圆锥曲线中的面积问题
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
4圆锥曲线的弦长面积问题-中等难度-讲义
圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+()1212122221111141y AB y y y y y y k k ka∆=+-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+002211122a1x ABPkx y mS AB d k k∆∆-+=⋅=+⋅+2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为112121212y ABF c S F F y y c y y a∆∆=⋅-=-=H OyxPBA3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 ：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共9小题）1．（2018•德阳模拟）设点P为椭圆C：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24B．12C．8D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：x 249+y224=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2=12×PF1⋅PF2=24，∵△PF1F2的重心为点G．∴S△PF1F2=3S△GF1F2，∴△GPF1的面积为8，故选：C．2．（2018•邵阳三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为2√1313，且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（）A ．x 216+y 29=1B ．x 216+y 213=1C ．x 213+y 29=1D ．x 213+y 24=1【解答】解：设椭圆半焦距为c ，则{c a=2√131312×2c ×b =6a 2−b 2=c 2，解得a=√13，b=3，c=2．故椭圆方程为：x 213+y 29=1．故选：C ．3．（2018•齐齐哈尔三模）已知双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F ，抛物线y 2=12x 与双曲线交于A ，B 两点，则△FAB 的面积为（ ） A ．2B ．1+√2C ．2+√2D ．2+√3【解答】解：双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F （﹣√3，0），由{x 22−y2=1y 2=12x可得：A （2，1），B （2，﹣1），则△FAB 的面积为：12×(2+√3)×2=2+√3．故选：D ．4．（2018•珠海二模）已知F 是双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，P是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ，若点P ，M ，F 三点共线，且△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√3B ．√5C ．√6D ．√7【解答】解：如图以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=bax 交于点M ，由△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，可得|MF |=4|MP |， 由OM ⊥PF ，设F （c ，0），可得|MF |=√a 2+b 2=b ，则|PM |=b4，在直角三角形POF 中，由射影定理可得， |OF |2=|MF |•|FP |，即为c 2=b•54b=54（c 2﹣a 2），则c 2=5a 2，即有e=ca=√5．故选：B ．5．（2018•重庆模拟）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M 、N 两点，与抛物线的准线交于P 、Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（ ） A ．16√3B ．12√3C ．4√3D ．3【解答】解：根据题意画出示意图：依题意，抛物线抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0）， ∴圆的圆心坐标为F （1，0）．∵四边形MNPQ 是矩形，且PM 为直径，QN 为直径，F （1，0）为圆的圆心， ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，∴点F 到直线PQ 的距离与点F 到MN 的距离相等．∵点F 到直线MN 的距离d=2， ∴直线MN 的方程为：x=3， ∴M （3，2√3），∴则矩形MNPQ 的面积是：4×4√3=16√3． 故选：A ．6．（2018•武汉模拟）过点P （2，﹣1）作抛物线x 2=4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为（ ）A ．√32B ．√33 C ．12D ．34【解答】解：设过P 点的直线方程为：y=k （x ﹣2）﹣1，代入x 2=4y 可得x 2﹣4kx +8k +4=0，①令△=0可得16k 2﹣4（8k +4）=0，解得k=1±√2．∴PA ，PB 的方程分别为y=（1+√2）（x ﹣2）﹣1，y=（1﹣√2）（x ﹣2）﹣1， 分别令y=0可得E （√2+1，0），F （1﹣√2，0），即|EF |=2√2．∴S △PEF =12×2√2×1=√2，解方程①可得x=2k ，∴A （2+2√2，3+2√2），B （2﹣2√2，3﹣2√2）， ∴直线AB 方程为y=x +1，|AB |=8，原点O 到直线AB 的距离d=√22，∴S △OAB =12×8×√22=2√2．∴△PEF 与△OAB 的面积之比为12．故选：C ．7．（2018•马鞍山三模）已知抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为l ，过C 的焦点F 的直线交l 于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，若F 为线段AB 的中点，BH ⊥AB 交l 于H ，则△BHF 的面积为（ ） A ．12√3B ．16√3C ．24√3D ．32√3【解答】解：抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为为x=﹣√3，焦点F （√3，0）， 设直线AB 的方程为y=k （x ﹣√3）， 由{y =k(x −√3)x =−√3，解得x=﹣√3，y=﹣2√3k ，∴A （﹣√3，﹣2√3k ）， ∵F 为线段AB 的中点， ∴x B ﹣√3=2√3，y B ﹣2√3k=0， ∴x B =3√3，y B =2√3k将点B 坐标代入y 2=4√3x ，可得12k 2=4√3×3√3， 解得k=±√3，不妨令k=√3，∴A （﹣√3，﹣6），B （3√3，6）， ∵k BH •k BA =﹣1， ∴k BH =﹣√33， 设H （﹣√3，y H ），∴H −√3−3√3=﹣√33， 解得y H =10，∴|BH |=√(−√3−3√3)2+(10−6)2=8， |BF |=√(3√3−√3)3+62=4√3，∴S △BHF =12|BH |•|BF |=12×8×4√3=16√3，故选：B ．8．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 23﹣y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．2√3D ．4【解答】解：双曲线C ：x 23﹣y 2=1的渐近线方程为：y=±√33x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F （2，0）的直线为：y=√3(x −2)，则：{y =−√33xy =√3(x −2)解得M （32，−√32），{y =√33x y =√3(x −2)解得：N （3，√3）， 则|MN |=(3−32)+(√3+√32)=3．故选：B ．9．（2008秋•中山区校级月考）斜率为2的直线l 经过抛物线x 2=8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．40【解答】解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α， cotθ=tanα=2， ∴sinθ=√5，|AB |=8sin 2θ=815=40．故选：D ．二．填空题（共6小题）10．（2018•邵阳三模）已知Q 为椭圆C ：x 23+y 2=1上一动点，且Q 在y 轴的右侧，点M （2，0），线段QM 的垂直平分线交y 轴于点N ，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q 的横坐标为32． 【解答】解：设直线MQ 的中点为D ，由题意知ND ⊥MQ ，直线ND 的斜率存在，设Q （x 0，y 0），（y 0≠0，x 0＞0），∴点D 的坐标为（x 0+22，y 02），且直线MQ 的斜率k MQ =y 0x 0−2，∴k ND =﹣1k MQ =2−x 0y 0，∴直线ND 的方程为y ﹣y 02=2−x 0y 0（x ﹣x 0+22），令x=0，可得y=x 02+y 02−42y 0，∴N （0，x 02+y 02−42y 0），由x 023+y 02=1可得x 02=3﹣3y 02， ∴N （0，−2y 02−12y 0），∴S四边形OQMN =S△OQM +S△OMN =12×2×|y 0|+12×2×|−2y 02−12y 0|=|y 0|+|2y 02+12y 0|=2|y 0|+12|y 0|，即y 0=±12，x 0=32等号成立，故Q 的横坐标为32，故答案为：3211．（2018•齐齐哈尔二模）已知点P 是双曲线x 22﹣y 2=1 上的一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|+|PF 2|=4√2，则△PF 1F 2的面积为 √5 ． 【解答】解：不妨设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF 1|﹣|PF 2|=2√2，又|PF 1|+|PF 2|=4√2， ∴|PF 1|=3√2，|PF 2|=√2，又|F 1F 2|=2c=2√3，∴cos ∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=23，sin ∠F 1PF 2=√53，∴△PF 1F 2的面积为12×3√2×√2×√53=√5．故答案为：√5．12．（2018•沈阳一模）已知正三角形△AOB （O 为坐标原点）的顶点A 、B 在抛物线y 2=3x 上，则△AOB 的边长是 6√3 ． 【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，∴直线OA 的方程为y=√33x ，联立{y =√33x y 2=3x，解得A （9，3√3）．∴|AO |=√81+27=6√3． 故答案为：6√3．13．（2018•甘肃模拟）抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE →=NM →+NF →，则△MNF 的面积为 3√22．【解答】解：准线方程为x=﹣1，焦点为F （1，0）， 不妨设N 在第三象限， ∵2NE →=NM →+NF →， ∴E 是MF 的中点，∴NE=12MF=EF ，∴NE ∥x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上，∴E （12，﹣√2），∴N （﹣1，﹣√2），M （0，﹣2√2），∴NF=√6，MN=√3，∴S △MNF =12×√6×√3=3√22故答案为：3√2214．（2016秋•九龙坡区校级期中）如图所示，过抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作直线交C 于A 、B 两点，过A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7，则△A′B′F 的面积为 6 ．【解答】解：设△A′B′F 的面积为S ，直线AB ：x=my +p2，代入抛物线方程，消元可得y 2﹣2pmy ﹣p 2=0设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2），则y 1y 2=﹣p 2，y 1+y 2=2pmS △AA'F =12|AA'|×|y 1|=12|x 1+p 2||y 1|=12（y 122p +p 2）|y 1|S △BB'F =12|BB'|×|y 2|=12|x 2+p 2||y 2|=12（y 222p +p 2）|y 2|∴12（y 122p +p 2）|y 1|×12（y 222p +p 2）|y 2|=p 24（p 22+y 124+y 224）=p 44（m 2+1） S △A′B′F =p2|y 1﹣y 2|=p 2√m 2+1=S∵四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7∴p 44（m 2+1）=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴14S 2=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴34S 2﹣22S +105=0 ∴S=6 故答案为：615．（2016春•芒市校级期中）斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB |得最大值为 4√105．【解答】解：设直线l 的方程为y=x +t ，代入椭圆x 24+y 2=1消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1=0，由题意得△=（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5． 弦长|AB |=4√2×√5−t 25≤4√105．当t=0时取最大值． 故答案为：4√105．三．解答题（共5小题）16．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅰ）直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32，则c a =√32，得c=√32a，b=12a，所以3x 24c2+3y2c2=1，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为x 24+y2=1．（Ⅰ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得y=±√32，S△AOB=12×1×√3=√32，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由{y=kx+mx2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，所以x0=−4km1+4k2，y=kx0+m=−4k2m1+4k2+m=m1+4k2，将(−4km1+4k2，m1+4k2)代入x2+y2=1，得m2=(1+4k2)216k2+1，又因为|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2，原点到直线l的距离d=√1+k2，所以S△AOB=12×|m|√1+k2×√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2=2|m|1+4k2√1+4k2−m2=21+4k2×2√16k2+1×√1+4k2×√1−1+4k216k2+1=2√12k 2(1+4k 2)(16k 2+1)2=216k 2+1×√12k 2(1+4k 2)≤216k 2+1×1+16k 22=1．当且仅当12k 2=1+4k 2，即k =±√24时取等号．综上所述，△AOB 面积的最大值为1．17．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a＞b ＞0）的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2+y 2=89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a =√22，2a 2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x 24+y 22=1．（2）△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴AB=2AM ， ∴点M 为AB 的中点．∵椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴A （﹣2，0）．设M （x 0，y 0），则B （2x 0+2，2y 0）．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1， 化为：9x 02﹣18x 0﹣16=0，−2√23≤x 0≤2√23．解得：x0=﹣23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±1 2，因此，直线AB的方程为：y=±12（x+2）．18．（2018•衡阳一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，直线y=1与C的两个交点间的距离为4√63．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）易知椭圆过点(2√63，1)，所以83a2+1b2=1，①…（2分）又c a =12，②…（3分）a2=b2+c2，③…（4分）①②③得a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为x 24+y23=1．…（6分）（Ⅰ）设直线l1：x=my﹣1，它与C的另一个交点为D．与C联立，消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…（7分）△=144（m2+1）＞0.|AD|=√1+m2⋅12√1+m23m2+4，…（9分）又F2到l1的距离为d=2√1+m，…（10分）所以S△ADF2=12√1+m23m2+4．…（11分）令t=√1+m2≥1，则S△ADF2=123t+1t，所以当t=1时，最大值为3．…（14分）又S四边形ABF2F1=12(|BF2|+|AF1|)⋅d=12(|AF1|+|DF1|)⋅d=12|AB|⋅d=S△ADF2所以四边形ABF2F1面积的最大值为3．…（15分）19．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．【解答】解：设P（x0，y0），Q（x1，y1）．（1）在y=x+3中，令x=0，得y=3，从而b=3．……（2分）由{x 2a 2+y 29=1，y =x +3得x 2a 2+(x+3)29=1． 所以x 0=−6a 29+a 2． ……（4分）因为PB 1=√x 02+(y 0−3)2=√2|x 0|，所以4√2=√2⋅6a 29+a2，解得a 2=18． 所以椭圆的标准方程为x 218+y 29=1． ……（6分）（2）方法一：直线PB 1的斜率为k PB 1=y 0−3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为k QB 1=−x 0y 0−3． 于是直线QB 1的方程为：y =−x 0y 0−3x +3．同理，QB 2的方程为：y =−x 0y 0+3x −3． ……（8分）联立两直线方程，消去y ，得x 1=y 02−9x 0． …（10分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022． 所以x 1=−x 02． ……（12分） 所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=2． ……（14分）方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k'，则直线PB 1的方程为y=kx +3．由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y =−1k x +3．将y=kx +3代入x 218+y 29=1，得（2k 2+1）x 2+12kx=0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0=−12k2k 2+1．…（8分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022． 所以k ⋅k′=y 0−3x 0⋅y 0+3x 0=y 02−9x 02=−12，得k′=−12k ． ……（10分）由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y=2kx ﹣3．联立{y =−1k x +3，y =2kx −3则x =6k 2k 2+1，即x 1=6k 2k 2+1． ……（12分） 所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=|−12k 2k 2+16k 2k 2+1|=2． ……（14分）20．（2018•黄州区校级模拟）如图，从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，|FA |=2√2+2，（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）过F 且斜率不为0的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为E ，直线OE 与直线x=﹣4相交于点D ，若△MDF 为等腰直角三角形，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）令x=﹣c ，得y =±b 2a ．所以P (−c ，b 2a )．直线OP 的斜率k 1=−b 2ac ．直线AB 的斜率k 2=−b a ．故b 2ac =b a 解得b=c ，a =√2c ．由已知及|FA |=a +c ，得a +c =2√2+2， 所以(1+√2)c =2√2+2，解得c=2．所以，a =2√2，b=2所以C 的方程为x 28+y 24=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅰ）易得F （﹣2，0），可设直线l 的方程为x=ky ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组x=ky ﹣2和x 2+2y 2=8，消去x，整理得（k2+2）y2﹣4ky﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由韦达定理，得y1+y2=4k2+k2，y1y2=﹣42+k2，所以y1+y22=2k2+k2，x1+x22=k(y1+y2)2−2=﹣42+k2，即C（﹣42+k2，2k2+k2），所以直线OC的方程为y=﹣k2x，令x=﹣4，得y=2k，即D（﹣4，2k），所以直线DF的斜率为2k−0−4+2=﹣k，所以直线DF与l恒保持垂直关系，故若△ADF为等腰直角三角形，只需|AF|=|DF|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即√4+4k2=√(x1+2)2+y12=√(1+k2)y12，解得y1=±2，又x128+y124=1，所以x1=0，所以k=±1，从而直线l的方程为：x﹣y+2=0或x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
圆锥曲线面积问题解题技巧
圆锥曲线面积问题解题技巧
哇塞，朋友们！今天咱们就来好好唠唠圆锥曲线面积问题解题技巧这些事儿。
咱就说，对于圆锥曲线，是不是有时候感觉就像一团乱麻，理都理不清呀！
比如说椭圆吧，已知一个椭圆的方程，然后让你求某个图形的面积，这时候该咋办呢？嘿！先别慌！咱得冷静分析。
你看啊，就像解开一团纠结的毛线，得找到那个关键的线头。
拿双曲线来说，假如给你一个双曲线，还有一些条件，让你算一个和它相关的三角形面积。
这就相当于在迷宫里找出口，得有方法呀！比如咱可以通过巧妙运用一些公式和定理，像发现宝藏一样找到解题的关键。
再说说抛物线，那可真是像个调皮的小精灵，稍不注意就给你来个难题。
可咱不能怕呀！咱得勇敢面对呀！就像打游戏冲关一样，一步步找到技巧。
同学小张就曾经在这上面栽过跟头，他老是抓不住重点，急得直跺脚。
我就跟他说：“嘿，别急呀，咱慢慢分析，肯定能找到突破口。
”后来呀，他静下心来，按照一些方法去做，果然就把难题给解决了。
其实呀，解决圆锥曲线面积问题就像攀岩，得一步一个脚印，找好着力点。
有时候看似困难无比，但是只要你掌握了技巧，就会发现其实也没那么难嘛！遇到问题咱就得迎上去，和它正面交锋！绝对不能退缩。
我的观点就是，只要我们认真去学，多练习，多总结，圆锥曲线面积问题的解题技巧一定能被我们牢牢掌握！大家一起加油吧！。
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。
首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。
圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。
要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。
三角形的面积可以用其底边和高来计算。
在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。
首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。
假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。
这个垂直距离也可以被称为焦距。
焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。
最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。
需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。
综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。
这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。
由一道题谈求解圆锥曲线中三角形面积问题的思路
产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产产探索探索与与研研究究圆锥曲线中三角形的面积问题通常较为复杂，且解题时的运算量较大.这类问题侧重于考查同学们的运算和逻辑思维能力.下面结合一道例题，谈一谈圆锥曲线中三角形的面积问题的解法.例题：已知斜率为的直线l 过点M (0,3)，交椭圆x 24+y 23=1于A ,B 两点，求三角形AOB 的面积.一、直接法直接法是指根据题意，利用相关的公式、定理、定义等直接求解.在运用直接法求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，只需根据已知条件，以及三角形的位置、形状求得三角形的底边长、高线长、角的大小，利用三角形的面积公式S=12×底×高、S =12ab sin θ，就可以直接求得问题的答案.解法1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题意知直线AB 的方程为x =+3，联立直线和椭圆的方程,得ìíîïïïïx =+3，x 24+y 23=1.消去x ，得116y 2-32y +5=0，由韦达定理得y 1+y 2=11y 1y 2=3011.根据弦长公式得AB =1+k 2||y 1-y 2=∙()y 1+y 22-4y 1y 2=65，由点到直线的距离公式得O 到AB 的距离为：d =3，可得三角形AOB 的面积为S =12×65×3.我们先将直线与椭圆的方程联立；然后根据韦达定理和弦长公式求得弦AB 的长；再根据点到直线的距离公式求得O 到AB 的距离，即可根据三角形的面积公式S =12×底×高，直接求得三角形AOB 的面积.二、割补法割补法是解答几何图形的面积问题的重要方法.运用割补法求解圆锥曲线中三角形的面积问题，通常要将不规则的图形分割、填补成规则的几何图形，如三角形、梯形、平行四边形等，以运用规则图形的性质、面积公式求圆锥曲线中三角形的面积.解法2.由解法1知y 1+y 2y 1y 2=3011.将x 轴作为分割线，把三角形OAB 分割成两个三角形OPA 和OPB ，可得直线与x 轴的交点P，即OP =，则S =S △OPA +S △OPB =12×OP ×|y 1-y 2|=.通过观察图形并分析，很容易求得OP 以及|y 1-y 2|，于是采用割补法，将三角形OAB 分割成两个三角形OPA 和OPB.再根据三角形的面积公式求两个三角形的面积之和，就能快速求得问题的答案.三、利用海伦公式海伦公式为：S =p (p -a )(p -b )(p -c )，其中p =a +b +c 2.该公式主要用于求三角形的面积.在解题时，常需利用两点间的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、勾股定理、正余弦定理分别求得三角形的边长，再将三边的边长代人公式中进行求解.解法3.由解法1知y 1+y 2y 1y 2=3011.由两点之间的距离公式可得OA =x 12+y 12,OB =x 22+y 22，AB =(x1-x 2)2+(y 1-y 2)2，代入即可算出S .海伦公式是一个拓展公式，同学们在使用前要对其作具体的说明.运用海伦公式求解圆锥曲线中三角形的面积问题，往往能简化运算.可见，圆锥曲线中三角形的面积问题的解法较多.但需注意根据题意和三角形的形状选用合适的面积公式和距离公式，这样才能规避繁琐的运算，提升解题的效率.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k=，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。
2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BD xx k x x x x⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S ．综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25．。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题一般来说，题目会经常考直线与圆锥曲线相交后所围三角形或者四边形的面积。
采用的方法有两种，分割法或者二分之一底乘高。
分割法：所围图形内部有一条线段躺在x 轴或y 轴上，且长度固定。
此时用这条线段分割所围图形即可。
二分之一底乘高：则是用三角形的面积进行计算做题时，优先考虑分割法。
下面用一个引例进行说明。
而该例子中在求最值时，有一个高考常用的处理技巧，必须掌握。
引例 如下图，已知椭圆2212x y +=，左焦点为()11,0F -。
过1F 的任意直线交该椭圆于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值解析：法一分割法：三角形OAB 内部有一条线段1OF 躺在x 轴上，而且该线段的长度已知为1，因此用该线段分割非常合适。
设()()1122,,,A x y B x y ，则111112112111||||()221||()21||2OAB OAF OBF SS S OF y OF y OF y y OF =+=+-=-=接下来就是设出直线方程，运用根与系数的关系了。
设该直线为x=ty-1 由()22221223012x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 则12122223,22t y y y y t t +==-++ 则11|2OAB S OF === 接下来求上式的最大值，有一个很重要的技巧，就是换元，把整个根式换掉。
必须掌握，处理如下：通法：令m =2m ≥且2221122m S m m m ==++又对勾函数的单调性知12m m +≥因此S ≤=法二，二分之一底乘以=高：如果我们把点O 到直线的距离设为d ，则显然1||2OAB SAB d = 直线l 仍旧设为x=ty-1|AB|又d =依旧按照联立方程，用根与系数的关系，写出OAB S 的面积公式，接下来的处理就与分割法一样。
先换元，再利用对勾函数的性质即可求出最大值。
在此略去例1 （2014全国1卷）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221x y a b+=（a>b>0），其离心率2e =，F 是椭圆的右焦点，3AF k = （1）求E 得方程（2）求过点A 的直线l 与E 交于两点P 、Q ，求OPQ S 最大值时直线l 的方程 解析：（1）由202203AF c e k a c c --=====-得到1c b ==因此E ：2214x y += （2）如下图因为OA 这条线段躺在y 轴上，且长度已知，因此运用分割法做最好。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。
在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。
例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。
（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。
例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
圆锥曲线面积最值秒杀解法_概述及解释说明
圆锥曲线面积最值秒杀解法概述及解释说明1. 引言1.1 概述在数学中，圆锥曲线是一类由一个平面和一个点来确定的曲线。
它包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等不同的类型。
这些曲线在科学、工程和经济等领域中广泛应用。
本文将重点讨论圆锥曲线面积最值问题的解法。
通过寻找圆锥曲线在特定条件下的最大或最小面积，我们可以得到很多有用的结论和应用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
首先是引言部分，简要介绍了文章的背景和目标。
接下来，我们将概述并说明解决圆锥曲线面积最值问题的传统方法，包括定义和性质以及最值问题的背景和意义。
然后，我们将详细介绍一种名为“秒杀解法”的新方法，该方法可以快速有效地求解圆锥曲线面积最值问题。
我们将阐述其基本思路、原理，并提供完整演算步骤及示例证明。
在第四部分中，我们将通过实际应用案例研究来验证该秒杀解法的可行性和效果。
这些案例包括工程设计领域的成功实践、经济学模型中的应用和地理信息系统中的空间分析优化。
最后，在结论与展望部分，我们将对整篇文章进行总结，并提出未来研究的方向和展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍一种针对圆锥曲线面积最值问题的新方法——秒杀解法。
通过探讨传统方法和秒杀解法，我们可以深入了解圆锥曲线在不同领域中的应用和意义。
通过具体案例研究，我们将证明秒杀解法在实际问题中的可行性和有效性。
同时，本文也希望能够激发更多关于圆锥曲线面积最值问题求解方法的研究，为相关学科提供更多应用价值和理论支持。
2. 圆锥曲线面积最值秒杀解法概述和说明2.1 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指在三维空间中，由一个点（焦点）和一条直线（准线）决定的一类曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
每种圆锥曲线有其独特的性质，如焦点与准线之间的距离关系、离心率等。
2.2 最值问题的背景和意义在数学中，最值问题是指求解函数在某个区间内取得最大或最小值的问题。
对于圆锥曲线而言，我们希望找到使其面积达到最大或最小值的条件和方法。
圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习(最新整理)
9 x02
25 y02
（4） S 1 12 3 m2 m 1 1 m2 (m2 8) 1 1 m2 m2 8 2
2
2
3 22
22
2
当且仅当 m2 m2 8 时，等号成立
（5） S 2 2 1 k 2
2k 2 m12 1 2m1 4 2
1 2k 2
1 k2
(2k 2 m12 1)m12 4
1 k2 A x a
或 AB
1
1 k2
A y1
y2
1
1A k2
y1
y2 4 y1 y2
1 1 A y k2 a
文档
y
P O
A
x H
B
实用标准文案
题型二：面积问题
1. 三角形面积问题
直线 AB 方程： y kx m
d PH kx0 y0 m 1 k2
SABP
1 2
AB
d
1 2
1 k2
1 k2
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
x a
SA ABCD AB d 1 k 2
x m1 m2 a 1 k2
x m1 m2 a
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R) 变式： a b 2 ab(a,b R ); ab ( a b)2 (a,b R )
文档
实用标准文案
【例4】 已知椭圆 C : x2 y2 1，过点 M 0 ，3 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B ．
4 （Ⅰ）若 l 与 x 轴相交于点 N ，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程；
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题1、已知为坐标原点，定点，点分别在,轴上运动且.动点满足.设点的轨迹为曲线.直线交曲线于另外一点.（1）求曲线的方程, (2)求面积的最大值．解：的轨迹方程即为曲线整理可得：，相关点法求解析式、、设点C y x y x AB y n x m y n y x m x y n x PB y m x AP y x P n B m A 19256496425648)(3858)(5353),(),,(),(),0()0,()1(2222=+=+∴=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-∴--=-=∴ )37116195.72418024169211619(1161911801161991180259190225910081368164812259)259(814722)1(25981,2597208172)259(19254)1(2)(4214),,(),,()2(222222222222222222221221222221212211”成立时“即当且仅当，式可得：带入联立的面积方程为：设直线设点=±=+=+=≤=⨯≥++++++⨯=++++⨯=++⨯⨯=+⨯+⨯+⨯⨯=++⨯⨯+⨯=+-=⋅+-=+∴=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+⨯⨯=∆∴+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k S k y y k k y y ky y k y x ky x y y y y S OPQ ky x PM y x Q y x P求面积最值问题，需要先把面积表示出来，之后就可以看出如何计算更加简洁。
此题列出式子后可以看出直线反设O )0,4(M B A ,x y 8=AB P →→=PB AP 53PC PM C Q C OPQ ∆会更加简单，另外计算时数字比较大，但是找出公因数再计算就会非常简单，切忌硬来。
2、在平直角坐标系中，已知椭圆的离心率,且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中的面积型问题通常涉及到计算某个特定区域的面积，这些区域可能是由圆锥曲线（如椭圆、双曲线或抛物线）和直线或其他曲线围成的。
解决这类问题的一般步骤包括：
1.确定相关方程：需要明确给定的圆锥曲线和其他相关曲线的方程。
这些方程是解决问题的基础。
2.找出交点：接下来，找出这些曲线之间的交点。
这些交点通常是计算面积的关键点。
3.确定积分区间：根据交点，确定需要积分的区间。
对于二维问题，这通常是一个或多个区间；对于三维问题，则可能是一个区域。
4.进行积分计算：使用适当的积分公式或技巧，计算相关区域的面积。
这可能涉及到定积分、二重积分或三重积分，具体取决于问题的维度。
5.简化结果：最后，对计算出的结果进行简化，得出最终答案。
例如，在椭圆中，可能需要计算椭圆与某条直线围成的区域的面积。
需要找出椭圆和直线的交点，然后确定需要积分的区间，接着使用定积分或二重积分进行计算，最后简化结果。
需要注意的是，圆锥曲线中的面积型问题可能比较复杂，需要综合运用数学知识进行分析和计算。
在实际解题过程中，还需要注
意选择合适的计算方法和技巧，以提高解题效率和准确性。
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题是一个关于几何学的主题，它是关于在特定几何结构和条件下确定三角形面积最大值和最小值的问题。
问题的描述：
求解一类圆锥曲线上定义三角形的面积的最值。
问题的分析：
1.首先该问题的结构存在一个圆锥曲线，其上定义三角形，该三角形的面积是需要求解的最值。
2.其次，在求解最值的过程中，需要确定三角形的形状及尺寸，包括三边的长度及锥角的内切圆和外接圆的半径。
3.此外，在确定三角形面积的最值时，需要考虑到所在圆锥曲线的几何结构及其内接圆的大小，以确定最合适的三角形及其面积最优值。
求解方法：
1.采用穷举和搜索的方法，在一类圆锥曲线上逐步去确定目标三角形的形状及尺寸，其面积最小或最大符合条件；
2.在该类圆锥曲线上，启发式搜索也可以用于最值问题，进行穷举时可以根据当前搜索状态而进行学习及调整；
3.此外，还可以采用以下几种数学方法去求解：（1）利用微积分中极大值极小值的概念，结合拉格朗日乘子法；（2）利用数学规划方法，比如模拟退避法；（3）用贪婪算法去寻找最优解；（4）还可以用神经网络技术去求解。
结论：
以上求解最值问题的方法都可以有效地求出圆锥曲线上三角形面积的
最值，通过不同的搜索方法可以解决规模越大问题所对应的最值问题。
【市级公开课】《圆锥曲线中的三角形面积问题》教学设计
人教A版高中数学高三一轮复习立足基础，提升时效——圆锥曲线中的三角形面积问题授课学生：高三1班(高三文科班)一、教学内容分析近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长、定值、面积等。
分析这类问题，往往利用数形结合、函数与方程、化归与转化等思想和“设而不求”的方法及韦达定理等。
本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、预测高考会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题。
三、教学目标1.会选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。
2.能利用函数与方程、数形结合、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。
四、教学重难点1.教学重点：掌握圆锥曲线中三角形面积的计算方法。
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。
五、教学策略选择自主学习、小组讨论法、师生互动教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：环节二：一．解法回顾前几节课我们复习了直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆锥曲线相交的弦长问题。
这节课我们一起来探究圆锥曲线中的三角形面积问题（板书课题）。
下面请一位同学来谈谈他平时是怎样解答<<解析几何>>这类问题的。
师：教师针对学生的回答给予评价。
师：对于<<解析几何>>这类问题的解答，归纳起来，有以下几个步骤：1.分析几何对象的几何特征。
理解题意，并画出图像。
2.进行代数化。
包括几何元素的代数化、位置关系代数化、问题目标代数化。
3.进行代数运算。
包括联立方程组、消参、运用函数性质等。
4.得出几何结论。
师:接下来我们一起将此步骤实施到具体的题目中。
圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ）A. B. C. D.例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.8D.例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK △的面积是（ ）A. 4B.C.D. 8例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121P F M F F F M FP F F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -△△等于（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 1-例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IFF S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（）A.12+ B.1C. 1D. 1例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的c a 为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点 （1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的c a 为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2 （1）求椭圆C 的方程（2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=（1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQM PAM SS =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
圆锥曲线面积比值问题
圆锥曲线面积比值问题圆锥曲线面积比值问题：一、什么是圆锥曲线面积比值？圆锥曲线面积比值（或称半径比值），是指圆锥曲线的锥底半径（r）与上部连续曲线的半径（R）的比值。
圆锥曲线的锥底半径r可由表面面积S计算，公式为S=(1/(2π))*sqrt(R^2-r^2)，这里π是圆周率。
二、圆锥曲线面积比值的用途1、圆锥曲线面积比值可以用于优化工程设计，可以有效降低材料和能源消耗。
2、圆锥曲线面积比值也可以用于机械设计，如果设计圆锥管安装时，可以使用给定的圆锥曲线面积比值量化设计。
3、圆锥曲线面积比值也可以用于弹道研究，可以有效实现抛射的效率，以及实现更多的时域气动效应。
4、圆锥曲线面积比值还可以用于质量传递研究，将圆锥曲线作为凹面传递器的凹面设计，可以更好的实现一致性的质量传递。
三、圆锥曲线面积比值与实际应用有哪些联系？1、制造行业：圆锥曲线面积比值可以用于工艺设计，可以提高产品加工精度。
2、汽车制造行业：圆锥曲线面积比值可以应用于柴油机的曲线节流系统的设计，可以提升燃烧效率。
3、航空业：圆锥曲线面积比值可以用于飞机设计，有利于节约能源，提高飞机效率。
4、水利工程：圆锥曲线面积比值可用于渠道设计，可以降低水压，保证流量分布均衡，从而降低水土流失。
四、得出圆锥曲线面积比值有哪些方法？1、基于空间几何分析法：用连续曲线拟合及两大半径的几何联系，得出圆锥曲线的体积，再用它的体积计算其面积，从而得出圆锥曲线的面积比值。
2、基于矢量表示法：将圆锥曲线使用矢量函数表示，利用其中的系数对曲率矢量和曲线长度矢量进行计算，从而计算得出圆锥曲线的面积比值。
3、基于数值法：以圆锥曲线的点为基础，使用積分的方式计算圆锥曲线的面积比值，相比其他方法更加精确。
(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)
直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根， 所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。
=，得223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
圆锥曲线中的面积问题-专题教学设计
圆锥曲线中的面积问题一、教学目标：圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题,有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题,求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量,如动直线的斜率或截距表示面积,再利用函数或不等式知识求解.培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养。
二、教学重点：解决圆锥曲线中常见的面积问题。
三、方法归纳(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积方法指导：若动直线与圆锥曲线交于点A ,B ,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△P AB 的面积,一般是先利用弦长公式求出AB ,再利用点到直线距离公式求出点P 到直线AB 的距离,则12ABC S AB d ∆=. 【例1】（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点,得到的四边形的面积为82连接椭圆C 的某两个顶点,2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(4,0)A -的直线l 与椭圆C 交于E ,F 两点,点B 在线段EF 上,若||||||||AE BE AF BF =,求OAB （O 为坐标原点）面积的取值范围.【分析】（1）根据题设构造关于a ,b 的方程组,利用待定系数法求解椭圆的方程； （2）设出直线方程,联立直线l 与椭圆C 的方程,利用韦达定理得到||EF 的表达式,设||||||||AE BE AF BF λ==,找出||AB 与||EF 的关系；再算出点O 到直线l 的距离,得到OAB 面积的表达式,利用根与系数的关系进行求解.【解析】（1）依题意得22282,b a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得2,22,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程是22184x y +=. （2）设直线l 的方程为4(0)x ty t =-≠,代入椭圆C 的方程得()222880t y ty +-+=,由0∆>得22,||2t t >>设()()1122,,,E x y F x y ,所以1221228,28,2t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,222121212||()()1EF x x y y t y =-+-=+-, 设||||||||AE BE AF BF λ==,则,AE AF EB BF λλ== 22111AB AE EB EF EF EF λλλλλλ=+=+=-+-. 原点O 到直线l 的距离21d t =+故OAB 的面积2121222212412111S t y y y y t λλλλ=+-=⋅---+. 因为1122y y y y λλ=⇒=,故112212212122444(0,22)||1y y y y S y y y y t y y =⋅-==∈+-, 故OAB 面积的取值范围为(0,2).(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值,可把三角形分为两个小三角形分别计算面积方法指导：若过定点Q 的直线圆锥曲线交于点A ,B ,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△P AB 的面积,可先求出点A ,B 到直线PQ 的距离之和d ,则12PAB S PQ d ∆=,特别的,若PQ 与y 轴垂足,12PAB A B S PQ y y ∆=-,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量. 【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4,且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1.（1）求椭圆C 的方程;（2）直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,记MNA △的面积为S ,当3S =时求k 的值. 【分析】（1）根据题意得到24a =,1a c -=,再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ,()22,N x y ,再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. 【解析】（1）由题意24a =,2a =,因为右顶点A 到右焦点2F 的距离为1,即1a c -=,所以1c =, 则223b a c =-所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-, 联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得223(4)12y k +=,解得221243k y k =+ 因为AMN 的面积为3,可得212212||2343k y y k -==+,解得32k =±. (三)对角线互相垂直的四边形面积的计算方法指导：对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例3】（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12,且椭圆E 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭,过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当四边形ACBD 的面积取得最小值时,求弦AB 所在直线的方程．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组,求出这三个量的值,即可得出椭圆E 的标准方程；（2）分两种情况讨论：①当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,求出四边形ACBD 的面积；②当AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠,将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出AB 、CD ,利用四边形的面积12S AB CD =⨯结合基本不等式可求得四边形ACBD 面积的最小值,综合即可得解. 【解析】（1）已知可得22222121914c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩,解得231a bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,不妨设AB x ⊥轴, 因为焦点F 的坐标为()1,0,所以直线AB 的方程为1x =, 将1x =代入椭圆方程可得32y =±,则3AB =,4CD =,四边形ACBD 的面积14362S =⨯⨯=；当AB 的斜率存在且不为0时,设其斜率为()0k k ≠,由（1）知()1,0F ,所以直线AB 的方程为()1y k x =-,与椭圆E 的方程22143x y +=联立并消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=．设()11,A x y 、()22,B x y ,()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>,则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -=+, ()()42222212121222264164811413434k k AB k x k x x x x k k k -+-=++-+-++()()()22422212116416483434k k k k k k ++=--++． 同理可得可得()222211211214343k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++, 所以四边形ACBD 面积()()()()()()222222222121721112243344334k k S AB CD k k k k ++=⨯=⨯=++++ ()22222272122887274943342k k k +⎛⎫≥=⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭, 当且仅当224334k k +=+时,即当1k =±时,等号成立, 因为288649>,故当四边形ACBD 的面积取得最小值时,直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+． (四)利用函数性质求面积最值或范围方法指导：如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示,此时可把面积看作关于该变量的函数,若函数的单调性容易确定,可利用函数单调性求面积最值或范围，在求范围的过程中要注意一些变量本身的取值范围，以及特殊情形。
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圆锥曲线中的面积问题
一、基础知识：
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）
（1）椭圆：设P 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=
（2）双曲线：设P 为椭圆()22
221,0x y a b a b
-=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=⋅
二、典型例题：
例1：设12,F F 为椭圆2214
x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________
例2：已知点P 是椭圆22
16251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的
左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ）
A. B. C. D.
例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，
2OA OB ⋅=，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 1728
D. 10
例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK △的面积是（ ）
A. 4
B. 33
C. 43
D. 8
例5：以椭圆22
195
x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11
211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -△△等于（ ）
A. 2
B. 4
C. 1
D. 1-
例6：已知点P 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且2
12b F F a
=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）
A.
1222+ B. 231- C. 21+ D. 21-
例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的c a 为2，F 是椭圆E 的右焦
点，直线AF 的斜率为
3
，O 为坐标原点 （1）求E 的方程
（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程
例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的c a 为12
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B
两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为
2 （1）求椭圆C 的方程
（2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值
例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=
（1）求点P 的轨迹方程
（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQM PAM S
S =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
例10：设抛物线22y x =的焦点为F ，过点()3,0M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于,2C BF =，则BCF 与ACF 的面积
之比BCF
ACF S
S =（ ）
A.
45 B. 23 C. 47 D. 12。