD ′的长．3． 求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．习题24．41． 三角形的周长为56cm ，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm ．2． 梯形中位线长为12cm ，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？3． 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 、G 、H 分别为OA 、OC 、OB 、OD 的中点．求证： 四边形EGFH 是矩形．4． 已知： 在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．求证∠PMN ＝∠PNM ．§24.5 画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．现在要把多边形ABCDE 放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步骤画出图24．5．1：1． 任取一点O ；2． 以点O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、……；3． 分别在射线OA 、OB 、OC 、……上取点A ′、B ′、C ′、……，使OA ′∶OA ＝OB ′∶OB ＝OC ′∶OC ＝…＝1．5；4． 连结A ′B ′、B ′C ′、……，得到所要画的多边形A ′B ′C ′D ′E ′． 探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图24．5．1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety ），点O 叫做位似中心．放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．要画四边形ABCD 的位似图形，还可以任取一点O ，如图24．5．2，作直线OA 、OB 、OC 、OD ，在点O 的另一侧取点A ′、B ′、C ′、D ′，使OA ′∶OA ＝OB ′∶OB ＝OC ′∶OC ＝OD ′∶OD ＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A ′B ′C ′D ′．实际上，如图24．5．3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便．练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．习题24．5任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形．（1） 相似比为21；（2） 相似比为2．5． 阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形．然后以其两腰代替底边．再将六角形的每边三等分，重复上述的作法．如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线．雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似．只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去．观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形．图3是五边形的一幅自相似图形．自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等．现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何．如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术．§24.6 图形与坐标1.用坐标确定位置夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图24．6．1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是：（1，2）、（－3，5）、（4，5）、（0，3）．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．试一试图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等．右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置．例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用．练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）．试借助刻度尺、量角器解决下列问题．（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图24．6．4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个顶点的坐标有什么变化呢？解△AOB的三个顶点的坐标是A（2，4）、O（0，0）、B（4，0）．平移之后的△A′O′B′对应的顶点是A′（5，4）、O′（3，0）、B′（7，0）．沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3．思考在图24．6．5中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB．对应顶点的坐标有什么变化？试一试请在图24．6．6的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化．思考图24．6．7表示△AOB和它缩小后得到的△COD，你能求出它们的相似比吗？习题24．61．已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．（1）沿y轴正向平移2个单位；（2）关于y轴对称；（3）以点B为位似中心，放大到2倍．小结一、知识结构二、概括本章介绍了相似图形、相似多边形以及相似三角形的概念．相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形的一种基本变换．本章中，相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质是重点内容，要求能掌握相似图形的基本性质和主要的判定方法，能运用相似三角形的知识解决一些实际问题．本章还介绍了用直角坐标系来描述物体的位置，用坐标的方法研究图形的运动变换，应注意从中体会数与形之间的关系．复习题A组1．地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1∶1000000，那么两地间的实际距离是____________米．2． 已知：713y y x =-，则=+y y x ___________． 3． 如果在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，那么△DEF 的周长＝__________，面积＝__________．4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？6． 所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？7． 如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？8． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1） 在△ABC 中，∠B 是直角，∠A ＝30°；在△A ′B ′C ′中，∠B ′是直角，∠C ′＝60°．（2） △ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8；△A ′B ′C ′中，A ′C ′＝16，B ′C ′＝14，A ′B ′＝10．9． 如图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍位置？10． 如图，在△ABC 中，如果DE ∥BC ，AD ＝3，AE ＝2，BD ＝4，试求ACAE 的值，以及AC 、EC 的长度． B 组11． 已知：346z y x ==（x 、y 、z 均不为零），则=-+z y y x 233__________． 12． 平行四边形ABCD 与平行四边形A ′B ′C ′D ′相似，已知AB ＝5，对应边6=''B A ，平行四边形ABCD 的面积为10，求平行四边形A ′B ′C ′D ′的面积．13． 将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）14． 在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形．再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标．15． 如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝b ，CB ＝a ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ACB ∽△CBD ？16． 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点．求证： 四边形ADEF 是菱形．C 组17． 三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：如图，要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高三丈的标杆BC 和DE ，两竿相距BD ＝1000步，D 、B 、H 成一线，从BC 退行123步到F ，人目着地观察A ，A 、C 、F 三点共线；从DE 退行127步到G ，从G 看A ，A 、E 、G 三点也共线．试算出山峰的高度AH 及HB 的距离．（古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步．结果用里和步来表示）18． 如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，BC ＝8．线段BC 所在直线以每秒2个单位的速度沿BA 方向运动，并始终保持与原位置平行．记x 秒时，该直线在△ABC 内的部分的长度为y ．试写出y 关于x 的函数关系式，并在直角坐标系中画出这一函数的图象．。
(整理)华东师大版初中数学电子教材 第24章1 图形的相似
第24章图形的相似 (2)§24.1 相似的图形 (3)§24.2 相似图形的性质 (5)1．成比例线段 (5)2．相似图形的性质 (6)阅读材料 (10)第24章图形的相似你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？§24.1 相似的图形观察图24.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的．尽管它们大小不同，但形状相同．图24.1.1图24．1．2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．图24.1.2日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar figures）．同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形．放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的．图24．1．3所示的是一些相似的图形．图24.1.3观察图24．1．4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形．图24.1.4试一试如图24．1．5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．图24.1.5练习1．观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子．2．你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题24．11．试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．（第1题）2．观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？（第2题）§24.2 相似图形的性质1.成比例线段试一试由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC''之间有关系_______________．图24.2.1概括像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dcb a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）．此时也称这四条线段成比例．例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．解 （1） ∵3264==b a ，21105==d c ， ∴dc b a ≠， ∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段． （2） ∵55252==b a ，55235152==d c ， ∴dc b a =， ∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段． 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dcb a =，那么ad ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =． 以上结论称为比例的基本性质．例2证明：（1）如果d c b a =，那么ddc b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d c cb a a -=-． 证明（1）∵d cb a =，在等式两边同加上1，∴11+=+d cb a ， ∴ dd c b b a +=+． （2） ∵ dcb a =，∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ， ∴ ad ＋ac ＝bc ＋ac ， ∴ ac －ad ＝ac －bc ，∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ， 两边同除以（a －b ）（c －d ）， ∴dc cb a a -=-．练习1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4． 2．已知： 线段a 、b 、c 满足关系式cbb a =，且b ＝4，那么ac ＝______． 3．已知23=b a ，那么b b a +、ba a-各等于多少？ 2．相似图形的性质两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？做一做图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A 、B 、C 三地，在小地图中的相应三地记为A ′、B ′、C ′，试用刻度尺量一量两张地图中A （A ′）与B （B ′）两地之间的图上距离、B （B ′）与C （C ′）两地之间的图上距离．图24.2.2AB ＝______cm ， BC ＝______cm ； A ′B ′＝______cm ， B ′C ′＝______cm ．显然两张地图中AB 和A ′B ′、BC 和B ′C ′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A ′B ′、B ′C ′与AB 、BC 的长度相比都“同样程度”地缩小了． 计算可得B A AB ''＝________，C B BC''＝________． 我们能发现B A AB ''＝CB BC''．上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段是成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的．这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？图24．2．3中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？图24.2.3再看看图24．2．4中两个相似的五边形，是否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？图24.2.4概括由此可以得到两个相似多边形的性质： 对应边成比例，对应角相等．实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似．例 在图24．2．5所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小．图24.2.5分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角．解 ∵ 两个四边形相似，∴ 181218x ，∴ x ＝27．∴ α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°．思考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练习1．（1）根据图示求线段比：CD AC ，CB AC ，DBCD；（第1题）（2）试指出图中成比例的线段．2．等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？ 3．下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示．（第3题）4．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．（第4题）5．如图，正方形的边长a ＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由．（第5题）习题24．21．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2．在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．4．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？ 5．如图所示的两个矩形是否相似？（第5题）6．在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形．7．已知：53=-b b a ，求ba的值．8．已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：db db c a c a -+=-+．阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前408—前355年）发现： 将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP 、PB ），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB =（此时线段AP 叫做线段PB 、AB 的比例中项），则可得出这一比值等于0．618…．这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点．自然界中的黄金分割连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0.618”的印记雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑物，它是世界上最美丽的建筑之一为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形.................似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！.................。
华东师大版初中数学电子教材-第20章-平行四边形的判定
第20章平行四边形的判定 (2)20.1 平行四边形的判定 (3)20.2 矩形的判定 (8)阅读材料完美矩形 (11)20.3 菱形的判定 (12)20.4 正方形的判定 (15)阅读材料折纸中的平行四边形 (17)20.5 等腰梯形的判定 (18)小结 (20)复习题 (20)第20章平行四边形的判定你见过这样的大门吗？它能伸缩自如，开启关闭十分方便．你可以看到门上含有不少几何图形，其中有你所熟悉的平行四边形，有些还是一些特殊的平行四边形．你能说出它们的名称吗？你知道为什么它们是这样一些图形吗？20.1 平行四边形的判定我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1． 两组对边分别平行且相等；2． 两组对角分别相等；3． 两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？如图20．1．1，作一个两组对边分别相等的四边形．图20.1.1把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．下面我们证明这个结论．已知： 如图20．1．2，在四边形ABCD 中，AD＝BC ， AB ＝DC ．求证： 四边形ABCD 是平行四边形．分析 要证明四边形ABCD 是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证AB ∥DC ， AD ∥BC ，因此需要连结对角线构造内错角．证明 连结AC ，∵ AD ＝BC ， AB ＝DC ， AC ＝AC ，∴ △ABC ≌△CDA （S ．S ．S.），∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4（全等三角形的性质），∴ AB ∥CD ， AD ∥BC （内错角相等，两直线平行），∴ 四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”图20.1.2如图20．1．3，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．图20.1.3我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．已知： 如图20．1．4，在四边形ABCD 中，AB ∥CD且AB ＝CD ．求证： 四边形ABCD 是平行四边形．分析 要证明四边形ABCD 是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．证明 连结对角线AC ，∵ AB ∥CD ，∴ ∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．又∵ AB ＝CD ， AC ＝AC ，∴ △ABC ≌△CDA （S ．A ．S.），∴ BC ＝AD （全等三角形的性质），∴ 四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“平行且相等”常用符号“ ”来表示．如图20．1．4，AB ＝CD 且AB ∥CD ，可以记作“AB CD”，读作“AB 平行且等于CD”．例1如图20．1．5，在 ABCD 中，E 、F 分别是对边BC 和AD 上的两点，且AF ＝CE ，求证： 四边形AECF 为平行四边形．分析 我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件有AF ＝CE ，若运用现在得到的判定方法，只须证明AF ∥CE ．证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC （平行四边形的对边平行），即AF ∥CE ．又∵ AF ＝CE ，∴ 四边形AECF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．思 考可以用其他方法证明吗？哪种方法较为简捷？练习图20.1.4 图20.1.51． 在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？(第1题) (第2题)2． 如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 和N 分别是AB 和DC 上的中点，试证明四边形BNDM 也是平行四边形．由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线．观察这样得到的图形是什么图形．图20.1.6如图20．1．6，你还可以作一个两条对角线互相平分的四边形．和你的同伴交流一下，看看是否是平行四边形．根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．已知： 如图20．1．7，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AO ＝CO ， BO ＝DO ．求证： 四边形ABCD 是平行四边形．分析 要证明四边形ABCD 是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形．思 考我们已经知道，通过四边形的边或者对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．图20.1.7已知： 如图20．1．8，四边形ABCD 中，已知∠A＝∠C ， ∠B ＝∠D ．求证： 四边形ABCD 是平行四边形．证明 在四边形ABCD 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D＝360°（四边形的内角和等于360°）， 又∵∠A ＝∠C ， ∠B ＝∠D ，∴ ∠A ＋∠B ＝∠A ＋∠D ＝180°，∴ AD ∥BC ， AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），∴ 四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．例2如图20．1．9，在 ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝CF ，求证： 四边形BFDE 是平行四边形．分析 连结BD ，交AC 于点O ，由于OB ＝OD ，因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明四边形BFDE 是平行四边形最为恰当，根据题意只需证明OE ＝OF ．证明 连结BD ，交AC 于点O ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OB ＝OD ， OA ＝OC （平行四边形的对角线互相平分）．∵ AE ＝FC ，∴ OE ＝OF ，∴ 四边形BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．思 考现在我们总共学会了多少种判定平行四边形的方法（包括定义）了？这些判定方法与平行四边形的性质之间，又有什么样的关系呢？练习1． 如图，在平行四边形ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ， E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．(第1题) (第2题)2． 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AE 、CF 分别是∠DAB 、 ∠BCD 的角平分线，试证明四边形AFCE 是平行四边形．图20.1.8 图20.1.9例3如图20．1．10， ABCD 中，AF ＝CH ， DE＝BG ，求证： EG 和HF 互相平分．分析 因为EG 和HF 是四边形EFGH 的对角线，所以要证明EG 和HF 互相平分，可以转化成证明四边形EFGH 是平行四边形．证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ， ∠A ＝∠C （平行四边形的对边相等，对角相等）．∵ DE ＝BG ，而AE ＝AD －ED ， CG ＝CB －GB ，∴ AE ＝CG ．∵ AF ＝CH ，∴ △AEF ≌△CGH （S ．A ．S.），∴ EF ＝GH ．同理FG ＝HE ，∴ 四边形EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∴ EG 和HF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例4已知： 如图 20．1．11，线段BC 和线段BC 外一点A ．求作： 以A 为一顶点，以线段BC 为一边的平行四边形．分析 如果连结AB ，那么平行四边形的两边已经确定，根据平行四边形的对边相等就可以确定另一个顶点． 作法1． 连结AB ；2． 分别以A 、C 为圆心，以BC 、AB 为半径作弧，两弧相交于点D ；3． 连结AD 、CD ．那么四边形ABCD 就是所求的平行四边形．如果连结AC ，同理可作四边形AEBC ，它也是所求的平行四边形，也就是说此题有两解．练习1． 延长△ABC 的中线AD 至E ，使得DE ＝AD ，那么四边形ABEC 是平行四边形吗？为什么？(第1题)图20.1.10图20.1.112．作 ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm．习题20．11．用两个全等的三角形，按照不同的方法拼成四边形,可以拼成几个不同的四边形?它们都是平行四边形吗？为什么？2．四边形ABCD中，∠A和∠B互补，∠A＝∠C，求证四边形ABCD是平行四边形．3．如图，A、B、E在一直线上，AB＝DC，∠C＝∠CBE，试证明AD=BC.(第3题)4．尽可能多地用各种不同的方法画出平行四边形．20.2 矩形的判定我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？思考矩形的性质“两条对角线相等且互相平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”是矩形所特有的性质．由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形．”取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线．我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若两条绳子相等，重复上面的做法，得到的图形是什么图形呢？如图20．2．1，你还可以作一个两条对角线相等的平行四边形．图20.2.1和你的同伴交换一下，看看是否成了一个矩形．由此可以得到判定矩形的一种方法：对角线相等的平行四边形是矩形．结论的证明很简单．如图20．2．2所示： 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与对角线BD 相等，我们可以证明四边形ABCD 是矩形．已知：四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ，求证： 四边形ABCD 是矩形． 证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB CD （平行四边形的对边平行且相等），∴ ∠ABC ＋∠DCB ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵ AC ＝BD ， BC ＝BC ，∴ △ ABC ≌△DCB （S ．S ．S.），∴ ∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∴ 四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．这一判定方法在生活中有许多用处，木工师傅在制作门框或其他矩形的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求．例 如图20．2．3，O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD的交点，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．求证： 四边形EFGH 是矩形．证明 ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC ＝BD （矩形的对角相等）， AO ＝BO ＝CO ＝DO （矩形的对角线互相平分）. ∵ AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴ OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴ 四边形EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵ EO ＋OG ＝FO ＋OH ，即EG ＝FH ，∴ 四边形EFGH 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．思 考对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是矩形的方法？由矩形的另一条性质“四个内角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形．的确如此，但是，条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？图20.2.2 图12.2.3其实，这个结论是正确的．由此得到了判定矩形的又一种方法：有三个角是直角的四边形是矩形．练习1．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论．（第1题）（第2题）2．如图， ABCD中，∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？习题20．21．如图， ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证四边形ABCD是矩形.（第1题）2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE ⊥AE.求证：AB=DE.（第2题）3．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC 分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．（第3题）阅读材料完美矩形一般房屋的装修，客厅地面铺设地砖，通常都是使用同样大小的正方形地砖．而若客厅里的矩形地面上，方砖大小各不相同，砖与砖之间、砖与墙之间没有空隙，并且能使每块方砖都保持完整，那将是多么奇怪别致啊．如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为完美矩形（perfect rectangle），或者叫做完全长方形．完美矩形非常罕见．一旦遇到，总会立刻吸引人们注意，多看几眼．图1在图1中，画着一个完美矩形的例子，它是用10个不同大小的正方形拼成的．其中最小的一个正方形内写着数字3，表明它的边长是3，其他正方形内用字母表示边长．图中这些用字母表示的正方形边长各是多少呢？从图1可看出各线段长满足以下关系式：a＝g＋3，h＝g－3，b＝a＋3－d，c＝b－d，f＝d－e，h＝d＋f＋3，c＝b＋e，k＝f＋h，e＋c＝f＋k．这样就构成了一个九元一次方程组．由前六个式子可得g＝2d．由此容易求出a ＝25，b＝17，c＝23，d＝11，e＝6，f＝5，g＝22，h＝19，k＝24．矩形的长和宽分别是65和47．这是一个非常好的例子，因为相对说来，它的矩形边长很小，正方形个数又少，只有10个，叫做10阶完美矩形．组成完美矩形的正方形个数能不能更少些呢？图2是一个9阶完美矩形的例子，它的长和宽分别是33和32，组成它的9个正方形，边长从小到大，顺次是1，4，7，8，9，10，14，15，18．图2正方形的个数还能不能再减少呢？能不能用8个边长各不相同的正方形拼合成一个矩形？这是不可能的，数学上已经证明，完美矩形的最低阶数是9．完美矩形的例子，再次说明了，在简单的生活现象里，隐含着许多数学的道理，等待我们去研究和探索．20.3 菱形的判定我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？思考菱形的性质“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线垂直”是菱形所特有的性质．由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱形．”如图20．3．1，取两个长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线．我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形呢？图20.3.1如图20．3．2，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．图20.3.2和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．由此可以得到判定菱形的一种方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．结论的证明很简单．如图20．3．3，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直，我们可以证明： 四边形ABCD 是菱形．证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝OC （平行四边形的对角线相互平分）． 又∵AC ⊥BD ， ∴ BD 所在直线是线段AC 的垂直平分线， ∴ AB ＝BC ，∴ 四边形ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．例 如图20．3．4，已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，求证四边形AFCE 是菱形．分析 要证四边形AFCE 是菱形，由已知条件可知EF ⊥AC ，所以只需证明四边形AFCE 是平行四边形，又EF 垂直平分AC ，所以只需证OE ＝OF ． 证明 ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AE ∥FC （平行四边形的对边平行）， ∴ ∠1＝∠2． ∵ EF 平分AC ， ∴ AO ＝OC ．又∵ ∠AOE ＝∠COF ＝90°， ∴ △AOE ≌△COF （A ．S ．A ．）， ∴ EO ＝FO ，图20.3.3图20.3.4∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．思考对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一条性质“四条边都相等”，你可能会想到：如果一个四边形的四条边都相等，那它会不会一定是菱形？试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立．其实，这个结论同样是正确的．由此我们得到了判定菱形的又一种方法：四条边都相等的四边形是菱形．这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的．拓展由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明．练习1．证明：四条边都相等的四边形是菱形．2．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？说说你的理由.习题20．31．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.（第1题）（第2题）2． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AC 于E ，DG ⊥AB 于G ，EK ⊥AB 于K ，GH ⊥AC 于H ，EK 和GH 相交于点F ．求证： 四边形DEFG 是菱形．3． 如图，菱形ABCD 的周长为2p ，对角线AC 、BD 交于O ，AC ＋BD ＝q ，求菱形ABCD 的面积．（提示： 利用两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）（第3题）20.4 正方形的判定我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1． 四条边都相等； 2． 四个角都是直角． 因此，正方形可以看作为： 有一个角是直角的菱形； 有一组邻边相等的矩形．这些实际上就是判定正方形的方法．例 如图20．4．1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．求证： 四边形CFDE 是正方形．分析 要证明四边形CFDE 是正方形，可以先证四边形CFDE 是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形CFDE 是菱形，然后再证有一个角是直角．证明 ∵ CD 平分∠ACB ， DE ⊥BC ， DF ⊥AC ， ∴ DE ＝DF （角平分线上的点到角的两边距离相等）． 又∵ ∠DEC ＝∠ECF ＝∠CFD ＝90°，∴ 四边形CFDE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴ 四边形CFDE 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．讨 论老师给学生一个任务： 从一张彩色纸中剪出一个正方形．图20.4.1小明剪完后，这样检验它：他比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？练习1．把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？（第1题）2．判断下列命题是否正确．（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．（3）对角线相等的菱形是正方形．（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．习题20．41．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别E、F，试证明四边形CFDE为正方形.（第1题）2．已知：如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.（第2题）（第3题）3．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．阅读材料折纸中的平行四边形你会用一张普通的正方形纸折出一个表示平安幸福的小纸鹤吗？下面是纸鹤的一种简单折法：第一步：第二步：第三步：观察整个折叠过程，可以发现有很多平面图形都是你所熟悉的，你能说出它们的名称吗？你知道其中的道理吗？20.5 等腰梯形的判定我们已经知道，两腰相等的梯形是等腰梯形．通过它，我们可以判定一个梯形是不是等腰梯形．除此之外，我们还可以利用下面的方法判定等腰梯形：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．我们来证明这个结论．因为梯形有上、下底之分，同一底上的两个角可以是上底的角，也可以是下底的角．根据梯形的性质，我们知道，只要下底的两个角相等，上底的两个角也相等；反之，也同样成立．因此，我们只要证一种情况即可．如图20．5．1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．图20.5.1证明过点A作AE∥DC，交BC于E．∵AD∥BC，即AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∴AE＝CD（平行四边形的对边相等）．∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C，又∵∠B＝∠C，∴∠B=∠AEB，∴AB＝AE（等角对等边），∴AB＝CD，∴ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）．我们还可以通过梯形的两条对角线的关系，来判定梯形是否为等腰梯形．我们有下面的结论：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．请你试着给出证明．练习1．如图，矩形ABCD中，点E、F在边AD上，AE=FD.求证：四边形EBCF 是等腰梯形.（第1题）（第2题）2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC, ∠1=∠2.求证：四边形ABCD是等腰梯形.习题20．51．如图，△ABC中，AB=AC，DE∥BC.求证：四边形DBCE是等腰梯形.（第1题）（第2题）2．如图，已知线段a、b、c，求作：等腰梯形ABCD，使AD∥BC，且AB＝c，BC＝a，AC＝b．3．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE＝DF．求证：四边形BCFE是等腰梯形．（第3题）小结一、知识结构二、概括本章注意了合情推理和逻辑推理的相互结合，在结论的探索过程中，采用合情推理，而结论的证明则采用逻辑推理．除定义以外，还有一些结论可以帮助我们判定各种形状的四边形．这些结论是以后解决问题常用的工具，需要熟练掌握．复习题A组1．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．（1）如果∠ABO＋∠ADO＝90°，那么平行四边形ABCD一定是形；（2）如果∠AOB＝∠AOD，那么平行四边形ABCD一定是形；（3）如果AB＝BC，AC＝BD，那么平行四边形一定是形．2． 在平行四边形ABCD 中，点E 、F 为对角线AC 上的三等分点，求证： 四边形BFDE 是平行四边形．（第2题）（第2题）3． 如图， ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、DC 的中点，求证： EF=BC.4． 已知四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°， AB=CD.求证： 四边形ABCD 是矩形.（第4题）（第5题）5． 如图，O 是菱形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC, CE ∥BD.求证： 四边形OCED 是矩形.6． 求证： 平行线之间的距离处处相等.7． 已知： 在△ABC 中，∠C ＝90°，四边形ABDE 、AGFC 都是正方形，求证： BG ＝EC ．（第7题）B 组8． 在平行四边形ABCD 中，以AD 、BC 为边分别向外作正△ADE 、正△BFC ，连结DB 、EF 交于点O ，求证： 四边形DEBF 是平行四边形．（第8题）（第9题）9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O, E、F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF, BG=DH.求证：GF=HE.10．在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，求证：AB=EF，且四边形AEBF为矩形．（第10题）（第11题）11．在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，点E在DA的延长线上，AE＝AD，点F在AD的延长线上，DF＝AD，CE交AB于点G，BF交CD于点M，CE 与BF交于点H，求证：四边形GBCM是菱形．12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CFOE是正方形．（第12题）C组13．已知△ABC与△ADE都是等边三角形，CD＝BF，求证：四边形CDEF 是平行四边形．14．在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作直线EF分别与AD、BC交于点E、F，连结BE、AF交于点G，连结EC、FD交于点H，图中有几个平行四边形，为什么？（第13题）（第14题）15．（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形ADFE 的形状；（2）在（1）中，是否存在平行四边形ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（5）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？（第15题）。
华东师大版初中数学电子教材-第06章-一元一次方程
第6章一元一次方程 (2)§6.1 从实际问题到方程 (2)§6.2 解一元一次方程 (4)1. 方程的简单变形 (4)2. 解一元一次方程 (6)阅读材料 (10)丢番图的墓志铭与方程 (10)§6.3 实践与探索 (11)阅读材料 (13)2＝3？ (13)小结 (13)复习题 (14)第6章 一元一次方程一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？44×？＋64＝328§6.1 从实际问题到方程问题1某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还 需租用44座的客车多少辆？回 忆小学里已经学过列方程的解法，我们不妨回顾一下：设需租用客车x 辆，共可乘坐44x 人，加上乘坐校车的64人，就是全体 328人．可得44x ＋64＝328． ①解这个方程，就能得到所求的结果．问题2在课外活动中，张老师发现同学们的年龄基本是13岁．就问同学：“我 今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”“三年!”小敏同学很快发现了答案．他是这样算的：1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的31； 2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的31； 3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的31． 也有的同学说，我们可以列出方程来解：设x 年后同学的年龄是老师年龄的31，而x 年后同学的年龄是（13＋x ） 岁，老师的年龄是（45＋x ）岁，可得13＋x ＝31（45＋x ）． ② 这个方程不像问题1中的方程①那样容易求出它的解．但小敏同学的方法 启发我们，可以用尝试、检验的方法找出方程②的解，即只要将x ＝1，2，3， 4，…代入方程②的左右两边，看哪个数能使两边的值相等．这样得到x ＝3是 方程的解．思 考如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果 试验根本无法入手又该怎么办？练 习根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：1. 某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一组人数调整为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组去？2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.习题6.11. 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解：2. （1） 1815-=+x x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3,23； 3. （2） 2（y －2）－9（1－y ）＝3（4y －1）， ｛－10，10｝．4. 根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下．5. 小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了 1.60元．你猜原来每本价格多少?”你能列出方程吗？§6.2 解一元一次方程1. 方程的简单变形联想测量一些物体的质量时，我们经常将它们放在天平的左盘内，在右盘内放上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，我们就可测得该物体的质量．如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平依然平衡；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡．图6.2.1～6.2.3反映了由天平联想到的几个方程的变形．x+2=5 ⇒x=5-2图6.2.13x=2x+2 ⇒3x-2x=2图6.2.22x=6 ⇒x=6÷2图6.2.3归纳我们可以看到，方程能够这样变形：方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解．例1解下列方程：（1）x－5＝7；（2）4x＝3x－4．解（1）由x－5＝7，两边都加上5，得x＝7＋5 ，即x＝12．（2）由4x＝3x－4，两边都减去3x，得4x－3x＝－4，即 x ＝－4．概 括像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形 叫做移项（transposition ）．例2 解下列方程：（1） －5x ＝2； （2）23x ＝31． 解 （1） 方程两边都除以－5，得x ＝52-． （2） 方程两边都除以23（或乘以32），得 x ＝31×32 ， 即 x ＝92． 这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．概 括以上例1和例2解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x ＝a 的 形式．练 习1．列方程的变形是否正确？为什么？（1） 由3＋x =5,得x =5+3; （2）由7x =-4,得x =-47; （3） 由021=y ,得y =2; （4）由3=x -2,得x =-2-3. 2. (口答)求下列方程的解：（1）x -6=6; （2）7x =6x -4;（3）-5x =60; （4）2141=y . 3.用方程的变形解§6.1中问题1所列出的方程.做一做利用方程的变形，求方程2x ＋3＝1的解，并和同学讨论与交流.例3 解下列方程：（1） 8x ＝2x －7； （2） 6＝8＋2x ；（3） 321212-=-y y 解 （1） 8x ＝2x －7，8x －2x ＝－7，6x ＝－7，x =67-.（2） 6＝8＋2x ，8＋2x ＝6，2x ＝－2，x ＝－1． （3） 321212-=-y y ， 213212+-=-y y 2523-=y ， y =35- 练 习解下列方程：1. 3x ＋4＝0 .2. 7y ＋6＝－6y3. 5x ＋2＝7x ＋84. 3y －2＝y ＋1＋6y .5. x x 2.041852-=-.6. 1－21x ＝x ＋31习题6.2.11. 解下列方程：（1）18＝5－x ; （2）x x 413243-=+; （3）3x －7＋4x ＝6x －2; （4）10y ＋5＝11y －5－2y ;（5）a －1＝5＋2a ; （6）0.3x ＋1.2－2x ＝1.2－2.7x .2. 解下列方程：（1）2y ＋3＝11－6y （2）2x －1＝5x ＋7（3）31x －1－2x ＝－1; （4）21x －3＝5x ＋41 3. 已知y 1＝3x ＋2,y 2＝4－x .(1)当x 取何值时，y 1=y 2? (2)当x 取何值时，y 1比y 2大4？2. 解一元一次方程前面我们遇到的一些方程，例如44x ＋64＝328，13＋x ＝31（45＋x ） 等等，有一个共同特点，它们都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown ）．我们再一起来解几个一元一次方程．例4 解方程： 3（x －2）＋1＝x －（2x －1）．解 原方程的两边分别去括号，得3x －6＋1＝x －2x ＋1，3x －5＝－x ＋1，3x ＋x ＝1＋5，4x ＝6，x ＝23．练 习1．解下列方程：（1）5（x ＋2）＝2(5x －1);（2）(x ＋1)－2(x －1)=1－3x ;（3）2(x －2)－(4x －1)=3(1－x ).2．列方程求解：（1）当x 取何值时，代数式3（2－x ）和2（3+x ）的值相等？（2）当y 取何值时，2（3y +4）的值比5（2y -7）的值3？3．解§6.1中问题2所列出的方程.例5 解方程：解 由原方程得3（x －3）－2（2x ＋1）＝6，3x －9－4x －2＝6，3x －4x ＝6＋9＋2，－x ＝17，x ＝－17．在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程中的系数不出现分数．这样的变形通常称为“去分母”．讨 论在以上各例解一元一次方程时，主要进行了哪些变形？如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程？练 习1．指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正：（1）解方程：1524213-+=-x x （2）解方程：246231x x x -=+-- 解： 15x -5=8x +4-1, 解： 2x -2-x +2=12-3x15x -8x=4-1+5, 2x-x +3x =12+2+27x =8 4x =1687=x x =4. 2．解下列方程：（1）;47815=-a （2）15334--=-x x 例6 如图6.2.4，天平的两个盘内分别盛有51 g 、45 g 盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？图6.2.4分析设应从盘A内拿出盐x g，可列出表6.2.1．表6.2.1解设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内，则根据题意，得51－x＝45＋x．解这个方程，得x＝3．经检验，符合题意．答：应从盘A内拿出3 g盐放到盘B内．例7学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖．女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？分析设新团员中有x名男同学，可列出表6.2.2．解设新团员中有x名男同学，则根据题意，得32x＋24（65－x）＝1800．解这个方程，得x＝30．经检验，符合题意．答：新团员中有30名男同学．练习1. 学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?2. 将上题的分析和列得的方程与例7相比较，看看是否相似.将你的想法和同学交流一下.3．练习第1题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？归 纳用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关 系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.这一过程也可以简单地表述为：其中分析和抽象的过程通常包括：（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；（2）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得 到方程.在设未知数和解答时，应注意量的单位.习题6.2.21．解下列方程：（1）)4(213x +-=; （2）1)34(2)52(3++=+x x2．解下列方程：（1）353235x x -=-； （2）x x 613211-=-； （3）161242=--+y y . 3．（1）在等式S =2)(b a n +中，已知S =279，b =7，n =18，求a 的值. （2）已知梯形上底a =3，高h =5，面积S =20,根据梯形的面积公式S =h b a )(21+，求下底b 的长. 4．球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？5．学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？6．学校所在地的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费 1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?阅读材料丢番图的墓志铭与方程古希腊数学家丢番图（Diophantus ），是以研究一类方程（不定方程）著称于世的数学家.在他的墓碑上，刻写着这样一段墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄.你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，经破译，上面都是一些方程，共85个问题.如“啊哈，它的全部，它的71，是19”；“一堆，它的71,21,32，居然是33”.译得更明白一点就是：.33712132;1971=+++=+x x x x x x 在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年（公元前后）的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”，到唐、宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.这时所创立的用“天元术”解题，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期，方程的知识从中国传入日本.§6.3 实践与探索问题1用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．（1） 使长方形的宽是长的32，求这个长方形的长和宽． （2） 使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积．（3） 比较（1）、（2）所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的 长方形吗？讨 论每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设面积为x 平方 厘米？如不能，该怎么办？探 索将题（2）中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即 长与宽相等），长方形的面积有什么变化？练 习1．一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?(精确到0.1厘米,π取3.14)2．在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.读一读本节问题1中，通过探索我们发现，长方形的周长一定的情况下，它的长 和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大，通过 以后的学习，我们就会知道其中的道理.有趣的是：若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的 不规则图形），面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗？问题2小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？讨 论扣除利息的20%，那么实际得到利息的多少？你能否列出较简单的方程？练习填空：1. (1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_______册;(2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程__________________;(3)某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.2.肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少(精确到0.01%)?习题6.3.11. 一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，求这个角的度数．2. 某市去年年底人均居住面积为11平方米，计划在今年年底增加到人均13.5平方米．求今年的住房年增长率（精确到0.1%）．3. 某银行设立大学生助学贷款，分3～4年期，5～7年期两种．贷款年利率分别为6.03%、6.21%，贷款利息的50%由国家财政贴补．某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，问他现在大约可以贷款多少（精确到0.1万元）？4. 解答下列问题，并比较它们的区别：（1）师徒两人检修一条长180米的自来水管道，师傅每小时检修15米，徒弟每小时检修10米．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？（2）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时．现两人合作，需多少小时完成？5. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．问题3课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室．调皮的小刘说：“让我试一试．”上去添了“两人合作需几天完成?”有同学反对：“这太简单了!”但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的……李老师回教室后选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法．习题6.3.21.试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列得的方程相同或相似：食堂存煤若干吨，原来每天烧煤3吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量．2.中国民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票．一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付1 323元，求该旅客的机票价．3.为庆祝学校运动会开幕，初一（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半同学参加制作，每天制作40面。
华东师大版初中数学电子教材-第27章(旧版)-证明1
第27章证明 (2)§ 27.1 证明的再认识 (2)阅读材料 (5)图形中的“裂缝” (5)§27.2 用推理方法研究三角形 (6)1. 等腰三角形 (6)2. 角平分线 (8)3. 线段的垂直平分线 (9)4. 逆命题、逆定理 (11)§ 27 .3用推理方法研究四边形............................................................. 错误！未定义书签。
1. 平行四边形................................................................................ 错误！未定义书签。
2. 矩形、菱形................................................................................ 错误！未定义书签。
3. 正方形........................................................................................ 错误！未定义书签。
4. 等腰梯形.................................................................................... 错误！未定义书签。
5. 中位线........................................................................................ 错误！未定义书签。
6. 反证法........................................................................................ 错误！未定义书签。
华东师大版初中数学电子教材-第22章-二次根式
华东师⼤版初中数学电⼦教材-第22章-⼆次根式第22章⼆次根式 (2)§22.1⼆次根式 (3)阅读材料 (5)§22.2 ⼆次根式的乘除法 (5)1．⼆次根式的乘法 (5)2．积的算术平⽅根 (6)3．⼆次根式的除法 (7)§22.3 ⼆次根式的加减法 (9)⼩结 (12)复习题 (12)第22章⼆次根式⼈造地球卫星要冲出地球，围绕地球运⾏，发射时必须达到⼀定的速度，这个速度称为第⼀宇宙速度．计算第⼀宇宙速度的公式是υ，=gR其中g为重⼒加速度，R为地球半径．§22.1 ⼆次根式在第12章我们学习了平⽅根和算术平⽅根的意义，引进了⼀个记号a ．回顾当a 是正数时，a 表⽰a 的算术平⽅根，即正数a 的正的平⽅根．当a 是零时，a 等于0，它表⽰零的平⽅根，也叫做零的算术平⽅根．当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表⽰⾮负数a 的算术平⽅根，也就是说，a （a ≥0）是⼀个⾮负数，它的平⽅等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式⼦叫做⼆次根式．注意在⼆次根式a 中，字母a 必须满⾜a ≥0，即被开⽅数必须是⾮负数．例x 是怎样的实数时，⼆次根式1-x 有意义？分析要使⼆次根式有意义，必须且只须被开⽅数是⾮负数．解被开⽅数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，⼆次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的⼀些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 22=4=2；2)2(-=4=2；23=9=3；2)3(-=9=3；……概括当a ≥0时，a a =2；当a ＜0时，a a -=2．这是⼆次根式的⼜⼀重要性质．如果⼆次根式的被开⽅数是⼀个完全平⽅，运⽤这个性质，可以将它“开⽅”出来，从⽽达到化简的⽬的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）；2224)(x x x ==．练习1．计算：（1）2)8(；（2）2)9(；（3）81；（4）100．2．x 是怎样的实数时，下列⼆次根式有意义？（1）3+x ；（2）52-x ；（3）x1；（4）x -15． 3．2)(a 与2a 是⼀样的吗？说说你的理由，并与同学交流．习题22.11．x 是怎样的实数时，下列⼆次根式有意义？（1）1+x ；（2）23-x ；（3）123+x ；（4）x 231-． 2．计算：（1）2)7(；（2）2)32(；（3）94；（4）49a ． 3．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．4．边长为a 的正⽅形桌⾯，正中间有⼀个边长为3a 的正⽅形⽅孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成⼀个新的正⽅形桌⾯．你会拼吗？试求出新的正⽅形边长．（第4题）阅读材料蚂蚁和⼤象⼀样重吗同学们⼀定听过蚂蚁和⼤象进⾏举重⽐赛的故事吧！蚂蚁能举起⽐它的体重重许多倍的⽕柴棒，⽽⼤象举起的却是⽐⾃⼰体重轻许多倍的⼀截圆⽊，结果蚂蚁获得了举重冠军！我们这⾥谈论的话题是：蚂蚁和⼤象⼀样重吗？我们知道，即使是最⼤的蚂蚁与最⼩的⼤象，它们的重量明显不是⼀个数量级的．但是下⾯的“推导”却会让你⼤吃⼀惊：蚂蚁和⼤象⼀样重！设蚂蚁重量为x 克，⼤象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，即x+y=2a ．两边同乘以（x-y ），得(x+y)(x-y)=2a(x-y)．即ay ax y x 2222-=-．可变形为ay y ax x 2222-=-．两边都加上2a ，得22)()(a y a x -=-．于是 22)()(a y a x -=-，可得a y a x -=-，所以 y x =．这⾥竟然得出了蚂蚁和⼤象⼀样重的结论，岂不荒唐！那么⽑病究竟出在哪⾥呢？亲爱的同学，你能找出来吗？§22.2 ⼆次根式的乘除法1．⼆次根式的乘法计算：（1）254?与254?；（2）916?与916?．思考对于32?与32?呢？从计算的结果我们发现，32?=32?这是什么道理呢？事实上，根据积的乘⽅法则，有32)3()2()32(222?=?=?，并且32?＞0，所以32?是2×3的算术平⽅根，即32?=32?⼀般地，有ab b a =?（a ≥0，b ≥0）．这就是说，两个⼆次根式相乘，将它们的被开⽅数相乘．注意，在上式中，a 、b 都表⽰⾮负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表⽰正数．例1 计算：（1）67?；（2）3221?．解（1）426767=?=?．（2）41632213221==?=?． 2．积的算术平⽅根上⾯得到的等式ab b a =?（a ≥0，b ≥0），也可以写成 b a ab ?=（a ≥0，b ≥0）．这就是说，积的算术平⽅根，等于各因式算术平⽅根的积．利⽤这个性质可以进⾏⼆次根式的化简．例2 化简，使被开⽅数不含完全平⽅的因式（或因数）：（1）12；（2）34a ；（3）b a 4．解（1）32122?=322?=32=．（2）a a a ??=2344a a ?=22a a 2=．（3）b a b a ?=44b a ?=22)(b a 2=．例2各题中给出的⼆次根式，被开⽅数的因式中有⼀些幂的指数不⼩于2，即含有完全平⽅的因式（或因数），如（1）中32122?=，（2）中a a a ??=22324，（3）中b a b a ?=224)(，通常可根据积的算术平⽅根的性质，并利⽤a a =2（a ≥0），将这个因式（或因数）“开⽅”出来．做⼀做计算下列各式，并将所得的结果化简：（1）63?；（2）a a 153?．3．⼆次根式的除法讨论两个⼆次根式相除，怎样进⾏呢？商的算术平⽅根⼜等于什么？试参考前两⼩节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．概括⼀般地，有=b a________（a ≥0，b ＞0）．这就是说，两个⼆次根式相除，___________________________．例3计算：（1）315；（2）624．解（1）5315315==．（2）24624624===．⼩题（2）也可先将分⼦化简为62，从⽽容易算得结果．上⾯得到的等式，也可以写成=b a______（a ≥0，b ＞0）．这就是说，商的算术平⽅根，等于__________________．利⽤这个性质可以进⾏⼆次根式的化简．例4 化简21．（要求分母中不含⼆次根式，并且⼆次根式中不含分母）解 2222222221212122===??==．这⾥，⼆次根式21的被开⽅数中含有分母，通常可利⽤分式的基本性质将它配成完全平⽅数，再“开⽅”出来．按照例2和例4的要求化简后的⼆次根式，被开⽅数中不含分母，并且被开⽅数中所有因式的幂的指数都⼩于2，像这样的⼆次根式称为最简⼆次根式．⼆次根式的除法，也可采⽤化去分母中根号的办法来进⾏，只要将分⼦、分母同乘以⼀个恰当的因式（也是⼆次根式）就可以了．如例4，将分⼦、分母同乘以2，得22)2(22221212==??=．练习1．化简：（1）27；（2）325a ；（3）31；（4）52． 2．计算：（1）3521?；（2）b b 62?；（3）208；（4）a a3965．3．现有⼀张边长为5cm 的正⽅形彩纸，欲从中剪下⼀个⾯积为其⼀半的正⽅形，问剪下的正⽅形边长是多少？（答案先⽤最简⼆次根式表⽰，再算出近似值，精确到0.01）习题22.21．化简：（1）250；（2）432x ；（3）714；（4）65． 2．计算：（1）3018?；（2）7523?；（3）368ab ab ?；（4）9840；（5）5120-；（6）x x 823．3．某液晶显⽰屏的对⾓线长36cm ，其长与宽之⽐为4∶3，试求该液晶显⽰屏的⾯积．4．本章导图中给出了第⼀宇宙速度的计算公式：gR =υ，其中g 通常取2/8.9秒⽶，R 约为6370千⽶．试计算第⼀宇宙速度．（结果⽤科学记数法表⽰，并保留两个有效数字）§22.3 ⼆次根式的加减法试⼀试计算：（1）3233-；（2）a a a 423+-．概括与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的⼏个⼆次根式，称为同类⼆次根式．⼆次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类⼆次根式合并．例1 计算：3322323--+．解 3322323--+)333()2223(-+-=322-=．思考计算：12188++．分析先将各⼆次根式化简：2224248=?=?=，=18______________________，=12______________________．解 12188++=+22________+___________=____________________．⼆次根式相加减，先把各个⼆次根式化简，再将同类⼆次根式合并．例2 计算：（1）451227+-；（2）x x x 916425-+．解（1）451227+-533233+-=533+=．（2）x x x 916425-+ x x x 3425-+= x )3425(-+= x 27=．例3 计算：（1）)12)(12(-+；（2）)2)(2(b a b a -+．解（1）)12)(12(-+1121)2(22=-=-=．（2）)2)(2(b a b a -+b a b a 2)2()(22-=-=．练习1．下列各组⾥的⼆次根式是不是同类⼆次根式？（1）122，27；（2）50，83；（3）ab 2，ab 83；（4）b a 23，227ab ．2．下列⼆次根式中，哪些与24是同类⼆次根式？21,50,27,24,12． 3．计算：（1）433332+-；（2）75335-． 4．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．习题22.31．下列各组⾥的⼆次根式是不是同类⼆次根式？（1）50,203；（2）372,28；（3）n m n m 2,2；（4）yx x y 2527,43． 2．计算：（1）245253-+-；（2）12273752+-；（3）2231872-+． 3．计算：（1）)1)(1(x x -+；（2）))((b a b a --+． 4．⽤⼀根铁丝做成⼀个正⽅形，使它恰好能嵌⼊⼀个直径为20cm 的圆中（如图），求这根铁丝的长度．（结果精确到0.1cm ）（第4题）5．已知⼆次根式12+a 与7是同类⼆次根式，试写出三个a 的可能取值．⼩结⼀、知识结构⼆、概括1 理解符号a 的意义是研究⼆次根式的关键．a 表⽰⾮负数a 的算术平⽅根，即有：（1）a ≥0(a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．要注意⼆次根式中字母的取值范围：被开⽅数必须是⾮负数．2 ⼆次根式的化简是进⾏⼆次根式运算的重要⼿段，⼆次根式的化简主要包括两个⽅⾯：（1）如果被开⽅数中含有分母，通常可利⽤分式的基本性质将分母配成完全平⽅，再“开⽅”出来．（2）如果被开⽅数中含有完全平⽅的因式（或因数），可利⽤积的算术平⽅根的性质，将它“开⽅”出来．在化简过程中，都需要将被开⽅数中的完全平⽅“开⽅”出来，在这⾥，⼆次根式的性质“2)(a =a （a ≥0）”起着举⾜轻重的作⽤．3 ⼆次根式的运算，主要研究⼆次根式的乘除和加减．（1）⼆次根式乘除，只需将被开⽅数进⾏乘除，其依据是：ab b a =?（a ≥0，b ≥0）；ba b a=（a ≥0，b ＞0）．（2）⼆次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类⼆次根式．通常应先将⼆次根式化简，再把同类⼆次根式合并．⼆次根式运算的结果应尽可能化简．复习题A 组1．计算：（1）25?；（2）105?；（3）3514；（4）13252+；（5）3232245-；（6）3)8512(?+；（7）ab a ?2；（8）2245a a -（a ≥0）；（9）3612-；（10）)32)(32(n m n m -+． 2．下列各组⾥的⼆次根式是不是同类⼆次根式？（1）40,52；（2）372,218；（3）n m n m 2,2；（4）252,233ab b a ． 3．x 取何值时，下列各⼆次根式有意义？（1）43-x ；（2）x 322+． 4．x 是怎样的实数时，x x x x -?-=--32)3)(2(？5．钳⼯车间⽤圆钢做正⽅形螺母，所需螺母边长为a ，问下料时⾄少要⽤直径多⼤的圆钢？（第5题）6．如图，边长为8⽶的正⽅形⼤厅，地⾯由⼤⼩完全相同的⿊、⽩正⽅形⽅砖相间铺成．求每块⽅砖的边长．（第6题）B 组7 若02=+a a ，则a 的取值范围是__________________．8 若a a ---33有意义，则a 的值为______________．9 若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．10 试写出⼀个式⼦，使它与12-之积不含⼆次根式．11 数a 、b 在数轴上的位置如图所⽰，化简222)()1()1(b a b a ---++．(第11题)C 组12 化简：981321211++++++ ．13 19世纪俄国⽂学巨匠列夫·托尔斯泰曾在作品《⼀个⼈需要很多⼟地吗》中写了这样⼀个故事：有⼀个叫巴霍姆的⼈到草原上去购买⼟地，卖地的酋长出了⼀个⾮常奇怪的地价“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他⽇出时从规定地点出发，⽇落前返回出发点，所⾛过的路线圈起的⼟地就全部归他．如果⽇落前不能回到出发点，那么他就得不到半点⼟地，⽩出1000卢布．巴霍姆觉得这个条件对⾃⼰有利，便付了1000卢布．第⼆天天刚亮，他就连忙在草原上⼤步向前⾛去．他⾛了⾜⾜有10俄⾥（1俄⾥≈1.0668公⾥），才朝左拐弯；接着⼜⾛了许久，才再向左拐弯；这样⼜⾛了2俄⾥，这时他发现天⾊不早，⽽⾃⼰离出发点还⾜有15俄⾥的路程，于是只得改变⽅向，径直朝出发点奔去……最后，他总算如期赶到了出发点，却因过度劳累，⼝吐鲜⾎⽽死．请你算⼀算，巴霍姆这⼀天⾛了多少俄⾥路？他⾛过的路线围成的⼟地⾯积有多⼤？（结果保留⼆次根式）。
华东师大版初中数学电子教材 第24章1 图形的相似-9页word资料
TOC \o "1-3" \h \z \u 第24章 ..... 图形的相似2§24.1 相似的图形 (3)§24.2 相似图形的性质 (5)1．成比例线段 (5)2．相似图形的性质 (5)阅读材料 (10)第24章图形的相似你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？§24.1 相似的图形观察图24.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的．尽管它们大小不同，但形状相同．图24．1．2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar figures）．同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形．放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的．图24．1．3所示的是一些相似的图形．观察图24．1．4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形．试一试如图24．1．5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好． 练习1．观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子．2．你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题24．11．试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．2．观察下面的图形（a ）~（g ），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？§24.2 相似图形的性质1.成比例线段试一试 由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC ''之间有关系_______________． 概括像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dc b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）．此时也称这四条线段成比例．例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；解 （1） ∵ 3264==b a ，21105==d c ， ∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段．（2） ∵ 55252==b a ，55235152==d c ， ∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dc b a =，那么ad ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么d c b a =． 以上结论称为比例的基本性质．例2 证明：（1）如果d c b a =，那么dd c b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么dc c b a a -=-． 证明（1）∵d c b a =， 在等式两边同加上1，（2） ∵ dc b a =， ∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ，∴ ad ＋ac ＝bc ＋ac ，∴ ac －ad ＝ac －bc ，∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ，两边同除以（a －b ）（c －d ），练习1．判断下列线段是否是成比例线段：（2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4．2．已知： 线段a 、b 、c 满足关系式c b b a =，且b ＝4，那么ac ＝______． 3．已知23=b a ，那么b b a +、ba a -各等于多少？ 2．相似图形的性质两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？做一做图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A 、B 、C 三地，在小地图中的相应三地记为A ′、B ′、C ′，试用刻度尺量一量两张地图中A （A ′）与B （B ′）两地之间的图上距离、B （B ′）与C （C ′）两地之间的图上距离．AB ＝______cm ， BC ＝______cm ；A ′B ′＝______cm ， B ′C ′＝______cm ．显然两张地图中AB 和A ′B ′、BC 和B ′C ′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A ′B ′、B ′C ′与AB 、BC 的长度相比都“同样程度”地缩小了． 计算可得B A AB ''＝________，CB BC ''＝________． 我们能发现B A AB ''＝C B BC ''． 上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段是成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的．这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？图24．2．3中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？再看看图24．2．4中两个相似的五边形，是否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？概括由此可以得到两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等．实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似．例在图24．2．5所示的相似四边形中，求未知边x的长度和角度α的大小．分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角．解∵两个四边形相似，∴x＝27．∴α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°．思考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练习1．（1）根据图示求线段比：CD AC ，CB AC ，DBCD ； （2）试指出图中成比例的线段．2．等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？3．下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示．4．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．5．如图，正方形的边长a ＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由．习题24．21．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2．在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3．判断下列各组线段是否是成比例线段：（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．4．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？5．如图所示的两个矩形是否相似？6．在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形．7．已知：53=-b b a ，求ba 的值． 8．已知d cb a =（b ±d ≠0），求证：d b d bc a c a -+=-+． 阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前408—前355年）发现： 将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP 、PB ），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAP AP PB =（此时线段AP 叫做线段PB 、AB 的比例中项），则可得出这一比值等于0．618…．这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点．为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
华东师大版初中数学电子教材-第19章-全等三角形
§19 全等三角形 (2)§19。
1 命题与定理 (2)1．命题 (2)2．公理、定理 (3)§19.2 三角形全等的判定 (4)1．全等三角形的判定条件 (4)2．边角边 (6)3．角边角 (8)4．边边边 (10)5．斜边直角边 (12)阅读材料 (15)§19。
3 尺规作图 (16)1．作一条线段等于已知线段 (16)2．作一个角等于已知角 (16)3．作已知角的平分线 (17)4．经过一已知点作已知直线的垂线 (17)5．作已知线段的垂直平分线 (19)阅读材料 (20)§19.4 逆命题与逆定理 (21)1．互逆命题与互逆定理 (21)2．等腰三角形的判定 (22)3．角平分线 (24)4．线段垂直平分线 (25)小结 (28)复习题 (29)课题学习 (30)§19 全等三角形你玩过拼图游戏吗？那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画。
那些拼板有不少是形状相同、大小一样的.它们相互之间有什么关系？发挥你的智慧，想想看！§19。
1 命题与定理1.命题思考我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180°”、“等腰三角形的两个底角相等”等．根据我们学过的图形特性,试判断下列句子是否正确．（1）如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;（2）两直线平行，同位角相等;(3）同旁内角相等,两直线平行；（4）平行四边形的对角线相等；（5)直角都相等．根据已有的知识可以判断出句子（1）、(2)、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项．这样的命题常可写成“如果……，那么……"的形式．用“如果”开始的部分就是题设,而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．有的命题的题设与结论不十分明显,将它写成“如果……，那么……”的形式，也可分清它的题设与结论．例如，命题（5)可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”．例1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．解这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等"，结论是“这个三角形是等边三角形”．要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立,即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”．例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可．练习1把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论．（1）全等三角形的对应边相等;（2）平行四边形的对边相等．2指出下列命题中的真命题和假命题．（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°．2公理、定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）．我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等．在本书中我们将这些真命题均作为公理．数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后,我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题:直角三角形的两个锐角互余．已知：如图19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°。
华东师大版初中数学电子教材-第13章-整式的乘除
第13章整式的乘除§13.1幂的运算1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方4. 同底数幂的除法§13.2整式的乘法1. 单项式与单项式相乘2. 单项式与多项式相乘3. 多项式与多项式相乘§13.3乘法公式1. 两数和乘以这两数的差2. 两数和的平方阅读材料贾宪三角§13.4整式的除法1. 单项式除以单项式2. 多项式除以单项式§13.5因式分解阅读材料你会读吗小结复习题课题学习面积与代数恒等式第13章整式的乘除某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗?·§13.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法试一试（1）23×２4＝（２×２×２）×（２×２×２×２）＝２()；（2） 53×５4＝5()；（3） a3·a4＝a()．a m·a n＝（a·a·…·a）（a·a·…·a）＝a·a·…·a＝a n m+．可得a m·a n＝a n m+（m、n为正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例1计算：（1） 103×１０4；（2） a·a3；（3） a·a3·a5．解（1） 103×１０4＝１０43+＝１０7．（2）a·a3＝a31+＝a4．（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a9．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1） a·a2＝a2；（2） a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6．2. 计算：（1） 102×105；（2） a3·a7；（3） x·x5·x7．2. 幂的乘方试一试根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（23）2＝23×２3＝２()；（2）（32）3＝32×３2×３2＝３()；（3）（a3）4＝a3·a3·a3·a3＝a()．（a m）n＝a m·a m·…·a m（n个）＝a m++...（n个）m+m=a mn可得（a m）n＝a mn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．例2计算：（1）（103）5；（2）（b3）4．解（1）（103）5＝105*3＝１０15．（2）（b3）4＝b4*3＝b12．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a3）5＝a8；（2） a5·a5＝a15；（3）（a2）3·a4＝a9．2. 计算：（1）（22）2；（2）（y2）5；（3）（x4）3；（4）（y3）2·（y2）3．3. 积的乘方试一试（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()；（2）（ab）3＝＝＝a()b()；（3）（ab）4＝＝＝a()b()．概括（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）（n个）＝（a·a·…·a）·（b·b·…·b）＝a n b n．可得（ab）n＝a n b n（n为正整数）．这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．例3计算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4．练习1. 判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy3）2＝xy6；（2）（－2x）3＝－2x3．2. 计算：（1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3．4. 同底数幂的除法我们已经知道同底数幂的乘法法则： a m·a n＝a n m ，那么同底数幂怎么相除呢?试一试用你熟悉的方法计算：（1） 25÷２2＝；（2） 107÷103＝；（3） a7÷a3＝（a≠0）．概括由上面的计算，我们发现：25÷２2＝23＝225-；107÷103＝ 104＝1037-；a7÷a3＝ a4＝a37-．一般地，设m、n为正整数，m＞n， a≠0，有a m÷a n＝a n m-．这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．我们可以利用除法的意义来说明这个法则的道理：因为除法是乘法的逆运算，a m÷a n实际上是要求一个式子（），使 a n·（）＝a m．而由同底数幂的乘法法则，可知a n· a n m-＝a)n-+＝a m，m(n所以要求的式子（），就是a n m-，从而有a m÷a n＝a n m-．例4计算：（1） a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．解（1） a8÷a3＝a38-＝a5．（2）（－a）10÷（－a）3＝（－a）310-＝（－a）7＝－a7．（3）（2a）7÷（2a）4＝（2a）47-＝（2a）3＝8a3．思考你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗?练习1. 填空：（1） a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；（3） x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7．2. 计算：（1） a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3） m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．习题13.11. 计算（以幂的形式表示）：（1） 93×95；（2） a7·a8；（3） 35×２7；（4） x2·x3·x4．2. 计算（以幂的形式表示）：（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5．3. 判断下列等式是否正确，并说明理由．（1） a2·a2＝（2a）2；（2） a2·b2＝（ab）4；（3） a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．4. 计算（以幂的形式表示）：（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4） a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．5. 计算：（1） x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4） a10÷（－a2）3．6. 判断下列计算是否正确，错误的给予纠正．（1）（a2b）2＝a2b2；（2） a5÷b2＝a3b；（3）（3xy2）2＝6x2y4；（4）（－m）7÷（－m）2＝m5．7. 计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；（3） x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．8. 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?§13.2 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘计算： 2x3·5x2．（1） 3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．解（1） 3x2y·（－2xy3）＝［３·（－２）］·（x2·x）·（y·y3）（2）（－5a2b3）·（－４b2c）＝［（－５）·（－４）］·a2·（b3·b2）·c ＝ 20a2b5c．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?解 7.9×１０3×３×１０2＝ 23.7×１０5＝２.３７×１０6（米）．答：卫星运行3×１０2秒所走的路程约是2.37×１０6米．讨论你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习（1） 3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?3. 小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方厘米?2. 单项式与多项式相乘试一试计算： 2a2·（3a2－5b）．例3计算：（－2a2）·（３ab2－5ab3）．解（－2a2）·（３ab2－5ab3）＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－５ab3）＝－6a3b2＋10a3b3．概括单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．练习1. 计算：（1） 3x3y·（2xy2－3xy）；（2） 2x·（3x2－xy＋y2）．2. 化简： x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．3. 多项式与多项式相乘回忆我们再来看一看本章导图中的问题：图13.2.1某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．这块林区现在长为（m＋n）米，宽为（a＋b）米，因而面积为（m ＋n）（a＋b）米2．也可以这样理解：如图13.2.1所示，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2，故这块地的面积为（ma＋mb＋na＋nb）米2．由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一块地的面积，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．实际上，把（m＋n）看成一个整体，有（m＋n）（a＋b）＝（m＋n）a＋（m＋n）b＝ ma＋mb＋na＋nb．如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例4计算：（1）（x＋2）（x－3）；（2）（3x－1）（2x＋1）．解（1）（x＋2）（x－3）＝ x2－3x＋2x－6＝ x2－x－6．（2）（3x－1）（2x＋1）＝ 6x2＋3x－2x－1＝ 6x2＋x－1．例5计算：（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．解（1）（x－3y）（x＋7y）＝ x2＋7xy－3yx－21y2＝ x2＋4xy－21y2．（3）（2x＋5y）（3x－2y）＝ 6x2－4xy＋15yx－10y2＝ 6x2＋11xy－10y2．练习1. 计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）；（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21. 计算：（1） 5x3·8x2；（2） 11x12·（－12x11）；（3） 2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3. 计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2） 5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．4. 化简：（1） x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2） x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）．5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?6. 计算：（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．7. 一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小）．问台面面积是多少?§13.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差做一做计算：（a＋b）（a－b）．这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．试一试图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．例1计算：（1）（a＋3）（a－3）；（2）（2a＋3b）（2a－3b）；（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x－y）（2x－y）．解（1）（a＋3）（a－3）＝ a2－32＝ a2－9．（2）（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝ 4a2－9b2．（3）（1＋2c）（1－2c）＝ 12－（2c）2＝ 1－4c2．（4）（－2x－y）（2x－y）＝（－y－2x）（－y＋2x）＝（－y）2－（2x）2＝ y2－4x2．例2计算： 1998×２００２．解 1998×２００２＝（2000－2）×（2000＋2）＝ 200０2－22＝ 4000000－4＝ 3999996．例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?解（a＋2）（a－2）＝a2－4（平方米）．答：改造后的长方形草坪的面积是（a2－4）平方米．练习1. 计算：（1）（2x＋1/2）（2x－1/2）；（2）（－x＋2）（－x－2）；（3）（－2x＋y）（2x＋y）；（4）（y－x）（－x－y）．2. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001．3. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?2.两数和的平方做一做计算：（a＋b）2．经计算，我们又得到一个漂亮的结果：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．试一试先观察图13.3.2，再用等式表示下图中图形面积的运算：图13.3.2 ＝＋＋．例4计算：（1）（2a＋3b）2；（2）（ 2a＋b/2）2．解（1）（2a＋3b）2＝（2a）2＋2·２a·3b＋（3b）2＝ 4a2＋12ab＋9b2．（2）（2a＋b/2）2＝（2a）2＋2·2a·b/2＋b/22＝ 4a2＋2ab＋b2/4．例5计算：（1）（a－b）2；（2）（2x－3y）2．解（1）（a－b）2＝［a＋（－b）］2＝ a2＋2·a·（－b）＋（－b）2＝ a2－2ab＋b2．（2）（2x－3y）2＝［２x＋（－3y）］2＝（2x）2＋2·（2x）·（－3y）＋（－3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．本题也可直接运用小题（1）的结果（两数差的平方公式）来计算：（2x－3y）2＝（2x）2－2·（2x）·（3y）＋（3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．图13.3.3讨论你能从图13.3.3中的面积关系来解释小题（1）的结果吗?练习1. 计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）2．2. 计算：（1）（x－3）2；（2）（2m－n）2．3. 计算：（1）（－2m＋n）2；（2）（－2m－n）2．4. 要给一边长为a米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布?习题13.31. 计算：（1）（a＋2b）（a－2b）；（2）（2a＋5b）（2a－5b）；（3）（－2a－3b）（－2a＋3b）；（4）（－1/3a＋1/2b）（1/3a＋1/2b）．2. 计算：（1）（3a＋b）2；（2）（2a＋1/3b）2；（3）（2a＋1）（－2a－1）．3. 计算：（1）（2a－4b）2；（2）（ 1/2a－1/3b）2．4. 填空：（1） a2＋6a＋＝（a＋）2；（2） 4x2－20x＋＝（2x－）2；（3） a2＋b2＝（a－b）2＋；（4）（x－y）2＋＝（x＋y）2．5. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗?阅读材料贾宪三角贾宪三角（如图1）最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪图1的《黄帝九章算法细草》一书中，原名“开方作法本源图”，用来作开方运算，在数学史上占有领先地位．我国南宋时期数学家杨辉对此有着记载之功，他于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表．因此，后人把这个图表称作贾宪三角或杨辉三角．在欧洲，贾宪三角则被人们称为“帕斯卡三角”，这是因为法国数学家帕斯卡于1654年发表了此“三角”，并且影响较大．但这比我国已经迟了近600年．其实，数学史上有不少人各自独立地绘制过类似图表，如1427年阿拉伯的数学家阿尔·卡西，1527年德国的阿皮亚纳斯，1544年德国的施蒂费尔，1545年法国的薛贝尔等．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，是有着不同的应用趋向的．贾宪将它应用于开方运算，注重增乘方法并把这种方法推向求高次方根；帕斯卡关心数字三角阵的性质探讨以及把这种性质推广到组合数的性质上；而施蒂费尔则注重二项展开式系数间的关系；还有我国元代数学家朱世杰于13世纪巧妙地利用贾宪三角得出了一系列级数求和的重要公式，并且利用这些公式求出许多更为复杂的级数之和，这在当时世界上也处于领先水平．与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．如图2，在贾宪三角中，第三行的三个数（1， 2， 1）恰好对应着两数和的平方公式（a＋b）2的展开式a2＋2ab＋b2的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数（1， 3， 3， 1）恰好对应着两数和的立方（a＋b）3的展开式a3＋３a2b＋3ab2＋b3的系数，第五行的五个数（1， 4， 6， 4， 1）恰好对应着两数和的四次方（a＋b）4的展开式a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对我们现在学习的两数和的平方公式的推广而得到的．（a＋b）0…………（a＋b）1…………（a＋b）2…………（a＋b）3…………（a＋b）4…………（a＋b）5…………（a＋b）6…………11121133114641151010511615201561图2同学们，贾宪三角告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，你发现其中的字母及字母指数的排列规律了吗?如果发现了，请你试着写出（a＋b）5、（a＋b）6与（a＋b）77的展开式．§13.4 整式的除法1. 单项式除以单项式计算： 12a5c2÷３a2．根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与３a2相乘的积等于12a5c2．∵（4a3c2）·３a2＝12a5c2，∴ 12a5c2÷３a2＝4a3c2．概括单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．例1计算：（1） 24a3b2÷３ab2；（2）－21a2b3c÷３ab；（3）（６xy2）2÷３xy．解（1） 24a3b2÷3ab2＝（24÷３）（a3÷a）（b2÷b2）＝ 8a13-·１＝ 8a2．（2）－21a2b3c÷３ab＝（－21÷３）a12-b13-c＝－7ab2c．（3）（6xy2）2÷３xy＝ 36x2y4÷３xy＝ 12xy3．思考你能用a－b的幂表示下式的结果吗?12（a－b）5÷３（a－b）2．例2地球的质量约为5.98×１０24千克，木星的质量约为1.9×１０27千克．问木星的质量约是地球的多少倍?（结果保留三个有效数字）分析本题只需做一个除法运算：（1.9×１０27）÷（５.９８×１０24），我们可以先将1.9除以5.98，再将１０27除以１０24，最后将商相乘．解（1.9×１０27）÷（5.98×１０24）＝（1.9÷５.９８）×１０27 ≈ 0.318×１０3＝３１８．24答：木星的质量约是地球的318倍．练习1. 填表：的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×１０8米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×１０2米/秒．请计算一下，光速是声速的多少倍?（结果保留两个有效数字）2. 多项式除以单项式试一试计算：（1）（ax＋bx）÷x；（2）（ma＋mb＋mc）÷m．根据除法的意义，容易探索、计算出结果．以小题（2）为例，（ma＋mb＋mc）÷m就是要求一个多项式，使它与m的积是ma＋mb＋mc．∵m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，∴（ma＋mb＋mc）÷m＝a＋b＋c．概括多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例3计算：（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x；（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）．解（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x＝ 9x4÷３x－15x2÷３x＋6x÷３x＝ 3x3－5x＋2．（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）＝ 28a3b2c÷（－7a2b）＋a2b3÷（－7a2b）－14a2b2÷（－7a2b）＝－4abc－1/7b2＋2b．练习1. 计算：（1）（3ab－2a）÷a；（2）（5ax2＋15x）÷5x；（3）（12m2n＋15mn2）÷6mn；（4）（x3－2x2y）÷（－x2）．2. 计算：（1）（4a3b3－6a2b3c－2ab5）÷（－２ab2）；（2） x2y3－1/2x3y2＋2x2y2÷1/2xy2．习题13.41.计算：（1）－21a2b3÷7a2b；（2） 7a5b2c3÷（－3a3b）；（3）－1/2a4x4÷－1/6a3x2；（4）（16x3－8x2＋4x）÷（－2x）．2.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．3.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．4. 一颗人造地球卫星的速度是８×１０3米/秒，一架喷气式飞机的速度是5×１０2米/秒，试问：这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?5. 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1．你能说明其中的道理吗?§13.5 因式分解回忆运用前面所学的知识填空：〖〗你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?（1） m（a＋b＋c）＝；（2）（a＋b）（a－b）＝；（3）（a＋b）2＝．试一试填空：（1） ma＋mb＋mc＝（）（）；（2） a2－b2＝（）（）；（3） a2＋2ab＋b2＝（）2．概括我们“回忆”的是已熟悉的整式乘法运算，而“试一试”中的问题，其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（factorization）．多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式（common factor）．把公因式提出来，多项式ma＋mb ＋mc就可以分解成两个因式m和（a＋b＋c）的乘积了．像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．“试一试”中的（2）、（3）小题，实际上是将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法．做一做把下列多项式分解因式：（1） 3a＋3b＝；（2） 5x－5y＋5z＝；（3） x2－4y2＝；（4） m2＋6mn＋9n2＝．例1把下列多项式分解因式：（1）－5a2＋25a；（2） 3a2－9ab；（3） 25x2－16y2；（4） x2＋4xy＋4y2．解（1）－5a2＋25a＝－5a（a－5）．（2） 3a2－9ab＝ 3a（a－3b）．（3） 25x2－16y2＝（5x）2－（4y）2＝（5x＋4y）（5x－4y）．（4） x2＋4xy＋4y2＝ x2＋2·x·2y＋（2y）2＝（x＋2y）2．例2把下列多项式分解因式：（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3；（2） 3x3－12xy2．解（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3＝ xy（4x2＋4xy＋y2）＝ xy（2x＋y）2．（2）3x3－12xy2＝ 3x（x2－4y2）＝ 3x［x2－（2y）2］＝ 3x（x＋2y）（x－2y）．练习1. 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由．如果不正确，请写出正确答案．（1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1；（2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y）．2. 把下列各式分解因式：（1） a2＋a；（2） 4ab－2a2b；（3） 9m2－n2；（4） 2am2－8a；（5） 2a2＋4ab＋2b2．3. 丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高．丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3倍绳长，宽是2倍绳长，圆柱体的底面周长是10倍绳长．你知道哪一个体积较大吗?大多少?（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）习题13.51. 把下列多项式分解因式：（1） 3x＋3y；（2）－24m2x－16n2x；（3） x2－1；（4）（xy）2－1；（5） a4x2－a4y2；（6） 3x2＋6xy＋3y2；（7）（x－y）2＋4xy；（8） 4a2－3b（4a－3b）．2. 先将下列代数式分解因式，再求值：2x（a－2）－y（2－a），其中a＝0.5， x＝1.5， y＝－2．3. 在一块边长为a＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?4. 一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少?你会读吗阅读材料你会读吗数学中有不少运算符号与记号，如何用英语准确地表达这些符号与记号呢?读一读，看看你能读懂多少?A＋B＝C……A plus B equals CA－B＝C……A minus B equals CA×B＝C……A multiplied by B equals C ……A times B equals CA÷B＝C……A divided by B equals C1/2……one half 2/3……two thirdsA2……A squared A3……A cubedA＞B……A is greater than BA∶B……the ratio of A to Bl∥m……l is parallel to m小结一、知识结构二、概括1. 本章主要研究整式的乘法与除法运算，其运算法则从根本上说是运用了数的运算律，最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式，其中幂的运算是它们的基础．2. 在多项式乘以多项式中，有一些特殊形式的乘法运算结果较为简洁，在计算中可以作为乘法公式直接运用．学习中要注意掌握这些公式的结构特点，以便能准确地运用公式来简化计算．3. 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．复习题A组1. 计算：（1） a10·a8；（2）（xy）2·（xy）3；（3）［（－x）3］2；（4）［（－x）2］3；（5）（－2mn2）3；（6）（y3）2·（y2）4．2. 计算：（1）（4×１０4）×（２×１０3）；（2） 2a·３a2；（3）（－3xy）·（－４yz）；（4）（－2a2）2·（－５a3）；（5）（－3x）·（2x2－x－1）；（6）（x＋2）（x＋6）；（7）（x－2）（x－6）；（8）（2x－1）（3x＋2）．3. 计算：（1）（x＋2）（x－2）；（2）（m＋n）（m－n）；（3）（－m－n）（－m＋n）；（4）（－m－n）（m＋n）；（5）（－m＋n）（m－n）；（6） 2/3x＋3/4y2．4. 计算：（1） 20012－2002×2000；（2）（2x＋5）2－（2x－5）2；（3）－12xy·３x2y－x2y·（－3xy）；（4） 2x·1/2x－1－3x1/3x＋2/3；（5）（－2x2）·（－y）＋3xy·1－1/3x；（6）（－6x2）2＋（－3x）3·x．5. 计算：（1） a·a4÷a3；（2）（－x）6÷（－x）2·（－x）3；（3） 27x8÷3x4；（4）－12m3n3÷4m2n3；（5）（6x2y3z2）2÷4x3y4；（6）（－6a2b5c）÷（－2ab2）2．6. 计算：（1）（6a4－4a3－2a2）÷（－2a2）；（2）（4x3y＋6x2y2－xy3）÷２xy；（3）（x4＋2x3－1/2x2）÷（－1/2x）2；（4）（2ab2－b3）2÷２b3．7. 计算：［（x－2y）2＋（x－2y）（x＋2y）－2x（2x－y）］÷2x．8. 把下列多项式分解因式：（1） x2－25x；（2） 2x2y2－4y3z；（3） am－an＋ap；（4） x3－25x；（5） 1－4x2；（6） 25x2＋20xy＋4y2；（7） x3＋4x2＋4x．9. 先化简，再求值：（1） 3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2；（2）（a－3b）2＋（3a＋b）2－（a＋5b）2＋（a－5b）2，其中a ＝－8， b＝－6．10. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢?11. 1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×１０5千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×１０10千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量．B组12. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．13. 已知（x＋y）2＝1，（x－y）2＝49，求x2＋y2与xy的值．14. 已知a＋b＝3， ab＝2，求a2＋b2的值．15. 已知a－b＝1， a2＋b2＝25，求ab的值．16. 把下列各式分解因式：（1） x（x＋y）－y（x＋y）；（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1；（3） 4x4－4x3＋x2；（4） x2－16ax＋64a2；（5）（x－1）（x－3）＋1；（6）（ab＋a）＋（b＋1）．C组17. 一个长方形的长增加4cm，宽减少1cm，面积保持不变；长减少2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变．求这个长方形的面积．18. 当整数k取何值时，多项式x2＋4kx＋4恰好是另一个多项式的平方?19. 试判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）两个连续整数的平方差必是奇数；（2）若a为整数，则a3－a能被6整除．课题学习面积与代数恒等式在前面的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释（2a）2＝4a2，图2可以用来解释（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．〖〗图1〖〗图2〖〗图３还有很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确性．现在让我们一起参加下面的实践与探索活动．（1）尽可能多地做一些如图3所示的正方形与长方形的硬纸片．（2）利用制作的硬纸片拼成一些长方形或正方形，并用所拼成的图形面积来说明所学的乘法公式及某些幂的运算公式的正确性．图４（3）根据图4，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式来．（4）试写出一个代数恒等式，比如（a＋2b）（2a－b）＝2a2＋3ab －2b2，然后用上述方法来说明它的正确性．。
(整理)华东师大版初中数学电子教材 第24章2 图形的相似
§24.3相似三角形 (2)1．相似三角形 (2)2．相似三角形的判定 (3)3．相似三角形的性质 (7)4．相似三角形的应用 (8)阅读材料 (11)§24.4 中位线 (13)§24.5 画相似图形 (17)阅读材料 (18)§24.6 图形与坐标 (19)1.用坐标确定位置 (19)小结 (24)复习题 (24)§24.3 相似三角形1.相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles ）．图24.3.1相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24．3．1所示的两个三角形中， ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AC CAC B BC B A AB ''=''=''． 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作 △ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”． 如果记A C CAC B BC B A AB ''=''=''＝k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比．做一做如图24．3．2，△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．图24.3.2我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，而∠A ＝∠A ．通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE ∽△ABC ．如果取点D 为边AB 的中点，那么上题中△ADE 和△ABC 的相似比就为k ＝21． 当k ＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形．全等三角形是相似三角形的特例．1．如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．2．如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？（第1题）（第3题）3．右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．2．相似三角形的判定我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的．这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？探索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？图24.3.3我们可以发现，它们的对应边成比例，即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？图24.3.4例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．证明∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．例2 如图24．3．5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC．图24.3.5证明∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．练习1．找出图中所有的相似三角形．（第1题）（第2题）2．图中DG ∥EH ∥FI ∥BC ，找出图中所有的相似三角形．观察图24．3．6，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图24.3.6图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31．将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE ＝________AC 时，△ADE 与△ABC 相似．此时ABAD=__________．探 索如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？我们可以发现这两个三角形相似．这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．例3证明图24．3．7中△AEB 和△FEC 相似．图24.3.7证明∵5.13654==FE AE ，5.13045==CE BE ， ∴ CEBE FE AE =． ∵ ∠AEB ＝∠FEC ， ∴ △AEB ∽△FEC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．探索如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了．做一做在图24．3．8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？图24.3.8我们可以发现这两个三角形相似．即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．例4在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知： AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm ．试证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似．证明∵31186==''B A AB ， 31248==''C B BC ， 313010==''C A AC ， ∴ C A ACC B BC B A AB ''=''=''， ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）．练习1．依据下列各组条件，证明△ABC 和△A ′B ′C ′相似．（1） AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，AC ＝16cm ，A ′B ′＝16cm ，B ′C ′＝12．8cm ，A ′C ′＝25．6cm ；（2） ∠A ＝∠80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°；（3） ∠A ＝40°，AB ＝8，AC ＝15，∠A ′＝40°，A ′B ′＝16，A ′C ′＝30．2．在第1题小题（3）中，若BC ＝a ，∠B ＝α，试求出B ′C ′的长与∠B ′、∠C ′的大小．3.相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图24．3．9中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？图24.3.9△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，而∠B ＝∠B ′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么k B A ABD A AD =''='' 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比． 图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．图24.3.10（2）与（1）的相似比＝__________， （2）与（1）的面积比＝__________； （3）与（1）的相似比＝__________， （3）与（1）的面积比＝__________．从上面可以看出，当相似比＝k 时，面积比＝2k ．我们猜想： 相似三角形的面积比等于相似比的平方．例5已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、 △A ′B ′C ′对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC='''∆∆．证明∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴k D A AD =''，k C B BC=''，∴22121k C B D A BC AD S S C B A ABC =''⋅''⋅='''∆∆ 思考图24．3．11中，△ABC 和△A ′B ′C ′相似，AD 、A ′D ′分别为对应边上的中线，BE 、B ′E ′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？图24.3.11可以得到的结论是____________________． 想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？ 可以得到的结论是____________________．练习1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2．相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．3．如图，在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出111C B A ∆和222C B A ∆的面积比．(第3题)4．相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图24．3．12所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ．如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB ．图24.3.12解 ∵ 太阳光是平行光线，∴ ∠OAB ＝∠O ′A ′B ′．∵ ∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴ △OAB ∽△O ′A ′B ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴ OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，∴ 13721274=⨯=''''⨯=B A B O AB OB （米）， 即该金字塔高为137米．图24.3.13例7如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB ．解∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴CDBDEC AB =， 解得CD EC BD AB ⨯=1006050120=⨯=（米）．答： 两岸间的大致距离为100米．这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．例8如图24．3．14，已知： D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C ．求证： AD ·AB ＝AE ·AC ．图24.3.14证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．∴ABAEAC AD， ∴ AD ·AB ＝AE ·AC ．练习1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BC ＝6，梯形DBCE 面积是△ADE 面积的3倍，求DE 的长．（第2题）习题24．31． 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程． （1） 如图，DE ∥BC ，△ABC 与△ADE ；（2） 如图，∠AED ＝∠C ，△ABC 与△ADE ．（第1题）2．已知：△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．3．使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形．4．依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．（1）∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；（2）AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；（3）∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．5．已知在等腰△ABC和△A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1）∠A＝∠A′．（2）∠B＝∠B′（或∠C＝∠C′）．6．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．（第6题）阅读材料线段的等分将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．图1图2如图2，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段1AA 、21A A 、32A A 、43A A 、54A A ，连结5BA ，再过1A 、2A 、3A 、4A 分别画5BA 的平行线，这些平行线就恰好将线段AB 平均分成五等分．你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了． 现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分．相似三角形与全等三角形“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言．就三角形而言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就称其为全等．相似是全等的拓展，全等是相似的特例．人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊到一般，二是由一般到特殊．本套教材对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为基本事实（即公理），再研究相似．因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在内的基本事实逻辑推理得到．例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．即在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，可以推出△ABC ∽△A ′B ′C ′．证明: （1） 若AB ＝A ′B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，结论成立． （2） 若AB ≠A ′B ′．不妨设AB ＞A ′B ′．在△ABC 的边AB 、AC 上，分别截取AD ＝A ′B ′，AE ＝A ′C ′， 又∵ ∠A ＝∠A ′，∴ △ADE ≌△A ′B ′C ′， 于是∠B ′＝∠ADE ．∠B ＝∠B ′， ∠B ＝∠ADE ， DE ∥BC ．BC 边上的高AG 交DE 于点F ，于是AF ⊥DE． ∴ DBCE ADE ABC S S S 梯形+=∆∆，即)()(212121AF AG BC DE AF DE AG BC -⋅++⋅=⋅． 化简得 DE ·AG ＝BC ·AF ， 即AFAGDE BC =． 因此AFAGDE BC AF DE AGBC S S S S ADE ABC C B A ABC ⋅=⋅⋅==∆∆'''∆∆212122)()(C B BC DE BC ''==．同理可证22)()(CA ACB A AB S SC B A ABC ''=''='''∆∆．∴CB BCC A AC B A AB ''=''=''． 又∵ ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴ ∠C ＝∠C ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′． 这里的证明，实际上就是将△A ′B ′C ′运动变换到△ABC 内的△ADE 处，得到DE ∥BC ，再研究△ADE 与△ABC 的关系． 试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的奇妙！§24.4 中位线在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：如图24．4．1，△ABC 中，DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．由此可以进一步推知，当点D 是AB 的中点时，点E 也是AC 的中点． 现在换一个角度考虑，图24.4.1如果点D 、E 原来就是AB 与AC 的中点，那么是否可以推出DE ∥BC 呢？DE 与BC 之间存在什么样的数量关系呢？猜想从画出的图形看，可以猜想： DE ∥BC ，且DE ＝21BC ．图24.4.2证明 如图24．4．2，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，∴ 21==AC AE AB AD ．∵ ∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴ ∠ADE ＝∠ABC ，21=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴ DE ∥BC 且BC DE 21=．概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．图24.4.3已知： 如图24．4．3所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC ． 求证： AE 、DF 互相平分．证明连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC ，所以DE ∥AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）． 同理EF ∥AB ．所以四边形ADEF 是平行四边形．因此AE 、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例2如图24．4．4，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ．求证：31==AD GD CE GE ．图24.4.4证明 连结ED ，∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点， ∴ DE ∥AC ，21=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， ∴ △ACG ∽△DEG ，∴21===AC DE AG GD GC GE ， ∴ 31==AD GD CE GE ．图24.4.5拓展如果在图24．4．4中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，如图24.4.5，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的． 于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31． 由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）．图24.4.6分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF ，并延长AF 交BC 的延长线于G ，证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线．于是本题就转化为证明AF ＝GF ，AD ＝CG ，故只要证明△ADF ≌△GCF ．思考图24.4.7如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为h l l S )(2121+=． 其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1． 如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 相交于点O ，AB ＝6，BC ＝10，AC ＝8．试求出线段DE 、OA 、OF 的长度与∠EDF 的大小．（第1题）（第2题）2． 如图所示的梯形梯子，AA ′∥EE ′，AB ＝BC ＝CD ＝DE ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′，AA ′＝0．5m ，EE ′＝0．8m ．求BB ′、CC ′、DD ′的长． 3． 求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．习题24．41．三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．2．梯形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证：四边形EGFH是矩形．(第3题)（第4题）4．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．§24.5 画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．现在要把多边形ABCDE放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步骤画出图24．5．1：图24.5.11．任取一点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3．分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；4．连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图24．5．1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心．放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．要画四边形ABCD 的位似图形，还可以任取一点O ，如图24．5．2，作直线OA 、OB 、OC 、OD ，在点O 的另一侧取点A ′、B ′、C ′、D ′，使OA ′∶OA ＝OB ′∶OB ＝OC ′∶OC ＝OD ′∶OD ＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A ′B ′C ′D ′．图24.5.2图24.5.3实际上，如图24．5．3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便．练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．习题24．5任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形． （1） 相似比为21；（2） 相似比为2．5．阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形．然后以其两腰代替底边．再将六角形的每边三等分，重复上述的作法．如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线．图1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似．只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去．观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形．图2图3是五边形的一幅自相似图形．图3图4自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等．现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何．如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术．图5§24.6 图形与坐标1.用坐标确定位置图24.6.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图24．6．1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是：（1，2）、（－3，5）、（4，5）、（0，3）．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．试一试图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：图24.6.2有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等．右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置．例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：图24.6.3看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用．练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）．试借助刻度尺、量角器解决下列问题．（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图24．6．4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个顶点的坐标有什么变化呢？图24.6.4解△AOB的三个顶点的坐标是A（2，4）、O（0，0）、B（4，0）．平移之后的△A′O′B′对应的顶点是A′（5，4）、O′（3，0）、B′（7，0）．沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3．思考在图24．6．5中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB．对应顶点的坐标有什么变化？图24.6.5试一试请在图24．6．6的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化．图24.6.6思考图24．6．7表示△AOB和它缩小后得到的△COD，你能求出它们的相似比吗？图24.6.7习题24．61．已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．（第1题）（第2题）2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．（1）沿y轴正向平移2个单位；（2）关于y轴对称；（3）以点B为位似中心，放大到2倍．小结一、 知识结构二、 概括本章介绍了相似图形、相似多边形以及相似三角形的概念．相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形的一种基本变换．本章中，相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质是重点内容，要求能掌握相似图形的基本性质和主要的判定方法，能运用相似三角形的知识解决一些实际问题．本章还介绍了用直角坐标系来描述物体的位置，用坐标的方法研究图形的运动变换，应注意从中体会数与形之间的关系．复习题A 组1． 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1∶1000000，那么两地间的实际距离是____________米． 2． 已知：713yy x =-，则=+y y x ___________． 3． 如果在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AB ＝5，BC ＝12，AC＝13，那么△DEF 的周长＝__________，面积＝__________． 4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．(第4题)5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？ 6． 所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？7． 如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？8． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．（1） 在△ABC 中，∠B 是直角，∠A ＝30°；在△A ′B ′C ′中，∠B ′是直角，∠C ′＝60°．（2） △ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8；△A ′B ′C ′中，A ′C ′＝16，B ′C ′＝14，A ′B ′＝10．9． 如图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍位置？（第9题）10． 如图，在△ABC 中，如果DE ∥BC ，AD ＝3，AE ＝2，BD ＝4，试求ACAE的值，以及AC 、EC 的长度．（第10题）B 组11． 已知：346zy x ==（x 、y 、z 均不为零），则=-+z y y x 233__________． 12． 平行四边形ABCD 与平行四边形A ′B ′C ′D ′相似，已知AB ＝5，对应边6=''B A ，平行四边形ABCD 的面积为10，求平行四边形A ′B ′C ′D ′的面积．13． 将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）(第13题)14． 在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形．再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标．15． 如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝b ，CB ＝a ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ACB ∽△CBD ？（第14题）（第15题）16． 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点．求证： 四边形ADEF 是菱形．（第16题）（第17题）C 组17． 三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：如图，要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高三丈的标杆BC 和DE ，两竿相距BD ＝1000步，D 、B 、H 成一线，从BC 退行123步到F ，人目着地观察A ，A 、C 、F 三点共线；从DE 退行127步到G ，从G 看A ，A 、E 、G 三点也共线．试算出山峰的高度AH 及HB 的距离．（古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步．结果用里和步来表示） 18． 如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，BC ＝8．线段BC 所在直线以每秒2个单位的速度沿BA 方向运动，并始终保持与原位置平行．记x 秒时，该直线在△ABC 内的部分的长度为y ．试写出y 关于x 的函数关系式，并在直角坐标系中画出这一函数的图象．（第18题）19． 阅读以下内容：如图（1），在△ABC 中，由DE ∥BC ，我们可以得到△ADE ∽△ABC ， 从而有ACAEAB AD ，即AD ·AC ＝AE ·AB ，于是AD ·（AE ＋EC ）＝AE ·（AD ＋DB ），。
华东师大版初中数学电子教材-第28章(旧版)-数据分析与决策3
习题28.31.1.在一批圆柱形机器零件中抽出20件．测得直径如下（单位：mm）：56.1，55.9，55.9，56.0，55.8，56.1，55.7，55.6，56.3，56.2，56.2，55.7，56.3，56.1，56.2，56.2，55.9，55.8，56.0，56.0．计算这些零件的平均直径．想一想，有几种不同的算法？2.期末考试前，老师想了解一下同学们的学习情况．于是进行了一次测试，满分10分．A、B两班的成绩如图所示（例如：A班中成绩为6分的同学有6名，B班中成绩为6分的同学有2名）．你觉得从测验成绩中老师会得出哪些结论？(第2题)3.吴天明在大学毕业后同时收到两家公司的录用通知，两家公司分别位于上海和北京，经过各方面的比较，小吴觉得两家公司实在难以取舍．于是他想，人口年轻化一些的城市也许更适合他，于是他上网查得了下列的数据和图表．你能用学过的统计知识帮他决策吗？上海与北京各年龄段人口数表（单位：万人）4.下表列出三种长途电话业务的收费办法，如果某人某日21∶45之前必须要拨打一个5分钟左右的内地长途电话，请为他推荐一个最经济的服务；如果他要拨打的是一个30分钟左右的内地长途电话，你还推荐这种服务吗？为什么？（市话收费标准为：首次3分钟0.20元，以后每增1分钟0.10元）5. 近年来，由于乱砍滥伐，我国长江、黄河流域植被遭到破坏，土地沙化严重，洪涝灾害时有发生．某地区为积极响应和支持“保护母亲河”的倡议，建造了长100千米，宽0.5千米的防护林．有关部门为统计这一防护林共约有多少棵树，从中选出10块防护林（每块长1千米，宽0.5千米）进行统计，每块的树木数量如下（单位：棵）：65 100，63 200，64 600，64 700，67 300，63 300，65 100，66 600，62 800，65 500．请你根据以上数据估算这一防护林总共约有多少棵树．（结果保留3个有效数字）阅读材料标 准 分你对上面的几幅漫画有什么看法？下表给出了这三次测验中李明所在班级的平均分和成绩标准差：从上面的表中可以看出，李明虽然第2次数学测验的分数比第1次低，但从班级整体情况看，李明却进步了，从英语和数学测验2的考试成绩看，李明的分数都比班级平均高出5分，所以很难讲李明的英语学得比数学好．为了比较不同测验中成绩的好与差，人们通常要考虑平均分、标准差对原始分数的影响．这样一来，就产生了标准分．标准分的计算公式是标准分=（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．利用上面的公式容易算出李明3次测验的标准分依次是－0.625、1和0.5．从标准分看，李明第2次数学测验的成绩更好些．由于标准分是以群体的平均分为参照、以标准差为度量单位的一种分数，所以它能够直接反映个人在群体中的学习水平状况．小结一、知识结构二、概述通过本章的学习，希望你能感受到数据对于决策的重要性．一方面可以从媒体获取数据，但要对它进行全面的分析；另一方面也可以通过亲自调查的方法获取数据．我们需要不断学习怎样设计问题、怎样选取调查对象和怎样分析数据等等．在进行决策时，要积极开动脑筋，让学过的知识和技能发挥出它们应有的作用．复习题A组1.一厂家在某城市几家经销本厂产品的大商场进行调查，产品的销售占这几个大商场同类产品销量的50%．据此，该厂家在广告中宣传说他们的产品在国内同类产品的销量占50%．请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠，为什么？2.某公司需要为销售人员购买手机，希望选择的手机轻便一些，而且价格在1500～2 000元之间，你能通过上网查询为他们做一个初步计划吗？3.随着时代的发展，人们的生活改变越来越大，以前家里如果拥有自行车、手表和缝纫机就被认为是拥有了最贵重的物品，现在各种各样的电器进入家庭，洗衣机、电视机、DVD、空调、电脑、手机、微波炉……应有尽有．请你设计一份简单的调查表，并在班级范围内调查一下家庭电器的拥有情况．4.如果想了解中学生对“外星人”的看法，设计下面的问题合理吗？为什么？你有什么更好的建议？问题：你认为人类能否找到“外星人”？A. 能找到；B. 找不到．B组5.总厂要评估各分厂的生产效率，并据此来提高职工奖金，下表给出了甲、乙两分厂的产量情况．（1）你认为哪个厂的生产效率更高？为什么？（2）甲厂的负责人说：我厂工人数与乙厂相同，总产量比乙厂高，应该率先提高工人奖金，你同意他的说法吗？为什么？6.一则新闻报道说：某校教师教学效果不佳，引起家长的不满．这则报道的说法合适吗？我们还需要知道哪些数据，才能了解事件的真实情况？C组7.佳佳准备到一家公司去应聘，她想从事办公室工作，比如秘书、打字员或接线员．在此之前，她请熟悉的朋友帮忙打听了这三种职业的工资情况，一位秘书说他的周平均工资大约为260元，一位打字员说他的周平均工资约为300元，一位接线员说他的周平均工资约为340元．佳佳想争取一个工资尽可能高的职位，他应该争取接线员的工作吗？如果已经知道该公司这三种职业的基本工资分布情况如下表，你认为佳佳该如何取舍，为什么？8.王胜家所在的居委会通知居民可以根据自愿安装分时电表，但要缴纳成本及安装费100元．王胜的爸爸说安装费太贵了，王胜却认为使用分时电表更合算．你能利用下面给出的数据帮助王胜说服他的爸爸吗？（1）旧电表的收费标准：0.60元/度；新电表的收费标准：0∶00～5∶00为0.30元/度，5∶00～24∶00为0.60元/度．（2）一般用电情况：0∶00～5∶00为5度/月，5∶00～24∶00为80度/月．1、7、8、12月（使用空调）用电情况：0∶00～5∶00为50度/月，5∶00～24∶00为200度/月．9.某公司为了说明其劳资双方的利益呈现同步增长的趋势，画出了下面的统计图：说说你看了这幅图后有什么想法？如果已知该公司共有5位股东和100名员工，你会如何分析劳资双方的收入？课题学习改进我们的课桌椅走进学校，看到每个教室里课桌椅都规格整齐划一，十分美观．然而有些同学却感觉课桌椅需要改进，他们说：从小学到现在，我们都长大了，长高了，书包里的书也越来越多了，可是课桌椅却没有改变．小小的课桌哪里容得下厚厚的书包？要是嫌地上脏，就只能把书包放在椅子上，这样坐着多不舒服！你们班的课桌椅也有这样的问题吗？课桌椅不合适的主要原因是什么呢？有必要改进现有的课桌椅设计吗？目前市场上有符合你们需要的课桌椅吗？让我们一起，运用已经掌握的各种知识，尝试解决我们身边的问题吧！1. 调查同学们对正在使用的课桌椅的感觉：你上课坐着的时候，感觉是否舒服？当需要和后排同学讨论时，是否方便？这些感觉是否与同学们的身高、体重等因素有关？2. 上网或到有关部门查询有关课桌椅的市场情况和一些设计标准．1.调查同学们喜欢怎样的课桌椅，有什么好的设计想法，尤其是在照顾学生身高、增大储藏空间、不影响课间活动空间、方便看书写字等方面有什么好点子．2000年8月在全国青少年技术创新大赛中，一位来自湖南的同学发明制作的“学生保健多用课桌椅”在众多参赛作品中脱颖而出，获得大赛一等奖，他还被授予“高士其青少年发明奖”、“长江小小发明家奖”，并被推荐参加全国青少年“发明创新之星”电视大奖赛和国际科学及工程大奖赛，该项发明已被国家知识产权局授予专利权．怎么样？让我们也来试一试！通过调查，你们一定也会有不少很好的想法．建议你们在分析数据的基础上，以“改进我们的课桌椅”为主题写一篇有说服力的短文，向有关单位就如何改进课桌椅的设计提出你们自己的看法．。
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子教材
七年级上册（双击章节下载）
第一章.rar走进数学世界
第二章.rar有理数
第三章.rar整式的加减
第四章.rar图形的初步认识
第五章.rar数据的收集与表示
七年级下册（双击章节下载）
第六章.rar一元一次方程
第七章.rar二元一次方程组
第八章.rar一元一次不等式
第九章.rar多边形
第十章.rar轴对称
第十一章.rar体验不确定现象
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第十二章.rar数的开方
第十三章.rar整式的乘除
第十四章.rar勾股定理
第十五章.rar平移与旋转
第十六章.rar平行四边形的认识
参考.资料
八年级下册（双击章节下载）
第十七章.rar分式
第十八章.rar函数及其图像
第十九章.rar全等三角形
第二十章.rar平行四边形的断定
第二十一章.rar数据的整理与初步处理
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第二十二章.rar二次根式
第二十三章.rar一元二次方程
第二十四章（1）.rar图形的相似
第二十四章（2）.rar图形的相似
第二十五章.rar解直角三角形
第二十六章.rar随机变乱的几率
九年级下册(以下为电子书需求先装浏览器软件包如"Adobe Acrobat Reader"等)
二十七二次函数.rar二次函数（扫描版）第
27章二次函数.rar(word旧版本)
二十八圆.rar圆
的回忆.rar（word旧版本）
三十样本与总体.rar样本与总体a样本与总体.rar（word旧版本）。
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个．
数
a
3
的立方根，记作
a
，读作“三次根号
a”．a
称为被开方数，
3 称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
例 4 求下列各数的立方根：
8
（1） 27 ； （2） －125； （3） －0.008．
2
82
3
解（1） 因为（ 3 ） 3 ，所以 27 3.
（2） 因为（－5） 3 ＝－125，所以 3 125 ＝－5．
§13.2 整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘 2. 单项式与多项式相乘
I
3. 多项式与多项式相乘 §13.3 乘法公式
1. 两数和乘以这两数的差 2. 两数和的平方 阅读材料 贾宪三角 §13.4 整式的除法 1. 单项式除以单项式 2. 多项式除以单项式 §13.5 因式分解 阅读材料 你会读吗 小结 复习题 课题学习 面积与代数恒等式
§12.2 实数与数轴
做一做
（1） 用计算器求 2 ；
（2） 利用平方关系验算所得的结果．
这里，用计算器求 2 ，显示结果为 1.414213562，而再用计算器
计算 1.414213562 的平方，结果是 1.999999999，并不是 2，只是接
近于 2．这就是说，我们求得的 2 的值，只是一个近似值．
59961729835575220337531857011354374603408498847160386899970
69900481503054402779031645424782306849293691862158057846311
15966687130130156185689872372352885092648612494977154218334
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xx版初中数学教材按年级分目录七年级上走进数学世界；有理数；整式的加减；图形的初步认识；数据的收集与表示；七年级下一元一次方程；二元一次方程组；一元一次不等式；多边形；轴对称；体验不确定现象；八年级上数的开方；整式的乘除；勾股定理；平移与旋转；平行四边形的认识八年级下分式；函数及其图像；全等三角形；平行四边形的判定；数据整理与初步处理九年级上二次根式；一元二次方程；图形的相似；解直角三角形；随机事件的概率；九年级下二次函数；圆；几何的回顾；样本与总体；华东师大版按章节分目录第1章走进数学世界§1.1 从实际问题到方程：1.数学伴我们成长；2.人类离不开数学；3.人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算；§1.2 让我们来做数学；1.跟我学；2.试试看；阅读材料幻方.第2xx有理数§2.1 正数和负数：1.相反意义的量；2.正数与负数；3.有理数；§2.2 数轴；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小；§ 2.3 相反数；§2.4 绝对值；§2.5 有理数的大小比较；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小；§ 2.6有理数的加法；1.有理数的加法法则；2.有理数加法的运算xx；§2.7 有理数的减法；§2.8 有理数的加减混合运算；1.加减法统一成加法；2.加法运算律在加减混合运算中的应用；阅读材料中国人最早使用负数；§2.9有理数的乘法；1.有理数的乘法法则；2.有理数乘法的运算xx；§2.10 有理数的除法；§2.11 有理数的乘方；阅读材料与；§2.12 科学记数法；阅读材料光年和纳米；§2.13 有理数的混合运算；§2.14 近似数和有效数字；§2.15 用计算器进行数的简单运算；阅读材料从结绳记数到计算器；小结；复习题第3xx整式的加减§3.1 列代数式：1.用字母表示数；2.代数式；3.xx代数式；§3.2 代数式的值；阅读材料有趣的“3x+1”问题；§3.3 整式；1.单项式；2.多项式；3.升幂排列与降幂排列；§3.4 整式的加减；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.整式的加减；阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里；复习题；课题学习身份证号码与学籍号第4章图形的初步认识§4.1 生活中的立体图形；阅读材料欧拉公式；§4.2 画立体图形；1.由立体图形到视图；2.由视图到立体图形；§4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形；阅读材料七巧板；§4.5 最基本的图形－点和线；1.点和线；2.线段的长短比较；§4.6 角；1.角；2.角的比较和运算；3.角的特殊关系；§4.7 相交线；1.垂线；2.相交线中的角；§1.平行线；2.平行线的识别；3.平行线的特征；小结；复习题；第5章数据的收集与表示§5.1 数据的收集；1.数据有用吗；2.数据的收集；阅读材料赢在哪里；谁是《红楼梦》的作者；§ 5.2 数据的表示；1.利用统计图表传递信息；2.从统计图表获取信息；阅读材料计算机帮我们画统计图小结；复习题；课题学习图标的收集与探讨华东师大版七年级下详细目录：第6章一元一次方程；§6.1 从实际问题到方程；§6.2 解一元一次方程；1.方程的简单变形；2.解一元一次方程；阅读材料丢番图的墓志铭与方程；§6.3 实践与探索；阅读材料2=3吗；小结；复习题第7章二元一次方程组；§7.1二元次方程组和它的解；§7.2二元一次方程组的解法；§7.3实践与探索；阅读材料鸡兔同笼；小结；复习题；第8章一元一次不等式；§8.1认识不等式；§8.2解一元一次不等式；1.不等式的解集；2.不等式的简单变形；3.解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组；小结；复习题；第9xx多边形§9.1三角形；1.认识三角形；2.三角形的外角和；3.三角形的xx关系；§9.2多边形的内角和与外角和；§9.3用正多边形拼地板；1.用相同的正多边形拼地板；2.用多种正多边形拼地板；阅读材料多姿多彩的图案；小结；复习题；课题学习图形的镶嵌第10章轴对称§10.1生活中的轴对称；阅读材料剪正五角星；§10.2轴对称的认识；1.简单的轴对称图形；2.画图形的对称轴；3.设计轴对称图案；阅读材料对称拼图游戏；§10.3等腰三角形；1.等腰三角形；2.等腰三角形的识别；阅读材料Times and dates；小结；复习题；第11章体验不确定现象§11.1可能还是确定；1.不可能发生、可能发生和必然发生；2.不太可能是不可能吗；§11.2机会的均等与不等；1.成功与失败；2.游戏的公平与不公平；阅读材料搅匀对保证公平很重要；§11.3在反复实验中观察不确定现象；阅读材料计算机帮我们处理数据；小结；复习题；课题学习红灯与绿灯第12章数的开方§12.1 平方根与立方根；1.xx；2.xx；§12.2 实数与数轴；阅读材料为什么根号5不是有理数根号5的算法；第13章整式的乘除§13.1 幂的运算；1.同底数幂的乘法；2.幂的乘方；3.积的乘方；4.同底数幂的除法；§13.2 整式的乘法；1.单项式与单项式相乘；2.单项式与多项式相乘；3.多项式与多项式相乘；§13.3 乘法公式；1.两数和乘以这两数差；2.两数和的平方；阅读材料xx；§13.4 整式的除法；1.单项式除以单项式；.多项式除以单项式；§13.5 因式分解；阅读材料你会读吗；课题学习面积与代数恒等式第14xx勾股定理§14.1 勾股定理；1.xxxx的关系；2.直角三角形的判定；阅读材料勾股定理史话；美丽的勾股树；§14.2 勾股定理的应用；课题学习勾股定理的无字证明第15章平移与旋转§15.1 平移；1.图形的平移；2.平移的特征；§15.2 旋转；1.图形的旋转；2.旋转的特征；3.旋转对称图形；§15.3 中心对称；§15.4 图形的全等；阅读材料古建筑中的旋转对称；－从敦煌洞窟到欧洲教堂课题学习图案设计；第16章平行四边形的认识§16.1 平行四边形的性质；§ 16.2 矩形、菱形与正方形的性质；1.矩形；2.菱形；3.正方形；阅读材料黄金矩形；§16.3 梯形的性质；阅读材料四边形的变身术第17xx分式17.1分式及其基本性质；17.2分式的运算；阅读材料历史上的分数运算法则；17.3可化为一元一次方程的分式方程；17.4零指数幂与负整指数幂；小结；复习题第18xx函数及其图象18.1变量与函数；18.2函数的图象；阅读材料笛卡儿的故事；18.3一次函数；阅读材料小明算得正确吗？；18.4反比例函数；18.5实践与探索；阅读材料TheGraph of Function小结；复习题第19xx等三角形19.1命题与定理；19.2全等三角形的判定；阅读材料图形中的"裂缝"；19.3尺规作图阅读材料由尺规作图产生的三大难题；19.4逆命题与逆定理；小结；复习题第20章平行四边形的判定20.1平行四边形的判定；20.2矩形的判定；20.3菱形的判定；20.3正方形的判定；阅读30.4数据分析与决策；阅读材料漫谈收视率；小结；复习题；课题学习改进我们的课桌椅.xx版初中数学按知识模块分目录代数部分：第1xx走进数学世界发现数的规律，数的排列规律，叠加规律.第2xx有理数§2.1 正数和负数：1.相反意义的量；2.正数与负数；3.有理数；§2.2 数轴；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小；§2.3 相反数；§2.4 绝对值；§2.5 有理数的大小比较；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小；§2.6 有理数的加法；1.有理数的加法法则；2.有理数加法的运算xx；§2.7 有理数的减法；§2.8 有理数的加减混合运算；1.加减法统一成加法；2.加法运算律在加减混合运算中的应用；§ 2.9 有理数的乘法；1.有理数的乘法法则；2.有理数乘法的运算xx；§2.10 有理数的除法；§2.11 有理数的乘方；§2.12科学记数法；§2.13 有理数的混合运算；§2.14 近似数和有效数字；§2.15 用计算器进行数的简单运算；第3xx整式的加减§3.1 列代数式：1.用字母表示数；2.代数式；3.xx代数式；§3.2 代数式的值；§3.3 整式；1.单项式；2.多项式；3.升幂排列与降幂排列；§3.4 整式的加减；1.同类项；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.整式的加减；用分离系数法进行整式的加减运算；第6章一元一次方程；§6.1 从实际问题到方程；§6.2 解一元一次方程；1.方程的简单变形；2.解一元一次方程；§6.3 实践与探索；第7章二元一次方程组；§7.1二元次方程组和它的解；§7.2二元一次方程组的解法；§7.3实践与探索；第8章一元一次不等式；§8.1认识不等式；§8.2解一元一次不等式；1.不等式的解集；2.不等式的简单变形；3.解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组；第12章数的开方§12.1 平方根与立方根；1.xx；2.xx；§12.2 实数与数轴；第13章整式的乘除§13.1 幂的运算；1.同底数幂的乘法；2.幂的乘方；3.积的乘方；4.同底数幂的除法；§13.2 整式的乘法；1.单项式与单项式相乘；2.单项式与多项式相乘；3.多项式与多项式相乘；§13.3 乘法公式；1.两数和乘以这两数差；2.两数和的平方；§13.4 整式的除法；1.单项式除以单项式；.多项式除以单项式；§13.5 因式分解；第17xx分式17.1分式及其基本性质；17.2分式的运算；阅读材料历史上的分数运算法则；17.3可化为一元一次方程的分式方程；17.4零指数幂与负整指数幂；第18xx函数及其图象18.1变量与函数；18.2函数的图象；18.3一次函数；18.4反比例函数；18.5实践与探索；第22xx二次根式22.1二次根式的概念；22.2二次根式的乘除法；22.3二次根式的加减法；第23xx一元二次方程23.1一元二次方程；23.2一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式§ 23.3实践与探索；第27xx二次函数27.1二次函数；27.2二次函数的图象与性质；27.3实践与探索统计概率部分：第5章数据的收集与表示§5.1 数据的收集；1.数据有用吗；2.数据的收集；§5.2 数据的表示；1.利用统计图表传递信息；2.从统计图表获取信息；第11章体验不确定现象§11.1可能还是确定；1.不可能发生、可能发生和必然发生；2.不太可能是不可能吗；§11.2机会的均等与不等；1.成功与失败；2.游戏的公平与不公平；§11.3在反复实验中观察不确定现象；第21xx数据的整理与初步处理21.1算术平均数与加权平均数；21.2平均数、中位数和众数的选用21.3极差、方差和标准差；第26xx随机事件的概率26.1概率的含义；26.2概率的预测26.3模拟实验；第30xx样本与总体30.1统计的意义；30.2简单的随机抽样；30.3用样本估计总体30.4数据分析与决策；几何部分第4章图形的初步认识§4.1 生活中的立体图形；§ 4.2 画立体图形；1.由立体图形到视图；2.由视图到立体图形；§4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形；§4.5 最基本的图形－点和线；1.点和线；2.线段的长短比较；§4.6 角；1.角；2.角的比较和运算；3.角的特殊关系；§4.7 相交线；1.垂线；2.相交线中的角；§4.8 平行线；1.平行线；2.平行线的识别；3.平行线的特征；第9xx多边形§9.1三角形；1.认识三角形；2.三角形的外角和；3.三角形的xx关系；§9.2多边形的内角和与外角和；§9.3用正多边形拼地板；1.用相同的正多边形拼地板；2.用多种正多边形拼地板；图形的镶嵌第10章轴对称§10.1生活中的轴对称；§ 10.2轴对称的认识；1.简单的轴对称图形；2.画图形的对称轴；3.设计轴对称图案；§10.3等腰三角形；1.等腰三角形；2.等腰三角形的识别；第14章勾股定理§14.1 勾股定理；1.xxxx的关系；2.xx的判定；§14.2 勾股定理的应用；第15xx平移与旋转§15.1平移；1.图形的平移；2.平移的特征；§15.2旋转；1.图形的旋转；2.旋转的特征；3.旋转对称图形；§15.3中心对称；§15.4图形的全等；图案设计；第16章平行四边形的认识§16.1平行四边形的性质；§ 16.2矩形、菱形与正方形的性质；1.矩形；2.菱形；3.正方形；黄金矩形；§16.3梯形的性质；第19xx等三角形19.1命题与定理；19.2全等三角形的判定；19.3尺规作图19.4逆命题与逆定理；第20章平行四边形的判定20.1平行四边形的判定；20.2矩形的判定；20.3菱形的判定；20.3正方形的判定；20.4等腰梯形的判定；中点四边形第24xx图形的相似24.1相似的图形；24.2相似图形的特征；黄金分割；24.3相似三角形线段的等分；24.4画相似图形；24.5图形与坐标；第25xxxx25.1测量；25.2三角函数；25.3解xx；高度的测量；第28xx28.1圆的认识；28.2与圆有关的位置关系；28.3圆中的计算问题第29xx几何的回顾29.1几何问题的处理方法；29.2反证法；图形中的趣题。
华东师大版初中数学电子教材第01章走进数学世界
华东师大版初中数学电子教材第01章走进数学世界§1.1 与数学交朋友 (1)1. 数学伴我们成长 (1)2. 人类离不开数学 (2)3. 人人都能学会数学 (5)阅读材料华罗庚的故事 (5)视数学为生命的陈景润 (6)青年高斯的速算 (6)§1.2 让我们来做数学 (9)1. 跟我学 (9)2. 试试看 (10)第一章走进数学世界§1.1 与数学交朋友1. 数学伴我们成长当你呱呱落地降临人世的第一天，大夫就要检测一下你的各项健康指标，为你量量躯体的长度，称称你的体重，这些都与数和量有关，这确实是数学，人一辈子到世界上来的第一天就遇到数学，数学培育着你成长。
随着年龄增长，你随时随地都在接触数学.你开始在大人们的指导下，学习数数；学习画三角形、方块和圆；用剪刀剪出各种漂亮的图案，或者用纸折出小鸟、小船等各种形状的玩具；到商店去购买你喜爱吃的各种食品；…….这一切的一切，你会逐步意识到都和？数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关，这又是数学.你进入学校，正式开始学习数学这门学科，明白得了初步的数学语言.明白了整数和分数；学会了加、减、乘、除；认识了三角形、长方形、正方形、圆，以及长方体、正方体、圆柱体和球等几何图形；了解了简单的统计知识.数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪慧了.2. 人类离不开数学自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂营造的蜂房，确实是奇异的数学图形——正六边形.这种结构消耗最少的材料，那个地点竟还有一个节约的数学道理在里面呢!蜜蜂营造的蜂房上海东方明珠电视塔人类从蛮荒时代的结绳计数，到现在用电子运算机指挥宇宙航行，无时无刻不受到数学的恩惠和阻碍.高耸入云的建筑物、海洋石油钻井平台、人造地球卫星等等，莫不是人类数学聪慧的结晶.随着市场经济的进展，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场推测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债券……几乎每天都会碰到.而这些经济活动无一能离开数学.股市走势图在许多地点，我们常见到如图1.1.1那样图案的地面，它们分别是用同样大小的正方形、正六边形的材料铺成的，如此形状的地砖能铺成平坦、无间隙的地面.图1.1.1那么除了这两种形状的材料外，还有哪些形状能够象图1.1.1那样铺满地面呢?我们还能够举出如图1.1.2，图1.1.3，图1.1.4所示的各种形状的材料，能够铺满地面.图1.1.2 图1.1.3图1.1.4请你说出图中各种形状的名称.你还能举出其它的形状吗?这些形状的材料什么缘故能铺满地面?试一试1.请举一个你在生活中用到数学的例子.2. 用剪刀将如下图长方形纸片沿着一条直线剪成两部分，要使这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形，该如何剪？(第2题) 3. 人人都能学会数学数学并不奇异，不是只有天才才能学好数学，只要通过努力，人人都能学会数学.阅读材料－华罗庚的故事我国闻名的数学家华罗庚说：〝聪慧在于学习，天才在于积存。
华东师大版初中数学电子教材-第11章-体验不确定现象
第11章体验不确定现象§11.1 可能还是确定 (2)1. 不可能发生、可能发生和必然发生 (2)2. 不太可能是不可能吗 (3)练习 (4)习题11.1 (4)§11.2 机会的均等与不等 (5)1．成功与失败 (5)2．游戏的公平与不公平 (6)阅读材料搅匀对保证公平很重要 (8)§11.3 在反复实验中观察不确定现象 (10)阅读材料计算机帮我们处理数据 (17)小结 (20)复习题 (20)日常生活中，我们会遇到各种各样的事情，有的出现的机会很大，有的则很小。
那么能否估计它们出现的机会大小呢？试试看，在反复的实验中，不确定现象是否从整体上呈现出一定的规律。
§11.1 可能还是确定1. 不可能发生、可能发生和必然发生先让我们两人一组做一个“掷骰子”的游戏.每组准备一个普通的正方体骰子，它有六个面，每一面的点数分别是从1到6这六个数字中的一个.骰子的质地是均匀的，也就是说每个数字被掷得的机会都是一样的.一个同学掷骰子，另一个同学做记录，用“正”字法把每个点数出现的频数记录下来，填入下表.掷完20次以后，两人交换角色.两位同学的实验数据都记录在表11.1.1中.表11.1.1掷骰子40次骰子上每个点数出现的频数表从每个小组的频数表中，我们可以看到,不管如何，“点数7”出现的次数总是0.这并不是因为我们抛的时间还不够长或掷的次数还不够多，而是因为骰子上根本没有“7”.所以，无论再掷多少次，“点数7”都不会出现.对这种点数从1到6的普通骰子，我们可以说“掷得的点数是7”这件事是不可能发生的.在刚才的游戏中，还有什么事是不可能发生的?“不可能”发生就是指完全没有机会发生，或者说，发生的机会是0.即使我们掷100次、1000次、1万次甚至更多，它都一定不会发生，永远不会发生.与之相反，“必然”发生是指一定发生，不可能不发生，或者说，发生的机会是100％.如果我们掷100次、1 000次、10 000次甚至更多，那么它就发生100次、1 000次、10000次，甚至更多.在刚才的游戏中，“掷得的点数小于7”这个结果就是必然发生的，每次都发生的.以后我们称那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件为必然事件（Certain Event），称那些在一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件（Impossible Event），这两种事件在实验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统称为确定事件。
华东师大版初中数学电子教材-第08章-一元一次不等式
问题1 探索 探索x5x比较120与5 x的大小的大小 120< 5 x不成立21 105 120>5 x不成立2223242526成立 27 135 120<5x成立…………概括概括用不等式表示：例用不等式表示：1解（2练习练习1习题8.11．比较下列各数的大小，用“．比较下列各数的大小，用“<<”或“”或“>>”填空：”填空： （1）－）－3______-23______-23______-2；； （2）－）－1______01______01______0；； （3）3______3______－－4； （4）－）－5______5______5______－－6； （5）21______32；（6）－21____________－－32。
2．用不等式表示：．用不等式表示：（1）x 的21与3的差大于2； （（2）2x 与1的和小于零；的和小于零；（3）a 的2倍与4的差是正数；的差是正数； （（4）b 的21与c 的和是负数；的和是负数；（5）a 与b 的差是非负数；的差是非负数； （（6）x 的绝对值与1的和不小于1。
3．向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始两天，每人每天完成5本杂志。
问以后3天，每人每天必须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？试列出不等式，找出符合题意的一些解。
等式，找出符合题意的一些解。
8.2 解一元一次不等式 1． 不等式的解集回忆在上一节练习第3题中，我们发现，－题中，我们发现，－33、－、－22、－、－11、0、1.51.5、、2.52.5、、3都不是不等式x＋2>5的解。
由此可以看出，不等式x ＋2>5有许多个解。
有许多个解。
进而看出，大于3的每一个数都是不等式x ＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x ＋2>5的解。
由此可见，不等式x ＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x ＋2>5的解集。
华东师大版初中数学电子教材 第25章 解直角三角形
第25章解直角三角形 (2)§25.1 测量 (3)§25.2 锐角三角函数 (4)1.锐角三角函数 (4)2．用计算器求锐角三角函数值 (7)§25.3 解直角三角形 (9)阅读材料 (13)小结 (14)复习题 (15)课题学习 (18)第25章 解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．222c b a =+ab B =tan§25.1 测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）§25.2 锐角三角函数1.锐角三角函数在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即△ABC ∽△A ′B ′C ′．按5001的比例，就一定有 5001=''=''AC C A BC C B ， 5001就是它们的相似比． 当然也有ACBCC A C B =''''．我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示（如图25．2．1）．图25.2.1前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．思考一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图25.2.2观察图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以111AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的． 我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．根据三角函数的定义，我们还可得出A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1．图25.2.3例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．解1728922==+=AC BC AB ，sinA ＝178=AB BC ， cosA ＝1715=AB AC ，tanA ＝158=AC BC ，cotA ＝815=BC AC ．探索根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出图25.2.4sin30°＝21=斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．思考上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：练习1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．(第1题) （第2题）2．求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值：（1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13．4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．2．用计算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．（1）求已知锐角的三角函数值例2 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：(SETUP) 显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0．897859012．所以sin63°52′41″≈0．8979．例3 求cot70°45′的值．（精确到0．0001）解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示，按下列顺序依次按键：显示结果为0．3492156334． 所以cot70°45′≈0．3492．（2） 由锐角三角函数值求锐角例4已知tanx ＝0．7410，求锐角x ．（精确到1解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示，按下列顺序依次按键：(1tan -) 显示结果为36．53844577． 再按键：显示结果为4.182336'︒．SHIFT MODE 3 D sin63 o’” tan 52 o’” o’” 41 =D 1÷ 70 o’” 45o’”=D SHIFT tan 0•4 7 0 1 =SHIFT o’”所以x ≈36°32′．例5 已知cotx ＝0．1950，求锐角x ．（精确到1′） 分析根据xx cot 1tan =，可以求出tanx 的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x 的值．练习1． 使用计算器求下列三角函数值．（精确到0．0001） sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．2． 已知下列锐角α的各三角函数值，使用计算器求锐角α．（精确到1′） （1） sin α＝0．2476；（2） cos α＝0．4174； （3） tan α＝0．1890；（4） cot α＝1．3773．习题25．21． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝21，AB ＝29，分别求∠A 、∠B 的四个三角函数值．2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的四个三角函数值． 3． 求下列各式的值． （1） sin30°＋︒45sin 2－2tan 3160°； （2）)60cos 430)(cot 60tan 30sin 4(︒+︒︒-︒．4． 用计算器求下式的值．（精确到0．0001） sin81°32′17″＋cos38°43′47″．5． 已知cotA ＝3．1748，利用计算器求锐角A ．（精确到1′）§25.3 解直角三角形我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．例1如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？图25.3.1解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为26241022=+，26＋10＝36（米）．所以，大树在折断之前高为36米．在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．图25.3.2例2如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）解在Rt △ABC 中，∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，ABBC＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB＝2000×tan50°≈2384（米）．∵ACAB＝cos50°， ∴ AC ＝︒=︒50cos 200050cos AB ≈3111（米）． 答： 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，角度精确到1′． 解直角三角形，只有下面两种情况： （1） 已知两条边；（2） 已知一条边和一个锐角．练习1． 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2． 海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离．（画出图形后计算，精确到0．1海里）读一读图25.3.3如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0．1米）图25.3.4解在Rt△ACE中，∵AE＝CE×tanα＝DB×tanα＝22．7×tan22°≈9．17，∴AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9．17＋1．20≈10．4（米）．答：电线杆的高度约为10．4米．练习1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．（精确到1米）（第1题）（第2题）2．两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50．4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lhi =．图25.3.5坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α． 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．例4如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）图25.3.6解作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2（米）， CD ＝EF ＝12．51（米）． 在Rt △ADE 中，∵ i ＝AEAE DE 2.4=＝tan32°， ∴ AE ＝︒32tan 2.4≈6．72（米）．在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝︒28tan 2.4≈7．90（米）．∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）． 答： 路基下底的宽约为27．1米．练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求： （1） 斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0．1米） （2） 斜坡CD 的坡角α．（精确到1°）习题25．31． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ； （4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ． 2． 一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0．1米）3． 两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）（第3题）（第4题）4． 一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）阅读材料葭生池中今有方池一丈， 葭生其中央，出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐．问： 水深、葭长各几何？（采自杨辉《详解九章算法》，1261年）这是我国数学发展史上著名的“葭生池中”问题．它的解法可以由下图获得．中世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bh a skara ，1114—1185？）在其著作中提出了与“葭生池中”相似的“荷花问题”．平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面． 忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃． 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现． 残花离根二尺远，试问水深尺若干． 这类问题还有很多很多． 你看，关于勾股定理应用的丰富有趣的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？小结一、 知识结构应用直角三角形 两个锐角互余30°角所对的直角边等于斜边的一半 斜边上的中线等于斜边的一半勾股定理边角关系： 锐角三角函数解直角三角形二、 概括1． 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；2． 能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题．复习题A 组1． 某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图），若棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ，长d ＝35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（第1题）（第2题）2． 如图，正方形ACDE 的面积为252cm ，测量出AB ＝12cm ， BC ＝13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？3． 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4． 求下列各式的值．（1） 2cos30°＋cot60°－2tan45°； （2） ︒+︒60cos 45sin 22；（3） ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222．5． 求下列各直角三角形中字母的值．（第5题）6． 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）7． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝60°，∠A 的平分线AM 的长为15cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．（精确到0.1cm ）8． 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．9． 如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，求： （1） y 的值；（2） 角α的正弦值．（第9题）（第10题）10． 如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）11． 如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）（第11题）（第12题）B 组12． 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）13． 如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）（第13题）C组14．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为61°，求这个电视塔的高度AB．（精确到1米）（第14题）15．如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．（1）求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高）；（精确到1米）（2）请再设计两种测量河的宽度的方案．（第15题）（第16题）16．折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？课题学习高度的测量我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：1．可以用什么测量方法？2．每一种方法要用到哪些工具？3．应测量得到哪些有关的数据？4．如何计算最后的结果？写出你们的计划，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的效果较好．。
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